Движения плоскости · урок 1 из 6

Понятие о движении плоскости

Геометрия · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R06 · GEOM9-056

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %), итого 45 мин.
Паспорт: R06 «Движения плоскости» (6 ч), урок 1/6, единица R06.1 «Понятие о движении плоскости». Тип урока — Н.
Теория (13,5): титул 1 · цели 0,5 · понятие движения 2 · осевая симметрия 2,5 · центральная симметрия 2 · теорема об отрезке 2,5 · следствия и неподвижные точки 1,5 · оси и центры симметрии фигур 1,5.
Практика (31,5): разминка 2 · образцы → сам 3 + 2,5 + 3 + 2,5 + 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: задание 4 повышенного уровня и третье задание «сам» к задаче о насосной станции — в ДЗ; доказательства (осевая и центральная симметрия, теорема об отрезке) не сокращать.
Параллельный перенос и поворот — следующий урок (GEOM9-057); сегодня называем их только как примеры движений.

R06.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Понимать, что такое движение

отображение плоскости, сохраняющее расстояния

Доказывать, что симметрии — движения

осевая и центральная; строить образы точек и фигур

Применять свойства движений

образ отрезка, треугольника, угла; неподвижные точки

Находить оси и центры симметрии

простейших фигур; решать задачу о кратчайшем пути (ПР-9)

0,5 мин · теория
ПР-9: «Находить оси (или центры) симметрии фигур, применять движения плоскости в простейших случаях». Элемент содержания EL-6.11 «Движения плоскости и внутренние симметрии фигур (элементарные представления)».
Виды деятельности ФРП R06: «Разбирать примеры, иллюстрирующие понятия движения… Формулировать определения… осевой симметрии. Выводить их свойства, находить неподвижные точки. Находить центры и оси симметрий простейших фигур. Применять… симметрию при решении геометрических задач».

повторение: R04 · 8 класс

Разминка · устно

Восемь быстрых вопросов

Расстояние между $A (1; 2)$ и $B (4; 6)$ ? $5$
Середина отрезка с концами $(2; 6)$ и $(4; - 2)$ ? $(3; 2)$
Точка, симметричная $A (3; 5)$ относительно оси $O x$ ? $(3; - 5)$
Сколько осей симметрии у квадрата? $4$

Три стороны одного треугольника равны трём сторонам другого. Треугольники…? равны
Стороны одного угла — продолжения сторон другого. Как называют эти углы? вертикальные, они равны
$M$ лежит на серединном перпендикуляре к $A B$ . Сравните $M A$ и $MB$ . $M A = MB$
Сколько осей симметрии у окружности? бесконечно много

R06.1

Новый материал · понятие движения

Движение сохраняет расстояния

Отображение плоскости на себя: каждой точке

M

сопоставлена точка

M^{'}

— её образ, и каждая точка плоскости — образ какой-то точки.

1Движение — отображение, при котором

M^{'} N^{'} = MN

для любых двух точек

M

и

N

2Фигура

F

переходит в фигуру

F^{'}

соответственные отрезки равны: одинаковые чёрточки

3Примеры: осевая и центральная симметрия, параллельный перенос, поворотперенос и поворот — на следующем уроке

2 мин · теория
На чертеже треугольник $A BC$ «переложили» в положение $A^{'} B^{'} C^{'}$ : стороны с одинаковым числом чёрточек равны. Вопрос классу: можно ли так переложить кальку с треугольником? (Да — наложение и есть движение; верно и обратное, это доказывается в учебнике.)
Контрпример: растяжение в 2 раза от точки (гомотетия, $k = 2$ ) — отображение плоскости, но не движение: расстояния удваиваются.
Слово «движение» — не перемещение во времени, а соответствие между точками «было → стало».

R06.1

Новый материал · осевая симметрия

Теорема: осевая симметрия — движение

Симметрия относительно прямой

a

:

A A^{'} ⊥ a

, середина

A A^{'}

лежит на

a

. Докажем:

A^{'} B^{'} = A B

.

