Движения плоскости · урок 5 из 6 · практикум

Практикум: понятие о движении плоскости

Геометрия · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R06 · GEOM9-060

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R06 «Движения плоскости» (6 ч), урок 5/6, единица R06.1 «Понятие о движении плоскости». Тип урока — П (второй практикум по единице): после GEOM9-058 — новые типы задач: композиции симметрий, обратные задачи, образы окружности и прямой, доказательство и кратчайший путь с помощью симметрии.
Теория (12,5): титул 1 · цели 0,5 · сводка 2,5 · доказательство 3 · оси и центры 2 · демонстрационный пример 3,5.
Практика (32,5): разминка 3 · образцы → сам 2,5 × 5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2 · из жизни 1,5 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: задачи 3–4 повышенного уровня — в ДЗ; самостоятельную не сокращать.

R06.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь уверенно

Строить образы в координатах

при симметриях и их композициях

Решать обратные задачи

находить центр и ось симметрии по точке и её образу

Находить оси и центры

симметрии фигур и образы окружности и прямой

Применять симметрию

в доказательствах и задаче о кратчайшем пути

повторение: R06.1

Разминка · устно

Шесть быстрых вопросов

Координаты точки $A$ на рисунке? $A (3; - 2)$
Точка, симметричная $A$ относительно оси $O x$ ? $(3; 2)$
Относительно оси $O y$ ? $(- 3; - 2)$
Относительно начала координат? $(- 3; 2)$
Сколько осей симметрии у прямоугольника, не являющегося квадратом? $2$
Сколько неподвижных точек у центральной симметрии? одна — центр

R06.1 · сводка

Сводка правил

Всё, что нужно на практикуме

Что	Правило
Движение	преобразование плоскости, сохраняющее расстояния: $A^{'} B^{'} = A B$
Свойства	отрезок → равный отрезок, прямая → прямая, угол → равный угол, фигура → равная фигура
Оси координат	$O x$ : $(x; y) \to (x; - y)$ , $O y$ : $(x; y) \to (- x; y)$
Прямые $x = c$ , $y = x$	$x = c$ : $(x; y) \to (2 c - x; y)$ , $y = x$ : $(x; y) \to (y; x)$
Центр $M (a; b)$	$(x; y) \to (2 a - x; 2 b - y)$ ; центр $O$ : $(x; y) \to (- x; - y)$
Неподвижные точки	осевая симметрия — все точки оси; центральная — только центр

R06.1 · повторение

Повторение · центральная симметрия — движение

Почему $A^{'} B^{'} = A B$

Дано:

A \to A^{'}

,

B \to B^{'}

при симметрии с центром

O

. Доказать:

A^{'} B^{'} = A B

.

1

O A = O A^{'}

,

OB = O B^{'}

O

— середина

A A^{'}

и

B B^{'}

(определение)

2

∠ A OB = ∠ A^{'} O B^{'}

вертикальные углы

3

△ A OB

=

△ A^{'} O B^{'}

первый признак: две стороны и угол между ними

4

A^{'} B^{'}

=

A B

— расстояния сохраняютсязначит, центральная симметрия — движение

R06.1 · сводка

Сводка · оси и центры симметрии фигур

Правильный $n$ -угольник: $n$ осей, центр — при чётном $n$

Равнобедренный треугольник

1 ось · центра нет

Равносторонний треугольник

3 оси · центра нет

Параллелограмм

осей нет · центр есть

Прямоугольник

2 оси · центр есть

Ромб

2 оси · центр есть

Квадрат

4 оси · центр есть

Равнобедренная трапеция

1 ось · центра нет

Правильный шестиугольник

6 осей · центр есть

2 мин · теория
Розовый пунктир — оси симметрии, бирюзовая точка — центр симметрии. Ученики сначала называют сами, затем сверяются с подписью.
Параллелограмм общего вида: осей нет (отражение относительно диагонали не переводит вершины в вершины), центр — точка пересечения диагоналей.
Правильный $n$ -угольник: $n$ осей; при чётном $n$ — ещё и центр симметрии (шестиугольник), при нечётном — нет (треугольник, пятиугольник). Окружность — бесконечно много осей (любой диаметр) и центр.

R06.1

Образец → сам · композиция симметрий

Две осевые симметрии подряд

Образец: точку $A (2; 5)$ отразили относительно оси $O x$ , а образ — относительно оси $O y$ . Найдите итоговую точку $A_{2}$ . Какой одной симметрией её можно получить?

