Итоговое повторение · урок 1 из 7 · обобщение

Повторение: треугольники и решение треугольников

Геометрия · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R07 · GEOM9-062

0,5 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R07 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (7 ч), урок 1/7. Тип О (обобщение): теория — короткими сводками, основное время — задачи. Сегодня единицы R07.1–R07.5, R07.12, R07.13: треугольник от 7 класса до решения треугольников в 9 классе.
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Теория (12,5): сл. 1 титул 0,5 · 2 цели 0,5 · 3 карта повторения 0,5 · 5 треугольник, главные отрезки 2 · 7 равенство и подобие 2 · 9 прямоугольный треугольник 1,5 · 11 тригонометрия от 0° до 180° 1,5 · 12 теоремы синусов и косинусов 2,5 · 15 выбор метода 1,5.
Практика (32,5): 4 разминка 2 · 6, 8, 10, 13, 14, 16 образцы по 2,5 (15) · 17 ошибки 1,5 · 18 найди ошибку 2 · 19 база 2,5 · 20 повышенный 2,5 · 21 ОГЭ 2 · 22 самостоятельная 4 · 23 итог 0,5 · 24 ДЗ 0,5.
Если времени мало: образец 16 (доказательство) — только план, задания 4–6 сл. 20 — в ДЗ; сводки не выбрасывать.

R07.1 · R07.4 · R07.12 · R07.13

Цели урока

Сегодня вы повторите и научитесь

Работать с треугольником

углы, медиана, биссектриса, высота, признаки равенства и подобия (R07.2–R07.5, R07.17)

Решать прямоугольные треугольники

теорема Пифагора, $sin$ , $cos$ , $tg$ острого угла (ПР-1, R07.12)

Решать любые треугольники

теоремы синусов и косинусов, $S = \frac{1}{2} ab sin C$ (ПР-2, ПР-3, R07.13)

Выбирать метод

по тому, что дано в задаче, — от признака равенства до теоремы синусов (R07.1)

0,5 мин · теория
ПР-1: «Знать тригонометрические функции острых углов, находить с их помощью различные элементы прямоугольного треугольника… Находить (с помощью калькулятора) длины и углы для нетабличных значений».
ПР-2: «Пользоваться формулами приведения и основным тригонометрическим тождеством…». ПР-3: «Использовать теоремы синусов и косинусов для нахождения различных элементов треугольника («решение треугольников»)…».
Вид деятельности строки R07: «Решать задачи на повторение основных понятий, иллюстрацию связей между различными частями курса. Выбирать метод для решения задачи».

R07.1

Карта повторения

Семь уроков — весь курс 7–9 классов

1 · сегодня

треугольники, Пифагор, тригонометрия, теоремы синусов и косинусов

2

четырёхугольники, площади многоугольников

3

окружность: углы, касательные, вписанные и описанные фигуры

4

подобие, площади подобных фигур, хорды и секущие

5

правильные многоугольники, длина окружности, площадь круга

6

движения и симметрия, векторы, координаты

7

итоговая работа в формате ОГЭ

Как работаем

сводка → образец → сам → проверка

R07.2–R07.5 · опоры 7–8 классов

Разминка · устно

Найдите x

параллельные прямые

$a ∥ b$

x = 11 5^{\circ}

внешний угол

внешний угол $13 0^{\circ}$

x = 7 0^{\circ}

Пифагор

катеты $6$ и $8$

гипотенуза

10

равнобедренный

углы при основании

x = 4 0^{\circ}

5.

sin 3 0^{\circ} = ?

\frac{1}{2}

6.

cos 12 0^{\circ} = ?

