Движения плоскости · урок 4 из 6 · практикум

Практикум: параллельный перенос и поворот

Геометрия · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R06 · GEOM9-059

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R06 «Движения плоскости» (6 ч), урок 4/6, единица R06.2 «Параллельный перенос, поворот. Применение при решении задач». Тип урока — П (практикум): новой теории нет — сводка правил, схема выбора движения, демонстрационный пример и много практики.
Теория (13): титул 1 · цели 0,5 · сводка 2,5 · как построить образ 3 · какое движение выбрать 2,5 · демонстрационный пример 3,5.
Практика (32): разминка 3 · образцы → сам 2,5 × 5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2 · из жизни 1 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: задачи 3–4 повышенного уровня — в ДЗ; самостоятельную не сокращать.

R06.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь уверенно

Строить образы

фигур при параллельном переносе и повороте

Находить координаты

образа: перенос на $a (m; n)$ , поворот на $9 0^{\circ}$ и $18 0^{\circ}$

Применять движения

в задачах: трапеция, квадрат, кратчайший путь

Решать задачи ОГЭ

на клетчатой бумаге и на верные утверждения

повторение: R06.1 · R06.2

Разминка · устно

Шесть быстрых вопросов

Точку $(2; 3)$ перенесли на вектор $a (1; 4)$ . Куда? $(3; 7)$
Отрезок длины $6$ перенесли. Длина образа? $6$
Сколько неподвижных точек у поворота на $9 0^{\circ}$ ? одна — центр
Есть ли неподвижные точки у переноса на ненулевой вектор? нет
Точку $(5; 0)$ повернули вокруг $O$ на $9 0^{\circ}$ против часовой стрелки. $(0; 5)$
Угол $4 0^{\circ}$ повернули. Его величина? $4 0^{\circ}$

R06.1 · R06.2 · сводка

Сводка правил

Всё, что нужно на практикуме

Что	Правило
Движение	сохраняет расстояния: отрезок → равный отрезок, угол → равный угол, фигура → равная
Перенос на $a$	$M M^{'} = a$ для каждой точки; прямая → параллельная (или та же)
Перенос в координатах	$a (m; n)$ : $(x; y) \to (x + m; y + n)$
Поворот на $φ$ вокруг $O$	$O M^{'} = OM$ , $∠ MO M^{'} = φ$ ; неподвижна только точка $O$
Поворот вокруг $O (0; 0)$	на $9 0^{\circ}$ против часовой: $(x; y) \to (- y; x)$ ; на $18 0^{\circ}$ : $(x; y) \to (- x; - y)$
Поворот на $18 0^{\circ}$	это центральная симметрия: $O$ — середина $M M^{'}$

R06.2 · сводка

Сводка · как построить образ

Перенос и поворот по шагам

Параллельный перенос на $a$

от каждой вершины откладываем $a$
$A A^{'} = B B^{'} = C C^{'}$ , $A A^{'} ∥ B B^{'} ∥ C C^{'}$

Поворот вокруг $O$ на $9 0^{\circ}$

$O A^{'} = O A$ , $∠ A O A^{'} = 9 0^{\circ}$
так же — для $B$ и $C$ , в ту же сторону

R06.2 · применение

Сводка · какое движение выбрать

Движение собирает данные в один треугольник

Видим в задаче	Движение	Что получаем
трапеция, даны диагонали	перенос диагонали на $BC$	треугольник: стороны $d_{1}$ , $d_{2}$ , $a + b$
квадрат	поворот на $9 0^{\circ}$ вокруг центра	отрезок → равный и перпендикулярный
правильный треугольник	поворот на $12 0^{\circ}$ вокруг центра	отрезок → равный, угол между ними $12 0^{\circ}$
середина, параллелограмм	поворот на $18 0^{\circ}$	центральная симметрия
кратчайший путь через «полосу»	перенос на ширину полосы	путь → отрезок прямой

R06.2

Образец → сам · перенос в координатах

К координатам прибавляем координаты вектора

Образец: постройте образ $△ A BC$ , $A (1; 2)$ , $B (4; 1)$ , $C (2; 5)$ , при переносе на $a (4; - 3)$ .

