Движения плоскости · урок 2 из 6

Параллельный перенос и поворот

Геометрия · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R06 · GEOM9-057

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R06 «Движения плоскости» (6 ч), урок 2/6, единица R06.2 «Параллельный перенос, поворот. Применение при решении задач». Тип урока — Н.
Теория (12): титул 1 · цели 0,5 · перенос: определение 2,5 · перенос — движение 2 · поворот: определение 2,5 · поворот — движение 2 · сводка 1,5.
Практика (33): разминка 2 · образцы → сам 3 + 2,5 + 2,5 + 3 + 3 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2,5 · самостоятельная 4 · итог 1,5.
Если не успеваете: образец 5 (доказательство поворотом) и задание 4 повышенного уровня — в ДЗ; доказательства того, что перенос и поворот — движения, не сокращать.

R06.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Выполнять параллельный перенос

строить образ фигуры и находить координаты образа точки (ПР-9)

Выполнять поворот

вокруг точки на заданный угол, в том числе на клетчатой бумаге

Доказывать, что это движения

и пользоваться их свойствами: расстояния и углы сохраняются

Применять движения в задачах

трапеция, правильные многоугольники, ОГЭ 18, 19, 23 (ПР-9)

повторение: R06.1 · R03 · R05

Разминка · устно

Восемь быстрых вопросов

Движение сохраняет… расстояния между точками
Образ $A (3; - 2)$ при симметрии относительно оси $O x$ ? $(3; 2)$
Образ $B (- 4; 1)$ при симметрии относительно $O (0; 0)$ ? $(4; - 1)$
Во что движение переводит треугольник? в равный ему треугольник

$A (1; 2)$ , $B (4; - 1)$ . Координаты $A B$ ? ${3; - 3}$
$A M = {- 3; 1}$ , $A (2; 5)$ . Найдите $M$ . $M (- 1; 6)$
$A BC D$ — параллелограмм. Равны ли $A B$ и $D C$ ? да
Центральный угол правильного шестиугольника? $6 0^{\circ}$

R06.2

Новый материал · параллельный перенос

Каждая точка сдвигается на один и тот же вектор

Параллельный перенос на вектор

a

— отображение, при котором каждая точка

M

переходит в такую точку

M^{'}

, что

M M^{'} = a

.

$A A^{'} = B B^{'} = C C^{'} = a$

в координатах: $a {a; b}$ , $M (x; y) \to M^{'} (x^{'}; y^{'})$

x^{'} = x + a, y^{'} = y + b

2,5 мин · теория
Показать на доске: начертить вектор и «перенести» треугольник — от каждой вершины отложить вектор, равный $a$ . Пунктирные стрелки $A A^{'}$ , $B B^{'}$ , $C C^{'}$ равны и параллельны.
Формулы в координатах — прямо из координат вектора: $M M^{'} = {x^{'} - x; y^{'} - y} = {a; b}$ .
Вопрос: есть ли у переноса на ненулевой вектор неподвижные точки? (Нет: $M^{'} = M$ только при $a = 0$ .) Перенос на нулевой вектор — тождественное отображение.
Примеры из жизни: движение кабины лифта, эскалатора, паркет и обои (узор повторяется переносом).

R06.2

Теорема · доказательство

Параллельный перенос — движение

Дано: перенос на

a

:

M \to M^{'}

,

N \to N^{'}

.
Доказать:

M^{'} N^{'} = MN

.