1Ось

O y

— по прямой

a

:

(x; y) \to (- x; y)

выбор системы координат

2

A B^{2} = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}

формула расстояния между точками

3

A^{'} B^{'2} = (- x_{2} + x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}

та же сумма:

(- t)^{2} = t^{2}

4

A^{'} B^{'} = A B

⇒ осевая симметрия — движениерасстояние между любыми двумя точками сохраняется

2,5 мин · теория
Определение (8 класс): точки $A$ и $A^{'}$ симметричны относительно прямой $a$ , если $a$ — серединный перпендикуляр к $A A^{'}$ ; точка прямой $a$ симметрична сама себе.
Шаг 1: удобная система координат — ключ доказательства; ось симметрии совпадает с осью ординат, поэтому у образа меняется только знак абсциссы.
Шаг 3: $(- x_{2} - (- x_{1}))^{2} = (x_{1} - x_{2})^{2} = (x_{2} - x_{1})^{2}$ . Вопрос классу: что изменится, если ось симметрии — $O x$ ? (Меняется знак $y$ , доказательство то же.)

R06.1

Образец → сам · осевая симметрия

Образ треугольника на координатной плоскости

Образец: постройте образ $△ A BC$ при симметрии относительно оси $O y$ : $A (1; 3)$ , $B (4; 1)$ , $C (5; 4)$ .

$(x; y) \to (- x; y)$ относительно $O y$ меняется знак $x$

$A^{'} (- 1; 3)$ , $B^{'} (- 4; 1)$ ,
$C^{'} (- 5; 4)$ отмечаем точки и соединяем

$A B = A^{'} B^{'} = 13$ проверка: $3^{2} + 2^{2} = 13$

Сам

$M (2; - 5)$ относительно $O x$ . $(2; 5)$
$M (- 3; 4)$ относительно $O y$ . $(3; 4)$
$K (7; 2)$ относительно прямой $x = 1$ . $(- 5; 2)$

R06.1

Новый материал · центральная симметрия

Теорема: центральная симметрия — движение

Симметрия относительно точки

O

:

O

— середина

A A^{'}

и

B B^{'}

. Докажем:

A^{'} B^{'} = A B

.

1

O A = O A^{'}

,

OB = O B^{'}

определение центральной симметрии

2

∠ A OB = ∠ A^{'} O B^{'}

вертикальные углы

3

△ A OB

=

△ A^{'} O B^{'}

по двум сторонам и углу между ними

4

A^{'} B^{'} = A B

⇒ центральная симметрия — движениев координатах (

O

— начало):

(x; y) \to (- x; - y)

R06.1

Образец → сам · центральная симметрия

Центр симметрии — середина отрезка $M M^{'}$

Образец: найдите точку $M^{'}$ , симметричную $M (4; 3)$ относительно точки $C (1; 2)$ .

$C$ — середина $M M^{'}$ определение центральной симметрии

$x^{'} = 2 \cdot 1 - 4 = - 2$ из $\frac{4 + x ^{'}}{2} = 1$

$y^{'} = 2 \cdot 2 - 3 = 1$ из $\frac{3 + y ^{'}}{2} = 2$

$M^{'} (- 2; 1)$

Сам

$A (3; - 1)$ относительно начала координат. $(- 3; 1)$
$A (5; 2)$ относительно $C (2; 0)$ . $(- 1; - 2)$
$A (1; 4)$ переходит в $A^{'} (5; - 2)$ . Найдите центр. $(3; 1)$

R06.1

Новый материал · свойство движений

Теорема: при движении отрезок переходит в отрезок

1

M \in A B

:

A M + MB = A B

точка

M

лежит на отрезке

2

A^{'} M^{'} = A M

,

M^{'} B^{'} = MB

,

A^{'} B^{'} = A B

движение сохраняет расстояния

3

A^{'} M^{'} + M^{'} B^{'} = A^{'} B^{'}

⇒

M^{'} \in A^{'} B^{'}

иначе по неравенству треугольника сумма больше

A^{'} B^{'}

4Образ отрезка

A B

— отрезок

A^{'} B^{'}

каждая точка

A^{'} B^{'}

— образ точки отрезка

A B

R06.1

Новый материал · следствия и неподвижные точки

Что сохраняет любое движение

Фигура	Образ при движении
прямая, луч	прямая, луч
треугольник	равный треугольник
угол	равный угол
окружность радиуса $R$	окружность радиуса $R$
параллельные прямые	параллельные прямые

Неподвижные точки: $M^{'} = M$

осевая симметрия — все точки оси
центральная — только центр $O$
тождественное — все точки плоскости

