Движения плоскости · урок 3 из 6 · практикум

Практикум: понятие о движении плоскости

Геометрия · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R06 · GEOM9-058

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R06 «Движения плоскости» (6 ч), урок 3/6, единица R06.1 «Понятие о движении плоскости». Тип урока — П (практикум): новой теории нет — сводка, повторение одного доказательства и демонстрационный пример, остальное время — задачи.
Теория (13): титул 1 · цели 0,5 · сводка правил 2,5 · четыре движения 3 · повторение доказательства 3 · демонстрационный пример 3.
Практика (32): разминка 2,5 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2 · повышенный 2 · ОГЭ 2 · из жизни 1 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: задачу из жизни и задания 3–4 повышенного уровня — в ДЗ; самостоятельную не сокращать.

R06.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь уверенно

Узнавать движение

по определению: расстояния сохраняются — и доказывать, что отображение не движение

Строить образы

при симметриях, переносе и повороте — в координатах и на клетках

Находить оси и центры

симметрии фигур и неподвижные точки движений (ПР-9)

Решать задачи

на доказательство и задачи ОГЭ 18 и 19

повторение: GEOM9-056, GEOM9-057

Разминка · устно

Семь быстрых вопросов

Точка, симметричная $A (3; - 2)$ относительно оси $O x$ ? $(3; 2)$
…относительно оси $O y$ ? $(- 3; - 2)$
…относительно начала координат $O$ ? $(- 3; 2)$
Поворот на $9 0^{\circ}$ вокруг $O$ против часовой стрелки: куда перейдёт $B (2; 0)$ ? $(0; 2)$
Расстояние между $(1; 2)$ и $(4; 6)$ ? $5$
Сколько осей симметрии у квадрата? $4$
Есть ли центр симметрии у равностороннего треугольника? нет

2,5 мин · практика
1) Относительно $O x$ меняется знак $y$ : $(3; 2)$ . 2) Относительно $O y$ — знак $x$ : $(- 3; - 2)$ . 3) Относительно $O$ — оба знака: $(- 3; 2)$ .
4) $B (2; 0)$ лежит на оси $O x$ , после поворота на $9 0^{\circ}$ против часовой — на оси $O y$ : $(0; 2)$ .
5) $3^{2} + 4^{2} = 5$ — формула расстояния понадобится, чтобы проверять, движение ли это.
6) Две диагонали и две средние линии — 4 оси. 7) Нет: поворот на $18 0^{\circ}$ не совмещает треугольник с собой.
Опора: уроки GEOM9-056 «Понятие о движении плоскости» и GEOM9-057 «Параллельный перенос, поворот».

R06.1 · сводка

Сводка правил

Всё, что нужно на практикуме

Что	Правило
Движение	отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния: $A^{'} B^{'} = A B$ для любых $A$ , $B$
Свойства	отрезок → равный отрезок, прямая → прямая, угол → равный угол, параллельные → параллельные
Равные фигуры	$F_{1} = F_{2}$ , если есть движение, переводящее $F_{1}$ в $F_{2}$
Неподвижная точка	точка, которая переходит сама в себя: $M^{'} = M$
Ось (центр) фигуры	симметрия относительно неё переводит фигуру в себя
«Не движение»	достаточно одной пары точек, у которой $A^{'} B^{'} \neq = A B$

R06.1 · сводка

Сводка · четыре движения

Как движутся точки и что остаётся на месте

Осевая симметрия

$(x; y) \to (- x; y)$ ось $l = O y$

$M M^{'} ⊥ l$ $l$ делит $M M^{'}$ пополам

неподвижны: все точки оси

Центральная

$(x; y) \to (- x; - y)$ центр $O (0; 0)$

$O M^{'} = OM$ $O$ — середина $M M^{'}$

неподвижна: только центр

Перенос на $a (p; q)$

$(x; y) \to (x + p; y + q)$ сдвиг на вектор $a$

$M M^{'} = a$ для каждой точки $M$

неподвижных нет ( $a \neq = 0$ )

Поворот на $9 0^{\circ}$

$(x; y) \to (- y; x)$ вокруг $O$ против часовой

$O M^{'} = OM$ $∠ MO M^{'} = 9 0^{\circ}$

неподвижна: только центр

R06.1 · повторение

Повторение · свойство движения с доказательством

Отрезок переходит в отрезок

Дано: движение,

C

— точка отрезка

A B

.
Доказать: образ

C^{'}

лежит на отрезке

A^{'} B^{'}

.

