Длина окружности и площадь круга · урок 8 из 8

Обобщение: правильные многоугольники, длина окружности и площадь круга

Геометрия · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R05 · GEOM9-055

0,5 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R05 «Правильные многоугольники. Длина окружности и площадь круга. Вычисление площадей» (8 ч), урок 8/8, единицы R05.1–R05.5. Тип урока — О (обобщение и систематизация): теория только сводками, основное время — задачи.
Теория (12,5): титул 0,5 · цели 0,5 · сводка «правильные многоугольники» 2,5 · сводка «окружность, дуга, радианы» 2,5 · сводка «площади» 2,5 · схема темы 1,5 · разбор учителем 2,5.
Практика (32,5): разминка 3 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2 + 2,5 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2,5 · из жизни 1,5 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: задачу из жизни и задание 4 повышенного уровня — в ДЗ; самостоятельную не сокращать — это контроль по всей теме.

R05.1–R05.5

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Находить элементы правильных многоугольников

сторону, радиусы $R$ и $r$ , углы, площадь (ПР-8)

Вычислять длины

окружности и дуги, переводить градусы в радианы и обратно

Вычислять площади

круга, сектора, сегмента и фигур, составленных из них (ПР-8)

Применять формулы

в задачах ОГЭ и задачах из жизни (ПР-10)

0,5 мин · теория
ПР-8: «Владеть понятиями правильного многоугольника, длины окружности, длины дуги окружности и радианной меры угла, уметь вычислять площадь круга и его частей. Применять полученные умения в практических задачах».
ПР-10: «Применять полученные знания на практике — строить математические модели для задач реальной жизни и проводить соответствующие вычисления…».
Виды деятельности ФРП R05: находить элементы правильных многоугольников; длина дуги и радианная мера; переход от радианной меры к градусной и обратно; площади секторов и сегментов; площади фигур с элементами круга; задачи реальной жизни.

повторение: R05.1–R05.5

Разминка · устно

Семь вопросов по всей теме

Центральный угол правильного восьмиугольника? $4 5^{\circ}$
Внутренний угол правильного шестиугольника? $12 0^{\circ}$
На рисунке $R = 7$ . Сторона шестиугольника? $7$
Длина окружности радиуса $5$ ? $10 π$
$9 0^{\circ}$ — это сколько радиан? $\frac{π}{2}$
Площадь круга с диаметром $6$ ? $9 π$
Какую часть круга составляет закрашенный сектор? $\frac{1}{6}$

R05.1

Сводка · правильные многоугольники

Все стороны равны, все углы равны

центральный угол $\frac{36 0 ^{\circ}}{n}$

угол многоугольника $\frac{18 0 ^{\circ} ( n - 2 )}{n}$

$a = 2 R sin \frac{18 0 ^{\circ}}{n}$ , $r = R cos \frac{18 0 ^{\circ}}{n}$

$S = \frac{1}{2} P r$ $P$ — периметр, $r$ — радиус вписанной окружности

$n$	$3$	$4$	$6$
$a$	$R 3$	$R 2$	$R$
$r$	$\frac{R}{2}$	$\frac{R 2}{2}$	$\frac{R 3}{2}$

2,5 мин · теория
Правильный многоугольник — выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны. Около него можно описать окружность и в него можно вписать окружность, их центры совпадают (точка $O$ ).
Формулы: из прямоугольного треугольника с гипотенузой $R$ , катетами $r$ и $\frac{a}{2}$ , углом $\frac{18 0 ^{\circ}}{n}$ при $O$ : $\frac{a}{2} = R sin \frac{18 0 ^{\circ}}{n}$ , $r = R cos \frac{18 0 ^{\circ}}{n}$ . Таблица — частные случаи ( $sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ , $sin 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ , $sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ ).
Вопрос классу: почему $S = \frac{1}{2} P r$ ? (Радиусы к вершинам делят многоугольник на $n$ равных треугольников с основанием $a$ и высотой $r$ .)

