Длина окружности и площадь круга · урок 7 из 8 · практикум

Практикум: число $π$

Геометрия · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R05 · GEOM9-054

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R05 «Правильные многоугольники. Длина окружности и площадь круга. Вычисление площадей» (8 ч), урок 7/8, единица R05.2 «Число π». Тип урока — П (практикум): новой теории нет — сводка, повторение оценки π, схема типов задач, демонстрационный пример и много практики.
Теория (12,5): титул 1 · цели 0,5 · сводка 3 · оценка π многоугольниками 2,5 · типы задач 2 · демонстрационный пример 3,5.
Практика (32,5): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2 × 5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2,5 · задача из жизни 1,5 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: образец «опыт с банкой» — в ДЗ (измерение дома); самостоятельную не сокращать.

R05.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь уверенно

Объяснять, что такое $π$

отношение длины окружности к диаметру — одно для всех окружностей

Оценивать $π$

периметрами правильных многоугольников и измерением

Находить $C$ , $d$ , $r$

точно (с $π$ ) и приближённо ( $π \approx 3, 14$ , $π \approx \frac{22}{7}$ )

Решать задачи

с многоугольниками, колёсами и в формате ОГЭ

повторение: R05.1 · R05.2

Разминка · устно

Шесть быстрых вопросов

Правильный шестиугольник вписан в окружность, $r = 4$ . Сторона $a$ ? $4$
Периметр этого шестиугольника? $24$
Число $π$ с точностью до сотых? $3, 14$
Что больше: $\frac{22}{7}$ или $3, 14$ ? $\frac{22}{7} \approx 3, 143$
Диаметр $10$ . Длина окружности при $π \approx 3, 14$ ? $31, 4$
Во сколько раз длина окружности больше её радиуса? в $2 π \approx 6, 28$ раза

R05.2 · сводка

Сводка правил

Всё, что нужно на практикуме

Что	Правило
Определение	$π = \frac{C}{d}$ — одно число для всех окружностей
Почему одно	все окружности подобны: $\frac{C _{1}}{C _{2}} = \frac{d _{1}}{d _{2}}$
Значение	$π = 3, 14159 \dots$ — бесконечная непериодическая дробь
Приближения	$π \approx 3, 14$ , $π \approx \frac{22}{7}$ (Архимед), $π \approx 3, 1416$
Формулы	$C = π d = 2 π r$ , $r = \frac{C}{2 π}$

3 мин · теория
Рисунок: окружность «развернули» в отрезок — он чуть длиннее трёх диаметров: $C = π d \approx 3, 14 d$ .
Почему отношение $C : d$ одинаково (урок GEOM9-049): любые две окружности подобны с коэффициентом $k = \frac{r _{1}}{r _{2}}$ , длины при подобии умножаются на $k$ , значит, $\frac{C _{1}}{d _{1}} = \frac{C _{2}}{d _{2}}$ .
Правило записи ответа: «точно» — с $π$ ( $12 π$ ); «приближённо» — подставляем $π \approx 3, 14$ в самом конце и пишем знак $\approx$ .
Вопрос: какое приближение точнее — $3, 14$ или $\frac{22}{7}$ ? (Разбираем в образце 5.)

R05.1 · R05.2 · повторение

Повторение · оценка многоугольниками

Почему $3 < π < 4$

Окружность радиуса

r

: вписанный правильный шестиугольник и описанный квадрат.

1

P_{6} = 6 r < C

сторона вписанного шестиугольника равна

r

; вписанная ломаная короче окружности

2

C < P_{4} = 8 r

сторона описанного квадрата равна

2 r

; описанный многоугольник длиннее

3

6 r < 2 π r < 8 r \Rightarrow 3 < π < 4

делим на

2 r > 0

R05.2 · сводка

Схема · типы задач практикума

Дано → найти → формула

1 · $r$ или $d$ → длина

$C = 2 π r = π d$

2 · длина → $d$ или $r$

$d = \frac{C}{π}$ , $r = \frac{C}{2 π}$

3 · изменили радиус

на $Δ r$ : $Δ C = 2 π Δ r$

4 · многоугольник ↔ окружность

сначала $R$ или $r$ , потом $C$

5 · измерения → $π$

$π \approx \frac{C}{d}$ , сравнить с $3, 1416$

6 · колесо, обороты

путь $= N \cdot π d$

R05.2

Образец → сам · длина по радиусу

Точно — с $π$ , приближённо — в конце

Образец: радиус окружности $3, 5$ см. Найдите её длину точно и приближённо.

