Длина окружности и площадь круга · урок 3 из 8

Длина окружности, дуги окружности

Геометрия · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R05 · GEOM9-050

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R05 «Правильные многоугольники. Длина окружности и площадь круга. Вычисление площадей» (8 ч), урок 3/8, единица R05.3 «Длина окружности, дуги окружности». Тип урока — Н.
Теория (12,5): титул 1 · цели 0,5 · длина окружности как предел 2,5 · вывод $C = 2 π R$ 2 · вывод длины дуги 2 · демонстрационный пример 2,5 · сводка 2.
Практика (32,5): разминка 3 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2 · из жизни 1,5 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: задачу из жизни и задание 3 повышенного уровня — в ДЗ; самостоятельную не сокращать.

R05.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Понимать, что такое длина окружности

через периметры вписанных правильных многоугольников (ПР-8)

Вычислять длину окружности

по радиусу и диаметру — точно (с $π$ ) и приближённо

Находить длину дуги

по радиусу и градусной мере, и решать обратные задачи (ПР-8)

Применять формулы

в задачах с многоугольниками, вписанными углами и из жизни (ПР-10)

0,5 мин · теория
ПР-8: «Владеть понятиями правильного многоугольника, длины окружности, длины дуги окружности и радианной меры угла, уметь вычислять площадь круга и его частей. Применять полученные умения в практических задачах».
ПР-10: строить математические модели для задач реальной жизни и проводить вычисления (с калькулятором, где нужно).
Виды деятельности ФРП R05: «Пользоваться понятием длины окружности, введенным с помощью правильных многоугольников… длину дуги»; «Выводить формулы (в градусной… мере) для длин дуг».

повторение: R05.1, R05.2, 8 класс

Разминка · устно

Правильные многоугольники, число $π$ и дуги

Сторона правильного шестиугольника $5$ . Радиус описанной окружности? $5$
Периметр этого шестиугольника? $30$
Центральный угол, отмеченный знаком «?» $6 0^{\circ}$
Вписанный угол $3 5^{\circ}$ . Чему равна дуга, на которую он опирается? $7 0^{\circ}$
Какую часть окружности составляет дуга $9 0^{\circ}$ ? А $12 0^{\circ}$ ? $\frac{1}{4}$ и $\frac{1}{3}$
$π \approx$ ? (до сотых) $2 \cdot 3, 14 \cdot 5 =$ ? $3, 14$ ; $31, 4$

R05.3

Понятие · длина окружности

Периметры вписанных многоугольников подбираются к окружности

6-угольник12-угольникокружность

число сторон $n$	$6$	$12$	$24$	$96$
$P_{n} : (2 R)$	$3$	$3, 106$	$3, 133$	$3, 141$

Длина окружности $C$ — число, к которому стремятся периметры вписанных в неё правильных многоугольников при неограниченном удвоении числа сторон.

2,5 мин · теория
Окружность нельзя «распрямить» линейкой, поэтому её длину определяют через многоугольники. Периметр вписанного шестиугольника $6 R$ , т. е. $P_{6} : (2 R) = 3$ ; удваиваем число сторон — периметр растёт и всё ближе к длине окружности.
Значения в таблице: $P_{n} : (2 R) = n sin \frac{18 0 ^{\circ}}{n}$ (сторона вписанного правильного $n$ -угольника $a_{n} = 2 R sin \frac{18 0 ^{\circ}}{n}$ — прошлый урок): $n = 12$ — $3, 1058$ ; $n = 24$ — $3, 1326$ ; $n = 96$ — $3, 1410$ (так считал Архимед). Числа подбираются к $π = 3, 14159 \dots$
Вопрос: почему периметр вписанного многоугольника всегда меньше длины окружности? (Хорда короче дуги, которую она стягивает.)

R05.3

Теорема · вывод формулы

Отношение $C : d$ одно и то же для всех окружностей

1Правильные

n

-угольники подобны,

\frac{P _{n}}{P _{n}^{'}} = \frac{a}{a ^{'}} = \frac{R}{R ^{'}}

у вписанных правильных

n

-угольников

a = 2 R sin \frac{18 0 ^{\circ}}{n}

2

\frac{P _{n}}{2 R} = \frac{P _{n}^{'}}{2 R ^{'}}

при любом

n

переставили члены пропорции

3

\frac{C}{2 R} = \frac{C ^{'}}{2 R ^{'}}

при удвоении

n

:

P_{n} \to C

,

P_{n}^{'} \to C^{'}

4это число обозначают

π

:

C = 2 π R = π d

π = 3, 14159 \dots

,

π \approx 3, 14

2 мин · теория
Две окружности радиусов $R$ и $R^{'}$ , в каждую вписан правильный $n$ -угольник (на чертеже $n = 6$ ). Каждый шаг — вопрос классу «почему?»; обоснование — под строкой.
Шаг 1: отношение периметров подобных многоугольников равно отношению сторон, а стороны пропорциональны радиусам. Шаг 3 — переход к пределу: равенство верно при каждом $n$ , значит, и для пределов.
Итог: отношение длины окружности к диаметру не зависит от окружности — это и есть число $π$ (урок GEOM9-049). Записать в тетрадь в рамку: $C = 2 π R$ , $C = π d$ .

