Длина окружности и площадь круга · урок 4 из 8

Радианная мера угла

Геометрия · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R05 · GEOM9-051

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R05 «Правильные многоугольники. Длина окружности и площадь круга. Вычисление площадей» (8 ч), урок 4/8, единица R05.4. Тип урока — Н.
Теория (13): титул 0,5 · цели 0,5 · определение 2,5 · вывод 2,5 · табличные углы 2 · демонстрация 1,5 · длина дуги 2 · сводка 1,5.
Практика (32): разминка 2,5 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · из жизни 1,5 · ОГЭ 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
На картинке титула — шесть секторов по 1 радиану и остаток ≈ 0,28 радиана: радиус укладывается по окружности 2π ≈ 6,28 раза.
Если не успеваете: задачу из жизни и задание 3 повышенного уровня — в ДЗ; вывод формулы π рад = 180° не сокращать.

R05.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Понимать, что такое радиан

центральный угол, дуга которого равна радиусу (ПР-8)

Переводить меру угла

градусы → радианы и обратно: табличные углы точно, остальные — с калькулятором

Находить длину дуги

по формуле $l = α R$ и угол по длине дуги (ПР-8)

Решать задачи

углы фигур, часы и колёса, задания ОГЭ (ПР-10)

0,5 мин · теория
ПР-8: «Владеть понятиями правильного многоугольника, длины окружности, длины дуги окружности и радианной меры угла, уметь вычислять площадь круга и его частей. Применять полученные умения в практических задачах».
ПР-10: применять знания на практике, строить модели реальных задач и проводить вычисления (с калькулятором, где необходимо).
Виды деятельности ФРП R05: «определять … радианную меру угла», «проводить переход от радианной меры угла к градусной и наоборот», «выводить формулы (в градусной и радианной мере) для длин дуг».

повторение: R05.2, R05.3

Разминка · устно

Длина окружности и длина дуги

$R = 5$ . Длина окружности? $10 π$
$C = 12 π$ . Радиус? $6$
Какую часть окружности составляет дуга в $6 0^{\circ}$ ? $\frac{1}{6}$
$R = 4$ . Длина дуги в $9 0^{\circ}$ ? $2 π$
$R = 3$ . Длина полуокружности? $3 π$
$π$ с точностью до сотых? $3, 14$
Формула длины дуги в $n^{\circ}$ ? $l = \frac{π R n}{180}$

R05.4

Определение

Угол в 1 радиан

Угол в 1 радиан — центральный угол, который опирается на дугу, длина которой равна радиусу.

Радианная мера угла $α$ — сколько радиусов укладывается в дуге: $α = \frac{l}{R}$

От радиуса не зависит: при увеличении $R$ дуга растёт во столько же раз.

Запись: $α = 1$ рад, $α = 2, 5$ рад; слово «рад» часто опускают.

2,5 мин · теория
Показ: отложить нитку длиной в радиус по окружности (циркуль, нитка, круглая крышка). Угол между радиусами к концам дуги — 1 радиан.
Почему от радиуса не зависит: все круговые секторы с одним и тем же углом подобны, длина дуги l пропорциональна R (l = πRn/180), поэтому отношение l : R зависит только от угла.
Вопрос: 1 радиан — больше или меньше 60°? (Чуть меньше: на рисунке разминки дуга 60° была немного длиннее радиуса.)
Ошибка: путать «1 рад» и «1°». Радиан — крупная единица, почти 60°.

R05.4

Вывод · связь градусов и радиан

Сколько радиан в полном угле

1Длина окружности

C = 2 π R

, в ней укладывается

\frac{2 π R}{R} = 2 π

радиусовопределение радиана: одна дуга

R

— один радиан

2Полный угол:

36 0^{\circ} = 2 π

рад

2 π \approx 6, 28

— шесть секторов и ещё

0, 28

3

18 0^{\circ} = π

радделим обе части на 2 — главное равенство урока

4

1

рад

= \frac{18 0 ^{\circ}}{π} \approx 57, 3^{\circ}

1^{\circ} = \frac{π}{180}

рад

\approx 0, 017

радделим на

π

и на

180

R05.4

Правило перевода · табличные углы

Градусы ⇄ радианы

градусы → радианы

$α = \frac{π n}{180}$

радианы → градусы

$n = \frac{180 α}{π}$

$n$ — градусная мера, $α$ — радианная

градусы	$3 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$6 0^{\circ}$	$9 0^{\circ}$	$18 0^{\circ}$	$36 0^{\circ}$
радианы	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$	$π$	$2 π$

R05.4

Образец → сам · градусы → радианы

Переведите в радианы

Образец: переведите $7 2^{\circ}$ в радианы.