$C = 2 π \cdot 3, 5 = 7 π$ смточный ответ

$7 \cdot \frac{22}{7} = 22$ смпри $π \approx \frac{22}{7}$

$7 \cdot 3, 14 = 21, 98$ смпри $π \approx 3, 14$

Сам

$d = 8$ дм. Найдите $C$ точно и при $π \approx 3, 14$ . $8 π \approx 25, 12$ дм
$r = 0, 5$ м. Найдите $C$ . $π \approx 3, 14$ м
$r = 2, 1$ см, $π \approx \frac{22}{7}$ . Найдите $C$ . $13, 2$ см

R05.2

Образец → сам · обратная задача

По длине окружности — диаметр и радиус

Образец: длина окружности $31, 4$ м. Найдите её диаметр и радиус ( $π \approx 3, 14$ ).

$C = π d \Rightarrow d = \frac{C}{π}$ выражаем неизвестное

$d = \frac{31 , 4}{3 , 14} = 10$ мподставляем приближение

$r = \frac{d}{2} = 5$ м

Сам

$C = 12 π$ . Найдите $r$ . $r = 6$
$C = 44$ см, $π \approx \frac{22}{7}$ . Найдите $d$ . $d = 14$ см
$C = 18, 84$ дм, $π \approx 3, 14$ . Найдите $r$ . $r = 3$ дм

R05.2 · R05.3

Образец → сам · изменение радиуса

На сколько и во сколько раз

Образец: радиус окружности увеличили на $2$ см. На сколько увеличилась её длина?

$C_{2} = 2 π (r + 2)$ , $C_{1} = 2 π r$ длины новой и старой окружностей

$C_{2} - C_{1} = 2 π r + 4 π - 2 π r$ раскрываем скобки

$4 π \approx 12, 57$ смответ не зависит от $r$

Сам

Радиус увеличили в $3$ раза. Как изменилась длина? увеличилась в $3$ раза
Длина увеличилась на $10 π$ . На сколько увеличился радиус? на $5$
Отношение длин окружностей радиусов $4$ и $10$ ? $2 : 5$

R05.1 · R05.2 · демонстрация

Демонстрационный пример · учитель решает

Уточняем $π$ , как Архимед

1

a_{12} = 2 R sin 1 5^{\circ} \approx 0, 5176 R

a_{n} = 2 R sin \frac{18 0 ^{\circ}}{n}

;

sin 1 5^{\circ}

— по калькулятору

2

P_{12} \approx 6, 21 R < 2 π R \Rightarrow π > 3, 10

вписанный 12-угольник короче окружности

$n$	вписанный: $π >$	описанный: $π <$
$6$	$3$	$3, 465$
$12$	$3, 105$	$3, 216$
$96$	$3, 1410$	$3, 1428$

3,5 мин · теория (учитель решает у доски, класс записывает план)
План: 1) сторона вписанного 12-угольника по формуле $a_{n} = 2 R sin \frac{18 0 ^{\circ}}{n}$ (GEOM9-048); 2) периметр $12 a_{12} = 24 R sin 1 5^{\circ} \approx 6, 2117 R$ ; 3) сравнение с $2 π R$ : $π > 3, 1058$ .
Таблица: вписанный $n$ -угольник даёт $π > n sin \frac{18 0 ^{\circ}}{n}$ , описанный — $π < n tg \frac{18 0 ^{\circ}}{n}$ (для описанного $a_{n} = 2 r tg \frac{18 0 ^{\circ}}{n}$ ). Значения: $n = 6$ : $3$ и $3, 4641$ ; $n = 12$ : $3, 1058$ и $3, 2154$ ; $n = 96$ : $3, 14103$ и $3, 14271$ . В таблице границы округлены «наружу», чтобы неравенства оставались верными.
Архимед (III в. до н. э.) дошёл до 96-угольника и получил $3 \frac{10}{71} < π < 3 \frac{1}{7}$ — отсюда приближение $\frac{22}{7}$ .

