Длина окружности и площадь круга · урок 5 из 8

Площадь круга, сектора, сегмента

Геометрия · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R05 · GEOM9-052

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R05 «Правильные многоугольники. Длина окружности и площадь круга. Вычисление площадей» (8 ч), урок 5/8, единица R05.5 «Площадь круга, сектора, сегмента». Тип урока — Н.
Теория (12): титул 1 · цели 0,5 · площадь круга 3 · сектор 2,5 · сегмент 3 · сводка 2.
Практика (33): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2,5 + 3 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2,5 · из жизни 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: задачу из жизни и задание 4 повышенного уровня — в ДЗ; вывод формулы площади круга не сокращать.

R05.5

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Выводить формулу $S = π R^{2}$

через вписанные правильные многоугольники (ПР-8)

Находить площадь сектора

по углу в градусах и в радианах

Находить площадь сегмента

как разность (или сумму) сектора и треугольника

Решать задачи

на фигуры из частей круга, ОГЭ 16 и 18, задачи из жизни (ПР-10)

0,5 мин · теория
ПР-8: «Владеть понятиями правильного многоугольника, длины окружности, длины дуги окружности и радианной меры угла, уметь вычислять площадь круга и его частей. Применять полученные умения в практических задачах».
Виды деятельности ФРП R05: «Определять площадь круга. Выводить формулы (в градусной и радианной мере) для длин дуг, площадей секторов и сегментов. Вычислять площади фигур, включающих элементы окружности (круга). Находить площади в задачах реальной жизни».

повторение: R05.3 · R05.4 · R01

Разминка · устно

Восемь быстрых вопросов

Длина окружности радиуса $5$ ? $10 π$
Длина дуги $9 0^{\circ}$ окружности радиуса $4$ ? $2 π$
$6 0^{\circ}$ — сколько радиан? $\frac{π}{3}$
$\frac{π}{4}$ радиан — сколько градусов? $4 5^{\circ}$

Какая часть полного угла — $12 0^{\circ}$ ? $\frac{1}{3}$
$S_{△}$ : стороны $6$ и $6$ , угол между ними $9 0^{\circ}$ . $18$
То же, угол между ними $3 0^{\circ}$ . $9$
Вычислите $(32)^{2}$ . $18$

R05.5

Новый материал · площадь круга

Круг — предел вписанных правильных многоугольников

В круг радиуса

R

впишем правильный

n

-угольник: он состоит из

n

равных треугольников

A OB

.

1

S_{n} = n \cdot \frac{1}{2} a_{n} h_{n} = \frac{1}{2} P_{n} h_{n}

сумма площадей треугольников,

P_{n} = n a_{n}

2при

n \to \infty

:

P_{n} \to 2 π R

,

h_{n} \to R

многоугольник всё плотнее заполняет круг

3

S = \frac{1}{2} \cdot 2 π R \cdot R = π R^{2}

площадь круга — предел площадей

S_{n}

S = π R^{2} = \frac{π D ^{2}}{4}

3 мин · теория
На чертеже — правильный восьмиугольник; апофема $h_{n}$ (розовая) — высота треугольника $A OB$ , проведённая к стороне $a_{n}$ . Вопрос классу: что будет с апофемой, если сторон станет 100? (Почти совпадёт с радиусом.)
Шаг 2 опирается на урок GEOM9-050: длина окружности определена как предел периметров вписанных правильных многоугольников, $C = 2 π R$ .
Для запоминания: «площадь круга = половина длины окружности, умноженная на радиус» — так же, как площадь треугольника $\frac{1}{2} ah$ . Через диаметр: $R = \frac{D}{2}$ , $S = \frac{π D ^{2}}{4}$ .

R05.5

Образец → сам · площадь круга

По радиусу, диаметру, длине окружности

Образец: радиус круга равен $5$ . Найдите его площадь.

$S = π R^{2}$ формула площади круга

$S = π \cdot 5^{2} = 25 π$ в квадрат возводим только радиус

$S = 25 π \approx 78, 5$ при $π \approx 3, 14$

Сам

Диаметр круга $10$ . Найдите $S$ . $25 π$
$S = 49 π$ . Найдите радиус. $R = 7$
Длина окружности $12 π$ . Найдите площадь круга. $36 π$

R05.5

Новый материал · площадь сектора

Сектор — такая же доля круга, как угол — доля $36 0^{\circ}$

Круговой сектор — часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами.