$α = \frac{π \cdot 72}{180}$ формула перевода

$\frac{72}{180} = \frac{2}{5}$ сократили на $36$

$7 2^{\circ} = \frac{2 π}{5}$ рад

Сам

$1 5^{\circ}$ $\frac{π}{12}$
$21 0^{\circ}$ $\frac{7 π}{6}$
$10 0^{\circ}$ $\frac{5 π}{9}$

R05.4

Образец → сам · радианы → градусы

Переведите в градусы

Образец: переведите $\frac{5 π}{12}$ рад в градусы.

$n = \frac{180 \cdot 5 π}{12 π}$ формула перевода

$= \frac{5 \cdot 180}{12}$ $π$ сократилось

$= 5 \cdot 15 = 7 5^{\circ}$ $\frac{π}{12}$ рад $= 1 5^{\circ}$

Сам

$\frac{7 π}{6}$ $21 0^{\circ}$
$\frac{3 π}{10}$ $5 4^{\circ}$
$\frac{3 π}{4}$ $13 5^{\circ}$

R05.4

Демонстрационный пример · учитель решает

Нетабличные углы — с калькулятором

1

2

рад

= \frac{18 0 ^{\circ} \cdot 2}{π} \approx 114, 6^{\circ}

калькулятор:

360 : 3, 1416

2

5 0^{\circ} = \frac{50 π}{180} = \frac{5 π}{18} \approx 0, 87

радточно — с

π

, приближённо — до сотых

3

3

рад

< 18 0^{\circ}

, так как

3 < π

3

рад

\approx 171, 9^{\circ}

— почти развёрнутый

R05.4

Вывод · длина дуги в радианной мере

Формула $l = α R$

1

l = \frac{π R n}{180}

длина дуги в

n^{\circ}

— прошлый урок

2

l = R \cdot \frac{πn}{180} = R \cdot α

\frac{πn}{180}

— радианная мера угла

α

l

=

α

\cdot

R

α

— в радианах

3

α = \frac{l}{R}

,

R = \frac{l}{α}

обратные задачи: угол по дуге, радиус по дуге

R05.4

Образец → сам · длина дуги по радианной мере

Найдите длину дуги

Образец: $R = 6$ , центральный угол $α = \frac{2 π}{3}$ . Найдите длину дуги.

$l = α R$ угол уже в радианах

$l = \frac{2 π}{3} \cdot 6 = 4 π$

$4 π \approx 12, 57$ если нужно приближённо

Сам

$R = 9$ , $α = \frac{π}{6}$ $l = \frac{3 π}{2}$
$R = 5$ , $α = 1, 2$ $l = 6$
$R = 10$ , угол $13 5^{\circ}$ $l = \frac{15 π}{2}$

R05.4

Образец → сам · обратная задача: угол по дуге

Найдите угол или радиус

Образец: длина дуги $12$ , радиус $8$ . Найдите центральный угол в радианах и градусах.

$α = \frac{l}{R} = \frac{12}{8} = 1, 5$ рад из $l = α R$

$n = \frac{180 \cdot 1 , 5}{π} \approx 85, 9^{\circ}$ калькулятор

угол острый: $1, 5 < \frac{π}{2} \approx 1, 57$ проверка

Сам

$l = 3 π$ , $R = 4$ . Угол в градусах? $\frac{3 π}{4} = 13 5^{\circ}$
$l = 10$ , $R = 4$ . Угол в радианах? $2, 5$ рад
$l = 6 π$ , $α = \frac{π}{3}$ . Найдите $R$ . $R = 18$

R05.4 · R05.1

Образец → сам · комбинированная: углы фигур в радианах

Сумма углов в радианах

Образец: в $△ A BC$ $∠ A = \frac{π}{4}$ , $∠ B = \frac{π}{3}$ . Найдите $∠ C$ .

