Движения плоскости · урок 6 из 6 · обобщение

Движения плоскости: обобщение и систематизация

Геометрия · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R06 · GEOM9-061

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R06 «Движения плоскости» (6 ч), урок 6/6, единицы R06.1 «Понятие о движении плоскости» и R06.2 «Параллельный перенос, поворот. Применение при решении задач». Тип — О (обобщение и систематизация): теория — только сводками, остальное — практика. До этого: уроки 056–057 (новый материал) и практикумы 058–060.
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Теория (12): сл. 1 титул 1 · 2 цели 1 · 4 сводка «движение» 2 · 6 сводка «четыре движения» 3 · 7 сводка «в координатах» 2,5 · 11 сводка «оси и центры симметрии» 2,5.
Практика (33): 3 разминка 2 · 5, 8, 9, 10, 12, 13 шесть «Образец → сам» по 2,5 · 14 ошибки 1,5 · 15 найди ошибку 2 · 16 база 2,5 · 17 повышенный 2 · 18 ОГЭ 2 · 19 самостоятельная 5 · 20 итог 1.
Если не успеваете: задания «сам» на сл. 13 и задачу 3 на сл. 17 — в ДЗ; самостоятельную (сл. 19) не сокращать — это проверка по всей теме.
Изображение на титуле: «вертушка» — один и тот же треугольник, повёрнутый вокруг центра на $9 0^{\circ}$ , $18 0^{\circ}$ и $27 0^{\circ}$ (фигура переходит в себя при повороте на $9 0^{\circ}$ ).

R06.1 · R06.2

Цели урока

Сегодня вы соберёте всю тему вместе

Называть свойства движений

расстояния и углы сохраняются, фигура переходит в равную (ПР-9)

Строить образы фигур

при симметриях, переносе и повороте — на клетках и в координатах (ПР-9, ПР-7)

Находить оси и центры симметрии

треугольников, четырёхугольников, правильных многоугольников, окружности (ПР-9)

Решать задачи движениями

доказательство, кратчайший путь, задания ОГЭ 18 и 19 (ПР-9, ПР-10)

1 мин · теория
ПР-9: «Находить оси (или центры) симметрии фигур, применять движения плоскости в простейших случаях». ПР-7: «Пользоваться методом координат на плоскости…». ПР-10: «строить математические модели для задач реальной жизни…».
Виды деятельности строки R06: разбирать примеры движений; формулировать определения параллельного переноса, поворота и осевой симметрии; выводить их свойства, находить неподвижные точки; находить центры и оси симметрий простейших фигур; применять перенос и симметрию при решении задач.

R06.1 · R06.2

Разминка · устно

Восемь вопросов по всей теме

Что сохраняет любое движение? расстояния
Во что движение переводит прямую? в прямую
Точка, симметричная $(2; 5)$ относительно $O x$ ? $(2; - 5)$
А относительно начала координат? $(- 2; - 5)$

Перенос на $a (1; 3)$ : образ точки $O (0; 0)$ ? $(1; 3)$
Неподвижные точки осевой симметрии? точки оси
Сколько осей симметрии у равностороннего треугольника? $3$
Центр симметрии окружности? её центр

R06.1

Сводка · понятие движения

Движение сохраняет расстояния

Движение — отображение плоскости на себя, при котором сохраняются расстояния: для любых точек

A

,

B

и их образов

A^{'} B^{'} = A B

.

отрезок → равный отрезок, прямая → прямая
угол → равный угол
треугольник → равный треугольник
любая фигура → равная ей фигура

2 мин · теория
Чертёж: $△ A BC$ (синий) и его образ $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ (розовый) при некотором движении. Одинаковые чёрточки — равные стороны, одинаковые дуги — равные углы: $A^{'} B^{'} = A B$ , $B^{'} C^{'} = BC$ , $C^{'} A^{'} = C A$ , $∠ A^{'} = ∠ A$ .
Вопросы классу: почему при движении угол переходит в равный? (треугольник переходит в равный по трём сторонам — III признак). Почему три точки одной прямой переходят в точки одной прямой? (если $A B + BC = A C$ , то и $A^{'} B^{'} + B^{'} C^{'} = A^{'} C^{'}$ ).
Обратно: равные фигуры можно совместить движением — поэтому в 7 классе равенство фигур определялось наложением.

