Правильные многоугольники · урок 6 из 8 · практикум

Практикум: правильные многоугольники

Геометрия · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R05 · GEOM9-053

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R05 «Правильные многоугольники. Длина окружности и площадь круга. Вычисление площадей» (8 ч), урок 6/8, единица R05.1 «Правильные многоугольники». Тип урока — П (практикум): новой теории нет — повторение вывода, сводка, демонстрационный пример и много практики.
Теория (13): титул 1 · цели 0,5 · сводка 2,5 · повторение вывода 3 · три главных многоугольника 2,5 · демонстрационный пример 3,5.
Практика (32): разминка 3 · образцы → сам 2,5 × 5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2 · из жизни 1 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: задачи 3–4 повышенного уровня — в ДЗ; самостоятельную не сокращать.

R05.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь уверенно

Находить углы

внутренний, внешний и центральный — и число сторон по углу

Связывать $a$ , $R$ и $r$

для правильных треугольника, квадрата и шестиугольника

Вычислять площадь

правильного многоугольника: $S = \frac{1}{2} P r$

Решать задачи ОГЭ

и практические задачи: паркет, гайка

повторение: R05.1 · 8 класс

Разминка · устно

Шесть быстрых вопросов

Какие из фигур 1–4 — правильные многоугольники? 3 и 4
Сумма углов выпуклого шестиугольника? $72 0^{\circ}$
Сумма внешних углов выпуклого $n$ -угольника (по одному при вершине)? $36 0^{\circ}$
$sin 3 0^{\circ}$ , $sin 4 5^{\circ}$ , $sin 6 0^{\circ}$ ? $\frac{1}{2}$ , $\frac{2}{2}$ , $\frac{3}{2}$
Высота равностороннего треугольника со стороной $2$ ? $3$
Диагональ квадрата со стороной $1$ ? $2$

R05.1 · сводка

Сводка правил

Всё, что нужно на практикуме

Что	Правило
Определение	выпуклый многоугольник: все стороны равны и все углы равны
Внутренний угол	$α_{n} = \frac{( n - 2 ) \cdot 18 0 ^{\circ}}{n}$
Внешний и центральный	$β = φ = \frac{36 0 ^{\circ}}{n}$ , $α + β = 18 0^{\circ}$
Окружности	вписанная и описанная — есть всегда, центр $O$ общий
Сторона и радиусы	$a_{n} = 2 R sin \frac{18 0 ^{\circ}}{n}$ , $r = R cos \frac{18 0 ^{\circ}}{n}$
Площадь	$S = \frac{1}{2} P r$ ( $P$ — периметр)

R05.1 · повторение

Повторение · вывод формул стороны и радиусов

Всё решает треугольник $A O H$

1

O A = OB = R

,

∠ A OB = \frac{36 0 ^{\circ}}{n}

△ A OB

равнобедренный, угол — центральный

2

A H = \frac{a}{2}

,

φ = ∠ A O H = \frac{18 0 ^{\circ}}{n}

высота

O H

равнобедренного — медиана и биссектриса

3

\frac{a}{2} = R sin φ

\Rightarrow

a = 2 R sin \frac{18 0 ^{\circ}}{n}

синус острого угла прямоугольного

△ A O H

4

r = O H = R cos \frac{18 0 ^{\circ}}{n}

O H ⊥ A B

— радиус вписанной окружности в точку касания

R05.1 · сводка

Сводка · три главных правильных многоугольника

Треугольник, квадрат, шестиугольник

$n = 3$

$a = R 3$ , $r = \frac{R}{2}$

$R = \frac{a 3}{3}$ , $r = \frac{a 3}{6}$

$n = 4$

$a = R 2$ , $r = \frac{a}{2}$

$R = \frac{a 2}{2}$ — половина диагонали

$n = 6$

$a = R$ , $r = \frac{a 3}{2}$

$6$ равносторонних треугольников

R05.1

Образец → сам · углы правильного многоугольника

Сначала внешний угол — он проще

Образец: найдите внутренний $α$ , внешний $β$ и центральный $φ$ углы правильного 12-угольника.