1

A C + CB = A B

C

лежит на отрезке

A B

2

A^{'} C^{'} = A C

,

C^{'} B^{'} = CB

,

A^{'} B^{'} = A B

движение сохраняет расстояния

3

A^{'} C^{'} + C^{'} B^{'} = A^{'} B^{'}

подставили равенства из п. 2 в п. 1

4

C^{'}

лежит на отрезке

A^{'} B^{'}

иначе в

△ A^{'} C^{'} B^{'}

:

A^{'} C^{'} + C^{'} B^{'} > A^{'} B^{'}

— неравенство треугольника

R06.1 · применение симметрии

Демонстрационный пример · учитель решает

Кратчайший путь через прямую

Точки

A

и

B

— по одну сторону от прямой

a

. Найдите на

a

точку

M

, для которой

A M + MB

наименьшая.

1

B^{'}

— образ

B

при симметрии относительно

a

2

MB = M B^{'}

для любой

M \in a

M

неподвижна, симметрия сохраняет расстояния

3

A M + MB = A M + M B^{'} \geq A B^{'}

неравенство треугольника

4

M = A B^{'} \cap a

равенство — когда

M

лежит на отрезке

A B^{'}

R06.1

Образец → сам · координаты образа

Меняем знаки или прибавляем вектор

Образец: $A (2; 5)$ . Найдите образы: $A_{1}$ — относительно $O x$ , $A_{2}$ — $O y$ , $A_{3}$ — $O$ , $A_{4}$ — перенос на $a (- 3; - 1)$ .

$A_{1} (2; - 5)$ относительно $O x$ : знак $y$

$A_{2} (- 2; 5)$ относительно $O y$ : знак $x$

$A_{3} (- 2; - 5)$ относительно $O$ : оба знака

$A_{4} (- 1; 4)$ $(2 - 3; 5 - 1)$

Сам

$B (- 4; 1)$ : образы относительно $O x$ , $O y$ и $O$ . $(- 4; - 1)$ , $(4; 1)$ , $(4; - 1)$
Перенос: $C (1; - 2) \to C^{'} (4; 3)$ . Куда перейдёт $O (0; 0)$ ? $(3; 5)$
Образ $K (4; - 1)$ при симметрии относительно точки $P (1; 2)$ . $(- 2; 5)$

R06.1

Образец → сам · движение или нет

Проверяем расстояния

Образец: движение ли $(x; y) \to (2 x; y)$ ?
А $(x; y) \to (x + 3; y - 1)$ ?

$A (0; 0) \to A^{'} (0; 0)$
$B (1; 0) \to B^{'} (2; 0)$ выбираем удобную пару точек

$A B = 1$ , $A^{'} B^{'} = 2$ — не движениерасстояние изменилось

разности координат не меняютсяперенос: $x_{2}^{'} - x_{1}^{'} = x_{2} - x_{1}$ , так же для $y$

$A^{'} B^{'} = A B$ — движение (перенос)

Сам

$(x; y) \to (- x; y)$ движение: симметрия относительно $O y$
$(x; y) \to (y; x)$ движение: симметрия относительно $y = x$
$(x; y) \to (x; - 2 y)$ нет: $(0; 0)$ , $(0; 1) \to (0; 0)$ , $(0; - 2)$

R06.1

Образец → сам · оси и центры симметрии фигур

Совмещается ли фигура сама с собой

Образец: сколько осей симметрии у правильного треугольника? Есть ли центр симметрии?