R06.1

Образец → сам · свойства движения

Что известно об образе — без вычислений длин

Образец: движение переводит $△ A BC$ в $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ , $A B = 5$ , $∠ A = 7 5^{\circ}$ , $∠ B = 4 0^{\circ}$ . Найдите $A^{'} B^{'}$ , $∠ A^{'}$ и $∠ C^{'}$ .

$A^{'} B^{'} = A B = 5$ движение сохраняет расстояния
$∠ A^{'} = ∠ A = 7 5^{\circ}$ угол переходит в равный угол
$∠ C^{'} = ∠ C = 18 0^{\circ} - 7 5^{\circ} - 4 0^{\circ} = 6 5^{\circ}$ сумма углов треугольника

Сам

Движение переводит $A B$ в $A^{'} B^{'}$ , $A B = 9$ , $M$ — середина $A B$ . Где образ $M^{'}$ ? Найдите $A^{'} M^{'}$ . середина $A^{'} B^{'}$ ; $4, 5$
Движение переводит квадрат со стороной $3$ в фигуру $F$ . Площадь $F$ ? $9$
Могут ли три точки одной прямой перейти при движении в вершины треугольника? нет

2,5 мин · практика
Образец: на чертеже образ получен центральной симметрией, но ответ не зависит от вида движения — работают только свойства. Числа сходятся: $∠ C = 6 5^{\circ}$ , чертёж построен точно ( $A C = 5 sin 4 0^{\circ} : sin 6 5^{\circ} \approx 3, 55$ ).
Сам: 1) $A^{'} M^{'} = A M = 4, 5$ и $M^{'} B^{'} = MB = 4, 5$ , значит $M^{'}$ — середина $A^{'} B^{'}$ . 2) квадрат переходит в равный квадрат: $S = 3^{2} = 9$ . 3) нет: движение переводит прямую в прямую, образы трёх точек лежат на одной прямой.
Ошибка: в 2) отвечать «нельзя узнать, не зная движения» — площадь сохраняется при любом движении.

R06.1 · R06.2

Сводка · четыре вида движений

Чем задаётся движение и что остаётся на месте

Осевая симметрия

задаётся прямой $l$

$l ⊥ A A^{'}$ и делит $A A^{'}$ пополам

на месте: точки $l$

Центральная симметрия

задаётся точкой $O$

$O$ — середина $A A^{'}$

на месте: только $O$

Параллельный перенос

задаётся вектором $a$

$A A^{'} = a$ для каждой точки

на месте: никто ( $a \neq = 0$ )

Поворот

задаётся центром $O$ и углом $α$

$O A^{'} = O A$ , $∠ A O A^{'} = α$

на месте: только $O$ ( $α \neq = 0^{\circ}$ )

3 мин · теория
Каждую карточку класс проговаривает сам по вопросам: чем задаётся движение? как построить образ точки? какие точки остаются на месте (неподвижные)?
Связи: центральная симметрия — это поворот на $18 0^{\circ}$ ; поворот на $36 0^{\circ}$ и перенос на нулевой вектор оставляют на месте все точки. Розовый треугольник на каждом чертеже — образ синего, построен точно (перенос на один вектор, поворот на $7 0^{\circ}$ ).
Направление поворота: если не сказано иное, поворот на положительный угол — против часовой стрелки.

R06.1 · R06.2

Сводка · движения в координатах

Куда переходит точка $(x; y)$

Движение	Образ точки $(x; y)$
1 · симметрия относительно $O x$	$(x; - y)$
2 · симметрия относительно $O y$	$(- x; y)$
3 · симметрия относительно $O$	$(- x; - y)$
4 · поворот вокруг $O$ на $9 0^{\circ}$	$(- y; x)$
симметрия относительно $M (a; b)$	$(2 a - x; 2 b - y)$
перенос на $a (m; n)$	$(x + m; y + n)$

A (3; 1)

:

(3; - 1)

,

(- 3; 1)

,

(- 3; - 1)

,

(- 1; 3)

R06.1

Образец → сам · строим образ на клетках

Осевая симметрия: по клеткам до оси и столько же за ней

Образец: постройте образ $△ A BC$ при симметрии относительно прямой $l$ .