$β = \frac{36 0 ^{\circ}}{12} = 3 0^{\circ}$ внешние углы равны, их сумма $36 0^{\circ}$

$φ = \frac{36 0 ^{\circ}}{12} = 3 0^{\circ}$ $12$ равных центральных углов

$α = 18 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 15 0^{\circ}$ внутренний и внешний — смежные

Сам

Внутренний угол правильного восьмиугольника? $13 5^{\circ}$
Центральный угол правильного 20-угольника? $1 8^{\circ}$
Внутренний угол правильного 15-угольника? $15 6^{\circ}$

R05.1

Образец → сам · число сторон по углу

Обратная задача: $n = 36 0^{\circ} : β$

Образец: внутренний угол правильного многоугольника равен $14 0^{\circ}$ . Сколько у него сторон?

$β = 18 0^{\circ} - 14 0^{\circ} = 4 0^{\circ}$ внешний угол — смежный

$n \cdot 4 0^{\circ} = 36 0^{\circ}$ сумма внешних углов

$n = 9$ ответ — целое число, $n \geq 3$

Сам

Внутренний угол равен $16 5^{\circ}$ . Найдите $n$ . $24$
Центральный угол равен $3 6^{\circ}$ . Найдите $n$ . $10$
Может ли внутренний угол правильного многоугольника быть $13 0^{\circ}$ ? нет: $360 : 50 = 7, 2$

R05.1

Образец → сам · правильный треугольник

Для треугольника $R = 2 r$

Образец: сторона правильного треугольника равна $63$ . Найдите радиусы описанной и вписанной окружностей.

$R = \frac{a}{3} = \frac{6 3}{3} = 6$ из $a = R 3$

$r = \frac{R}{2} = 3$ $O$ делит медиану $C H$ в отношении $2 : 1$

$R = 6$ , $r = 3$ проверка: $R + r = 9 = h$

Сам

$R = 8$ . Найдите сторону правильного треугольника. $83$
$r = 5$ . Найдите сторону правильного треугольника. $103$
Высота правильного треугольника равна $9$ . Найдите $R$ и $r$ . $R = 6$ , $r = 3$

R05.1

Образец → сам · шестиугольник и квадрат

Шестиугольник — шесть равносторонних треугольников

Образец: радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен $10$ . Найдите сторону, периметр и $r$ .

$a = R = 10$ $∠ A OB = 6 0^{\circ}$ , $△ A OB$ равносторонний

$P = 6 a = 60$ шесть равных сторон

$r = O H = \frac{10 3}{2} = 53$ высота равностороннего $△ A OB$

Сам

Сторона квадрата $8$ . Найдите $R$ и $r$ . $R = 42$ , $r = 4$
Квадрат вписан в окружность радиуса $52$ . Его сторона? $10$
У правильного шестиугольника $r = 63$ . Его сторона? $12$

R05.1 · демонстрация

Демонстрационный пример · учитель решает

Площадь правильного шестиугольника двумя способами

Дано: правильный шестиугольник,

a = 4

. Найти:

S

.

1

S = 6 \cdot \frac{a ^{2} 3}{4} = 6 \cdot \frac{16 3}{4} = 243

шесть равносторонних треугольников со стороной

a

2

S = n \cdot \frac{1}{2} a r = \frac{1}{2} P r

n

треугольников с основанием

a

и высотой

r

— верно для любого

n

3

r = 23

,

P = 24

:

S = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 23 = 243

ответы совпали ✓

R05.1

Образец → сам · площадь через периметр и $r$

$S = \frac{1}{2} P r$ — для любого правильного

Образец: в правильный треугольник вписана окружность радиуса $2$ . Найдите площадь треугольника.