1,5 мин · теория
Почему: треугольник → треугольник с теми же тремя сторонами (каждая сторона — отрезок, переходит в равный отрезок), значит, равный по третьему признаку; отсюда равны и углы. Окружность: все её точки удалены от центра $O$ на $R$ — образы удалены от $O^{'}$ на $R$ .
Параллельные прямые: если бы образы пересеклись в точке $P^{'}$ , то её прообраз лежал бы на обеих прямых — противоречие (это задание 4 повышенного уровня).
Тождественное отображение $M \to M$ — тоже движение. Вопрос: есть ли неподвижные точки у центральной симметрии, кроме центра? (Нет: $M^{'} = M$ ⇒ $O$ — середина $MM$ , $M = O$ .)

R06.1

Образец → сам · доказательство

Центральная симметрия и прямая

Образец: докажите, что прямая $a$ , не проходящая через центр $O$ , переходит в параллельную ей прямую $a^{'}$ .

$A, B \in a$ → $A^{'}$ , $B^{'}$ $O$ — середина $A A^{'}$ и $B B^{'}$

$△ A OB = △ A^{'} O B^{'}$ две стороны и угол (вертикальные)

$∠ O A B = ∠ O A^{'} B^{'}$ накрест лежащие при секущей $A A^{'}$

$a^{'} ∥ a$ признак параллельных прямых

Сам

Центр — начало координат. Образ прямой $y = 2 x + 3$ ? $y = 2 x - 3$
$△ A BC$ : $A B = 5$ , $BC = 7$ , $∠ B = 6 0^{\circ}$ . При движении → $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ . $A^{'} C^{'}$ ? $39$
Докажите: середина отрезка переходит в середину образа. $B^{'} M^{'} = M^{'} C^{'}$ , $M^{'} \in B^{'} C^{'}$

3 мин · практика
План образца: две точки прямой → их образы → равные треугольники → равные накрест лежащие углы → параллельность. Образ прямой — прямая (следствие теоремы), поэтому $a^{'}$ — это прямая $A^{'} B^{'}$ . Стрелки параллельности открываются последним щелчком.
1) $(x; y) \to (- x; - y)$ : $- y = 2 \cdot (- x) + 3$ , $y = 2 x - 3$ — тот же угловой коэффициент, прямые параллельны, как в образце.
2) Движение сохраняет стороны и углы: $A^{'} B^{'} = 5$ , $B^{'} C^{'} = 7$ , $∠ B^{'} = 6 0^{\circ}$ ; по теореме косинусов $A^{'} C^{'2} = 25 + 49 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \frac{1}{2} = 39$ , $A^{'} C^{'} = 39$ .
3) $M$ — середина $BC$ : $BM = MC$ , $M \in BC$ . Движение: $B^{'} M^{'} = BM = MC = M^{'} C^{'}$ и $M^{'} \in B^{'} C^{'}$ (теорема об отрезке) ⇒ $M^{'}$ — середина $B^{'} C^{'}$ . Следствие: медиана переходит в медиану.

R06.1

Новый материал · симметрия фигур

Фигура симметрична, если симметрия переводит её в себя

отрезок2 оси · центр

равнобедренный треугольник1 ось

равносторонний треугольник3 оси

прямоугольник2 оси · центр

ромб2 оси · центр

квадрат4 оси · центр

параллелограмм0 осей · центр

равнобедренная трапеция1 ось

правильный шестиугольник6 осей · центр

окружность∞ осей · центр

1,5 мин · теория
Определение: прямая $a$ — ось симметрии фигуры, если для каждой точки фигуры симметричная ей относительно $a$ точка тоже принадлежит фигуре; аналогично — центр симметрии. Розовые штрихи — оси, розовая точка — центр.
Отрезок: оси — серединный перпендикуляр и сама прямая отрезка; центр — середина. Параллелограмм (не ромб и не прямоугольник) осей не имеет, центр — точка пересечения диагоналей. Правильный $n$ -угольник имеет $n$ осей (урок GEOM9-048), центр — при чётном $n$ .
Вопрос классу: у какого треугольника есть центр симметрии? (Ни у какого.)