$(x; y) \to (x + 4; y - 3)$ правило переноса на $a (4; - 3)$

$A^{'} (5; - 1)$ , $B^{'} (8; - 2)$ $1 + 4 = 5$ , $2 - 3 = - 1$ ; $4 + 4$ , $1 - 3$

$C^{'} (6; 2)$ — соединяем $△ A^{'} B^{'} C^{'} = △ A BC$

Сам

Точку $(- 2; 5)$ перенесли на $a (4; - 1)$ . Образ? $(2; 4)$
$M (1; 3) \to M^{'} (- 2; 7)$ . Найдите вектор. $a (- 3; 4)$
Перенос: $A (2; 1) \to A^{'} (5; - 1)$ . Образ $B (0; 4)$ ? $(3; 2)$

R06.2

Образец → сам · поворот вокруг начала координат

Катеты меняются местами

Образец: $A (3; 1)$ . Найдите образ $A$ при повороте вокруг $O (0; 0)$ на $9 0^{\circ}$ против часовой стрелки и на $18 0^{\circ}$ .

катеты $3$ и $1$ → вдоль $O y$ и $O x$ прямоугольный треугольник поворачивается целиком

$A^{'} (- 1; 3)$ на $9 0^{\circ}$ : $(x; y) \to (- y; x)$

$A^{''} (- 3; - 1)$ на $18 0^{\circ}$ : $O$ — середина $A A^{''}$

Сам

$B (2; - 4)$ , поворот на $9 0^{\circ}$ против часовой. Образ? $(4; 2)$
$C (- 3; 5)$ , поворот на $18 0^{\circ}$ . Образ? $(3; - 5)$
$D (0; 6)$ , поворот на $9 0^{\circ}$ по часовой. Образ? $(6; 0)$

R06.2

Образец → сам · поворот и расстояние $A A^{'}$

Треугольник $O A A^{'}$ — равнобедренный

Образец: при повороте вокруг $O$ на $6 0^{\circ}$ точка $A$ перешла в $A^{'}$ , $O A = 5$ . Найдите $A A^{'}$ .

$O A^{'} = O A = 5$ определение поворота

$∠ A O A^{'} = 6 0^{\circ}$ угол поворота

$△ O A A^{'}$ равносторонний: $A A^{'} = 5$ равнобедренный с углом $6 0^{\circ}$ при вершине

Сам

Поворот на $9 0^{\circ}$ , $O A = 4$ . $A A^{'}$ ? $42$
Поворот на $18 0^{\circ}$ , $O A = 7$ . $A A^{'}$ ? $14$
Поворот на $12 0^{\circ}$ , $O A = 2$ . $A A^{'}$ ? $23$

R06.2 · демонстрация

Демонстрационный пример · учитель решает

Задача о мосте: где строить?

Деревни $A$ и $B$ — по разные стороны реки. Мост $MN$ строят перпендикулярно берегам. Где его поставить, чтобы путь $A MNB$ был кратчайшим?

1

MN = h

— ширина реки, не меняетсязначит, минимизируем

A M + NB

2Перенос на

h = MN

:

A \to A^{'}

,

A M = A^{'} N

A MN A^{'}

— параллелограмм

3

A M + NB = A^{'} N + NB \geq A^{'} B

неравенство треугольника

4

N

— точка пересечения

A^{'} B

с дальним берегомтогда

A^{'} N + NB = A^{'} B

— меньше нельзя

3,5 мин · теория (учитель решает у доски, класс записывает план)
Идея: «вырезать» реку переносом. После переноса точки $A$ на ширину реки путь $A^{'} N + NB$ — ломаная из двух звеньев, а кратчайшая ломаная между $A^{'}$ и $B$ — отрезок.
Построение: 1) $A A^{'} = h$ (перпендикулярно берегам, длина — ширина реки); 2) $A^{'} B$ пересекает дальний берег в $N$ ; 3) $M$ — основание перпендикуляра из $N$ на ближний берег.
Вопрос классу: почему $A M = A^{'} N$ ? ( $A A^{'} = MN$ , значит, $A MN A^{'}$ — параллелограмм.)

R06.2

Образец → сам · перенос диагонали трапеции

Две диагонали — в одном треугольнике

Образец: в трапеции $A BC D$ основания $A D = 7$ , $BC = 3$ , диагонали $A C = 6$ , $B D = 8$ . Найдите площадь.