$R = 2 r = 4$ , $a = R 3 = 43$ формулы для правильного треугольника

$P = 3 a = 123$ периметр

$S = \frac{1}{2} \cdot 123 \cdot 2 = 123$ проверка: $\frac{1}{4} a^{2} 3 = 123$ ✓

Сам

Квадрат, $r = 3$ . $S$ ? $36$
Правильный шестиугольник, $r = 3$ . $S$ ? $63$
Правильный многоугольник: $P = 30$ , $r = 4$ . $S$ ? $60$

R05.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
угол правильного шестиугольника $\frac{36 0 ^{\circ}}{6} = 6 0^{\circ}$	это центральный угол	$18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}$
треугольник, $a = 6$ : $R = \frac{6 3}{6} = 3$	перепутаны $R$ и $r$	$R = \frac{6 3}{3} = 23$ , $r = 3$
квадрат, $R = 4$ : $a = 2 R = 8$	$2 R$ — диагональ, не сторона	$a = R 2 = 42$
сумма углов шестиугольника $6 \cdot 18 0^{\circ}$	забыли « $- 2$ »	$(6 - 2) \cdot 18 0^{\circ} = 72 0^{\circ}$

R05.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Внутренний угол правильного многоугольника $15 0^{\circ}$ . Найдите $n$ .

$n = \frac{36 0 ^{\circ}}{15 0 ^{\circ}} = 2, 4$

Ответ: такого многоугольника нет.

$15 0^{\circ}$ — не внешний угол;
$β = 3 0^{\circ}$ , $n = 12$

б) Правильный шестиугольник, $R = 6$ . Найдите $r$ .

$r = \frac{R}{2} = 3$

Ответ: $3$ .

$r = \frac{R}{2}$ — только для треугольника;
$r = \frac{R 3}{2} = 33$

в) Верно ли, что ромб — правильный многоугольник?

У ромба все стороны равны.

Значит, ромб — правильный.

нужны ещё равные углы;
правильный ромб — только квадрат

R05.1

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаВнутренний угол правильного пятиугольника? $10 8^{\circ}$
базаСумма углов правильного 10-угольника? $144 0^{\circ}$
базаСторона правильного треугольника $12$ . Найдите $R$ . $43$

базаСторона квадрата $10$ . Найдите $r$ . $5$
базаСторона правильного шестиугольника $7$ . Найдите $R$ . $7$
базаЦентральный угол правильного 36-угольника? $1 0^{\circ}$

R05.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Около квадрата со стороной $6$ описана окружность. Найдите сторону правильного треугольника, вписанного в ту же окружность. $36$
повыш.Внутренний угол правильного многоугольника на $14 0^{\circ}$ больше центрального. Найдите число сторон. $18$
повыш.Найдите площадь правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса $2$ . $63$
повыш.Сторона правильного шестиугольника равна $5$ . Найдите его большую и меньшую диагонали. $10$ и $53$

R05.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 16 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 16Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен $6$ . Найдите высоту треугольника. $18$
ОГЭ 16Сторона правильного треугольника равна $103$ . Найдите радиус описанной окружности. $10$
ОГЭ 16Найдите радиус окружности, описанной около квадрата со стороной $42$ . $4$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Угол правильного шестиугольника равен $12 0^{\circ}$ .
Любой ромб — правильный многоугольник.
Сторона правильного шестиугольника равна $R$ .

Ответ: 13

R05.1 · из жизни

Задача из жизни · паркет и гайка

Где встречаются правильные многоугольники

из жизниКакими одинаковыми правильными плитками можно выложить пол без щелей и наложений? треугольники, квадраты, шестиугольники
из жизниПочему нельзя правильными пятиугольниками? $360 : 108$ — не целое
из жизниШестигранная гайка «под ключ 17» (между параллельными гранями $17$ мм). Найдите её сторону, ≈ до 0,1 мм. $\frac{17 3}{3} \approx 9, 8$ мм