$3$ оси — прямые, содержащие высотыкаждая — серединный перпендикуляр к стороне

центра нетпри повороте на $18 0^{\circ}$ вершина $A$ уходит вниз, вне треугольника

совмещается поворотом на $12 0^{\circ}$ вокруг $O$

Сам

Равнобедренная трапеция. $1$ ось, центра нет
Ромб, не являющийся квадратом. $2$ оси (диагонали), центр — точка пересечения диагоналей
Правильный шестиугольник. $6$ осей, центр есть

2,5 мин · практика
Образец: высота правильного треугольника — она же медиана и биссектриса; симметрия относительно неё меняет местами две вершины и оставляет третью.
1) Ось — общий серединный перпендикуляр к основаниям. 2) Оси — диагонали (ромб симметричен относительно каждой), центр $O$ — диагонали делятся пополам. Прямые через середины сторон у ромба — не оси!
3) Три оси через противоположные вершины и три — через середины противоположных сторон: $6$ ; центр есть (поворот на $18 0^{\circ}$ , $n$ чётно).
Вопрос сильным: какой поворот совмещает правильный шестиугольник с собой? (на $6 0^{\circ}$ и кратные).

R06.1

Образец → сам · задача на доказательство

План и обоснование каждого шага

Образец: докажите, что при движении параллельные прямые $a ∥ b$ переходят в параллельные прямые.

$a^{'}$ и $b^{'}$ — прямыесвойство движения: прямая → прямая

пусть $a^{'} \cap b^{'} = M^{'}$ ; $M^{'}$ — образ точки $M$ движение переводит плоскость на себя

$M \in a$ и $M \in b$ разные точки переходят в разные: $A^{'} B^{'} = A B > 0$

противоречие с $a ∥ b$ $\Rightarrow$ $a^{'} ∥ b^{'}$

Сам

Докажите: середина $C$ отрезка $A B$ переходит в середину $A^{'} B^{'}$ . $C^{'} \in A^{'} B^{'}$ , $A^{'} C^{'} = A C = CB = C^{'} B^{'}$
Докажите: окружность радиуса $r$ переходит в окружность того же радиуса. $O^{'} X^{'} = OX = r$ для каждой точки $X$
Докажите: параллелограмм переходит в параллелограмм. противоположные стороны остаются параллельными (образец)

2,5 мин · практика
Образец — доказательство от противного: учитель открывает шаги, ученики называют обоснование. Ключ — точки прямой $a^{'}$ являются образами только точек прямой $a$ .
1) По свойству (слайд 6) $C^{'}$ лежит на отрезке $A^{'} B^{'}$ ; $A^{'} C^{'} = A C$ , $C^{'} B^{'} = CB$ , а $A C = CB$ ⇒ $C^{'}$ — середина.
2) Центр $O \to O^{'}$ ; для каждой точки $X$ окружности $O^{'} X^{'} = OX = r$ , т. е. $X^{'}$ лежит на окружности $(O^{'}; r)$ ; и обратно, каждая точка этой окружности — образ точки исходной.
3) Стороны $A B ∥ C D$ , $BC ∥ A D$ ⇒ по образцу $A^{'} B^{'} ∥ C^{'} D^{'}$ , $B^{'} C^{'} ∥ A^{'} D^{'}$ ⇒ $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ — параллелограмм по определению. На уроке — устно план, запись — по желанию в ДЗ.

R06.1

Образец → сам · строим на клетчатой бумаге

Образ треугольника по клеткам

Образец: $A (1; 1)$ , $B (4; 1)$ , $C (1; 3)$ . Постройте образ $△ A BC$ при симметрии относительно прямой $l$ : $x = 5$ .

$A$ — в 4 клетках слева от $l$ $\Rightarrow$ $A^{'} (9; 1)$ $A A^{'} ⊥ l$

$B^{'} (6; 1)$ , $C^{'} (9; 3)$ так же: $x^{'} = 10 - x$ , $y^{'} = y$

$△ A^{'} B^{'} C^{'} = △ A BC$ движение сохраняет расстояния

Сам

Тот же $△ A BC$ , симметрия относительно $O (0; 0)$ . $(- 1; - 1)$ , $(- 4; - 1)$ , $(- 1; - 3)$
Перенос на $a (2; - 3)$ . $(3; - 2)$ , $(6; - 2)$ , $(3; 0)$
Поворот на $9 0^{\circ}$ вокруг $O$ против часовой. $(- 1; 1)$ , $(- 1; 4)$ , $(- 3; 1)$

R06.1

Образец → сам · какое движение переводит фигуру

Узнаём движение по точкам

Образец: $△ A BC$ переходит в $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ . Каким движением?