$B D \to C D^{'}$ , $C D^{'} = 8$ перенос на $BC$

$A D^{'} = 7 + 3 = 10$ $D D^{'} = BC = 3$

$6^{2} + 8^{2} = 1 0^{2}$ , $∠ A C D^{'} = 9 0^{\circ}$ обратная теорема Пифагора

$S = S_{A C D^{'}} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ та же высота, основание $A D + BC$

Сам

Основания $2$ и $8$ , диагонали $6$ и $8$ . $S$ ? $24$
Диагонали перпендикулярны и равны $5$ и $12$ . Средняя линия? $6, 5$
Диагонали $9$ и $12$ , сумма оснований $15$ . $S$ ? $54$

R06.2

Образец → сам · поворот квадрата в доказательстве

Поворот на $9 0^{\circ}$ вокруг центра

Образец: $A BC D$ — квадрат, $M \in BC$ , $N \in C D$ , $BM = CN$ . Докажите, что $A M = BN$ и $A M ⊥ BN$ .

$A \to B$ , $B \to C$ , $C \to D$ поворот вокруг центра $O$ на $9 0^{\circ}$

$M \to N$ $M \in BC \to$ точка на $C D$ , на расстоянии $BM = CN$ от $C$

$A M \to BN$ : $A M = BN$ движение сохраняет длины

$A M ⊥ BN$ поворот на $9 0^{\circ}$ : отрезок и образ перпендикулярны

Сам

В квадрате из образца $A M = 10$ . Найдите $BN$ . $10$
Поворот на $9 0^{\circ}$ переводит отрезок $K L$ в $K^{'} L^{'}$ . Угол между прямыми? $9 0^{\circ}$
$△ A BC$ правильный, $A M = BN = C K$ на $A B$ , $BC$ , $C A$ . Вид $△ MN K$ ? правильный

2,5 мин · практика
План доказательства: подобрать движение, которое переводит $A M$ в $BN$ . Центр квадрата $O$ , поворот на $9 0^{\circ}$ (на чертеже — по часовой стрелке) переводит квадрат в себя: $A \to B \to C \to D \to A$ .
Почему $M \to N$ : образ стороны $BC$ — сторона $C D$ ; точка $M$ на расстоянии $BM$ от $B$ переходит в точку на расстоянии $BM$ от $C$ , это $N$ ( $CN = BM$ ).
1) $BN = A M = 10$ . 2) Прямая при повороте на $9 0^{\circ}$ переходит в перпендикулярную: $9 0^{\circ}$ . 3) Поворот вокруг центра на $12 0^{\circ}$ : $A \to B \to C$ , $M \to N \to K \to M$ ⇒ $MN = N K = K M$ — правильный.
Координатная проверка чертежа ( $A (0; 0)$ , сторона $4$ , $BM = 1, 5$ ): $A M (1, 5; 4)$ , $BN (4; - 1, 5)$ , скалярное произведение $6 - 6 = 0$ ✓.

R06.2

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$(1; 2)$ на $a (3; - 2)$ : $(- 2; 4)$	координаты вектора вычли	прибавляем: $(4; 0)$
$(2; 5)$ , $9 0^{\circ}$ против часовой: $(5; - 2)$	это поворот по часовой	$(- y; x) = (- 5; 2)$
$M (1; 3) \to M^{'} (4; 1)$ : $a (- 3; 2)$	«начало минус конец»	конец минус начало: $a (3; - 2)$
поворот на $9 0^{\circ}$ , $O A = 6$ : $A A^{'} = 6$	$△ O A A^{'}$ не равносторонний	$A A^{'} = 62$

R06.2

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Поверните $A (4; 1)$ вокруг $O (0; 0)$ на $18 0^{\circ}$ .

Меняю знак у $x$ : $A^{'} (- 4; 1)$ .

Ответ: $(- 4; 1)$ .

это симметрия относительно $O y$ ;
верно: $(- 4; - 1)$

б) Неподвижные точки переноса на $a (2; 0)$ ?

Точка $O (0; 0)$ — начало координат.

Ответ: $O$ неподвижна.

$O \to (2; 0)$ ; при $a \neq = 0$
неподвижных точек нет

в) Трапеция: основания $4$ и $6$ , диагонали $6$ и $8$ . Площадь?