R05.1 · R05.2

Образец → сам · многоугольник и окружность

Сначала радиус, потом длина

Образец: квадрат со стороной $6$ вписан в окружность. Найдите длину окружности.

$d = 62$ диаметр — диагональ квадрата (вписанный прямой угол)

$C = π d = 62 π$ точный ответ

$C \approx 26, 7$ $2 \approx 1, 414$ , $π \approx 3, 14$

Сам

Окружность вписана в квадрат со стороной $6$ . $C$ ? $6 π$
Правильный шестиугольник со стороной $5$ вписан в окружность. $C$ ? $10 π$
Правильный треугольник со стороной $6$ вписан в окружность. $C$ ? $43 π$

R05.2 · опыт

Образец → сам · опыт с измерением

Нитка, линейка и калькулятор

Образец: банку обмотали нитью — $C = 31, 8$ см, диаметр $d = 10, 1$ см. Оцените $π$ .

$π \approx \frac{31 , 8}{10 , 1} \approx 3, 15$ по определению $π = C : d$

$3, 15 - 3, 1416 \approx 0, 008$ погрешность измерения

$\approx 0, 3 %$ от $π$ хорошее измерение

Сам

Тарелка: $C = 75, 4$ см, $d = 24$ см. Оцените $π$ . $3, 14$
Монета: $d = 2, 5$ см, $C = 7, 9$ см. Оцените $π$ . $3, 16$
Что ближе к $π$ : $3, 14$ или $\frac{22}{7}$ ? $\frac{22}{7}$

R05.2 · из жизни

Образец → сам · колесо и обороты

Один оборот — одна длина окружности

Образец: диаметр колеса $0, 7$ м. Сколько оборотов оно сделает на пути $1, 1$ км ( $π \approx \frac{22}{7}$ )?

$C = \frac{22}{7} \cdot 0, 7 = 2, 2$ мпуть за один оборот

$1, 1 км = 1100$ модни единицы

$1100 : 2, 2 = 500$

Сам

Колесо $d = 70$ см сделало $1000$ оборотов. Путь ( $π \approx 3, 14$ )? $2198$ м
За $200$ оборотов колесо проехало $314$ м. Его диаметр ( $π \approx 3, 14$ )? $0, 5$ м
Минутная стрелка $6$ см. Путь её конца за $1$ ч? $12 π \approx 37, 7$ см

R05.2

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$r = 6$ : $C = π \cdot 6 = 6 π$	$π$ умножают на диаметр, а не на радиус	$C = 2 π \cdot 6 = 12 π$
$C = 12 π$ : $r = 12$	$12$ — это диаметр	$2 π r = 12 π$ , $r = 6$
« $π = 3, 14$ », « $π = \frac{22}{7}$ »	это приближения: $π$ — бесконечная дробь	$π \approx 3, 14$ ; точно — $12 π$
$r = 10$ : $C \approx 2 \cdot 3 \cdot 10 = 60$	$π \approx 3$ — слишком грубо	$C \approx 2 \cdot 3, 14 \cdot 10 = 62, 8$

R05.1 · R05.2

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $C = 25, 12$ см ( $π \approx 3, 14$ ). Найдите $r$ и длину окружности радиуса $r + 1$ .

$r = 25, 12 : 3, 14 = 8$ см

$C_{2} = 2 \cdot 3, 14 \cdot 9 = 56, 52$ см

$8$ см — это $d$ , $r = 4$ см;
$C_{2} = 2 \cdot 3, 14 \cdot 5 = 31, 4$ см

б) Окружность вписана в квадрат со стороной $8$ . Найдите её длину.