1угол

1^{\circ}

→

\frac{π R ^{2}}{360}

круг делится на

360

равных секторов

2угол

α^{\circ}

→

S = \frac{π R ^{2} α}{360}

в

α

раз больше

3в радианах:

S = \frac{1}{2} R^{2} α

полный угол

2 π

рад — доля круга

α : 2 π

4длина дуги

l = R α

⇒

S = \frac{1}{2} lR

как у круга: половина дуги на радиус

R05.5

Образец → сам · площадь сектора

Угол в градусах — формула с долей $\frac{α}{360}$

Образец: радиус $6$ , центральный угол $4 0^{\circ}$ . Найдите площадь сектора.

$S = \frac{π R ^{2} α}{360}$ угол дан в градусах

$S = \frac{π \cdot 36 \cdot 40}{360}$ $R^{2} = 36$

$S = 4 π \approx 12, 6$ $\frac{40}{360} = \frac{1}{9}$ , $36 : 9 = 4$

Сам

$R = 9$ , $α = 12 0^{\circ}$ . $27 π$
$R = 10$ , $α = 9 0^{\circ}$ . $25 π$
$R = 4$ , $α = 27 0^{\circ}$ . $12 π$

R05.5 · R05.4

Образец → сам · доля круга и радианы

Площадь круга известна — сектор находим долей

Образец: площадь круга $90$ . Найдите площадь сектора с центральным углом $4 0^{\circ}$ .

доля: $\frac{40}{360} = \frac{1}{9}$ какую часть круга занимает сектор

$S_{сект} = 90 \cdot \frac{1}{9}$ радиус искать не нужно

$S_{сект} = 10$

Сам

Площадь круга $72$ , угол $15 0^{\circ}$ . $30$
$S_{сект} = 6 π$ , $R = 6$ . Найдите угол. $6 0^{\circ}$
$R = 4$ , угол $\frac{π}{4}$ рад. $2 π$

R05.5

Новый материал · площадь сегмента

Сегмент = сектор без треугольника

Круговой сегмент — часть круга, ограниченная дугой и хордой.

1

S_{сегм}

=

S_{сект}

-

S_{△ A OB}

если

α < 18 0^{\circ}

: треугольник вырезаем из сектора

2

S_{сегм} = \frac{π R ^{2} α}{360} - \frac{1}{2} R^{2} sin α

S_{△} = \frac{1}{2} \cdot R \cdot R \cdot sin α

— две стороны и угол

3если

α > 18 0^{\circ}

:

S_{сегм} = S_{сект} + S_{△ A OB}

большой сегмент содержит треугольник

R05.5

Образец → сам · площадь сегмента

Сектор минус треугольник

Образец: $R = 6$ , $∠ A OB = 9 0^{\circ}$ . Найдите площадь меньшего сегмента.

$S_{сект} = \frac{36 π}{4} = 9 π$ $\frac{90}{360} = \frac{1}{4}$

$S_{△} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18$ прямоугольный треугольник

$S = 9 π - 18 \approx 10, 3$ сектор минус треугольник

Сам

$R = 6$ , $α = 6 0^{\circ}$ . $6 π - 93$
$R = 4$ , $α = 12 0^{\circ}$ . $\frac{16 π}{3} - 43$
$R = 2$ , $α = 27 0^{\circ}$ (большой сегмент). $3 π + 2$

R05.3 · R05.5 · сводка

Сводка формул

Круг и его части

Фигура	Площадь
Круг	$S = π R^{2} = \frac{π D ^{2}}{4}$ (не путать с $C = 2 π R$ )
Сектор, $α$ в градусах	$S = \frac{π R ^{2} α}{360}$ — доля $\frac{α}{360}$ круга
Сектор, $α$ в радианах	$S = \frac{1}{2} R^{2} α = \frac{1}{2} lR$
Сегмент, $α < 18 0^{\circ}$	$S = S_{сект} - \frac{1}{2} R^{2} sin α$
Сегмент, $α > 18 0^{\circ}$	$S = S_{сект} + S_{△}$ или круг минус малый сегмент
Кольцо	$S = π R^{2} - π r^{2} = π (R^{2} - r^{2})$

R05.5

Образец → сам · фигура из частей круга

Сложная фигура — разность простых

Образец: найдите площадь кольца между концентрическими окружностями радиусов $5$ и $3$ .