R05.3

Образец → сам · длина окружности по радиусу

Точно — с $π$ , приближённо — с $3, 14$

Образец: радиус окружности $4, 5$ см. Найдите её длину точно и приближённо.

$C = 2 π R$ формула длины окружности

$C = 2 \cdot π \cdot 4, 5 = 9 π$ смточный ответ

$C \approx 9 \cdot 3, 14 \approx 28, 3$ смприближённо, $π \approx 3, 14$

Сам

$R = 7$ см $14 π \approx 44, 0$ см
$d = 10$ дм $10 π \approx 31, 4$ дм
$R = 0, 5$ м $π \approx 3, 14$ м

R05.3

Образец → сам · обратная задача

Длина известна — найдите радиус

Образец: длина окружности $31, 4$ см. Найдите диаметр и радиус ( $π \approx 3, 14$ ).

$C = π d \Rightarrow d = \frac{C}{π}$ выразили $d$ из формулы

$d \approx \frac{31 , 4}{3 , 14} = 10$ см

$d \approx 10$ см, $R \approx 5$ см $R = d : 2$

Сам

$C = 24 π$ . Найдите $R$ . $12$
$C = 18, 84$ см, $π \approx 3, 14$ . Найдите $d$ и $R$ . $6$ см и $3$ см
Радиус увеличили в $3$ раза. Как изменилась длина окружности? увеличилась в $3$ раза

R05.3

Вывод формулы · длина дуги

Дуга в $n^{\circ}$ — это $\frac{n}{360}$ окружности

1Вся окружность — дуга

36 0^{\circ}

, её длина

2 π R

градусная мера окружности

2Дуга в

1^{\circ}

:

\frac{2 π R}{360} = \frac{π R}{180}

окружность делится на 360 равных дуг

3Дуга в

n^{\circ}

— в

n

раз длиннееградусная мера дуги = центральному углу

∠ A OB

l = \frac{π R n}{180}

R05.3

Образец → сам · длина дуги

Подставляем радиус и градусную меру

Образец: радиус окружности $12$ , центральный угол $15 0^{\circ}$ . Найдите длину дуги.

$l = \frac{π R n}{180}$ формула длины дуги

$l = \frac{π \cdot 12 \cdot 150}{180}$ $R = 12$ , $n = 150$

$l = 10 π \approx 31, 4$ $12 \cdot 150 : 180 = 10$

Сам

$R = 9$ , $n = 4 0^{\circ}$ $2 π$
$R = 6$ , $n = 9 0^{\circ}$ $3 π$
$R = 10$ , $n = 21 6^{\circ}$ $12 π$

R05.3

Образец → сам · обратная задача для дуги

По длине дуги находим угол или радиус

Образец: длина дуги $3 π$ , радиус $9$ . Найдите градусную меру дуги.

$\frac{π \cdot 9 \cdot n}{180} = 3 π$ подставили в формулу

$9 n = 540$ разделили на $π$ , умножили на $180$

$n = 6 0^{\circ}$ проверка: $π \cdot 9 \cdot 60 : 180 = 3 π$ ✓

Сам

$l = 2 π$ , $R = 8$ . Найдите $n$ . $4 5^{\circ}$
$l = 5 π$ , $n = 10 0^{\circ}$ . Найдите $R$ . $9$
Дуга — $\frac{1}{6}$ окружности, $R = 3$ . Найдите $l$ . $π$

R05.1, R05.3

Демонстрационный пример · учитель решает

Окружность длиннее периметра вписанного шестиугольника

Правильный шестиугольник

A BC D EF

со стороной

6

вписан в окружность. Найдите

C

и длину меньшей дуги

A B

; сравните с

P

и с

A B

.