$A^{'} B^{'} ∥ A B$ , $A^{'} C^{'} ∥ A C$ , обход тот жене симметрия и не поворот

$A A^{'} = B B^{'} = C C^{'} = (4; 2)$ все точки сдвинуты одинаково

параллельный перенос на $a (4; 2)$

Сам

$O$ неподвижна, $A (2; 1) \to (- 2; - 1)$ , $B (5; 3) \to (- 5; - 3)$ . центральная симметрия относительно $O$
$O$ неподвижна, $A (1; 4) \to (4; 1)$ , $B (2; 6) \to (6; 2)$ . симметрия относительно прямой $y = x$
$O$ неподвижна, $A (3; 0) \to (0; 3)$ , $B (5; 1) \to (- 1; 5)$ . поворот на $9 0^{\circ}$ вокруг $O$ против часовой

R06.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
относительно $O x$ : $(x; y) \to (- x; y)$	перепутаны оси: точка оси $O x$ должна остаться на месте	$(x; y) \to (x; - y)$
«у переноса неподвижна начальная точка вектора»	при $a \neq = 0$ сдвигаются все точки	неподвижных точек нет
$(x; y) \to (2 x; 2 y)$ — движение: «форма та же»	все расстояния удваиваются	это подобие, а не движение
«диагональ параллелограмма — его ось симметрии»	так только у ромба; на глаз не обоснование	у параллелограмма — только центр

R06.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Образ $M (3; - 1)$ при симметрии относительно точки $P (1; 1)$ .

«Меняем оба знака: $M^{'} (- 3; 1)$ »

это симметрия относительно $O$ ; $P$ — середина $M M^{'}$ : $M^{'} (- 1; 3)$

б) « $(x; y) \to (x + y; y)$ — движение».

« $A (0; 0) \to (0; 0)$ , $B (1; 0) \to (1; 0)$ , $A B = A^{'} B^{'} = 1$ — движение»

одна пара ничего не доказывает: $C (0; 1) \to (1; 1)$ , $A C = 1$ , $A^{'} C^{'} = 2$ — не движение

в) Поворот на $9 0^{\circ}$ вокруг $O$ против часовой стрелки: образ $(2; 3)$ .

« $(x; y) \to (y; - x)$ : получаем $(3; - 2)$ »

это поворот по часовой; против часовой $(- y; x)$ : $(- 3; 2)$

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Середина $M M^{'}$ — точка $P$ : $x^{'} = 2 \cdot 1 - 3 = - 1$ , $y^{'} = 2 \cdot 1 - (- 1) = 3$ .
б) Перепутаны «доказать» и «опровергнуть»: совпадение на одной паре точек не доказывает, что расстояния сохраняются для всех. Пара $A$ , $C$ даёт $A^{'} C^{'} = 1 + 1 = 2 \neq = 1$ — это «сдвиг слоёв», а не движение.
в) Проверка: точка $(1; 0)$ при повороте против часовой на $9 0^{\circ}$ должна попасть на положительную полуось $O y$ : $(- 0; 1) = (0; 1)$ ✓; у ученика — в $(0; - 1)$ .

R06.1

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаОбраз $A (- 2; 7)$ относительно оси $O y$ . $(2; 7)$
базаОбраз $B (4; - 3)$ относительно точки $O$ . $(- 4; 3)$
базаПеренос на $a (5; - 2)$ : образ $C (- 1; 4)$ . $(4; 2)$

базаСколько осей симметрии у окружности? бесконечно много
базаДвижение: $△ A BC \to △ A^{'} B^{'} C^{'}$ , $A B = 5$ , $∠ A = 4 0^{\circ}$ . Найдите $A^{'} B^{'}$ и $∠ A^{'}$ . $5$ и $4 0^{\circ}$
базаНеподвижные точки поворота на $6 0^{\circ}$ вокруг $O$ ? только $O$