$S = π R^{2} - π r^{2}$ большой круг минус малый

$S = π (25 - 9)$ вынесли $π$ за скобки

$S = 16 π \approx 50, 3$

Сам

В квадрат со стороной $4$ вписан круг. Площадь части квадрата вне круга? $16 - 4 π$
Площадь полукруга с диаметром $10$ . $12, 5 π$
Кольцо: диаметры $14$ и $4$ . $45 π$

R05.5

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$R = 3$ : $S = 2 π \cdot 3 = 6 π$	это длина окружности, а не площадь	$S = π \cdot 3^{2} = 9 π$
$D = 10$ : $S = π \cdot 1 0^{2} = 100 π$	в формулу подставляют радиус	$R = 5$ , $S = 25 π$
$R = 6$ , $α = \frac{π}{3}$ : $S = \frac{36 π}{360} \cdot \frac{π}{3}$	градусная формула, а угол в радианах	$S = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot \frac{π}{3} = 6 π$
сегмент $R = 6$ , $9 0^{\circ}$ : $S = 9 π$	это сектор: не вычли треугольник	$S = 9 π - 18$

R05.5

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $R = 6$ , $α = 6 0^{\circ}$ . Площадь сектора?

$S = \frac{π \cdot 6 \cdot 60}{360}$

$S = π$

радиус в квадрате: $\frac{π \cdot 36 \cdot 60}{360} = 6 π$

б) $R = 4$ , $α = 9 0^{\circ}$ . Площадь меньшего сегмента?

$S_{сект} = 4 π$ , $S_{△} = 4 \cdot 4 = 16$

$S = 4 π - 16$

$S_{△} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8$ : $S = 4 π - 8$

в) Площадь круга $36 π$ . Найдите длину окружности.

$R = 36$

$C = 2 π \cdot 36 = 72 π$

$R^{2} = 36$ , $R = 6$ : $C = 12 π$

R05.5

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаПлощадь круга радиуса $3$ . $9 π$
базаПлощадь круга диаметра $8$ . $16 π$
базаПлощадь круга $81 π$ . Найдите радиус. $9$

базаСектор: $R = 12$ , $α = 3 0^{\circ}$ . $12 π$
базаСектор: $R = 6$ , $α = \frac{π}{6}$ рад. $3 π$
базаПлощадь полукруга радиуса $4$ . $8 π$

R05.5

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Площадь сектора $15 π$ , его центральный угол $15 0^{\circ}$ . Найдите радиус. $6$
повыш.Площадь меньшего сегмента: $R = 10$ , центральный угол $6 0^{\circ}$ . $\frac{50 π}{3} - 253$
повыш.Найдите площадь круга, описанного около квадрата со стороной $10$ . $50 π$
повыш.Радиус круга увеличили в $3$ раза. Во сколько раз увеличилась площадь? в $9$ раз

R05.5 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 16 и 18

Ответ — одно число

ОГЭ 16Найдите площадь сектора круга радиуса $\frac{12}{π}$ , центральный угол которого равен $9 0^{\circ}$ . $36$
ОГЭ 16Площадь круга равна $120$ . Найдите площадь сектора этого круга с центральным углом $4 5^{\circ}$ . $15$

ОГЭ 18 Клетка $1 \times 1$ . Найдите площадь круга $S$ . В ответе укажите $\frac{S}{π}$ .

10

R05.5 · ПР-10

Задача из жизни

Пицца, газон и окно

Что выгоднее при одной цене: одна пицца диаметром $30$ см или две по $20$ см? одна: $225 π \approx 707$ см² против $200 π \approx 628$ см²
Дождеватель поливает сектор радиуса $10$ м с углом $12 0^{\circ}$ . Площадь полива? $\frac{100 π}{3} \approx 104, 7$ м²
Окно — прямоугольник $1, 2 \times 1$ м и полукруг над стороной $1, 2$ м. Площадь стекла? $1, 2 + 0, 18 π \approx 1, 77$ м²

R05.5

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Площадь круга радиуса $7$ . $49 π$
Сектор: $R = 6$ , $α = 15 0^{\circ}$ . $15 π$
Площадь круга $100 π$ . Найдите длину окружности. $20 π$
Меньший сегмент: $R = 8$ , $α = 9 0^{\circ}$ . $16 π - 32$

Вариант 2

Площадь круга диаметра $18$ . $81 π$
Сектор: $R = 12$ , $α = 4 5^{\circ}$ . $18 π$
Площадь круга $64 π$ . Найдите диаметр. $16$
Меньший сегмент: $R = 10$ , $α = 9 0^{\circ}$ . $25 π - 50$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Почему площадь круга равна $\frac{1}{2} CR$ ?
Чем сегмент отличается от сектора?
Когда пользуются формулой $\frac{1}{2} R^{2} α$ ?