$A_{1} (2; - 5)$ $O x$ : меняет знак ордината

$A_{2} (- 2; - 5)$ $O y$ : меняет знак абсцисса

$A_{2}$ симметрична $A$ относительно точки $O$ обе координаты сменили знак

Сам

$B (- 3; 1)$ : сначала $O y$ , потом $O x$ . $(3; - 1)$
$C (4; - 2)$ : дважды относительно $O x$ . $(4; - 2)$ — сама $C$
$D (1; 6)$ : сначала $y = x$ , потом $O x$ . $(6; - 1)$

R06.1

Образец → сам · центр и ось по точке и образу

Обратная задача: центр — середина $A A^{'}$

Образец: точка $A^{'} (5; - 2)$ симметрична точке $A (- 1; 4)$ относительно точки $M$ . Найдите координаты $M$ .

$M$ — середина $A A^{'}$ определение центральной симметрии

$x_{M} = \frac{- 1 + 5}{2} = 2$ $y_{M} = \frac{4 + ( - 2 )}{2} = 1$ координаты середины отрезка

$M (2; 1)$ проверка: $2 \cdot 2 - (- 1) = 5$ ✓

Сам

$B$ симметрична $A (1; 3)$ относительно $M (4; - 1)$ . Найдите $B$ . $B (7; - 5)$
$A (2; 7)$ и $A^{'} (2; - 3)$ симметричны относительно прямой. Её уравнение? $y = 2$
$A (- 4; 1)$ и $A^{'} (6; 1)$ симметричны относительно прямой. Её уравнение? $x = 1$

R06.1

Образец → сам · образ окружности и прямой

Движение переносит центр, радиус сохраняет

Образец: окружность $(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 9$ отразили относительно оси $O y$ . Запишите уравнение образа.

$C (2; - 1)$ , $r = 3$ из уравнения окружности

$C^{'} (- 2; - 1)$ , $r^{'} = 3$ $O y$ : $x \to - x$ ; движение сохраняет радиус

$(x + 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 9$ окружность → равная окружность

Сам

$(x - 1)^{2} + (y - 3)^{2} = 4$ относительно $O x$ . $(x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} = 4$
$x^{2} + (y - 5)^{2} = 1$ относительно точки $O$ . $x^{2} + (y + 5)^{2} = 1$
Прямая $y = x + 3$ относительно $O y$ . $y = - x + 3$

R06.1

Образец → сам · доказательство с помощью симметрии

Симметрия переводит отрезок в равный отрезок

Образец: в $△ A BC$ $A B = A C$ , $BM$ и $CN$ — медианы. Докажите, что $BM = CN$ .

Ось $l$ — серединный перпендикуляр к $BC$ : $B \leftrightarrow C$ , $A \to A$ $A \in l$ , так как $A B = A C$

$A C \to A B$ , середина $M \to N$ движение переводит середину в середину

$BM$ $\to$ $CN$ , значит, $BM = CN$ движение сохраняет длины

Сам: назовите движение

Диагонали равнобедренной трапеции равны. ось — через середины оснований
Прямая через центр параллелограмма делит его на две равные части. симметрия с центром $O$
Отрезки касательных из точки $P$ к окружности равны. ось — прямая $PO$

2,5 мин · практика
Образец: $A$ равноудалена от $B$ и $C$ , поэтому лежит на серединном перпендикуляре $l$ к $BC$ . При симметрии относительно $l$ : $B \to C$ , $C \to B$ , $A \to A$ , отрезок $A C \to A B$ , его середина $M \to$ середина $N$ отрезка $A B$ , медиана $BM \to CN$ . Движение сохраняет длины ⇒ $BM = CN$ .
1) Ось трапеции переводит $A \leftrightarrow D$ , $B \leftrightarrow C$ , диагональ $A C \to D B$ . 2) Центральная симметрия переводит параллелограмм в себя, а одну часть — в другую. 3) При симметрии относительно $PO$ окружность переходит в себя, касательная $P A$ — в касательную $PB$ , $A \to B$ .
Сильным: записать доказательство 1 полностью, как в образце.

R06.1 · демонстрация

Демонстрационный пример · учитель решает

Кратчайший путь: задача Герона

Дано: деревни

A (0; 3)

,

B (6; 1)

, дорога — ось

O x

. Найти: точку

M

на дороге, где

A M + MB

наименьшая.

1

B^{'} (6; - 1)

,

MB = M B^{'}

симметрия относительно

O x

;

M

на оси — неподвижна

2

A M + MB = A M + M B^{'} \geq A B^{'}

неравенство треугольника; равенство, если

M \in A B^{'}

3

A B^{'}

:

y = 3 - \frac{2}{3} x

,

y = 0

:

M (4, 5; 0)

уравнение прямой через

A

и

B^{'}

4

A B^{'} = 6^{2} + 4^{2} = 213 \approx 7, 2

наименьшая сумма

R06.1

Образец → сам · две симметрии с параллельными осями

Две симметрии дают сдвиг на удвоенное расстояние

Образец: точку $A (1; 2)$ отразили относительно прямой $x = 3$ , затем относительно прямой $x = 7$ . Найдите образ и сравните с $A$ .