1

R = A B = 6

△ A OB

правильный:

∠ A OB = 36 0^{\circ} : 6 = 6 0^{\circ}

2

C = 2 π \cdot 6 = 12 π \approx 37, 7 > P = 36

3

l_{A B} = \frac{π \cdot 6 \cdot 60}{180} = 2 π \approx 6, 28 > 6

дуга длиннее стягивающей её хорды

R05.3

Сводка правил

Что известно → что найти → формула

Известно → найти	Формула
радиус $R$ (диаметр $d$ ) → длина $C$	$C = 2 π R = π d$
длина $C$ → радиус $R$	$R = \frac{C}{2 π}$ , $d = \frac{C}{π}$
$R$ и градусная мера $n$ → длина дуги $l$	$l = \frac{π R n}{180}$ или $l = C \cdot \frac{n}{360}$
$l$ и $R$ → $n$ ; $l$ и $n$ → $R$	$n = \frac{180 l}{π R}$ , $R = \frac{180 l}{πn}$
вписанный угол $α$ → дуга	дуга $= 2 α$ градусов

R05.3

Образец → сам · комбинированная задача

Сначала градусная мера дуги, потом длина

Образец: $∠ A BC = 3 5^{\circ}$ вписан в окружность радиуса $18$ . Найдите длину дуги $A C$ , на которую он опирается.

$⌣ A C = 2 \cdot 3 5^{\circ} = 7 0^{\circ}$ вписанный угол равен половине дуги

$l = \frac{π \cdot 18 \cdot 70}{180}$ $R = 18$ , $n = 70$

$l = 7 π$

Сам

Правильный треугольник вписан в окружность $R = 9$ . Длина дуги между вершинами? $6 π$
Вписанный угол $4 5^{\circ}$ , $R = 8$ . Длина его дуги? $4 π$
Квадрат со стороной $10$ вписан в окружность. $C = ?$ $102 π$

R05.3

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$R = 5$ : $C = π R = 5 π$	$π$ — отношение длины к диаметру, а не к радиусу	$C = 2 π R = 10 π$
$l = \frac{π R n}{360}$	$360$ — для $2 π R$ ; для $π R$ делим на $180$	$l = \frac{π R n}{180} = \frac{2 π R n}{360}$
$C = 24 π$ ⇒ $R = 24$	в формуле $C = 2 π R$ есть множитель $2$	$R = 24 π : 2 π = 12$
$C = 9 π = 28, 26$	$3, 14$ — приближение $π$	$C = 9 π \approx 28, 26$

R05.3

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $R = 6$ , дуга $15 0^{\circ}$ . Найдите её длину.

$l = \frac{π \cdot 6 \cdot 150}{360}$

$l = 2, 5 π$

делим на $180$ : $l = 5 π$

б) Вписанный $∠ A BC = 3 0^{\circ}$ , $R = 12$ . Длина дуги $A C$ ?

дуга $A C = 3 0^{\circ}$

$l = \frac{π \cdot 12 \cdot 30}{180} = 2 π$

дуга $6 0^{\circ}$ : $l = 4 π$

в) Колесо $d = 50$ см. Путь за $10$ оборотов?

$C = 2 π \cdot 50 = 100 π$

путь $= 1000 π$ см

$C = π d = 50 π$ ; путь $500 π \approx 1570$ см

R05.3

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $R = 7$ . Найдите $C$ . $14 π$
база $d = 12$ . Найдите $C$ . $12 π$
база $C = 26 π$ . Найдите $R$ . $13$

база $R = 18$ , дуга $3 0^{\circ}$ . Найдите $l$ . $3 π$
база $R = 4$ , дуга $27 0^{\circ}$ . Найдите $l$ . $6 π$
база $C = 62, 8$ , $π \approx 3, 14$ . Найдите $R$ . $10$

R05.1, R05.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Длина дуги $5 π$ , радиус $9$ . Найдите градусную меру дуги. $10 0^{\circ}$
повыш.Окружность вписана в правильный шестиугольник со стороной $23$ . Найдите её длину. $6 π$
повыш.Хорда $A B$ равна радиусу $6$ . Найдите длину меньшей дуги $A B$ . $2 π$
из жизниВерёвку вокруг экватора удлинили на $1$ м и подняли равномерно. Пролезет ли под ней кошка? зазор $\frac{1}{2 π} \approx 0, 16$ м — пролезет

R05.3 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 16 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 16Окружность описана около квадрата со стороной $42$ . Найдите длину окружности. В ответе укажите $C : π$ . $8$
ОГЭ 16Центральный угол $A OB$ равен $7 2^{\circ}$ , радиус окружности $10$ . Найдите длину дуги $A B$ , делённую на $π$ . $4$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Длина окружности радиуса $R$ равна $π R$ .
Отношение длины окружности к её диаметру одинаково для всех окружностей.
Длина дуги в $9 0^{\circ}$ равна четверти длины окружности.

Ответ: 23

R05.3 · ПР-10

Задача из жизни

Сколько оборотов сделает колесо велосипеда?

Диаметр колеса

0, 7

м. Сколько оборотов оно сделает на пути

1, 1

км? Возьмите

π \approx \frac{22}{7}

.