Сам

$A (0; 1)$ , $B (2; 3)$ . Образ отрезка $A B$ при симметрии относительно $M (3; 2)$ ? $A^{'} (6; 3)$ , $B^{'} (4; 1)$
Образы $C (2; - 3)$ при симметрии относительно $O x$ и $O y$ ? $(2; 3)$ и $(- 2; - 3)$
Относительно какой прямой симметричны $(1; 5)$ и $(7; 5)$ ? $x = 4$

2,5 мин · практика
Образец (по щелчкам — шаги и точки на чертеже): от $A$ до $l$ — 3 клетки по горизонтали, $A^{'}$ — ещё 3 клетки за $l$ ; от $B$ — 2 клетки, от $C$ — 1 клетка. Если сетку снабдить координатами ( $l$ : $x = 4$ ), то $A (1; 1) \to A^{'} (7; 1)$ , $B (2; 4) \to B^{'} (6; 4)$ , $C (3; 2) \to C^{'} (5; 2)$ .
Обратить внимание: обход вершин у образа меняется — $A BC$ против часовой стрелки, $A^{'} B^{'} C^{'}$ по часовой. Треугольники равны, но «зеркальны».
Сам: 1) $A^{'} = (2 \cdot 3 - 0; 2 \cdot 2 - 1) = (6; 3)$ , $B^{'} = (6 - 2; 4 - 3) = (4; 1)$ ; учащиеся строят в тетради. 2) $O x$ : $(2; 3)$ ; $O y$ : $(- 2; - 3)$ . 3) середина — $(4; 5)$ , отрезок горизонтальный, ось — вертикальная прямая $x = 4$ .

R06.2

Образец → сам · параллельный перенос

Сначала вектор переноса, потом образ

Образец: перенос переводит $A (- 1; 2)$ в $A^{'} (3; 4)$ . Найдите образ $B (2; - 3)$ и точку $C$ , которая переходит в $O (0; 0)$ .

$a = (3 - (- 1); 4 - 2) = (4; 2)$ из координат образа вычитаем координаты точки
$B^{'} = (2 + 4; - 3 + 2) = (6; - 1)$ $(x; y) \to (x + 4; y + 2)$
$C = (0 - 4; 0 - 2) = (- 4; - 2)$ обратная задача: вычитаем вектор

Сам

Перенос на $a (- 3; 1)$ . Образ точки $(5; 2)$ ? $(2; 3)$
Перенос переводит $(2; 2)$ в $(0; 5)$ . Вектор переноса? $(- 2; 3)$
Перенос переводит прямую $y = 2 x$ в прямую, проходящую через $(1; 5)$ . Её уравнение? $y = 2 x + 3$

R06.2

Образец → сам · поворот

Поворот правильного шестиугольника вокруг центра

Образец: $A BC D EF$ — правильный шестиугольник с центром $O$ . Поворот вокруг $O$ на $12 0^{\circ}$ против часовой стрелки. Куда перейдут $A$ и $△ O A B$ ?

$∠ A OB = 36 0^{\circ} : 6 = 6 0^{\circ}$ центральный угол правильного шестиугольника
$12 0^{\circ} = 2 \cdot 6 0^{\circ}$ : $A \to C$ , $B \to D$ каждая вершина сдвигается на две вершины; $OC = O A$
$△ O A B \to △OCD$ центр $O$ остаётся на месте

Сам

Поворот вокруг $O$ на $9 0^{\circ}$ против часовой стрелки. Образ $B (2; 5)$ ? $(- 5; 2)$
На какой угол повернуть шестиугольник вокруг $O$ , чтобы $B$ перешла в $E$ ? $18 0^{\circ}$
Наименьший угол поворота, переводящего правильный треугольник в себя? $12 0^{\circ}$