R06.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Перенос переводит $A (2; - 1)$ в $A^{'} (- 1; 3)$ . Какая точка переходит в $K (0; 0)$ ? $(3; - 4)$
повыш.Симметрия относительно точки $P$ переводит $A (1; 5)$ в $A^{'} (7; - 1)$ . Найдите $P$ . $P (4; 2)$
повыш.Осевая симметрия переводит $A (1; 2)$ в $A^{'} (5; 2)$ . Задайте ось уравнением. $x = 3$
повыш.Сколько осей симметрии у правильного $n$ -угольника? Есть ли центр симметрии при $n = 5$ ? $n$ осей; при $n = 5$ центра нет

R06.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 18 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 18 Клетка $1 \times 1$ . $A^{'}$ — образ $A$ при симметрии относительно прямой $l$ . Найдите:

длину $A A^{'}$ $6$
длину $A^{'} B$ $5$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Любая прямая, проходящая через центр окружности, — её ось симметрии.
У любого параллелограмма есть ось симметрии.
Точка пересечения диагоналей ромба — его центр симметрии.
При движении угол может перейти в больший угол.

Ответ: 13

R06.1 · ПР-10

Задача из жизни · насосная станция у реки

Где поставить станцию, чтобы труб ушло меньше

Посёлки

A

и

B

— в

2

км и

6

км от прямого берега, расстояние между их проекциями на берег —

6

км. Трубы идут от станции

M

на берегу к каждому посёлку. Где поставить

M

? Какова наименьшая длина труб?

$B^{'}$ — симметрична $B$ относительно берега: $A M + MB = A M + M B^{'} \geq A B^{'}$

$A B^{'} = 6^{2} + (2 + 6)^{2} = 10$ км

$10$ км; $M$ — в $1, 5$ км от проекции $A$

R06.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Образ $A (3; - 5)$ относительно оси $O x$ . $(3; 5)$
Перенос на $a (- 2; 6)$ : образ $B (4; - 1)$ . $(2; 5)$
Является ли $(x; y) \to (3 x; y)$ движением? нет
Прямоугольник (не квадрат): сколько осей симметрии, есть ли центр? $2$ оси, центр есть

Вариант 2

Образ $A (- 4; 2)$ относительно оси $O y$ . $(4; 2)$
Перенос на $a (3; - 4)$ : образ $B (- 1; 5)$ . $(2; 1)$
Является ли $(x; y) \to (x; 2 y)$ движением? нет
Ромб (не квадрат): сколько осей симметрии, есть ли центр? $2$ оси, центр есть

4 мин · практика
Вариант 1: 1) $(3; 5)$ . 2) $(4 - 2; - 1 + 6) = (2; 5)$ . 3) Нет: $(0; 0)$ , $(1; 0) \to (0; 0)$ , $(3; 0)$ — расстояние $1 \to 3$ . 4) Две оси — через середины противоположных сторон; центр — точка пересечения диагоналей.
Вариант 2: 1) $(4; 2)$ . 2) $(- 1 + 3; 5 - 4) = (2; 1)$ . 3) Нет: $(0; 0)$ , $(0; 1) \to (0; 0)$ , $(0; 2)$ . 4) Две оси — диагонали; центр — точка пересечения диагоналей.
В задании 3 требовать контрпример (пару точек) — без него ответ «нет» не засчитывается. Критерий: 4 верно — «5», 3 — «4», 2 — «3». Взаимопроверка по ответам (по щелчку).

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что такое движение плоскости?
Как доказать, что отображение — не движение?
Какие точки неподвижны у каждого из четырёх движений?

Домашнее задание

$A (0; 1)$ , $B (3; 1)$ , $C (0; 4)$ : образы относительно $O y$ и при переносе на $a (2; - 1)$ .
Движение ли $(x; y) \to (- x; y + 2)$ ?
* Докажите: при движении угол переходит в равный угол.
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_dvizheniya.htm

1 мин · практика (рефлексия, запись ДЗ)
Ответы на вопросы: отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния; найти пару точек с $A^{'} B^{'} \neq = A B$ ; осевая — точки оси, центральная и поворот — центр, перенос — нет неподвижных.
Ответы ДЗ: 1) $O y$ : $(0; 1)$ , $(- 3; 1)$ , $(0; 4)$ ; перенос: $(2; 0)$ , $(5; 0)$ , $(2; 3)$ . 2) Да: симметрия относительно $O y$ , затем перенос на $(0; 2)$ — два движения подряд; $A^{'} B^{'2} = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$ . 3) На сторонах угла $∠ A OB$ берём точки $A$ , $B$ ; $△ A OB \to △ A^{'} O^{'} B^{'}$ , равны по III признаку ⇒ $∠ A^{'} O^{'} B^{'} = ∠ A OB$ .
Следующий урок — практикум «Параллельный перенос, поворот. Применение при решении задач» (GEOM9-059).