$d = 82$ — диагональ

$C = 82 π$

у вписанной окружности $d = 8$ (сторона), $C = 8 π$

в) Радиус увеличили в $2$ раза. Как изменилась длина окружности?

$C = 2 π r$ , а $r$ стало $2 r$ ,

значит, длина выросла в $4$ раза

$2 π \cdot 2 r = 2 \cdot 2 π r$ — в $2$ раза (в $4$ раза — площадь)

R05.2

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $d = 15$ см. Длина окружности точно? $15 π$ см
база $r = 5$ , $π \approx 3, 14$ . $C$ ? $31, 4$
база $C = 18 π$ . Найдите $d$ . $18$

база $C = 62, 8$ м, $π \approx 3, 14$ . Найдите $r$ . $10$ м
база $r = 7$ см, $π \approx \frac{22}{7}$ . $C$ ? $44$ см
базаВо сколько раз длина окружности больше её диаметра? в $π \approx 3, 14$ раза

R05.1 · R05.2 · из жизни

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Длины двух окружностей $10 π$ и $16 π$ . Они касаются внешним образом. Найдите расстояние между центрами. $13$
повыш.Правильный шестиугольник с периметром $24$ вписан в окружность. Найдите её длину. $8 π \approx 25, 1$
повыш.На сколько процентов периметр квадрата, описанного около окружности, больше её длины? $\approx 27 %$
из жизниДлина экватора Земли около $40000$ км. Найдите радиус Земли до сотен километров ( $π \approx 3, 14$ ). $\approx 6400$ км

R05.2 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 12, 16 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 12Длину окружности можно вычислить по формуле $C = 2 π R$ . Найдите $R$ , если $C = 78, 5$ , $π \approx 3, 14$ . $12, 5$
ОГЭ 16Сторона квадрата равна $42$ . Найдите длину описанной около него окружности. В ответ запишите $C : π$ . $8$
ОГЭ 16Длина окружности равна $12 π$ . Найдите площадь круга. В ответ запишите $S : π$ . $36$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Длина окружности больше её диаметра более чем в $3$ раза.
Число $π$ равно $3, 14$ .
Длина окружности радиуса $r$ равна $π r$ .

Ответ: 1

R05.2 · из жизни

Задача из жизни · верёвка вокруг Земли

Пролезет ли кошка?

Верёвку обтянули по экватору, затем удлинили на

1

м и подняли над Землёй равномерно. Каков зазор

h

? Пролезет ли кошка высотой

15

см?

1

2 π (R + h) - 2 π R = 1

новая длина больше старой на

1

м

2

2 πh = 1

,

h = \frac{1}{2 π}

радиус Земли сократился

3

h \approx 0, 16

м

= 16

см — пролезети так же — для мяча или монеты

R05.1 · R05.2

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$r = 9$ . Найдите длину окружности точно. $18 π$
$C = 25, 12$ см, $π \approx 3, 14$ . Найдите $d$ . $8$ см
Квадрат со стороной $10$ вписан в окружность. Найдите $C$ . $102 π$
Колесо $d = 0, 5$ м сделало $100$ оборотов. Путь ( $π \approx 3, 14$ )? $157$ м

Вариант 2

$d = 11$ . Найдите длину окружности точно. $11 π$
$C = 37, 68$ дм, $π \approx 3, 14$ . Найдите $r$ . $6$ дм
Правильный треугольник со стороной $33$ вписан в окружность. $C$ ? $6 π$
Колесо $d = 0, 6$ м сделало $500$ оборотов. Путь ( $π \approx 3, 14$ )? $942$ м

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что такое число $π$ ?
Почему $C : d$ одинаково для всех окружностей?
Как найти радиус по длине окружности?