$A_{1} (5; 2)$ $x^{'} = 2 \cdot 3 - 1$

$A_{2} (9; 2)$ $x^{''} = 2 \cdot 7 - 5$

сдвиг на $8 = 2 \cdot (7 - 3)$ вдоль $O x$ , для любой точки

Сам

$B (- 2; 4)$ : относительно $y = 1$ , затем $y = 3$ . $(- 2; 8)$
$C (0; 0)$ : относительно $x = - 1$ , затем $x = 2$ . $(6; 0)$
После $x = 2$ и $x = 5$ получилась $(10; 3)$ . Исходная точка? $(4; 3)$

R06.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
относительно $O x$ : $(3; - 2) \to (- 3; - 2)$	знак сменили не у той координаты	$(3; 2)$
относительно $M (1; 2)$ : $(4; 5) \to (- 4; - 5)$	$(- x; - y)$ — только для центра $O$	$(2 - 4; 4 - 5) = (- 2; - 1)$
диагональ параллелограмма — его ось симметрии	вершины не переходят в вершины	осей нет, есть центр
у правильного пятиугольника есть центр симметрии	$n = 5$ — нечётное	$5$ осей, центра нет

R06.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Точка, симметричная $A (- 2; 3)$ относительно прямой $y = x$ .

Меняем координаты местами и знаки:

$(- 3; 2)$

только местами:
$(3; - 2)$

б) Точка, симметричная $A (1; 4)$ относительно прямой $x = 3$ .

Абсцисса меняет знак:

$(- 1; 4)$

$- x$ — только для $O y$ ;
$x^{'} = 2 \cdot 3 - 1 = 5$ : $(5; 4)$

в) Сколько осей симметрии у равнобедренного треугольника с углом $4 0^{\circ}$ при вершине?

Три — по одной на каждую медиану.

одна — медиана к основанию;
три — только у равностороннего

R06.1

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаТочка, симметричная $(- 4; 7)$ относительно $O y$ ? $(4; 7)$
базаТочка, симметричная $(5; - 3)$ относительно точки $O$ ? $(- 5; 3)$
базаСколько осей симметрии у ромба, не являющегося квадратом? $2$

базаСколько осей симметрии у правильного шестиугольника? $6$
базаТочка, симметричная $(2; - 6)$ относительно прямой $y = x$ ? $(- 6; 2)$
базаЦентр симметрии отрезка $A B$ : $A (- 3; 8)$ , $B (5; 2)$ ? $(1; 5)$

R06.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Точку $A (3; - 1)$ отразили относительно прямой $y = 2$ . Найдите координаты образа. $(3; 5)$
повыш.Окружность $x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y = 3$ отразили относительно начала координат. Запишите уравнение образа. $(x + 3)^{2} + (y - 2)^{2} = 16$
повыш. $A (1; 3)$ , $B (4; 1)$ , точка $M$ — на оси $O x$ . Найдите наименьшее значение $A M + MB$ . $5$
повыш.Прямую $y = 2 x - 4$ отразили относительно начала координат. Запишите уравнение образа. $y = 2 x + 4$

R06.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 18 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 18Клетки $1 \times 1$ . Найдите расстояние от $A$ до её образа при симметрии относительно прямой $l$ . $6$
ОГЭ 18Найдите площадь треугольника, симметричного $A BC$ относительно $l$ . $7$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Квадрат имеет четыре оси симметрии.
Любой параллелограмм имеет ось симметрии.
При движении отрезок переходит в равный отрезок.

Ответ: 13

R06.1 · из жизни

Задача из жизни · бильярд и зеркало

Угол падения равен углу отражения

из жизниШар $A$ должен отскочить от борта и попасть в шар $B$ . В какую точку борта целиться, отсчитав от левого угла стола? $5$ дм
из жизниКакой путь пройдёт шар до шара $B$ ? $35 \approx 6, 7$ дм
из жизниЧеловек стоит в $1, 5$ м от зеркала. На каком расстоянии от себя он видит своё отражение? $3$ м

R06.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Точка, симметричная $(- 2; 5)$ относительно $O x$ ? $(- 2; - 5)$
Точка, симметричная $(3; - 4)$ относительно $M (1; 1)$ ? $(- 1; 6)$
Оси и центр симметрии прямоугольника (не квадрата)? $2$ оси, центр есть
Образ $(x - 4)^{2} + (y - 1)^{2} = 25$ относительно $O y$ ? $(x + 4)^{2} + (y - 1)^{2} = 25$

Вариант 2

Точка, симметричная $(6; - 1)$ относительно $O y$ ? $(- 6; - 1)$
Точка, симметричная $(- 2; 3)$ относительно $M (2; - 1)$ ? $(6; - 5)$
Оси и центр симметрии равностороннего треугольника? $3$ оси, центра нет
Образ $(x + 1)^{2} + (y - 3)^{2} = 16$ относительно $O x$ ? $(x + 1)^{2} + (y + 3)^{2} = 16$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что сохраняет любое движение?
Как найти центр симметрии по точке и её образу?
Зачем в задаче о кратчайшем пути отражать точку?