- \frac{1}{2}

7. Есть ли треугольник

3, 4, 8

? нет

R07.2 · R07.4 · сводка

Треугольник · главные факты

Три отрезка и три равенства

медиана $BM$

$A M = MC$ ; медианы пересекаются в одной точке и делятся $2 : 1$ от вершины

биссектриса $B D$

$∠ A B D = ∠ D BC$ ; точка пересечения биссектрис — центр вписанной окружности

высота $B H$

$B H ⊥ A C$ ; в равнобедренном треугольнике высота к основанию — и медиана, и биссектриса

∠ A + ∠ B + ∠ C = 18 0^{\circ}

внешний угол

= ∠ A + ∠ B

a < b + c

R07.4 · R07.3

Образец → сам · углы треугольника

Равнобедренный треугольник и внешний угол

Образец: в $△ A BC$ $A B = BC$ , внешний угол при вершине $C$ равен $12 5^{\circ}$ . Найдите $∠ B$ .

$∠ A CB = 18 0^{\circ} - 12 5^{\circ} = 5 5^{\circ}$ смежные углы
$∠ A = ∠ A CB = 5 5^{\circ}$ углы при основании равнобедренного треугольника
$∠ B = 18 0^{\circ} - 2 \cdot 5 5^{\circ} = 7 0^{\circ}$ сумма углов треугольника

Сам:

$A B = BC$ , внешний угол при $A$ равен $11 0^{\circ}$ . Найдите $∠ B$ . $4 0^{\circ}$
$A B = BC$ , $∠ B = 5 0^{\circ}$ . Найдите внешний угол при $C$ . $11 5^{\circ}$
$∠ A = 4 0^{\circ}$ , $∠ B = 6 0^{\circ}$ , $C D$ — биссектриса. Найдите $∠ A D C$ . $10 0^{\circ}$

R07.4 · R07.17 · сводка

Равенство и подобие · признаки

Одна таблица — шесть признаков

что известно	треугольники равны, если…	треугольники подобны, если…
два угла и сторона / два угла	сторона и два прилежащих угла равны	два угла равны
две стороны и угол	две стороны и угол между ними равны	две стороны пропорциональны, угол между ними равен
три стороны	три стороны равны	три стороны пропорциональны

\frac{A _{1} B _{1}}{A B} = \frac{B _{1} C _{1}}{BC} = \frac{A _{1} C _{1}}{A C} = k

\frac{P _{1}}{P} = k, \frac{S _{1}}{S} = k^{2}

2 мин · теория
Сначала столбец «равны» (7 класс), затем по щелчку — «подобны» (8–9 класс): признаки устроены одинаково, только «равны» заменяется на «пропорциональны». Угол — всегда между сторонами.
$k$ — коэффициент подобия; периметры относятся как $k$ , площади — как $k^{2}$ (R07.21). Для прямоугольных треугольников: равенство по гипотенузе и катету, по гипотенузе и острому углу.
Вопрос: «Две стороны и угол не между ними равны — треугольники равны?» (Нет, в общем случае; это ошибка на сл. 18.)

R07.17 · R07.4

Образец → сам · подобие

Параллельная прямая отсекает подобный треугольник

Образец: $D E ∥ A C$ , $B D = 4$ , $D A = 2$ , $A C = 9$ . Найдите $D E$ .

$△ D BE \sim △ A BC$ $∠ B$ общий, $∠ B D E = ∠ B A C$ — соответственные при $D E ∥ A C$
$k = \frac{B D}{B A} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ $B A = 4 + 2 = 6$ — вся сторона
$D E = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6$ соответственные стороны

Сам: $D E ∥ A C$ , $D \in A B$ , $E \in BC$

$B D = 3$ , $D A = 5$ , $A C = 16$ . Найдите $D E$ . $6$
$D E = 5$ , $A C = 15$ , $B D = 4$ . Найдите $D A$ . $8$
$B D : D A = 1 : 2$ , $S_{D BE} = 8$ . Найдите $S_{A BC}$ . $72$

R07.12 · сводка

Прямоугольный треугольник · Пифагор и тригонометрия

Стороны и острый угол

c^{2} = a^{2} + b^{2}

sin A = \frac{a}{c}, cos A = \frac{b}{c}

tg A = \frac{a}{b}

sin^{2} A + cos^{2} A = 1

sin

— противолежащий катет к гипотенузе,

cos

— прилежащий.