1

M M^{'} = N N^{'} = a

определение переноса

2

M M^{'} ∥ N N^{'}

,

M M^{'} = N N^{'}

равные векторы: одно направление, одна длина

3

M M^{'} N^{'} N

— параллелограммпризнак: две стороны равны и параллельны

4

M^{'} N^{'} = MN

противоположные стороны параллелограмма; ещё и

M^{'} N^{'} ∥ MN

2 мин · теория
Каждый шаг — вопрос классу «почему?». Цвет на чертеже совпадает с цветом записи; последние щелчки — заливка параллелограмма и чёрточки равных отрезков $MN$ и $M^{'} N^{'}$ .
Случай, когда $M$ и $N$ лежат на прямой, параллельной $a$ : параллелограмма нет, но все четыре точки на одной прямой и $M^{'} N^{'} = MN$ (обе точки сдвинуты вдоль прямой на одно и то же расстояние). Другое доказательство — координатами: $M^{'} N^{'2} = ((x_{2} + a) - (x_{1} + a))^{2} + ((y_{2} + b) - (y_{1} + b))^{2} = M N^{2}$ .
Следствие: при переносе прямая переходит в параллельную ей прямую (или в себя), отрезок — в равный и параллельный отрезок.

R06.2

Образец → сам · перенос в координатах

Прибавляем координаты вектора

Образец: перенос на $a {3; - 2}$ . Найдите образ точки $A (- 1; 3)$ .

$x^{'} = x + 3$ , $y^{'} = y - 2$ формулы переноса

$x^{'} = - 1 + 3 = 2$ сдвиг на 3 клетки вправо

$y^{'} = 3 - 2 = 1$ и на 2 клетки вниз

$A^{'} (2; 1)$

Сам

Перенос на $a {- 4; 1}$ . Образ $B (5; - 2)$ ? $B^{'} (1; - 1)$
Перенос переводит $C (1; 4)$ в $C^{'} (- 2; 6)$ . Найдите вектор переноса и образ $O (0; 0)$ . ${- 3; 2}$ , $O^{'} (- 3; 2)$
Окружность $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 9$ перенесли на ${- 3; 5}$ . Уравнение образа? $(x + 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 9$

R06.2

Новый материал · поворот

Поворот вокруг точки $O$ на угол $α$

Поворот вокруг точки $O$ на угол

α

— отображение, при котором точка

O

остаётся на месте, а каждая точка

M

переходит в такую

M^{'}

, что

O M^{'} = OM

и

∠ MO M^{'} = α

.

$O$ — центр поворота; направление указывают: против часовой стрелки или по часовой.

$M$ движется по окружности с центром $O$ ; поворот на $18 0^{\circ}$ — центральная симметрия.

2,5 мин · теория
На чертеже поворот на $α = 8 0^{\circ}$ против часовой стрелки: каждая вершина треугольника «едет» по своей окружности с центром $O$ (пунктирная дуга — путь точки $A$ ).
Неподвижная точка поворота на угол, отличный от $0^{\circ}$ и $36 0^{\circ}$ , — только центр $O$ .
Вопрос: во что переходит точка при повороте на $36 0^{\circ}$ ? (В себя.) Чем поворот на $9 0^{\circ}$ по часовой стрелке отличается от поворота на $27 0^{\circ}$ против? (Ничем.)
Примеры: стрелки часов, колесо обозрения, лопасти вентилятора.

R06.2

Теорема · доказательство

Поворот — движение

Дано: поворот вокруг

O

на

α

:

M \to M^{'}

,

N \to N^{'}

.
Доказать:

M^{'} N^{'} = MN

.

1

O M^{'} = OM

,

O N^{'} = ON

определение поворота

2

∠ M^{'} O N^{'} = ∠ MON

∠ MON = α - ∠ NO M^{'} = ∠ M^{'} O N^{'}

3

△ MON

=

△ M^{'} O N^{'}

I признак: две стороны и угол между ними

4

M^{'} N^{'} = MN

соответственные стороны равных треугольников

R06.2

Образец → сам · поворот на $9 0^{\circ}$ на клетчатой бумаге

Поворачиваем прямоугольный треугольник

Образец: поворот вокруг $O (0; 0)$ на $9 0^{\circ}$ против часовой стрелки. Найдите образ $A (3; 1)$ .