Домашнее задание

Сектор: $R = 8$ , $α = 13 5^{\circ}$ .
Меньший сегмент: $R = 8$ , $α = 6 0^{\circ}$ .
* Квадрат со стороной $6$ ; из вершин как из центров проведены четверти кругов радиуса $3$ . Площадь оставшейся части квадрата?
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_okruzhnost.htm

1 мин · практика (рефлексия, запись ДЗ)
Ответы на вопросы: круг — предел правильных многоугольников, $S_{n} = \frac{1}{2} P_{n} h_{n}$ ; сегмент ограничен хордой, сектор — двумя радиусами; угол в радианах.
Ответы ДЗ: 1) $64 π \cdot \frac{135}{360} = 24 π$ . 2) $\frac{64 π}{6} - \frac{1}{2} \cdot 64 \cdot \frac{3}{2} = \frac{32 π}{3} - 163$ . 3) Четыре четверти — один круг радиуса $3$ : $36 - 9 π \approx 7, 73$ .
Тренажёр reknow.ru/9/geometry/9_geometry_okruzhnost.htm — «Окружность, круг, сектор, дуга и кольцо»; обзор строки — 9_geometry_pravilnye.htm. Следующий урок — практикум «Правильные многоугольники» (GEOM9-053).

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9-052 · Площадь круга, сектора, сегмента

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R05 «Правильные многоугольники. Длина окружности и площадь круга. Вычисление площадей», 8 ч · урок 5/8 · тип Н
Единицы → слайды	R05.5 «Площадь круга, сектора, сегмента» → 2, 4–20 · повторение R05.3, R05.4, R01 (площадь треугольника) → 3
Результаты	ПР-8 (площадь круга и его частей) → 4–20 · ПР-10 (задачи реальной жизни) → 18
Виды деятельности	«Определять площадь круга» → 4, 5 · «Выводить формулы (в градусной и радианной мере) для … площадей секторов и сегментов» → 6, 8, 9 · «Вычислять площади фигур, включающих элементы окружности (круга)» → 10, 12 · «Находить площади в задачах реальной жизни» → 18
ОГЭ	линия 16 → 17 (задачи 1, 2) · линия 18 → 17
Вне урока	правильные многоугольники — GEOM9-053; число π — GEOM9-054; обобщение строки — GEOM9-055
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Площадь круга, сектора, сегмента

Сегодня вы научитесь

Выводить формулу S=πR2

Находить площадь сектора

Находить площадь сегмента

Решать задачи

Восемь быстрых вопросов

Круг — предел вписанных правильных многоугольников

По радиусу, диаметру, длине окружности

Образец: радиус круга равен 5. Найдите его площадь.

Сам

Сектор — такая же доля круга, как угол — доля 360∘

Угол в градусах — формула с долей 360α​

Образец: радиус 6, центральный угол 40∘. Найдите площадь сектора.

Сам

Площадь круга известна — сектор находим долей

Образец: площадь круга 90. Найдите площадь сектора с центральным углом 40∘.

Сам

Сегмент = сектор без треугольника

Сектор минус треугольник

Образец: R=6, ∠AOB=90∘. Найдите площадь меньшего сегмента.

Сам

Круг и его части

Сложная фигура — разность простых

Образец: найдите площадь кольца между концентрическими окружностями радиусов 5 и 3.

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) R=6, α=60∘. Площадь сектора?

б) R=4, α=90∘. Площадь меньшего сегмента?

в) Площадь круга 36π. Найдите длину окружности.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

Пицца, газон и окно

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9-052 · Площадь круга, сектора, сегмента

Выводить формулу $S = π R^{2}$

Образец: радиус круга равен $5$ . Найдите его площадь.

Сектор — такая же доля круга, как угол — доля $36 0^{\circ}$

Угол в градусах — формула с долей $\frac{α}{360}$

Образец: радиус $6$ , центральный угол $4 0^{\circ}$ . Найдите площадь сектора.

Образец: площадь круга $90$ . Найдите площадь сектора с центральным углом $4 0^{\circ}$ .

Образец: $R = 6$ , $∠ A OB = 9 0^{\circ}$ . Найдите площадь меньшего сегмента.

Образец: найдите площадь кольца между концентрическими окружностями радиусов $5$ и $3$ .

а) $R = 6$ , $α = 6 0^{\circ}$ . Площадь сектора?

б) $R = 4$ , $α = 9 0^{\circ}$ . Площадь меньшего сегмента?

в) Площадь круга $36 π$ . Найдите длину окружности.