R05.1

Образец → сам · элементы правильного многоугольника

По радиусу — сторону, $r$ , периметр и площадь

Образец: правильный шестиугольник вписан в окружность радиуса $8$ . Найдите $a$ , $r$ , $P$ и $S$ .

$a = R = 8$ , $P = 6 \cdot 8 = 48$ для $n = 6$ : $a = R$

$r = 8 \cdot \frac{3}{2} = 43$ $r = R cos 3 0^{\circ}$

$S = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot 43 = 963$ $S = \frac{1}{2} P r$

Сам

Квадрат вписан в окружность радиуса $52$ . Найдите $a$ и $r$ . $a = 10$ , $r = 5$
Сторона правильного треугольника $12$ . Найдите $R$ и $r$ . $R = 43$ , $r = 23$
Угол правильного многоугольника $15 0^{\circ}$ . Сколько у него сторон? $12$

R05.2 · R05.3 · R05.4

Сводка · длина окружности, дуга, радианы

Дуга — доля окружности

$C = 2 π R = π d$ $π \approx 3, 14$ — отношение длины окружности к диаметру

$l = \frac{π R α}{18 0 ^{\circ}}$ $α$ в градусах: доля $\frac{α}{36 0 ^{\circ}}$ от $2 π R$

$1$ рад — угол, у которого дуга равна $R$ : $l = R α$

градусы	$3 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$6 0^{\circ}$	$9 0^{\circ}$	$18 0^{\circ}$	$36 0^{\circ}$
радианы	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$	$π$	$2 π$

R05.3 · R05.4

Образец → сам · длина дуги и радианная мера

Градусы, радианы и длина дуги

Образец: $R = 9$ , центральный угол $14 0^{\circ}$ . Найдите угол в радианах и длину дуги.

$α = 140 \cdot \frac{π}{180} = \frac{7 π}{9}$ умножаем на $\frac{π}{180}$

$l = R α = 9 \cdot \frac{7 π}{9}$ формула в радианах

$l = 7 π \approx 22, 0$ проверка: $\frac{π \cdot 9 \cdot 140}{180} = 7 π$

Сам

Переведите $21 0^{\circ}$ в радианы. $\frac{7 π}{6}$
Переведите $\frac{5 π}{12}$ в градусы. $7 5^{\circ}$
Дуга длиной $5 π$ , $R = 12$ . Найдите её градусную меру. $7 5^{\circ}$

R05.5

Сводка · площадь круга, сектора, сегмента

Сектор — доля круга, сегмент — сектор без треугольника

$S_{круга} = π R^{2}$

$S_{сект} = \frac{π R ^{2} α}{36 0 ^{\circ}} = \frac{1}{2} R^{2} α$ в градусах · в радианах

$S_{сегм} = S_{сект} - S_{△}$ , $S_{△} = \frac{1}{2} R^{2} sin α$ для дуги меньше $18 0^{\circ}$ ; для дуги больше $18 0^{\circ}$ — $S_{сект} + S_{△}$

2,5 мин · теория
Площадь круга — предел площадей вписанных правильных многоугольников: $S_{n} = \frac{1}{2} P_{n} r_{n} \to \frac{1}{2} \cdot 2 π R \cdot R = π R^{2}$ .
Сектор — часть круга между двумя радиусами; его площадь — доля $\frac{α}{36 0 ^{\circ}}$ (или $\frac{α}{2 π}$ ) от $π R^{2}$ . Сегмент — часть круга между хордой и дугой: сектор минус равнобедренный треугольник $A OB$ (или плюс — если дуга больше полуокружности).
Вопрос: чему равна площадь сегмента, если дуга $18 0^{\circ}$ ? (Полукруг, $\frac{1}{2} π R^{2}$ : треугольник вырождается, $sin 18 0^{\circ} = 0$ .)

R05.5

Образец → сам · площадь круга и сектора

Прямая и обратная задачи

Образец: $R = 6$ , центральный угол $10 0^{\circ}$ . Найдите площадь сектора.