$C = π d \approx \frac{22}{7} \cdot 0, 7 = 2, 2$ м

$1, 1$ км $= 1100$ м

$1100 : 2, 2 = 500$ оборотов

R05.3

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$R = 8$ . Найдите $C$ . $16 π$
$C = 30 π$ . Найдите $d$ . $30$
$R = 12$ , дуга $7 5^{\circ}$ . Найдите $l$ . $5 π$
$l = 6 π$ , $R = 9$ . Найдите градусную меру дуги. $12 0^{\circ}$

Вариант 2

$d = 14$ . Найдите $C$ . $14 π$
$C = 18 π$ . Найдите $R$ . $9$
$R = 15$ , дуга $4 8^{\circ}$ . Найдите $l$ . $4 π$
$l = 10 π$ , дуга $15 0^{\circ}$ . Найдите $R$ . $12$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как определяют длину окружности?
Почему $C : d$ одинаково для всех окружностей?
Какая часть окружности — дуга $n^{\circ}$ ?

Домашнее задание

$C = 40 π$ . Найдите $R$ и длину дуги $4 5^{\circ}$ .
Минутная стрелка $15$ см. Путь её конца за $20$ минут?
* Вписанный угол $4 0^{\circ}$ , дуга $4 π$ . Найдите $R$ .
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_pravilnye.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9-050 · Длина окружности, дуги окружности

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R05 «Правильные многоугольники. Длина окружности и площадь круга. Вычисление площадей», 8 ч · урок 3/8 · тип Н
Единицы → слайды	R05.3 «Длина окружности, дуги окружности» → 2, 4–21 · повторение R05.1, R05.2, вписанные углы (8 класс) → 3, 11, 13
Результаты	ПР-8 (длина окружности, длина дуги) → 4–21 · ПР-10 (модель реальной задачи) → 17, 19
Виды деятельности	«Пользоваться понятием длины окружности, введенным с помощью правильных многоугольников» → 4, 5, 11 · «Выводить формулы (в градусной… мере) для длин дуг» → 8 · «Находить… в задачах реальной жизни» → 17, 19
ОГЭ	линия 16 → 18 (задачи 1, 2) · линия 19 → 18
Вне урока	радианная мера угла (R05.4) — GEOM9-051; площадь круга, сектора, сегмента (R05.5) — GEOM9-052
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Длина окружности, дуги окружности

Сегодня вы научитесь

Понимать, что такое длина окружности

Вычислять длину окружности

Находить длину дуги

Применять формулы

Правильные многоугольники, число π и дуги

Периметры вписанных многоугольников подбираются к окружности

Отношение C:d одно и то же для всех окружностей

Точно — с π, приближённо — с 3,14

Образец: радиус окружности 4,5 см. Найдите её длину точно и приближённо.

Сам

Длина известна — найдите радиус

Образец: длина окружности 31,4 см. Найдите диаметр и радиус (π≈3,14).

Сам

Дуга в n∘ — это 360n​ окружности

Подставляем радиус и градусную меру

Образец: радиус окружности 12, центральный угол 150∘. Найдите длину дуги.

Сам

По длине дуги находим угол или радиус

Образец: длина дуги 3π, радиус 9. Найдите градусную меру дуги.

Сам

Окружность длиннее периметра вписанного шестиугольника

Что известно → что найти → формула

Сначала градусная мера дуги, потом длина

Образец: ∠ABC=35∘ вписан в окружность радиуса 18. Найдите длину дуги AC, на которую он опирается.

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) R=6, дуга 150∘. Найдите её длину.

б) Вписанный ∠ABC=30∘, R=12. Длина дуги AC?

в) Колесо d=50 см. Путь за 10 оборотов?

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Сколько оборотов сделает колесо велосипеда?

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9-050 · Длина окружности, дуги окружности

Правильные многоугольники, число $π$ и дуги

Отношение $C : d$ одно и то же для всех окружностей

Точно — с $π$ , приближённо — с $3, 14$

Образец: радиус окружности $4, 5$ см. Найдите её длину точно и приближённо.

Образец: длина окружности $31, 4$ см. Найдите диаметр и радиус ( $π \approx 3, 14$ ).

Дуга в $n^{\circ}$ — это $\frac{n}{360}$ окружности

Образец: радиус окружности $12$ , центральный угол $15 0^{\circ}$ . Найдите длину дуги.

Образец: длина дуги $3 π$ , радиус $9$ . Найдите градусную меру дуги.

Образец: $∠ A BC = 3 5^{\circ}$ вписан в окружность радиуса $18$ . Найдите длину дуги $A C$ , на которую он опирается.

а) $R = 6$ , дуга $15 0^{\circ}$ . Найдите её длину.

б) Вписанный $∠ A BC = 3 0^{\circ}$ , $R = 12$ . Длина дуги $A C$ ?

в) Колесо $d = 50$ см. Путь за $10$ оборотов?