$∠ A + ∠ B + ∠ C = π$ $18 0^{\circ} = π$ рад

$∠ C = π - \frac{π}{4} - \frac{π}{3} = \frac{12 - 3 - 4}{12} π$

$∠ C = \frac{5 π}{12} = 7 5^{\circ}$

Сам

Угол правильного восьмиугольника в радианах? $\frac{3 π}{4}$
Углы треугольника относятся как $1 : 2 : 3$ . Найдите их в радианах. $\frac{π}{6}$ , $\frac{π}{3}$ , $\frac{π}{2}$
Угол параллелограмма $\frac{2 π}{5}$ . Найдите соседний угол. $\frac{3 π}{5}$

R05.4

Сводка правил

Радианная мера — на одном слайде

Определение

$1$ рад — центральный угол, дуга которого равна радиусу

$1$ рад $\approx 57, 3^{\circ}$

Главное равенство

$18 0^{\circ} = π$ рад

$36 0^{\circ} = 2 π$ рад, $9 0^{\circ} = \frac{π}{2}$ рад

Перевод

$α = \frac{πn}{180}$ и $n = \frac{180 α}{π}$

Длина дуги

$l = α R$ — угол в радианах

$α = \frac{l}{R}$ , $R = \frac{l}{α}$

R05.4

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$6 0^{\circ} = 60 \cdot \frac{180}{π}$	перепутан множитель: в радианах должно получиться меньше	$6 0^{\circ} = 60 \cdot \frac{π}{180} = \frac{π}{3}$
$R = 3$ , угол $4 0^{\circ}$ : $l = 40 \cdot 3 = 120$	в $l = α R$ угол — только в радианах	$4 0^{\circ} = \frac{2 π}{9}$ , $l = \frac{2 π}{9} \cdot 3 = \frac{2 π}{3}$
$2$ рад $= 2 \cdot 18 0^{\circ} = 36 0^{\circ}$	$18 0^{\circ}$ — это $π$ рад, а не $1$ рад	$2$ рад $= \frac{36 0 ^{\circ}}{π} \approx 114, 6^{\circ}$
« $π = 180$ »	$π \approx 3, 14$ — число; равны меры угла	$π$ рад $= 18 0^{\circ}$

R05.4

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Переведите $13 5^{\circ}$ в радианы.

$α = \frac{135 π}{180} = \frac{3 π}{5}$

$\frac{135}{180} = \frac{3}{4}$ : $α = \frac{3 π}{4}$

б) Дуга $l = 5 π$ , $R = 10$ . Найдите угол в градусах.

$α = \frac{l}{R} = \frac{π}{2}$

$\frac{π}{2} = 4 5^{\circ}$

$\frac{π}{2} = \frac{18 0 ^{\circ}}{2} = 9 0^{\circ}$

в) Переведите $\frac{7 π}{9}$ в градусы.

$\frac{7 \cdot 3 , 14}{9} \approx 2, 4 4^{\circ}$

$2, 44$ — это радианы;
$\frac{7}{9} \cdot 18 0^{\circ} = 14 0^{\circ}$

R05.4

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $4 5^{\circ}$ в радианах $\frac{π}{4}$
база $\frac{π}{6}$ рад в градусах $3 0^{\circ}$
база $24 0^{\circ}$ в радианах $\frac{4 π}{3}$

база $\frac{5 π}{6}$ рад в градусах $15 0^{\circ}$
база $R = 12$ , $α = \frac{π}{4}$ . Найдите $l$ . $3 π$
база $l = 14$ , $R = 7$ . Найдите $α$ . $2$ рад

R05.4

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Углы четырёхугольника относятся как $1 : 2 : 3 : 4$ . Найдите их в радианах. $\frac{π}{5}$ , $\frac{2 π}{5}$ , $\frac{3 π}{5}$ , $\frac{4 π}{5}$
повыш.Дуга длиной $2 π$ соответствует центральному углу $\frac{π}{4}$ . Найдите длину окружности. $16 π$
повыш.Внешний угол правильного многоугольника равен $\frac{π}{6}$ . Сколько у него сторон? $12$
повыш.Расположите по возрастанию: $1$ рад, $6 0^{\circ}$ , $\frac{π}{4}$ рад. $\frac{π}{4}$ рад, $1$ рад, $6 0^{\circ}$

R05.4 · ПР-10

Задача из жизни · часы и колесо

Стрелки и колёса поворачиваются в радианах

На какой угол в радианах поворачивается минутная стрелка за $20$ минут? $\frac{2 π}{3}$
Минутная стрелка длиной $15$ см. Какой путь проходит её конец за $20$ минут? $10 π \approx 31, 4$ см
Колесо радиусом $35$ см повернулось на $4$ рад. Какой путь проехал велосипед? $140$ см
Часовая стрелка повернулась на $\frac{π}{6}$ . Сколько прошло минут? $60$ минут

R05.4 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 16 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 16Длина дуги окружности радиуса $12$ равна $4 π$ . Найдите градусную меру центрального угла, который опирается на эту дугу. $60$
ОГЭ 16 $O$ — центр окружности, радианная мера угла $A OC$ равна $\frac{5 π}{9}$ . Найдите вписанный угол $A BC$ в градусах. $50$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Радианная мера развёрнутого угла равна $π$ .
Угол в $1$ радиан больше прямого угла.
Длина дуги равна произведению радиуса на радианную меру центрального угла.