$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$

«на рисунке видно, что угол прямой»

$6^{2} + 8^{2} = 1 0^{2}$ — проверили;
$S = 24$ , но нужно обоснование

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Поворот на $18 0^{\circ}$ меняет знаки обеих координат: $(- 4; - 1)$ ; $O$ — середина $A A^{'}$ : $(\frac{4 - 4}{2}; \frac{1 - 1}{2}) = (0; 0)$ ✓.
б) $O (0; 0) \to (0 + 2; 0 + 0) = (2; 0) \neq = O$ . Неподвижные точки есть только у переноса на нулевой вектор (тогда все точки неподвижны).
в) Ответ верный, но обоснование «на рисунке видно» не принимается. Нужно: перенос $B D$ на $BC$ , $A D^{'} = 4 + 6 = 10$ , $6^{2} + 8^{2} = 1 0^{2}$ ⇒ угол прямой (обратная теорема Пифагора), $S = S_{A C D^{'}} = 24$ .

R06.2

Задания с самопроверкой · база

Решите по чертежу и проверьте

базаОбраз $A$ при переносе на $a (2; 3)$ ? $(3; 4)$
базаОбраз $C$ при переносе на $a (- 1; 2)$ ? $(0; 5)$
базаОбраз $B$ при повороте вокруг $O$ на $9 0^{\circ}$ против часовой? $(- 1; 4)$
базаОбраз $C$ при повороте вокруг $O$ на $18 0^{\circ}$ ? $(- 1; - 3)$
базаВектор переноса, при котором $A \to B$ ? $(3; 0)$
базаПлощадь образа $△ A BC$ при повороте? $3$

R06.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Поворот вокруг $O (0; 0)$ переводит $A (2; 3)$ в $A^{'} (- 3; 2)$ . На какой угол и в какую сторону? $9 0^{\circ}$ против часовой
повыш.Найдите центр поворота на $18 0^{\circ}$ , который переводит $A (1; 5)$ в $A^{'} (7; - 1)$ . $(4; 2)$
повыш.Точку $A (3; 1)$ повернули на $9 0^{\circ}$ против часовой стрелки вокруг $Q (1; 1)$ . Найдите образ. $(1; 3)$
повыш.Диагонали трапеции равны $7$ и $24$ , сумма оснований $25$ . Найдите площадь трапеции. $84$

R06.2 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 18 и 19

Ответ — одно число

клетки $1 \times 1$ ; $A^{'} B^{'}$ — образ $A B$ при переносе

ОГЭ 18Найдите длину вектора переноса $A A^{'}$ . $5$
ОГЭ 18Найдите длину отрезка $A^{'} B^{'}$ . $4$
ОГЭ 18Найдите площадь четырёхугольника $A B B^{'} A^{'}$ . $16$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Поворот на $18 0^{\circ}$ — центральная симметрия.
У переноса на ненулевой вектор есть неподвижная точка.
При повороте отрезок переходит в равный отрезок.

Ответ: 13

R06.2 · из жизни

Задача из жизни · стрелки часов

Стрелка часов — это поворот

из жизниНа какой угол поворачивается минутная стрелка за $20$ минут? $12 0^{\circ}$
из жизниА часовая стрелка — за $3$ часа? $9 0^{\circ}$
из жизниМинутная стрелка длиной $12$ см. На сколько сантиметров сместится её конец (по прямой) за $10$ минут? $12$ см
из жизниА за $20$ минут? Ответ ≈ до целых сантиметров. $123 \approx 21$ см

R06.2

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Образ $(3; - 1)$ при переносе на $a (- 2; 5)$ ? $(1; 4)$
Образ $(4; - 3)$ при повороте вокруг $O$ на $9 0^{\circ}$ против часовой? $(3; 4)$
Поворот на $6 0^{\circ}$ , $O A = 9$ . Найдите $A A^{'}$ . $9$
Центр поворота на $18 0^{\circ}$ : $A (- 1; 3) \to A^{'} (5; 7)$ . $(2; 5)$

Вариант 2

Образ $(- 1; 2)$ при переносе на $a (3; - 4)$ ? $(2; - 2)$
Образ $(- 2; 5)$ при повороте вокруг $O$ на $9 0^{\circ}$ против часовой? $(- 5; - 2)$
Поворот на $9 0^{\circ}$ , $O A = 3$ . Найдите $A A^{'}$ . $32$
Длина вектора переноса: $A (2; - 1) \to A^{'} (- 4; 7)$ . $10$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как найти образ точки при переносе на $a (m; n)$ ?
Куда переходит $(x; y)$ при повороте на $9 0^{\circ}$ ?
Какое движение помогает в трапеции с данными диагоналями?