R07.12

Образец → сам · прямоугольный треугольник

По гипотенузе и синусу — оба катета

Образец: в $△ A BC$ $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 15$ , $sin A = 0, 6$ . Найдите $BC$ и $A C$ .

$BC = 15 \cdot 0, 6 = 9$ $BC = A B \cdot sin A$
$cos A = 1 - 0, 36 = 0, 8$ основное тождество, $A$ — острый
$A C = 15 \cdot 0, 8 = 12$ проверка: $9^{2} + 1 2^{2} = 1 5^{2}$

Сам: в $△ A BC$ $∠ C = 9 0^{\circ}$

$A B = 20$ , $cos A = 0, 8$ . Найдите $BC$ . $12$
$A C = 8$ , $tg A = 0, 75$ . Найдите $A B$ . $10$
$BC = 7$ , $sin A = \frac{7}{25}$ . Найдите $A C$ . $24$

R07.12 · R07.13 · сводка

Тригонометрия от 0° до 180°

Синус и косинус любого угла треугольника

sin (18 0^{\circ} - α) = sin α

cos (18 0^{\circ} - α) = - cos α

M (cos α; sin α)

. Тупой угол:

cos α < 0

.

$α$	$0^{\circ}$	$3 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$6 0^{\circ}$	$9 0^{\circ}$	$12 0^{\circ}$	$13 5^{\circ}$	$15 0^{\circ}$	$18 0^{\circ}$
$sin α$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{3}{2}$	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$cos α$	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$- \frac{1}{2}$	$- \frac{2}{2}$	$- \frac{3}{2}$	$- 1$

R07.13 · сводка

Решение треугольников · теоремы

Теоремы косинусов и синусов, площадь

теорема косинусов

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b cos C

теорема синусов

\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R

площадь

S = \frac{1}{2} a b sin C

R07.13

Образец → сам · теорема косинусов

Две стороны и угол между ними → третья сторона

Образец: в $△ A BC$ $A C = 5$ , $BC = 8$ , $∠ C = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ .

$A B^{2} = 5^{2} + 8^{2} - 80 cos 6 0^{\circ}$ теорема косинусов: $2 \cdot 5 \cdot 8 = 80$
$A B^{2} = 25 + 64 - 40 = 49$ $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$
$A B = 7$ длина положительна

Сам:

$a = 3$ , $b = 5$ , $∠ C = 12 0^{\circ}$ . Найдите $c$ . $7$
Стороны $5$ , $7$ , $8$ . Найдите угол против стороны $7$ . $6 0^{\circ}$
Стороны $3$ , $5$ , $7$ . Найдите наибольший угол. $12 0^{\circ}$

R07.13

Образец → сам · теорема синусов

Сторона и два угла → другая сторона и радиус

Образец: в $△ A BC$ $∠ A = 3 0^{\circ}$ , $∠ B = 4 5^{\circ}$ , $BC = 4$ . Найдите $A C$ и $R$ .

$\frac{A C}{sin 4 5 ^{\circ}} = \frac{4}{sin 3 0 ^{\circ}}$ теорема синусов
$A C = \frac{4 \cdot \frac{2}{2}}{\frac{1}{2}} = 42$ табличные значения
$2 R = \frac{4}{sin 3 0 ^{\circ}} = 8$ та же дробь равна $2 R$
$R = 4$ радиус описанной окружности

Сам:

$BC = 5$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите $R$ . $5$
$R = 6$ , $∠ C = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ . $63$
$∠ A = 4 5^{\circ}$ , $∠ B = 6 0^{\circ}$ , $BC = 22$ . Найдите $A C$ . $23$

R07.1 · R07.13 · сводка

Выбор метода · что дано → что применить

Смотрим на данные — выбираем теорему

прямоугольный, две стороны

→ Пифагор, $sin$ , $cos$ , $tg$

две стороны и угол между ними

→ т. косинусов, $S = \frac{1}{2} ab sin C$

три стороны

→ т. косинусов: $cos$ угла

сторона и два угла

→ сумма углов, т. синусов

сторона и противолежащий угол

→ $\frac{a}{sin A} = 2 R$

параллельная прямая, общий угол

→ подобие

R07.4

Образец → сам · доказательство

Медианы к боковым сторонам равны

Дано: $A B = BC$ , $A M$ и $CN$ — медианы. Доказать: $A M = CN$ .