R05.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Внутренний угол правильного 18-угольника? $16 0^{\circ}$
Внешний угол правильного многоугольника $3 0^{\circ}$ . Найдите $n$ . $12$
Сторона правильного треугольника $9$ . Найдите $R$ . $33$
Правильный шестиугольник, $R = 8$ . Найдите $r$ . $43$

Вариант 2

Внутренний угол правильного 10-угольника? $14 4^{\circ}$
Внешний угол правильного многоугольника $4 5^{\circ}$ . Найдите $n$ . $8$
Сторона правильного треугольника $12$ . Найдите $r$ . $23$
Правильный шестиугольник, $r = 63$ . Найдите $R$ . $12$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как по внутреннему углу найти число сторон?
Чему равна сторона правильного шестиугольника?
Как связаны $R$ и $r$ правильного треугольника?

Домашнее задание

Внутренний угол правильного 24-угольника.
Правильный треугольник, $r = 3$ : найдите $a$ и $R$ .
* Площадь правильного шестиугольника со стороной $6$ .
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_pravilnye.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9-053 · Практикум: правильные многоугольники

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R05 «Правильные многоугольники. Длина окружности и площадь круга. Вычисление площадей», 8 ч · урок 6/8 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R05.1 «Правильные многоугольники» → 2–20
Результаты	ПР-8 → 2–20 · ПР-10 (модель реальной задачи) → 18
Виды деятельности	«Формулировать определение правильных многоугольников, находить их элементы» → 3–17, 19 · «Находить площади в задачах реальной жизни» → 18
ОГЭ	линия 16 → 17 (задачи 1–3) · линия 19 → 17
Вне урока	число $π$ — GEOM9-054 (R05.2); длина окружности и площадь круга — GEOM9-050, GEOM9-052
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: правильные многоугольники

Сегодня вы научитесь уверенно

Находить углы

Связывать a, R и r

Вычислять площадь

Решать задачи ОГЭ

Шесть быстрых вопросов

Всё, что нужно на практикуме

Всё решает треугольник AOH

Треугольник, квадрат, шестиугольник

n=3

n=4

n=6

Сначала внешний угол — он проще

Образец: найдите внутренний α, внешний β и центральный φ углы правильного 12-угольника.

Сам

Обратная задача: n=360∘:β

Образец: внутренний угол правильного многоугольника равен 140∘. Сколько у него сторон?

Сам

Для треугольника R=2r

Образец: сторона правильного треугольника равна 63​. Найдите радиусы описанной и вписанной окружностей.

Сам

Шестиугольник — шесть равносторонних треугольников

Образец: радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен 10. Найдите сторону, периметр и r.

Сам

Площадь правильного шестиугольника двумя способами

S=21​Pr — для любого правильного

Образец: в правильный треугольник вписана окружность радиуса 2. Найдите площадь треугольника.

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Внутренний угол правильного многоугольника 150∘. Найдите n.

б) Правильный шестиугольник, R=6. Найдите r.

в) Верно ли, что ромб — правильный многоугольник?

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Где встречаются правильные многоугольники

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9-053 · Практикум: правильные многоугольники

Связывать $a$ , $R$ и $r$

Всё решает треугольник $A O H$

$n = 3$

$n = 4$

$n = 6$

Образец: найдите внутренний $α$ , внешний $β$ и центральный $φ$ углы правильного 12-угольника.

Обратная задача: $n = 36 0^{\circ} : β$

Образец: внутренний угол правильного многоугольника равен $14 0^{\circ}$ . Сколько у него сторон?

Для треугольника $R = 2 r$

Образец: сторона правильного треугольника равна $63$ . Найдите радиусы описанной и вписанной окружностей.

Образец: радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен $10$ . Найдите сторону, периметр и $r$ .

$S = \frac{1}{2} P r$ — для любого правильного

Образец: в правильный треугольник вписана окружность радиуса $2$ . Найдите площадь треугольника.

а) Внутренний угол правильного многоугольника $15 0^{\circ}$ . Найдите $n$ .

б) Правильный шестиугольник, $R = 6$ . Найдите $r$ .