$S_{круга} = π \cdot 6^{2} = 36 π$ $S = π R^{2}$

$S_{сект} = 36 π \cdot \frac{100}{360}$ доля круга $\frac{α}{36 0 ^{\circ}}$

$S_{сект} = 10 π \approx 31, 4$ проверка: $\frac{1}{2} \cdot 36 \cdot \frac{5 π}{9} = 10 π$

Сам

Площадь круга $64 π$ . Найдите длину окружности. $16 π$
$R = 4$ , угол сектора $1, 5$ рад. Найдите его площадь. $12$
Площадь сектора $15 π$ , $R = 6$ . Найдите угол сектора. $15 0^{\circ}$

R05.5

Образец → сам · площадь сегмента

Сегмент = сектор − треугольник

Образец: $R = 6$ , $∠ A OB = 6 0^{\circ}$ . Найдите площадь закрашенного сегмента.

$S_{сект} = \frac{36 π \cdot 60}{360} = 6 π$ доля $\frac{1}{6}$ круга

$S_{△ A OB} = \frac{3}{4} \cdot 6^{2} = 93$ $O A = OB$ , $∠ O = 6 0^{\circ}$ ⇒ правильный

$S = 6 π - 93 \approx 3, 26$ сектор минус треугольник

Сам

$R = 4$ , $∠ A OB = 9 0^{\circ}$ . Площадь меньшего сегмента? $4 π - 8$
$R = 10$ , $∠ A OB = 12 0^{\circ}$ . Площадь меньшего сегмента? $\frac{100 π}{3} - 253$
В задании 1 найдите площадь большего сегмента. $12 π + 8$

R05.1–R05.5

Схема · вся тема на одном слайде

От многоугольника к кругу и его частям

Правильный $n$ ‑угольник

$a$ , $r$ , $P_{n}$ , $S_{n}$ через $R$

→

Удваиваем $n$

$P_{n} \to C = 2 π R$

$S_{n} \to S = π R^{2}$

→

Берём долю круга

$l = \frac{π R α}{18 0 ^{\circ}}$

$S_{сект} = \frac{π R ^{2} α}{36 0 ^{\circ}}$

→

Учитываем треугольник

$S_{сегм} =$

$S_{сект} \mp S_{△}$

В радианах доля

\frac{α}{2 π}

:

l = R α

,

S_{сект} = \frac{1}{2} R^{2} α

. Площадь сложной фигуры — сумма или разность известных частей.

R05.1 · R05.5

Разбор учителем · многоугольник и круг вместе

Площадь круга вне вписанного шестиугольника

Дано: правильный шестиугольник со стороной

6

вписан в окружность.
Найти: площадь закрашенной части круга.

1

R = a = 6

сторона правильного шестиугольника равна

R

2

S_{круга} = π \cdot 6^{2} = 36 π

S = π R^{2}

3

S_{6} = 6 \cdot \frac{3}{4} \cdot 6^{2} = 543

шесть правильных треугольников со стороной

6

4

S = 36 π - 543 \approx 19, 6

круг минус шестиугольник

R05.1 · R05.5

Образец → сам · кольцо около правильного многоугольника

Площадь кольца между $R$ и $r$

Образец: сторона правильного шестиугольника $6$ . Найдите площадь кольца между описанной и вписанной окружностями.

$R = 6$ , $r = 6 \cdot \frac{3}{2} = 33$ таблица для $n = 6$

$S = π R^{2} - π r^{2}$ большой круг минус малый

$S = π (36 - 27) = 9 π$ $\approx 28, 3$

Сам

Квадрат со стороной $8$ . $16 π$
Правильный треугольник со стороной $6$ . $9 π$
Почему ответы для треугольника и шестиугольника со стороной $6$ совпали? $R^{2} - r^{2} = (\frac{a}{2})^{2}$