R06.1

Сводка · оси и центры симметрии фигур

Фигура переходит в себя

равнобедренный △

1 ось · центра нет

равносторонний △

3 оси · центра нет

параллелограмм

осей нет · центр

прямоугольник

2 оси · центр

ромб

2 оси · центр

квадрат

4 оси · центр

правильный шестиугольник

6 осей · центр

окружность

бесконечно много осей · центр

2,5 мин · теория
Ось симметрии фигуры — прямая, симметрия относительно которой переводит фигуру в себя; центр симметрии — точка, симметрия относительно которой переводит фигуру в себя. Розовый пунктир — оси, бирюзовая точка — центр.
Обобщение: у правильного $n$ -угольника $n$ осей; центр симметрии есть только при чётном $n$ (у правильного треугольника и пятиугольника — нет). Параллелограмм (не ромб и не прямоугольник) осей не имеет — диагонали не оси! Равнобедренная трапеция — 1 ось, центра нет.
Вопрос классу перед показом: закройте подписи — сколько осей у каждой фигуры?

R06.1 · R06.2

Образец → сам · доказательство с помощью симметрии

Центральная симметрия параллелограмма

Образец: $O$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма $A BC D$ . Прямая через $O$ пересекает $BC$ в $K$ , $A D$ — в $M$ . Докажите: $O K = OM$ .

симметрия относительно $O$ : $B \to D$ , $C \to A$ $O$ — середина диагоналей (свойство параллелограмма)
прямая $BC$ → прямая $D A$ ; прямая $K M$ → она самадвижение переводит прямую в прямую; $K M$ проходит через $O$
$K = BC \cap K M \to D A \cap K M = M$ ⇒ $OK = OM$ $O$ — середина отрезка $K M$

Сам: план и обоснования

Докажите: прямая через $O$ делит параллелограмм на две равные части. симметрия относительно $O$ переводит одну часть в другую
$A B = BC$ , $BM$ — медиана $△ A BC$ . Докажите симметрией: $∠ A = ∠ C$ . симметрия относительно $BM$ : $A \to C$ , $B \to B$

2,5 мин · практика
Образец: каждый шаг — вопрос «почему?». Шаг 2: образ прямой $BC$ — прямая через образы $D$ и $A$ , то есть $D A$ ; прямая через центр симметрии переходит в себя. Шаг 3: $K$ лежит на обеих прямых, значит её образ лежит на обоих образах — это точка $M$ . Тот же факт доказывается и равенством $△ BO K = △ D OM$ (II признак) — сравнить два способа.
Сам: 1) пусть прямая делит параллелограмм на части $F_{1}$ и $F_{2}$ ; симметрия относительно $O$ переводит параллелограмм в себя и прямую в себя, значит $F_{1} \to F_{2}$ , а фигуры, совмещаемые движением, равны. 2) медиана равнобедренного треугольника — высота, $BM ⊥ A C$ и $A M = MC$ , значит $BM$ — серединный перпендикуляр к $A C$ : симметрия относительно $BM$ переводит $A \to C$ , $B$ и $M$ — на месте; $∠ B A M \to ∠ BCM$ ⇒ углы равны.

R06.1 · ПР-10

Образец → сам · задача из жизни

Где поставить насос: кратчайший путь через симметрию

Образец: насос на берегу реки (ось $O x$ ) подаёт воду в дома $A (1; 2)$ и $B (7; 4)$ . Где поставить насос $M$ , чтобы длина труб $A M + MB$ была наименьшей?