R06.1

Образец → сам · клетчатая бумага

Достройте фигуру симметрично

Образец: достройте фигуру симметрично относительно прямой $a$ (клетка $1 \times 1$ ) и найдите площадь всей фигуры.

из каждой вершины — перпендикуляр к $a$ , та же длина за $a$ определение осевой симметрии

$S_{исх} = 8 + 2 = 10$ прямоугольник $4 \times 2$ и квадрат $2 \times 2$

$S = 10 + 10 = 20$ образ равен исходной: движение

Сам

Осей симметрии у правильного шестиугольника? $6$
Есть ли центр симметрии у равностороннего треугольника? нет
Четырёхугольник с центром симметрии, но без осей? параллелограмм

2,5 мин · практика
Исходная фигура (розовая): вершины $(2; 1)$ , $(6; 1)$ , $(6; 4)$ , $(4; 4)$ , $(4; 3)$ , $(2; 3)$ в клетках от левого нижнего угла, ось $a$ — вертикаль $x = 6$ ; образ (бирюзовый) — по щелчку. Площадь по формуле Гаусса: $10$ ✓; вся фигура — $20$ .
Главная мысль: площадь образа считать не нужно — движение переводит фигуру в равную.
1) $6$ : три через противоположные вершины и три через середины противоположных сторон. 2) Нет: при повороте на $18 0^{\circ}$ вокруг центра вершина переходит в точку вне треугольника. 3) Параллелограмм с неравными соседними сторонами и непрямыми углами (не ромб и не прямоугольник).

R06.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$A (2; 5)$ относительно $O x$ : $(- 2; 5)$	это симметрия относительно $O y$	относительно $O x$ меняется $y$ : $(2; - 5)$
У параллелограмма две оси — диагонали	диагональ — ось только у ромба	осей нет, центр — точка пересечения диагоналей
$A (3; 2)$ относительно $C (1; 1)$ : $(- 3; - 2)$	так — только относительно начала координат	$A^{'} = 2 C - A = (- 1; 0)$
Любое отображение плоскости — движение	движение обязано сохранять расстояния	растяжение в 2 раза — не движение

R06.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Точка, симметричная $M (- 3; 1)$ относительно прямой $y = 2$ ?

Меняем знак $y$ :

$M^{'} (- 3; - 1)$

ось — $y = 2$ , а не $O x$ : $y^{'} = 2 \cdot 2 - 1 = 3$ , $M^{'} (- 3; 3)$

б) Сколько осей симметрии у квадрата?

Две: прямые через середины противоположных сторон.

ещё две диагонали: всего $4$ оси

в) При движении $△ A BC \to △ A^{'} B^{'} C^{'}$ . Докажите: $∠ A^{'} = ∠ A$ .

«На рисунке видно, что треугольники одинаковые, значит, $∠ A^{'} = ∠ A$ ».

$A^{'} B^{'} = A B$ , $B^{'} C^{'} = BC$ , $A^{'} C^{'} = A C$ ⇒ треугольники равны по трём сторонам ⇒ $∠ A^{'} = ∠ A$

R06.1

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $A (4; - 7)$ относительно $O x$ . $(4; 7)$
база $A (4; - 7)$ относительно $O y$ . $(- 4; - 7)$
база $A (4; - 7)$ относительно начала координат. $(- 4; 7)$

база $B (- 2; 6)$ относительно точки $C (1; 1)$ . $(4; - 4)$
базаСколько осей симметрии у ромба, не являющегося квадратом? $2$
базаПри движении отрезок с концами $A (1; 2)$ , $B (4; 6)$ переходит в $A^{'} B^{'}$ . Найдите $A^{'} B^{'}$ . $5$

R06.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Найдите точку, симметричную $M (5; 3)$ относительно прямой $x = 2$ . $(- 1; 3)$
повыш.Точки $A (2; 7)$ и $A^{'} (6; - 1)$ симметричны относительно точки $C$ . Найдите $C$ . $(4; 3)$
повыш.Точки $A (1; 3)$ и $A^{'} (3; 1)$ симметричны относительно прямой $l$ . Запишите уравнение $l$ . $y = x$
повыш.Докажите: при движении параллельные прямые переходят в параллельные. прообраз общей точки лежал бы на обеих прямых