$△ O H A$ : $O H = 3$ , $H A = 1$ опустили перпендикуляр на $O x$

$O H$ ложится на $O y$ , $H A$ — влевокаждый катет повернулся на $9 0^{\circ}$

$A^{'} (- 1; 3)$ правило: $(x; y) \to (- y; x)$

Сам (вокруг $O$ , против часовой)

На $9 0^{\circ}$ : образ $B (2; 4)$ ? $B^{'} (- 4; 2)$
На $18 0^{\circ}$ : образ $C (- 3; 5)$ ? $C^{'} (3; - 5)$
После поворота на $9 0^{\circ}$ точка $P$ перешла в $P^{'} (- 2; 5)$ . Найдите $P$ . $P (5; 2)$

R06.2 · R05

Образец → сам · поворот правильного многоугольника

Повороты, совмещающие фигуру с собой

Образец: $A BC D EF$ — правильный шестиугольник, $O$ — центр. Поворот вокруг $O$ на $12 0^{\circ}$ против часовой. Куда перейдут $A$ и $A C$ ?

$∠ A OB = 36 0^{\circ} : 6 = 6 0^{\circ}$ центральный угол

$12 0^{\circ} = 2 \cdot 6 0^{\circ}$ : $A \to C$ , $C \to E$ каждая вершина — на две вперёд

$A C$ $\to$ $CE$ шестиугольник переходит в себя

Сам

Наименьший угол поворота, совмещающий квадрат с собой? $9 0^{\circ}$
Тот же вопрос для правильного треугольника. $12 0^{\circ}$
Наименьший такой угол у правильного многоугольника — $2 4^{\circ}$ . Сколько у него сторон? $15$

R06.2

Сводка правил

Перенос и поворот: что важно помнить

	Параллельный перенос	Поворот
задаётся	вектором $a$	центром $O$ , углом $α$ , направлением
образ точки	$M M^{'} = a$	$O M^{'} = OM$ , $∠ MO M^{'} = α$
в координатах	$(x + a; y + b)$	на $9 0^{\circ}$ против часовой: $(- y; x)$
неподвижные точки	нет (при $a \neq = 0$ )	только центр $O$
прямая переходит в	параллельную прямую или в себя	прямую, повёрнутую на угол $α$
сохраняет	расстояния и углы — это движения: фигура переходит в равную

R06.2

Образец → сам · перенос в задаче на трапецию

Перенесём боковую сторону — получится треугольник

Образец: основания трапеции $A D = 12$ , $BC = 7$ , боковые стороны $A B = 3$ , $C D = 4$ . Найдите высоту.

перенос на $CB$ : $C D \to BE$ , $BE = 4$ , $E D = BC = 7$ $BC D E$ — параллелограмм

$A E = 12 - 7 = 5$ ; $3^{2} + 4^{2} = 5^{2}$ ⇒ $∠ A BE = 9 0^{\circ}$ теорема, обратная теореме Пифагора

$h = \frac{A B \cdot BE}{A E} = \frac{3 \cdot 4}{5} = 2, 4$ высота $△ A BE$ = высота трапеции

Сам

Основания $10$ и $4$ , боковые стороны по $5$ . Найдите высоту. $4$
Основания $13$ и $5$ , боковые стороны $6$ и $10$ . Найдите площадь. $54$
Диагонали трапеции $6$ и $8$ перпендикулярны. Найдите среднюю линию. $5$

3 мин · практика
Идея: параллельный перенос боковой стороны $C D$ на вектор $CB$ «собирает» обе боковые стороны и разность оснований в один треугольник $A BE$ . Высота трапеции равна высоте этого треугольника. Проверка: $S_{A BC D} = \frac{12 + 7}{2} \cdot 2, 4 = 22, 8$ .
1) $A E = 10 - 4 = 6$ , $△ A BE$ равнобедренный $5, 5, 6$ : высота $25 - 9 = 4$ .
2) $A E = 13 - 5 = 8$ , стороны $6, 8, 10$ : $6^{2} + 8^{2} = 1 0^{2}$ , прямой угол при $A$ ⇒ боковая сторона $6$ перпендикулярна основаниям, $h = 6$ , $S = \frac{13 + 5}{2} \cdot 6 = 54$ .
3) Перенос диагонали $B D$ на $BC$ : $△ A CE$ с катетами $6$ и $8$ (угол между диагоналями сохраняется), $A E = A D + BC = 10$ ⇒ средняя линия $\frac{A D + BC}{2} = 5$ .