$A^{'} (1; - 2)$ , $A M = A^{'} M$ симметрия относительно $O x$ — движение; $M$ на оси
$A M + MB = A^{'} M + MB \geq A^{'} B$ неравенство треугольника; равенство — если $M$ на отрезке $A^{'} B$
$A^{'} B$ : $y = x - 3$ , $M (3; 0)$ , $A^{'} B = 62 \approx 8, 49$ прямая через две точки, $y = 0$

Сам

Дома $A (1; 1)$ , $B (5; 3)$ , берег — ось $O x$ . Найдите $M$ и наименьшую длину. $M (2; 0)$ ; $42 \approx 5, 66$
Для образца найдите $A N + NB$ при $N (4; 0)$ и сравните с $62$ . $13 + 5 \approx 8, 61 > 8, 49$

R06.1 · R06.2

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
симметрия относительно $O x$ : $(x; y) \to (- x; y)$	меняется знак координаты «поперёк» оси $O x$ — это $y$	$(x; y) \to (x; - y)$
«диагонали параллелограмма — его оси симметрии»	при симметрии относительно $A C$ точка $B$ не переходит в $D$ : $B D \neq ⊥ A C$	осей нет (если не ромб); есть центр $O$
перенос $A (1; 2) \to A^{'} (4; 0)$ : $a (- 3; 2)$	из координат образа вычитают координаты точки, а не наоборот	$a (3; - 2)$
«у правильного треугольника есть центр симметрии»	при повороте на $18 0^{\circ}$ вершина переходит не в вершину	центра нет; в себя — поворот на $12 0^{\circ}$

R06.1 · R06.2

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $M (3; - 1)$ — центр симметрии, $A (1; 2)$ . Найдите $A^{'}$ и $A A^{'}$ .

Решение ученика

$A^{'} = (3 - 1; - 1 - 2) = (2; - 3)$
$A M = 2^{2} + 3^{2} = 13$
$A A^{'} = A M = 13$

Шаг 1: $M$ — середина $A A^{'}$ : $A^{'} (2 \cdot 3 - 1; 2 \cdot (- 1) - 2) = (5; - 4)$ . Шаг 3: $A A^{'} = 2 A M = 213$ .

б) Сколько осей симметрии у прямоугольника $A BC D$ ( $A B \neq = BC$ )? Есть ли центр?

Решение ученика

Оси — две прямые через середины противоположных сторон.
И ещё диагонали $A C$ и $B D$ — всего 4 оси.
Центр — точка пересечения диагоналей.

Шаг 2: диагональ — ось только у квадрата: при симметрии относительно $A C$ вершина $B$ не переходит в $D$ . Ответ: 2 оси, центр есть.

2 мин · практика
Сначала видны только решения ученика; 1 мин в парах — найти ошибки, затем открывать исправления.
а) Шаг 2 верный: $A M = (3 - 1)^{2} + (- 1 - 2)^{2} = 13$ . Ошибки — в шагах 1 и 3: ученик вычел координаты, как будто ищет вектор $A M$ ; верно $A^{'} (5; - 4)$ , проверка: середина $A A^{'}$ — $(\frac{1 + 5}{2}; \frac{2 - 4}{2}) = (3; - 1)$ ✓; $A A^{'} = 16 + 36 = 52 = 213$ .
б) Шаги 1 и 3 верны. Ошибка в шаге 2 — «на рисунке видно»: у прямоугольника диагонали не перпендикулярны, поэтому $A C$ не серединный перпендикуляр к $B D$ .

R06.1 · R06.2

Задания с самопроверкой · база

Решите и сверьте

базаОбраз $A (- 3; 5)$ при симметрии относительно $O y$ . $(3; 5)$
базаОбраз $A (- 3; 5)$ при симметрии относительно $O$ . $(3; - 5)$
базаПеренос на $a (2; - 4)$ : образ $B (1; 1)$ . $(3; - 3)$

базаСколько осей симметрии у квадрата? $4$
базаДвижение переводит отрезок длины $7$ в отрезок длины… $7$
базаНаименьший угол поворота правильного шестиугольника в себя? $6 0^{\circ}$

R06.1 · R06.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Точки $A (2; 3)$ и $A^{'} (6; - 1)$ симметричны относительно точки $M$ . Найдите $M$ . $M (4; 1)$
повыш.Точки $A (1; 4)$ и $A^{'} (5; 4)$ симметричны относительно прямой $l$ . Уравнение $l$ ? $x = 3$
повыш.Перенос переводит $A (- 1; 2)$ в $A^{'} (3; 0)$ . В какую линию перейдёт окружность $(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} = 4$ ? $(x - 5)^{2} + (y + 3)^{2} = 4$
из жизниУ колеса обозрения 12 кабинок на равных расстояниях. На какой угол повернётся колесо, когда кабинка 1 займёт место кабинки 4? $9 0^{\circ}$