Домашнее задание

Точка, симметричная $(5; - 2)$ относительно $x = 1$ .
Образ $(x + 2)^{2} + (y - 4)^{2} = 9$ относительно $y = x$ .
* $A (0; 4)$ , $B (8; 2)$ , $M \in O x$ : наименьшее $A M + MB$ .
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_dvizheniya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9-060 · Практикум: понятие о движении плоскости

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R06 «Движения плоскости», 6 ч · урок 5/6 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R06.1 «Понятие о движении плоскости» → 2–20
Результаты	ПР-9 → 2–20 · ПР-7 (метод координат) → 3, 4, 7–9, 12 · ПР-10 (модель реальной задачи) → 18
Виды деятельности	«Разбирать примеры, иллюстрирующие понятия движения» → 4, 5, 7 · «находить неподвижные точки» → 3, 4 · «Находить центры и оси симметрий простейших фигур» → 6, 14, 15 · «Применять… симметрию при решении геометрических задач» → 10–12, 16, 18
ОГЭ	линия 18 → 17 (задачи 1–2) · линия 19 → 17
Вне урока	параллельный перенос и поворот — GEOM9-057, GEOM9-059 (R06.2); обобщение — GEOM9-061
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: понятие о движении плоскости

Сегодня вы научитесь уверенно

Строить образы в координатах

Решать обратные задачи

Находить оси и центры

Применять симметрию

Шесть быстрых вопросов

Всё, что нужно на практикуме

Почему A′B′=AB

Правильный n-угольник: n осей, центр — при чётном n

Равнобедренный треугольник

Равносторонний треугольник

Параллелограмм

Прямоугольник

Ромб

Квадрат

Равнобедренная трапеция

Правильный шестиугольник

Две осевые симметрии подряд

Образец: точку A(2;5) отразили относительно оси Ox, а образ — относительно оси Oy. Найдите итоговую точку A2​. Какой одной симметрией её можно получить?

Сам

Обратная задача: центр — середина AA′

Образец: точка A′(5;−2) симметрична точке A(−1;4) относительно точки M. Найдите координаты M.

Сам

Движение переносит центр, радиус сохраняет

Образец: окружность (x−2)2+(y+1)2=9 отразили относительно оси Oy. Запишите уравнение образа.

Сам

Симметрия переводит отрезок в равный отрезок

Образец: в △ABC AB=AC, BM и CN — медианы. Докажите, что BM=CN.

Сам: назовите движение

Кратчайший путь: задача Герона

Две симметрии дают сдвиг на удвоенное расстояние

Образец: точку A(1;2) отразили относительно прямой x=3, затем относительно прямой x=7. Найдите образ и сравните с A.

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Точка, симметричная A(−2;3) относительно прямой y=x.

б) Точка, симметричная A(1;4) относительно прямой x=3.

в) Сколько осей симметрии у равнобедренного треугольника с углом 40∘ при вершине?

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Угол падения равен углу отражения

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9-060 · Практикум: понятие о движении плоскости

Почему $A^{'} B^{'} = A B$

Правильный $n$ -угольник: $n$ осей, центр — при чётном $n$

Образец: точку $A (2; 5)$ отразили относительно оси $O x$ , а образ — относительно оси $O y$ . Найдите итоговую точку $A_{2}$ . Какой одной симметрией её можно получить?

Обратная задача: центр — середина $A A^{'}$

Образец: точка $A^{'} (5; - 2)$ симметрична точке $A (- 1; 4)$ относительно точки $M$ . Найдите координаты $M$ .

Образец: окружность $(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 9$ отразили относительно оси $O y$ . Запишите уравнение образа.

Образец: в $△ A BC$ $A B = A C$ , $BM$ и $CN$ — медианы. Докажите, что $BM = CN$ .

Образец: точку $A (1; 2)$ отразили относительно прямой $x = 3$ , затем относительно прямой $x = 7$ . Найдите образ и сравните с $A$ .

а) Точка, симметричная $A (- 2; 3)$ относительно прямой $y = x$ .

б) Точка, симметричная $A (1; 4)$ относительно прямой $x = 3$ .

в) Сколько осей симметрии у равнобедренного треугольника с углом $4 0^{\circ}$ при вершине?