$A N = CM$ половины равных сторон $A B$ и $BC$
$∠ N A C = ∠ MC A$ углы при основании равнобедренного треугольника
$A C$ — общая сторона
$CN = A M$ $△ A NC = △ CM A$ по двум сторонам и углу между ними

Сам: $A B = BC$ . Докажите, что равны…

биссектрисы $A K$ и $C L$ углов при основании $△ A L C = △ C K A$ по стороне и двум углам
высоты $A H$ и $C K$ к боковым сторонам по гипотенузе $A C$ и острому углу

R07.12 · R07.13 · R07.17

Осторожно · типичные ошибки

Так нельзя

Синус и косинус перепутаны

$∠ C = 9 0^{\circ}$ : $cos A = \frac{BC}{A B}$

Верно: $BC$ — противолежащий катет, $sin A = \frac{BC}{A B}$ .

Потерян знак косинуса: $a = 3$ , $b = 5$ , $∠ C = 12 0^{\circ}$

$c^{2} = 9 + 25 - 15 = 19$

Верно: $cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ , $c^{2} = 49$ , $c = 7$ .

Не та сторона в подобии

$D E ∥ A C$ : $k = \frac{B D}{D A}$

Верно: $k = \frac{B D}{B A}$ — сравниваем соответственные стороны треугольников.

R07.4 · R07.13

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $BC = 6$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите $R$ .

$2 R = 6 \cdot sin 3 0^{\circ} = 3$

$R = 1, 5$

$2 R = \frac{BC}{sin A}$ — делим, а не умножаем

$2 R = 12$ , $R = 6$

б) Стороны $4$ и $6$ , угол между ними $3 0^{\circ}$ . Найдите $S$ .

$S = 4 \cdot 6 \cdot sin 3 0^{\circ} = 12$

Потерян множитель $\frac{1}{2}$

$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 6$

в) $A B = A_{1} B_{1}$ , $BC = B_{1} C_{1}$ , $∠ A = ∠ A_{1}$ ⇒ треугольники равны по двум сторонам и углу.

$∠ A$ — не между сторонами $A B$ и $BC$

Нужен $∠ B = ∠ B_{1}$ ; вывод не обоснован

R07.4 · R07.12 · R07.13

Задания с самопроверкой · база

Решите и сверьте ответ

базаВ $△ A BC$ $∠ A = 4 8^{\circ}$ , $∠ B = 6 7^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ . $6 5^{\circ}$
базаКатеты $5$ и $12$ . Найдите гипотенузу. $13$
база $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 10$ , $sin A = 0, 4$ . Найдите $BC$ . $4$

базаНайдите площадь треугольника со сторонами $6$ и $10$ и углом $3 0^{\circ}$ между ними. $15$
базаНайдите $cos 15 0^{\circ}$ . $- \frac{3}{2}$
базаТреугольники подобны, $k = 3$ , площадь меньшего $5$ . Площадь большего? $45$

R07.1 · R07.13 · R07.20

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Связываем темы курса

повыш.Стороны треугольника $7$ , $8$ , $13$ . Найдите наибольший угол. $12 0^{\circ}$
повыш.В $△ A BC$ $A C = 12$ , $∠ B = 4 5^{\circ}$ . Найдите $R$ . $62$
практикаДерево $C$ — за рекой. $A B = 40$ м вдоль берега, $∠ A = 7 5^{\circ}$ , $∠ B = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A C$ . $206 \approx 49$ м

повыш.Найдите площадь четырёхугольника с диагоналями $10$ и $12$ и углом $3 0^{\circ}$ между ними. $30$
повыш. $A B = 5$ , $A C = 8$ , $BC = 7$ . Найдите площадь $△ A BC$ . $103$
повыш. $A B = BC = 13$ , $A C = 10$ . Найдите медиану $BM$ . $12$

R07.13 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 15

Задача с кратким ответом

В треугольнике $A BC$ известно, что $A B = 6$ , $BC = 10$ , $sin ∠ A BC = \frac{1}{3}$ . Найдите площадь треугольника $A BC$ .