R06.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 18 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 18На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ отмечены точки $A$ , $B$ и прямая $l$ . Найдите расстояние от $B$ до точки, симметричной $A$ относительно $l$ . $5$
ОГЭ 18По тому же рисунку найдите площадь треугольника $A A^{'} B$ . $12$
ОГЭ 19Укажите номера верных утверждений.
1) Параллелограмм имеет центр симметрии.
2) Любой равнобедренный треугольник имеет три оси симметрии.
3) При движении угол переходит в равный ему угол. 13

R06.1 · R06.2

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Симметрия относительно $O x$ : образ $A (4; - 2)$ . $(4; 2)$
Симметрия относительно $M (1; 1)$ : образ $A (4; - 2)$ . $(- 2; 4)$
Перенос: $P (0; 3) \to P^{'} (2; 1)$ . Образ $B (5; 5)$ ? $(7; 3)$
Оси и центр симметрии ромба (не квадрата)? 2 оси; центр есть

Вариант 2

Симметрия относительно $O y$ : образ $B (- 5; 3)$ . $(5; 3)$
Симметрия относительно $M (2; - 1)$ : образ $C (3; 4)$ . $(1; - 6)$
Перенос: $P (1; 1) \to P^{'} (- 2; 4)$ . Образ $B (2; 0)$ ? $(- 1; 3)$
Оси и центр симметрии равнобедренной трапеции? 1 ось; центра нет

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чем задаётся каждое из четырёх движений?
Какие точки остаются на месте при повороте? при переносе?
Как найти образ точки при симметрии относительно точки $M$ ?

Домашнее задание

Найдите образы $A (- 2; 5)$ при симметриях относительно $O x$ , $O y$ , $O$ и при повороте вокруг $O$ на $9 0^{\circ}$ .
$A (2; 3)$ , $B (8; 1)$ . Найдите на оси $O x$ точку $M$ с наименьшей суммой $A M + MB$ .
* Докажите, что у правильного шестиугольника есть центр симметрии.
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_dvizheniya.htm

1 мин · практика (рефлексия, запись ДЗ)
Ответы ДЗ: 1) $O x$ : $(- 2; - 5)$ ; $O y$ : $(2; 5)$ ; $O$ : $(2; - 5)$ ; поворот на $9 0^{\circ}$ против часовой: $(- 5; - 2)$ . 2) $A^{'} (2; - 3)$ ; прямая $A^{'} B$ : $k = \frac{1 + 3}{8 - 2} = \frac{2}{3}$ , $y = \frac{2}{3} x - \frac{13}{3}$ ; при $y = 0$ : $x = 6, 5$ — $M (6, 5; 0)$ , наименьшая сумма $A^{'} B = 36 + 16 = 213 \approx 7, 21$ . 3) поворот вокруг центра на $18 0^{\circ} = 3 \cdot 6 0^{\circ}$ переводит каждую вершину в противоположную, шестиугольник — в себя; поворот на $18 0^{\circ}$ — центральная симметрия.
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_dvizheniya.htm. Следующий урок — GEOM9-062 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (строка R07).

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9-061 · Обобщение и систематизация по теме «Движения плоскости»

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R06 «Движения плоскости», 6 ч · урок 6/6 · тип О (обобщение и систематизация)
Единицы → слайды	R06.1 «Понятие о движении плоскости» → 3–8, 11–19 · R06.2 «Параллельный перенос, поворот. Применение при решении задач» → 3, 6, 7, 9, 10, 12, 14–17, 19
Результаты	ПР-9 (оси и центры симметрии, движения в простейших случаях) → 2–20 · ПР-7 (метод координат) → 7–9, 13, 16–19 · ПР-10 (модели реальных задач) → 13, 17
Виды деятельности	«примеры, иллюстрирующие понятия движения» → 4, 5 · «определения переноса, поворота, осевой симметрии» → 6 · «свойства, неподвижные точки» → 4, 6 · «центры и оси симметрий простейших фигур» → 11, 15, 16, 19 · «применять перенос и симметрию при решении задач» → 9, 12, 13, 17, 18
ОГЭ	линия 18 (клетчатая бумага), 19 (верные утверждения) → 18
Вне урока	цифровые ресурсы для построений — в практикумах GEOM9-058–060 · итоговое повторение — GEOM9-062 (R07)
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Движения плоскости: обобщение и систематизация