R05.1–R05.5

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$l = \frac{π R α}{36 0 ^{\circ}}$	спутали с сектором: доля от $2 π R$ , а не от $π R$	$l = \frac{π R α}{18 0 ^{\circ}}$
$d = 10 \Rightarrow S = 100 π$	в формулу подставили диаметр вместо радиуса	$R = 5$ , $S = 25 π$
$π$ рад $= 3, 1 4^{\circ}$	$π$ рад — это развёрнутый угол	$π$ рад $= 18 0^{\circ}$ , $1$ рад $\approx 5 7^{\circ}$
дуга $27 0^{\circ}$ : $S_{сегм} = S_{сект} - S_{△}$	для дуги больше $18 0^{\circ}$ треугольник входит в сегмент	$S_{сегм} = S_{сект} + S_{△}$

R05.1–R05.5

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Длина дуги $6 0^{\circ}$ окружности радиуса $9$ .

$l = \frac{2 π \cdot 9 \cdot 60}{180}$

$l = 6 π$

$l = \frac{π \cdot 9 \cdot 60}{180} = 3 π$

б) Площадь сектора $7 2^{\circ}$ круга радиуса $5$ .

$S = \frac{π \cdot 5 \cdot 72}{360}$

$S = π$

$S = \frac{π \cdot 5 ^{2} \cdot 72}{360} = 5 π$

в) Площадь правильного шестиугольника со стороной $4$ .

$P = 24$ , $r = \frac{a}{2} = 2$

$S = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 2 = 24$

$r = 4 \cdot \frac{3}{2} = 23$ , $S = 243$

R05.1–R05.5

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаДлина окружности, $R = 3, 5$ ? $7 π \approx 21, 98$
базаПлощадь круга с диаметром $10$ ? $25 π$
базаУгол правильного десятиугольника? $14 4^{\circ}$

базаПереведите $31 5^{\circ}$ в радианы. $\frac{7 π}{4}$
базаДлина дуги $4 5^{\circ}$ , $R = 8$ ? $2 π$
базаПлощадь сектора $3 0^{\circ}$ , $R = 6$ ? $3 π$

R05.1–R05.5

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Длину окружности увеличили в $3$ раза. Во сколько раз увеличилась площадь круга? в $9$ раз
повыш.Около правильного треугольника со стороной $43$ описана окружность. Найдите её длину и площадь круга. $C = 8 π$ , $S = 16 π$
повыш.Сектор с углом $2$ рад имеет периметр $20$ . Найдите его площадь. $25$
повыш.В круг радиуса $5$ вписан квадрат. Найдите площадь части круга вне квадрата. $25 π - 50 \approx 28, 5$

R05.1–R05.5 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 16, 18 и 19

Ответ — число или номера утверждений

ОГЭ 16Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник с высотой $18$ . $6$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Длина окружности радиуса $R$ равна $π R$ .
Площадь круга радиуса $R$ равна $π R^{2}$ .
Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности.

Ответ: 23

ОГЭ 18 На клетчатой бумаге два круга. Площадь внутреннего равна $8$ . Найдите площадь закрашенной фигуры.

Ответ: 10

R05.3 · R05.5 · ПР-10

Задача из жизни · пицца и колесо

Где больше пиццы и сколько оборотов

1. Что больше: одна пицца диаметром $30$ см или две по $20$ см? одна: $225 π > 200 π$

2. Колесо велосипеда диаметром $70$ см. Сколько полных оборотов оно сделает на $1$ км? $454$

R05.1–R05.5

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Правильный шестиугольник вписан в окружность радиуса $10$ . Найдите его периметр. $60$
Переведите $12 0^{\circ}$ в радианы. $\frac{2 π}{3}$
Длина дуги $12 0^{\circ}$ окружности радиуса $9$ ? $6 π$
$R = 8$ , $∠ A OB = 9 0^{\circ}$ . Площадь меньшего сегмента? $16 π - 32$

Вариант 2

Квадрат вписан в окружность радиуса $32$ . Найдите его периметр. $24$
Переведите $\frac{3 π}{5}$ в градусы. $10 8^{\circ}$
Длина дуги $8 0^{\circ}$ окружности радиуса $9$ ? $4 π$
$R = 6$ , $∠ A OB = 9 0^{\circ}$ . Площадь меньшего сегмента? $9 π - 18$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как связаны $l$ и $S_{сект}$ с долей $\frac{α}{36 0 ^{\circ}}$ ?
Что такое $1$ радиан?
Когда площадь сегмента — сектор плюс треугольник?