R06.2

Образец → сам · задача на доказательство

Повернём — и равенство отрезков очевидно

Образец: на сторонах $A B$ и $A C$ треугольника $A BC$ вне его построены правильные $△ A B D$ и $△ A CE$ . Докажите: $D C$ $=$ $BE$ .

поворот вокруг $A$ на $6 0^{\circ}$ против часовойвыбираем движение

$D \to B$ , $C \to E$ $A D = A B$ , $A C = A E$ , углы по $6 0^{\circ}$

$D C$ $\to$ $BE$ ⇒ $D C = BE$ поворот сохраняет расстояния

Сам: какой поворот?

На $A B$ и $A C$ вне $△ A BC$ — квадраты $A BMN$ и $A CPQ$ . Докажите: $NC = BQ$ . поворот вокруг $A$ на $9 0^{\circ}$ : $N \to B$ , $C \to Q$
$K, L, M, N$ — на сторонах квадрата $A BC D$ , $A K = B L = CM = D N$ . Докажите: $K L MN$ — квадрат. поворот вокруг центра на $9 0^{\circ}$ : $K \to L \to M \to N \to K$

3 мин · практика
Образец: $A D = A B$ и $∠ D A B = 6 0^{\circ}$ , поворот на $6 0^{\circ}$ переводит $D$ в $B$ ; $A C = A E$ и $∠ C A E = 6 0^{\circ}$ — тот же поворот переводит $C$ в $E$ . Отрезок $D C$ переходит в $BE$ , движение сохраняет длины ⇒ $D C = BE$ . Бонус: угол между прямыми $D C$ и $BE$ равен $6 0^{\circ}$ (угол поворота).
1) $A N = A B$ , $∠ N A B = 9 0^{\circ}$ ⇒ $N \to B$ ; $A C = A Q$ , $∠ C A Q = 9 0^{\circ}$ ⇒ $C \to Q$ (в ту же сторону — проверить по чертежу). Отрезок $NC \to BQ$ ⇒ $NC = BQ$ , причём $NC ⊥ BQ$ .
2) Поворот вокруг центра $O$ квадрата на $9 0^{\circ}$ переводит $A \to B \to C \to D \to A$ , а точку $K$ на $A B$ с $A K = x$ — в точку стороны $BC$ с $B L = x$ , то есть $K \to L \to M \to N \to K$ . Значит, $K L = L M = MN = N K$ , а диагональ $K M$ переходит в $L N$ : они равны и перпендикулярны ⇒ $K L MN$ — квадрат.
Сильным: устно — «на сторонах правильного треугольника $A BC$ точки $K, L, M$ , $A K = B L = CM$ ; докажите, что $△ K L M$ правильный» (поворот на $12 0^{\circ}$ вокруг центра).

R06.2

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
Перенос на ${2; - 3}$ : $A (1; 1) \to (- 1; 4)$	вектор вычли, а не прибавили	$A^{'} (3; - 2)$
Поворот на $9 0^{\circ}$ против часовой: $(x; y) \to (y; x)$	это симметрия относительно прямой $y = x$	$(x; y) \to (- y; x)$ ; проверка по клеткам
«При повороте прямая переходит в параллельную»	это свойство переноса и поворота на $18 0^{\circ}$	угол между прямой и образом равен $α$
Угол поворота — угол $∠ A B A^{'}$ при вершине фигуры	угол поворота отсчитывают от центра	$α = ∠ A O A^{'}$ , $O$ — центр

R06.2

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Перенос переводит $A (2; - 1)$ в $A^{'} (5; 3)$ . Найдите образ $B (- 1; 4)$ .

$a = {2 - 5; - 1 - 3} = {- 3; - 4}$

$B^{'} (- 4; 0)$

$a = {3; 4}$ (конец минус начало), $B^{'} (2; 8)$

б) Поворот вокруг $O$ на $9 0^{\circ}$ против часовой стрелки. Образ $M (4; 1)$ ?