Ответ: $10$

$S = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot BC \cdot sin B$ две стороны и угол между ними
$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \cdot \frac{1}{3} = 10$ или: высота $h = 6 \cdot \frac{1}{3} = 2$ , $S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 2$

Сам: $A B = 12$ , $BC = 8$ , $sin ∠ A BC = \frac{5}{8}$ $30$

R07.4 · R07.12 · R07.13

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$∠ A = 3 5^{\circ}$ , $∠ B = 8 5^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ . $6 0^{\circ}$
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 26$ , $A C = 24$ . Найдите $BC$ . $10$
$a = 5$ , $b = 8$ , $∠ C = 6 0^{\circ}$ . Найдите $c$ . $7$
$BC = 10$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите $R$ . $10$

Вариант 2

$∠ A = 7 2^{\circ}$ , $∠ C = 4 3^{\circ}$ . Найдите $∠ B$ . $6 5^{\circ}$
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A C = 15$ , $BC = 8$ . Найдите $A B$ . $17$
$a = 8$ , $b = 15$ , $∠ C = 6 0^{\circ}$ . Найдите $c$ . $13$
$A B = 9$ , $∠ C = 3 0^{\circ}$ . Найдите $R$ . $9$

рефлексия

Итог урока

Главное за урок

Прямоугольный

c^{2} = a^{2} + b^{2}

sin A = \frac{a}{c}

Любой треугольник

две стороны + угол
→ т. косинусов
сторона + угол
→ т. синусов

Площадь

S = \frac{1}{2} ab sin C

подобные:

k^{2}

Какой факт 7 класса сегодня понадобился в задачах 9 класса?

ДЗ

Домашнее задание

Потренируйтесь дома

Задачи

Стороны треугольника $5$ , $6$ , $9$ . Найдите косинус наибольшего угла.
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 17$ , $sin A = \frac{8}{17}$ . Найдите $A C$ .
$BC = 8$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ . Найдите радиус описанной окружности.

Тренажёр

Шпаргалка и итоговое повторение, 9 класс

reknow.ru/9/geometry/9_geometry_shpargalka.htm

reknow.ru/9/geometry/9_geometry_trigonometriya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9-062 · Обобщение и систематизация по теме «Повторение, обобщение, систематизация знаний»

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R07 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 7 ч · урок 1/7 · тип О (обобщение)
Единицы → слайды	R07.1 → 2–3, 15, 20, 23 · R07.2–R07.3 → 4–6 · R07.4 «Треугольники» → 5–8, 16, 18–19, 22 · R07.5 → 4 · R07.12 → 9–11, 17, 19, 22 · R07.13 → 11–15, 17–22 · R07.17, R07.21 (подобие) → 7–8, 17, 19 · R07.19–R07.20 (площадь) → 12, 19–21 · остальные единицы строки R07 — уроки 2–7
Результаты	ПР-1 (решение прямоугольных треугольников) → 9–10, 17, 19, 22 · ПР-2 (формулы приведения, тождество) → 4, 10–11, 19 · ПР-3 (теоремы синусов и косинусов) → 12–15, 17–22 · ПР-4 (подобие) → 7–8, 17, 19 · ПР-10 (модели задач из жизни) → 20
ОГЭ	линия 15 (треугольники) → 21; линии 15–16, 23–24 — в заданиях 13–16, 19–20
Вне урока	четырёхугольники и площади — GEOM9-063; окружность — GEOM9-064; далее по плану (сл. 3), может уточняться учителем
Формат	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %); «Образец → сам» — 6 (сл. 6, 8, 10, 13, 14, 16)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Повторение: треугольники и решение треугольников

Сегодня вы повторите и научитесь

Работать с треугольником

Решать прямоугольные треугольники

Решать любые треугольники

Выбирать метод

Семь уроков — весь курс 7–9 классов

1 · сегодня

2

3

4

5

6

7

Как работаем

Найдите x

параллельные прямые

внешний угол

Пифагор

равнобедренный

Три отрезка и три равенства

медиана BM

биссектриса BD

высота BH

Равнобедренный треугольник и внешний угол

Образец: в △ABC AB=BC, внешний угол при вершине C равен 125∘. Найдите ∠B.