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9-058 · Практикум: понятие о движении плоскости

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R06 «Движения плоскости», 6 ч · урок 3/6 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R06.1 «Понятие о движении плоскости» → 2–21 · повторение GEOM9-056/057 → 3
Результаты	ПР-9 (оси и центры симметрии, движения в простейших случаях) → 2–18, 20 · ПР-10 (модель реальной задачи) → 19
Виды деятельности	«Разбирать примеры, иллюстрирующие понятия движения» → 4–5, 8–9, 13 · «Выводить их свойства, находить неподвижные точки» → 5–6, 11 · «Находить центры и оси симметрий простейших фигур» → 10, 16–18 · «Применять симметрию при решении задач» → 7, 12, 19
ОГЭ	линия 18 → 18 · линия 19 → 18
Вне урока	параллельный перенос и поворот в задачах — GEOM9-059 (R06.2); обобщение — GEOM9-061; подобие — R02
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: понятие о движении плоскости

Сегодня вы научитесь уверенно

Узнавать движение

Строить образы

Находить оси и центры

Решать задачи

Семь быстрых вопросов

Всё, что нужно на практикуме

Как движутся точки и что остаётся на месте

Осевая симметрия

Центральная

Перенос на a(p;q)

Поворот на 90∘

Отрезок переходит в отрезок

Кратчайший путь через прямую

Меняем знаки или прибавляем вектор

Образец: A(2;5). Найдите образы: A1​ — относительно Ox, A2​ — Oy, A3​ — O, A4​ — перенос на a(−3;−1).

Сам

Проверяем расстояния

Образец: движение ли (x;y)→(2x;y)?А (x;y)→(x+3;y−1)?

Сам

Совмещается ли фигура сама с собой

Образец: сколько осей симметрии у правильного треугольника? Есть ли центр симметрии?

Сам

План и обоснование каждого шага

Образец: докажите, что при движении параллельные прямые a∥b переходят в параллельные прямые.

Сам

Образ треугольника по клеткам

Образец: A(1;1), B(4;1), C(1;3). Постройте образ △ABC при симметрии относительно прямой l: x=5.

Сам

Узнаём движение по точкам

Образец: △ABC переходит в △A′B′C′. Каким движением?

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Образ M(3;−1) при симметрии относительно точки P(1;1).

б) «(x;y)→(x+y;y) — движение».

в) Поворот на 90∘ вокруг O против часовой стрелки: образ (2;3).

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Где поставить станцию, чтобы труб ушло меньше

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9-058 · Практикум: понятие о движении плоскости

Перенос на $a (p; q)$

Поворот на $9 0^{\circ}$

Образец: $A (2; 5)$ . Найдите образы: $A_{1}$ — относительно $O x$ , $A_{2}$ — $O y$ , $A_{3}$ — $O$ , $A_{4}$ — перенос на $a (- 3; - 1)$ .

Образец: движение ли $(x; y) \to (2 x; y)$ ?
А $(x; y) \to (x + 3; y - 1)$ ?

Образец: докажите, что при движении параллельные прямые $a ∥ b$ переходят в параллельные прямые.

Образец: $A (1; 1)$ , $B (4; 1)$ , $C (1; 3)$ . Постройте образ $△ A BC$ при симметрии относительно прямой $l$ : $x = 5$ .

Образец: $△ A BC$ переходит в $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ . Каким движением?

а) Образ $M (3; - 1)$ при симметрии относительно точки $P (1; 1)$ .

б) « $(x; y) \to (x + y; y)$ — движение».

в) Поворот на $9 0^{\circ}$ вокруг $O$ против часовой стрелки: образ $(2; 3)$ .