Ответ: 13

R05.4

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$1 8^{\circ}$ в радианах $\frac{π}{10}$
$\frac{4 π}{9}$ рад в градусах $8 0^{\circ}$
$R = 6$ , $α = \frac{5 π}{6}$ . Найдите $l$ . $5 π$
$l = 9$ , $R = 6$ . Найдите $α$ в радианах. $1, 5$ рад

Вариант 2

$3 6^{\circ}$ в радианах $\frac{π}{5}$
$\frac{7 π}{12}$ рад в градусах $10 5^{\circ}$
$R = 8$ , $α = \frac{3 π}{4}$ . Найдите $l$ . $6 π$
$l = 7$ , $R = 5$ . Найдите $α$ в радианах. $1, 4$ рад

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что такое угол в 1 радиан?
Сколько радиан в развёрнутом угле?
Как найти длину дуги по радианной мере угла?

Домашнее задание

В радианы: $2 0^{\circ}$ , $15 0^{\circ}$ , $30 0^{\circ}$ .
В градусы: $\frac{2 π}{5}$ , $\frac{11 π}{6}$ .
$R = 15$ , $α = 0, 4$ . Найдите $l$ .
* Секундная стрелка $10$ см. Путь её конца за $25$ с?
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_pravilnye.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9-051 · Радианная мера угла

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R05 «Правильные многоугольники. Длина окружности и площадь круга. Вычисление площадей», 8 ч · урок 4/8 · тип Н
Единицы → слайды	R05.4 «Радианная мера угла» → 2, 4–22 · повторение R05.2, R05.3 → 3 · R05.1 → 13
Результаты	ПР-8 (длина дуги, радианная мера угла) → 4–22 · ПР-10 (модель реальной задачи, калькулятор) → 9, 19
Виды деятельности	«определять … радианную меру угла» → 4, 5 · «Проводить переход от радианной меры угла к градусной и наоборот» → 6–9, 17, 21 · «Выводить формулы (в градусной и радианной мере) для длин дуг» → 10–12
ОГЭ	линия 16 → 20 (задачи 1, 2) · линия 19 → 20
Вне урока	площадь сектора и сегмента в радианной мере (R05.5) — GEOM9-052; тригонометрические функции произвольного угла — 10 класс
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Радианная мера угла

Сегодня вы научитесь

Понимать, что такое радиан

Переводить меру угла

Находить длину дуги

Решать задачи

Длина окружности и длина дуги

Угол в 1 радиан

Сколько радиан в полном угле

Градусы ⇄ радианы

Переведите в радианы

Образец: переведите 72∘ в радианы.

Сам

Переведите в градусы

Образец: переведите 125π​ рад в градусы.

Сам

Нетабличные углы — с калькулятором

Формула l=αR

Найдите длину дуги

Образец: R=6, центральный угол α=32π​. Найдите длину дуги.

Сам

Найдите угол или радиус

Образец: длина дуги 12, радиус 8. Найдите центральный угол в радианах и градусах.

Сам

Сумма углов в радианах

Образец: в △ABC ∠A=4π​, ∠B=3π​. Найдите ∠C.

Сам

Радианная мера — на одном слайде

Определение

Главное равенство

Перевод

Длина дуги

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Переведите 135∘ в радианы.

б) Дуга l=5π, R=10. Найдите угол в градусах.

в) Переведите 97π​ в градусы.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Стрелки и колёса поворачиваются в радианах

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9-051 · Радианная мера угла

Образец: переведите $7 2^{\circ}$ в радианы.

Образец: переведите $\frac{5 π}{12}$ рад в градусы.

Формула $l = α R$

Образец: $R = 6$ , центральный угол $α = \frac{2 π}{3}$ . Найдите длину дуги.

Образец: длина дуги $12$ , радиус $8$ . Найдите центральный угол в радианах и градусах.

Образец: в $△ A BC$ $∠ A = \frac{π}{4}$ , $∠ B = \frac{π}{3}$ . Найдите $∠ C$ .

а) Переведите $13 5^{\circ}$ в радианы.

б) Дуга $l = 5 π$ , $R = 10$ . Найдите угол в градусах.

в) Переведите $\frac{7 π}{9}$ в градусы.