$(x; y) \to (y; - x)$

$M^{'} (1; - 4)$

это поворот по часовой; верно $M^{'} (- 1; 4)$

в) Трапеция: $A D = 9$ , $BC = 4$ , $A B = 3$ , $C D = 4$ . Найдите высоту.

перенос $C D$ на $CB$ : $A E = 9 + 4 = 13$

треугольника со сторонами $3, 4, 13$ нет…

$A E = 9 - 4 = 5$ ⇒ $∠ A BE = 9 0^{\circ}$ , $h = 2, 4$

R06.2

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаПеренос на ${1; - 5}$ . Образ $A (- 3; 2)$ ? $(- 2; - 3)$
базаПеренос переводит $O (0; 0)$ в $(4; - 7)$ . Вектор переноса? ${4; - 7}$
базаПоворот вокруг $O$ на $9 0^{\circ}$ против часовой. Образ $B (0; 6)$ ? $(- 6; 0)$

базаПоворот вокруг $O$ на $18 0^{\circ}$ . Образ $C (- 2; 7)$ ? $(2; - 7)$
базаНаименьший угол поворота, совмещающий правильный пятиугольник с собой? $7 2^{\circ}$
базаПрямая $y = 2 x + 1$ при переносе перешла в прямую через $(0; 5)$ . Её уравнение? $y = 2 x + 5$

R06.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Окружность $x^{2} + y^{2} = 4$ переносом перешла в $(x - 3)^{2} + (y + 1)^{2} = 4$ . Найдите вектор переноса. ${3; - 1}$
повыш.Поворот вокруг $O$ на $9 0^{\circ}$ против часовой переводит $A (2; 3)$ в $A^{'}$ . Найдите длину $A A^{'}$ . $26$
повыш.Поворот вокруг $O$ на $6 0^{\circ}$ переводит $A$ в $B$ , $O A = 6$ . Найдите $A B$ . $6$
из жизниМинутная стрелка длиной $10$ см. На какой угол она поворачивается за $15$ минут и на сколько сантиметров смещается её конец (по прямой)? $9 0^{\circ}$ по часовой; $102 \approx 14, 1$ см

R06.2 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 18, 19 и 23

Ответ — число или номера верных утверждений

ОГЭ 18 Клетка $1 \times 1$ . Перенос переводит $A$ в $B$ , точку $C$ — в $C^{'}$ . Найдите $C C^{'}$ .

Ответ: $5$ ( $C C^{'} = A B$ )

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Параллельный перенос сохраняет расстояния.
Поворот на $5 0^{\circ}$ имеет ровно одну неподвижную точку.
Квадрат совмещается с собой поворотом на $4 5^{\circ}$ вокруг центра.

Ответ: 12

ОГЭ 23 Основания трапеции $30$ и $15$ , боковые стороны $9$ и $12$ . Найдите площадь трапеции.

Ответ: $162$

R06.2

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Перенос на ${- 2; 3}$ . Образ $A (4; - 1)$ ? $(2; 2)$
Перенос: $B (1; - 2) \to B^{'} (- 3; 0)$ . Образ $C (5; 5)$ ? $(1; 7)$
Поворот вокруг $O$ на $9 0^{\circ}$ против часовой. Образ $M (5; 2)$ ? $(- 2; 5)$
Трапеция: основания $9$ и $4$ , боковые стороны $3$ и $4$ . Найдите высоту. $2, 4$

Вариант 2

Перенос на ${3; - 4}$ . Образ $A (- 1; 2)$ ? $(2; - 2)$
Перенос: $B (- 2; 3) \to B^{'} (1; 1)$ . Образ $C (0; - 4)$ ? $(3; - 6)$
Поворот вокруг $O$ на $9 0^{\circ}$ против часовой. Образ $M (1; 6)$ ? $(- 6; 1)$
Трапеция: основания $14$ и $4$ , боковые стороны $6$ и $8$ . Найдите высоту. $4, 8$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чем задаётся параллельный перенос? А поворот?
Какие точки неподвижны при переносе и при повороте?
Зачем в задаче о трапеции переносят боковую сторону?