Домашнее задание

$C = 50, 24$ см, $π \approx 3, 14$ . Найдите $r$ .
Окружность описана около правильного шестиугольника с периметром $30$ . Найдите $C$ .
* Измерьте $C$ и $d$ трёх круглых предметов, найдите $C : d$ .
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_pravilnye.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9-054 · Практикум: число π

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R05 «Правильные многоугольники. Длина окружности и площадь круга. Вычисление площадей», 8 ч · урок 7/8 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R05.2 «Число π» → 2–20 · R05.1 (правильные многоугольники, повторение) → 3, 5, 10, 11 · R05.3 (длина окружности) → 7–9, 13
Результаты	ПР-8 → 2–20 · ПР-10 (модель реальной задачи) → 12, 13, 17, 19
Виды деятельности	«Пользоваться понятием длины окружности, введенным с помощью правильных многоугольников, определять число π» → 4, 5, 10, 12 · «Находить площади в задачах реальной жизни» (практические задачи) → 13, 19
ОГЭ	линия 12 → 18 · линия 16 → 18 · линия 19 → 18
Вне урока	обобщение по теме R05 — GEOM9-055; площадь круга и сектора — GEOM9-052 (R05.5)
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: число π

Сегодня вы научитесь уверенно

Объяснять, что такое π

Оценивать π

Находить C, d, r

Решать задачи

Шесть быстрых вопросов

Всё, что нужно на практикуме

Почему 3<π<4

Дано → найти → формула

1 · r или d → длина

2 · длина → d или r

3 · изменили радиус

4 · многоугольник ↔ окружность

5 · измерения → π

6 · колесо, обороты

Точно — с π, приближённо — в конце

Образец: радиус окружности 3,5 см. Найдите её длину точно и приближённо.

Сам

По длине окружности — диаметр и радиус

Образец: длина окружности 31,4 м. Найдите её диаметр и радиус (π≈3,14).

Сам

На сколько и во сколько раз

Образец: радиус окружности увеличили на 2 см. На сколько увеличилась её длина?

Сам

Уточняем π, как Архимед

Сначала радиус, потом длина

Образец: квадрат со стороной 6 вписан в окружность. Найдите длину окружности.

Сам

Нитка, линейка и калькулятор

Образец: банку обмотали нитью — C=31,8 см, диаметр d=10,1 см. Оцените π.

Сам

Один оборот — одна длина окружности

Образец: диаметр колеса 0,7 м. Сколько оборотов оно сделает на пути 1,1 км (π≈722​)?

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) C=25,12 см (π≈3,14). Найдите r и длину окружности радиуса r+1.

б) Окружность вписана в квадрат со стороной 8. Найдите её длину.

в) Радиус увеличили в 2 раза. Как изменилась длина окружности?

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Пролезет ли кошка?

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9-054 · Практикум: число π

Практикум: число $π$

Объяснять, что такое $π$

Оценивать $π$

Находить $C$ , $d$ , $r$

Почему $3 < π < 4$

1 · $r$ или $d$ → длина

2 · длина → $d$ или $r$

5 · измерения → $π$

Точно — с $π$ , приближённо — в конце

Образец: радиус окружности $3, 5$ см. Найдите её длину точно и приближённо.

Образец: длина окружности $31, 4$ м. Найдите её диаметр и радиус ( $π \approx 3, 14$ ).

Образец: радиус окружности увеличили на $2$ см. На сколько увеличилась её длина?

Уточняем $π$ , как Архимед

Образец: квадрат со стороной $6$ вписан в окружность. Найдите длину окружности.

Образец: банку обмотали нитью — $C = 31, 8$ см, диаметр $d = 10, 1$ см. Оцените $π$ .

Образец: диаметр колеса $0, 7$ м. Сколько оборотов оно сделает на пути $1, 1$ км ( $π \approx \frac{22}{7}$ )?

а) $C = 25, 12$ см ( $π \approx 3, 14$ ). Найдите $r$ и длину окружности радиуса $r + 1$ .

б) Окружность вписана в квадрат со стороной $8$ . Найдите её длину.

в) Радиус увеличили в $2$ раза. Как изменилась длина окружности?