Сам:

Одна таблица — шесть признаков

Параллельная прямая отсекает подобный треугольник

Образец: DE∥AC, BD=4, DA=2, AC=9. Найдите DE.

Сам: DE∥AC, D∈AB, E∈BC

Стороны и острый угол

По гипотенузе и синусу — оба катета

Образец: в △ABC ∠C=90∘, AB=15, sinA=0,6. Найдите BC и AC.

Сам: в △ABC ∠C=90∘

Синус и косинус любого угла треугольника

Теоремы косинусов и синусов, площадь

Две стороны и угол между ними → третья сторона

Образец: в △ABC AC=5, BC=8, ∠C=60∘. Найдите AB.

Сам:

Сторона и два угла → другая сторона и радиус

Образец: в △ABC ∠A=30∘, ∠B=45∘, BC=4. Найдите AC и R.

Сам:

Смотрим на данные — выбираем теорему

Медианы к боковым сторонам равны

Дано: AB=BC, AM и CN — медианы. Доказать: AM=CN.

Сам: AB=BC. Докажите, что равны…

Так нельзя

Синус и косинус перепутаны

Потерян знак косинуса: a=3, b=5, ∠C=120∘

Не та сторона в подобии

Где ошибся ученик?

а) BC=6, ∠A=30∘. Найдите R.

б) Стороны 4 и 6, угол между ними 30∘. Найдите S.

в) AB=A1​B1​, BC=B1​C1​, ∠A=∠A1​ ⇒ треугольники равны по двум сторонам и углу.

Решите и сверьте ответ

Связываем темы курса

Задача с кратким ответом

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Главное за урок

Прямоугольный

Любой треугольник

Площадь

Потренируйтесь дома

Задачи

Тренажёр

GEOM9-062 · Обобщение и систематизация по теме «Повторение, обобщение, систематизация знаний»

медиана $BM$

биссектриса $B D$

высота $B H$

Образец: в $△ A BC$ $A B = BC$ , внешний угол при вершине $C$ равен $12 5^{\circ}$ . Найдите $∠ B$ .

Образец: $D E ∥ A C$ , $B D = 4$ , $D A = 2$ , $A C = 9$ . Найдите $D E$ .

Сам: $D E ∥ A C$ , $D \in A B$ , $E \in BC$

Образец: в $△ A BC$ $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 15$ , $sin A = 0, 6$ . Найдите $BC$ и $A C$ .

Сам: в $△ A BC$ $∠ C = 9 0^{\circ}$

Образец: в $△ A BC$ $A C = 5$ , $BC = 8$ , $∠ C = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ .

Образец: в $△ A BC$ $∠ A = 3 0^{\circ}$ , $∠ B = 4 5^{\circ}$ , $BC = 4$ . Найдите $A C$ и $R$ .

Дано: $A B = BC$ , $A M$ и $CN$ — медианы. Доказать: $A M = CN$ .

Сам: $A B = BC$ . Докажите, что равны…

Потерян знак косинуса: $a = 3$ , $b = 5$ , $∠ C = 12 0^{\circ}$

а) $BC = 6$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите $R$ .

б) Стороны $4$ и $6$ , угол между ними $3 0^{\circ}$ . Найдите $S$ .

в) $A B = A_{1} B_{1}$ , $BC = B_{1} C_{1}$ , $∠ A = ∠ A_{1}$ ⇒ треугольники равны по двум сторонам и углу.