2,5 мин · практика
1) $\frac{5 + x ^{'}}{2} = 2$ , $x^{'} = - 1$ : $(- 1; 3)$ . 2) Середина: $(\frac{2 + 6}{2}; \frac{7 - 1}{2}) = (4; 3)$ .
3) $l$ — серединный перпендикуляр к $A A^{'}$ : середина $(2; 2)$ ; угловой коэффициент $A A^{'}$ равен $\frac{1 - 3}{3 - 1} = - 1$ , перпендикуляра — $1$ : $y - 2 = x - 2$ , $y = x$ . Проверка: при симметрии относительно $y = x$ координаты меняются местами, $(1; 3) \to (3; 1)$ ✓.
4) Образы прямых $a ∥ b$ — прямые $a^{'}$ , $b^{'}$ . Если $a^{'} \cap b^{'} = P^{'}$ , то $P^{'}$ — образ некоторой точки $P$ ; так как разные точки переходят в разные (расстояние сохраняется), $P \in a$ и $P \in b$ — противоречие с $a ∥ b$ .

R06.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 19

Какие утверждения верны?

ОГЭ 19 Задание 1

Любой параллелограмм имеет центр симметрии.
Ромб имеет четыре оси симметрии.
Окружность имеет бесконечно много осей симметрии.

13

ОГЭ 19 Задание 2

Центр симметрии есть у любого треугольника.
Равнобедренная трапеция имеет ось симметрии.
Прямоугольник, не являющийся квадратом, имеет четыре оси симметрии.

2

R06.1 · ПР-9

Образец → сам · задача из жизни

Насосная станция на берегу реки

Образец: посёлки $A (0; 3)$ и $B (8; 5)$ (км) по одну сторону реки — оси $O x$ . Где на берегу поставить станцию $P$ , чтобы трубы $A P + PB$ были короче всего?

$B \to B^{'} (8; - 5)$ симметрия относительно реки: $PB = P B^{'}$

$A P + PB = A P + P B^{'} \geq A B^{'}$ равенство, если $P$ лежит на $A B^{'}$

$A B^{'}$ : $y = 3 - x$ ⇒ $P (3; 0)$ пересечение с осью $O x$

$A B^{'} = 82 \approx 11, 3$ км

Сам

$A (0; 2)$ , $B (6; 4)$ . Найдите $P$ . $P (2; 0)$
Длина кратчайших труб для них? $62 \approx 8, 5$ км
Почему путь через $P (4; 0)$ длиннее? $P \in / A B^{'}$ : ломаная длиннее отрезка

R06.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$A (- 3; 5)$ относительно $O x$ . $(- 3; - 5)$
$A (- 3; 5)$ относительно точки $C (1; 2)$ . $(5; - 1)$
Сколько осей симметрии у прямоугольника, не являющегося квадратом? $2$
При движении $△ A BC$ со сторонами $3$ , $4$ , $5$ переходит в $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ . Найдите его площадь. $6$

Вариант 2

$B (4; - 6)$ относительно $O y$ . $(- 4; - 6)$
$B (4; - 6)$ относительно точки $C (- 1; 1)$ . $(- 6; 8)$
Сколько осей симметрии у равностороннего треугольника? $3$
При движении $△ A BC$ со сторонами $6$ , $8$ , $10$ переходит в $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ . Найдите его площадь. $24$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какое отображение называют движением?
Почему при движении треугольник переходит в равный?
Какие точки неподвижны при осевой симметрии?

Домашнее задание

$A (1; 1)$ , $B (3; 4)$ , $C (5; 2)$ : постройте образы $△ A BC$ относительно $O x$ , $O y$ и $O$ .
$A (- 1; 5)$ и $A^{'} (7; 1)$ симметричны относительно $C$ . Найдите $C$ .
* Посёлки $A (1; 4)$ , $B (7; 2)$ , река — ось $O x$ . Найдите $P$ .
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_dvizheniya.htm

1 мин · практика (рефлексия, запись ДЗ)
Ответы на вопросы: отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния; три стороны сохраняются — равенство по трём сторонам; все точки оси.
Ответы ДЗ: 1) $O x$ : $(1; - 1)$ , $(3; - 4)$ , $(5; - 2)$ ; $O y$ : $(- 1; 1)$ , $(- 3; 4)$ , $(- 5; 2)$ ; $O$ : $(- 1; - 1)$ , $(- 3; - 4)$ , $(- 5; - 2)$ . 2) $C (3; 3)$ . 3) $B^{'} (7; - 2)$ , прямая $A B^{'}$ : $y = 5 - x$ , $P (5; 0)$ , длина труб $62$ .
Тренажёр reknow.ru/9/geometry/9_geometry_dvizheniya.htm — «Движения»: перенос, поворот, осевая и центральная симметрия. Следующий урок — «Параллельный перенос, поворот» (GEOM9-057).