Домашнее задание

Образ $△ A BC$ : $A (0; 1)$ , $B (3; 2)$ , $C (1; 4)$ , поворот вокруг $O$ на $9 0^{\circ}$ .
Трапеция: диагонали $15$ и $20$ , сумма оснований $25$ — найдите $S$ .
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_dvizheniya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9-059 · Практикум: параллельный перенос и поворот

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R06 «Движения плоскости», 6 ч · урок 4/6 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R06.2 «Параллельный перенос, поворот. Применение при решении задач» → 2–20 · R06.1 (повторение) → 3–4
Результаты	ПР-9 → 2–20 · ПР-7 (координаты) → 7, 8, 15, 16, 19 · ПР-10 (модель реальной задачи) → 10, 18
Виды деятельности	«Формулировать определения параллельного переноса, поворота…, выводить их свойства, находить неподвижные точки» → 3–5, 14 · «Применять параллельный перенос и симметрию при решении геометрических задач» → 6–12, 15–19
ОГЭ	линия 18 → 17 (задачи 1–3) · линия 19 → 17
Вне урока	осевая и центральная симметрия, оси и центры симметрии фигур — GEOM9-060, GEOM9-061
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: параллельный перенос и поворот

Сегодня вы научитесь уверенно

Строить образы

Находить координаты

Применять движения

Решать задачи ОГЭ

Шесть быстрых вопросов

Всё, что нужно на практикуме

Перенос и поворот по шагам

Параллельный перенос на a

Поворот вокруг O на 90∘

Движение собирает данные в один треугольник

К координатам прибавляем координаты вектора

Образец: постройте образ △ABC, A(1;2), B(4;1), C(2;5), при переносе на a(4;−3).

Сам

Катеты меняются местами

Образец: A(3;1). Найдите образ A при повороте вокруг O(0;0) на 90∘ против часовой стрелки и на 180∘.

Сам

Треугольник OAA′ — равнобедренный

Образец: при повороте вокруг O на 60∘ точка A перешла в A′, OA=5. Найдите AA′.

Сам

Задача о мосте: где строить?

Две диагонали — в одном треугольнике

Образец: в трапеции ABCD основания AD=7, BC=3, диагонали AC=6, BD=8. Найдите площадь.

Сам

Поворот на 90∘ вокруг центра

Образец: ABCD — квадрат, M∈BC, N∈CD, BM=CN. Докажите, что AM=BN и AM⊥BN.

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Поверните A(4;1) вокруг O(0;0) на 180∘.

б) Неподвижные точки переноса на a(2;0)?

в) Трапеция: основания 4 и 6, диагонали 6 и 8. Площадь?

Решите по чертежу и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Стрелка часов — это поворот

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9-059 · Практикум: параллельный перенос и поворот

Параллельный перенос на $a$

Поворот вокруг $O$ на $9 0^{\circ}$

Образец: постройте образ $△ A BC$ , $A (1; 2)$ , $B (4; 1)$ , $C (2; 5)$ , при переносе на $a (4; - 3)$ .

Образец: $A (3; 1)$ . Найдите образ $A$ при повороте вокруг $O (0; 0)$ на $9 0^{\circ}$ против часовой стрелки и на $18 0^{\circ}$ .

Треугольник $O A A^{'}$ — равнобедренный

Образец: при повороте вокруг $O$ на $6 0^{\circ}$ точка $A$ перешла в $A^{'}$ , $O A = 5$ . Найдите $A A^{'}$ .

Образец: в трапеции $A BC D$ основания $A D = 7$ , $BC = 3$ , диагонали $A C = 6$ , $B D = 8$ . Найдите площадь.

Поворот на $9 0^{\circ}$ вокруг центра

Образец: $A BC D$ — квадрат, $M \in BC$ , $N \in C D$ , $BM = CN$ . Докажите, что $A M = BN$ и $A M ⊥ BN$ .

а) Поверните $A (4; 1)$ вокруг $O (0; 0)$ на $18 0^{\circ}$ .

б) Неподвижные точки переноса на $a (2; 0)$ ?

в) Трапеция: основания $4$ и $6$ , диагонали $6$ и $8$ . Площадь?