Домашнее задание

Окружность $x^{2} + y^{2} = 9$ перенесли на ${2; - 5}$ . Уравнение образа?
Поворот вокруг $O$ на $9 0^{\circ}$ против часовой: образ $(- 3; 4)$ ?
* Трапеция: основания $16$ и $4$ , боковые стороны $5$ и $13$ . Найдите площадь.
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_dvizheniya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9-057 · Параллельный перенос, поворот. Применение при решении задач

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R06 «Движения плоскости», 6 ч · урок 2/6 · тип Н
Единицы → слайды	R06.2 «Параллельный перенос, поворот. Применение при решении задач» → 2, 4–20 · повторение R06.1, R03, R05 → 3
Результаты	ПР-9 (применять движения плоскости в простейших случаях, находить центры симметрии) → 4–20; ПР-7 (метод координат) → 6, 9, 16–19
Вне урока	понятие движения, осевая и центральная симметрия — GEOM9-056, GEOM9-058; практикум по переносу и повороту — GEOM9-059; формулы поворота на произвольный угол — не изучаются
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Параллельный перенос и поворот

Сегодня вы научитесь

Выполнять параллельный перенос

Выполнять поворот

Доказывать, что это движения

Применять движения в задачах

Восемь быстрых вопросов

Каждая точка сдвигается на один и тот же вектор

Параллельный перенос — движение

Прибавляем координаты вектора

Образец: перенос на a{3;−2}. Найдите образ точки A(−1;3).

Сам

Поворот вокруг точки O на угол α

Поворот — движение

Поворачиваем прямоугольный треугольник

Образец: поворот вокруг O(0;0) на 90∘ против часовой стрелки. Найдите образ A(3;1).

Сам (вокруг O, против часовой)

Повороты, совмещающие фигуру с собой

Образец: ABCDEF — правильный шестиугольник, O — центр. Поворот вокруг O на 120∘ против часовой. Куда перейдут A и AC?

Сам

Перенос и поворот: что важно помнить

Перенесём боковую сторону — получится треугольник

Образец: основания трапеции AD=12, BC=7, боковые стороны AB=3, CD=4. Найдите высоту.

Сам

Повернём — и равенство отрезков очевидно

Образец: на сторонах AB и AC треугольника ABC вне его построены правильные △ABD и △ACE. Докажите: DC = BE.

Сам: какой поворот?

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Перенос переводит A(2;−1) в A′(5;3). Найдите образ B(−1;4).

б) Поворот вокруг O на 90∘ против часовой стрелки. Образ M(4;1)?

в) Трапеция: AD=9, BC=4, AB=3, CD=4. Найдите высоту.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — число или номера верных утверждений

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9-057 · Параллельный перенос, поворот. Применение при решении задач

Образец: перенос на $a {3; - 2}$ . Найдите образ точки $A (- 1; 3)$ .

Поворот вокруг точки $O$ на угол $α$

Образец: поворот вокруг $O (0; 0)$ на $9 0^{\circ}$ против часовой стрелки. Найдите образ $A (3; 1)$ .

Сам (вокруг $O$ , против часовой)

Образец: $A BC D EF$ — правильный шестиугольник, $O$ — центр. Поворот вокруг $O$ на $12 0^{\circ}$ против часовой. Куда перейдут $A$ и $A C$ ?

Образец: основания трапеции $A D = 12$ , $BC = 7$ , боковые стороны $A B = 3$ , $C D = 4$ . Найдите высоту.

Образец: на сторонах $A B$ и $A C$ треугольника $A BC$ вне его построены правильные $△ A B D$ и $△ A CE$ . Докажите: $D C$ $=$ $BE$ .

а) Перенос переводит $A (2; - 1)$ в $A^{'} (5; 3)$ . Найдите образ $B (- 1; 4)$ .

б) Поворот вокруг $O$ на $9 0^{\circ}$ против часовой стрелки. Образ $M (4; 1)$ ?

в) Трапеция: $A D = 9$ , $BC = 4$ , $A B = 3$ , $C D = 4$ . Найдите высоту.