Сегодня вы соберёте всю тему вместе

Называть свойства движений

Строить образы фигур

Находить оси и центры симметрии

Решать задачи движениями

Восемь вопросов по всей теме

Движение сохраняет расстояния

Что известно об образе — без вычислений длин

Образец: движение переводит △ABC в △A′B′C′, AB=5, ∠A=75∘, ∠B=40∘. Найдите A′B′, ∠A′ и ∠C′.

Сам

Чем задаётся движение и что остаётся на месте

Осевая симметрия

Центральная симметрия

Параллельный перенос

Поворот

Куда переходит точка (x;y)

Осевая симметрия: по клеткам до оси и столько же за ней

Образец: постройте образ △ABC при симметрии относительно прямой l.

Сам

Сначала вектор переноса, потом образ

Образец: перенос переводит A(−1;2) в A′(3;4). Найдите образ B(2;−3) и точку C, которая переходит в O(0;0).

Сам

Поворот правильного шестиугольника вокруг центра

Образец: ABCDEF — правильный шестиугольник с центром O. Поворот вокруг O на 120∘ против часовой стрелки. Куда перейдут A и △OAB?

Сам

Фигура переходит в себя

равнобедренный △

равносторонний △

параллелограмм

прямоугольник

ромб

квадрат

правильный шестиугольник

окружность

Центральная симметрия параллелограмма

Образец: O — точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Прямая через O пересекает BC в K, AD — в M. Докажите: OK=OM.

Сам: план и обоснования

Где поставить насос: кратчайший путь через симметрию

Образец: насос на берегу реки (ось Ox) подаёт воду в дома A(1;2) и B(7;4). Где поставить насос M, чтобы длина труб AM+MB была наименьшей?

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) M(3;−1) — центр симметрии, A(1;2). Найдите A′ и AA′.

Решение ученика

б) Сколько осей симметрии у прямоугольника ABCD (AB=BC)? Есть ли центр?

Решение ученика

Решите и сверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9-061 · Обобщение и систематизация по теме «Движения плоскости»

Образец: движение переводит $△ A BC$ в $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ , $A B = 5$ , $∠ A = 7 5^{\circ}$ , $∠ B = 4 0^{\circ}$ . Найдите $A^{'} B^{'}$ , $∠ A^{'}$ и $∠ C^{'}$ .

Куда переходит точка $(x; y)$

Образец: постройте образ $△ A BC$ при симметрии относительно прямой $l$ .

Образец: перенос переводит $A (- 1; 2)$ в $A^{'} (3; 4)$ . Найдите образ $B (2; - 3)$ и точку $C$ , которая переходит в $O (0; 0)$ .

Образец: $A BC D EF$ — правильный шестиугольник с центром $O$ . Поворот вокруг $O$ на $12 0^{\circ}$ против часовой стрелки. Куда перейдут $A$ и $△ O A B$ ?

Образец: $O$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма $A BC D$ . Прямая через $O$ пересекает $BC$ в $K$ , $A D$ — в $M$ . Докажите: $O K = OM$ .

Образец: насос на берегу реки (ось $O x$ ) подаёт воду в дома $A (1; 2)$ и $B (7; 4)$ . Где поставить насос $M$ , чтобы длина труб $A M + MB$ была наименьшей?

а) $M (3; - 1)$ — центр симметрии, $A (1; 2)$ . Найдите $A^{'}$ и $A A^{'}$ .

б) Сколько осей симметрии у прямоугольника $A BC D$ ( $A B \neq = BC$ )? Есть ли центр?