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9-056 · Понятие о движении плоскости

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R06 «Движения плоскости», 6 ч · урок 1/6 · тип Н
Единицы → слайды	R06.1 «Понятие о движении плоскости» → 2, 4–21 · повторение R04 (координаты), 8 класс (симметрия, признаки равенства) → 3
Результаты	ПР-9 (оси и центры симметрии, движения в простейших случаях) → 4–21 · EL-6.11 → 4, 12
Виды деятельности	«Разбирать примеры, иллюстрирующие понятия движения» → 4 · «Формулировать определения… осевой симметрии. Выводить их свойства, находить неподвижные точки» → 5, 7, 9, 10 · «Находить центры и оси симметрий простейших фигур» → 12, 13, 18 · «Применять… симметрию при решении геометрических задач» → 11, 19
ОГЭ	линия 19 → 18 · линия 18 (клетчатая бумага) → 13
Вне урока	параллельный перенос и поворот — GEOM9-057; практикумы — GEOM9-058…060
Время	теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Понятие о движении плоскости

Сегодня вы научитесь

Понимать, что такое движение

Доказывать, что симметрии — движения

Применять свойства движений

Находить оси и центры симметрии

Восемь быстрых вопросов

Движение сохраняет расстояния

Теорема: осевая симметрия — движение

Образ треугольника на координатной плоскости

Образец: постройте образ △ABC при симметрии относительно оси Oy: A(1;3), B(4;1), C(5;4).

Сам

Теорема: центральная симметрия — движение

Центр симметрии — середина отрезка MM′

Образец: найдите точку M′, симметричную M(4;3) относительно точки C(1;2).

Сам

Теорема: при движении отрезок переходит в отрезок

Что сохраняет любое движение

Неподвижные точки: M′=M

Центральная симметрия и прямая

Образец: докажите, что прямая a, не проходящая через центр O, переходит в параллельную ей прямую a′.

Сам

Фигура симметрична, если симметрия переводит её в себя

Достройте фигуру симметрично

Образец: достройте фигуру симметрично относительно прямой a (клетка 1×1) и найдите площадь всей фигуры.

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Точка, симметричная M(−3;1) относительно прямой y=2?

б) Сколько осей симметрии у квадрата?

в) При движении △ABC→△A′B′C′. Докажите: ∠A′=∠A.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Какие утверждения верны?

ОГЭ 19 Задание 1

ОГЭ 19 Задание 2

Насосная станция на берегу реки

Образец: посёлки A(0;3) и B(8;5) (км) по одну сторону реки — оси Ox. Где на берегу поставить станцию P, чтобы трубы AP+PB были короче всего?

Сам

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9-056 · Понятие о движении плоскости

Образец: постройте образ $△ A BC$ при симметрии относительно оси $O y$ : $A (1; 3)$ , $B (4; 1)$ , $C (5; 4)$ .

Центр симметрии — середина отрезка $M M^{'}$

Образец: найдите точку $M^{'}$ , симметричную $M (4; 3)$ относительно точки $C (1; 2)$ .

Неподвижные точки: $M^{'} = M$

Образец: докажите, что прямая $a$ , не проходящая через центр $O$ , переходит в параллельную ей прямую $a^{'}$ .

Образец: достройте фигуру симметрично относительно прямой $a$ (клетка $1 \times 1$ ) и найдите площадь всей фигуры.

а) Точка, симметричная $M (- 3; 1)$ относительно прямой $y = 2$ ?

в) При движении $△ A BC \to △ A^{'} B^{'} C^{'}$ . Докажите: $∠ A^{'} = ∠ A$ .

Образец: посёлки $A (0; 3)$ и $B (8; 5)$ (км) по одну сторону реки — оси $O x$ . Где на берегу поставить станцию $P$ , чтобы трубы $A P + PB$ были короче всего?