Домашнее задание

В окружность радиуса $6$ вписан правильный треугольник. Найдите площадь части круга вне треугольника.
$R = 12$ , $α = \frac{5 π}{6}$ . Найдите длину дуги и площадь сектора.
* Из углов квадрата со стороной $10$ вырезали четверти кругов радиуса $5$ . Найдите площадь остатка.
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_pravilnye.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9-055 · Обобщение по теме «Правильные многоугольники. Длина окружности и площадь круга»

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R05 «Правильные многоугольники. Длина окружности и площадь круга. Вычисление площадей», 8 ч · урок 8/8 · тип О
Единицы → слайды	R05.1 → 3–5, 11–13 · R05.2 → 3, 6 · R05.3 → 6–7, 19 · R05.4 → 6–7 · R05.5 → 8–10, 12–13, 19 · все → 14–18, 20–21
Результаты	ПР-8 → 2–21 · ПР-10 → 19 (задачи реальной жизни)
Вне урока	движения плоскости — R06 (GEOM9-056); построение правильных многоугольников циркулем — уроки GEOM9-048, GEOM9-053
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Обобщение: правильные многоугольники, длина окружности и площадь круга

Сегодня вы научитесь

Находить элементы правильных многоугольников

Вычислять длины

Вычислять площади

Применять формулы

Семь вопросов по всей теме

Все стороны равны, все углы равны

По радиусу — сторону, r, периметр и площадь

Образец: правильный шестиугольник вписан в окружность радиуса 8. Найдите a, r, P и S.

Сам

Дуга — доля окружности

Градусы, радианы и длина дуги

Образец: R=9, центральный угол 140∘. Найдите угол в радианах и длину дуги.

Сам

Сектор — доля круга, сегмент — сектор без треугольника

Прямая и обратная задачи

Образец: R=6, центральный угол 100∘. Найдите площадь сектора.

Сам

Сегмент = сектор − треугольник

Образец: R=6, ∠AOB=60∘. Найдите площадь закрашенного сегмента.

Сам

От многоугольника к кругу и его частям

Правильный n‑угольник

Удваиваем n

Берём долю круга

Учитываем треугольник

Площадь круга вне вписанного шестиугольника

Площадь кольца между R и r

Образец: сторона правильного шестиугольника 6. Найдите площадь кольца между описанной и вписанной окружностями.

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Длина дуги 60∘ окружности радиуса 9.

б) Площадь сектора 72∘ круга радиуса 5.

в) Площадь правильного шестиугольника со стороной 4.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — число или номера утверждений

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Где больше пиццы и сколько оборотов

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9-055 · Обобщение по теме «Правильные многоугольники. Длина окружности и площадь круга»

По радиусу — сторону, $r$ , периметр и площадь

Образец: правильный шестиугольник вписан в окружность радиуса $8$ . Найдите $a$ , $r$ , $P$ и $S$ .

Образец: $R = 9$ , центральный угол $14 0^{\circ}$ . Найдите угол в радианах и длину дуги.

Образец: $R = 6$ , центральный угол $10 0^{\circ}$ . Найдите площадь сектора.

Образец: $R = 6$ , $∠ A OB = 6 0^{\circ}$ . Найдите площадь закрашенного сегмента.

Правильный $n$ ‑угольник

Удваиваем $n$

Площадь кольца между $R$ и $r$

Образец: сторона правильного шестиугольника $6$ . Найдите площадь кольца между описанной и вписанной окружностями.

а) Длина дуги $6 0^{\circ}$ окружности радиуса $9$ .

б) Площадь сектора $7 2^{\circ}$ круга радиуса $5$ .

в) Площадь правильного шестиугольника со стороной $4$ .