Длина окружности и площадь круга · урок 2 из 8

Число π

Геометрия · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R05 · GEOM9-049

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R05 «Правильные многоугольники. Длина окружности и площадь круга. Вычисление площадей» (8 ч), урок 2/8, единица R05.2 «Число π». Тип урока — Н.
Теория (12,5): титул 0,5 · цели 0,5 · периметры вписанных многоугольников 3 · теорема о C : d 3,5 · определение π 3 · сводка 2.
Практика (32,5): разминка 2 · образцы → сам 2,5 × 6 = 15 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: образец «оценка π» (сл. 9) и задачу 4 повышенного уровня — в ДЗ; доказательство теоремы не сокращать.
Оборудование: нитка или сантиметровая лента, 2–3 круглых предмета (банка, крышка, монета) — для опыта на сл. 6.

R05.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Понимать длину окружности

как предел периметров вписанных правильных многоугольников (ПР-8)

Объяснять число $π$

почему отношение $C : d$ одно и то же для всех окружностей

Вычислять $C = 2 π R$

и радиус по длине окружности — точно (с $π$ ) и приближённо (ПР-8)

Решать задачи из жизни

колёса, обхват, путь — с калькулятором и без (ПР-10)

0,5 мин · теория
ПР-8: «Владеть понятиями правильного многоугольника, длины окружности, длины дуги окружности и радианной меры угла, уметь вычислять площадь круга и его частей. Применять полученные умения в практических задачах».
ПР-10: модели задач реальной жизни с вычислениями (где нужно — калькулятор).
Вид деятельности ФРП R05: «Пользоваться понятием длины окружности, введенным с помощью правильных многоугольников, определять число π».

повторение: GEOM9-048, 8 класс

Разминка · устно

Правильные многоугольники и окружность

Шестиугольник вписан в окружность, $R = 5$ . Сторона $a$ ? $5$
Периметр этого шестиугольника? $30$
Центральный угол правильного 12-угольника? $3 0^{\circ}$
Квадрат вписан в окружность, $R = 4$ . Его сторона? $42$
Квадрат описан около окружности, $r = 4$ . Периметр? $32$
Фигуры подобны, $k = 3$ . Отношение периметров? $3$
Округлите $3, 1416$ до сотых. $3, 14$

R05.2

Длина окружности · идея

Удваиваем число сторон вписанного многоугольника

Длина окружности

C

— число, к которому приближаются периметры

P_{n}

вписанных правильных многоугольников при неограниченном удвоении числа сторон.

число сторон $n$	$P_{n} : 2 R$
$6$	$3$
$12$	$3, 1058 \dots$
$24$	$3, 1326 \dots$
$48$	$3, 1394 \dots$
$96$	$3, 1410 \dots$

3 мин · теория
По щелчку на чертеже появляются вписанные 12-угольник (розовый) и 24-угольник (фиолетовый): ломаная всё плотнее прилегает к окружности.
Вопрос классу: почему периметр вписанного многоугольника меньше длины окружности? (Каждая сторона — хорда, она короче своей дуги: отрезок — кратчайший путь.) Почему при удвоении периметр растёт? (Неравенство треугольника: две новые стороны длиннее одной старой.)
Таблица: $P_{n} = 2 n R sin \frac{18 0 ^{\circ}}{n}$ , поэтому $P_{n} : 2 R = n sin \frac{18 0 ^{\circ}}{n}$ — значения посчитаны на калькуляторе; при $n = 6$ получаем $6 R : 2 R = 3$ (из разминки). Числа растут и не зависят от $R$ — подготовка к теореме.
Так считал Архимед (III в. до н. э.): дошёл до 96-угольника и получил $3 \frac{10}{71} < π < 3 \frac{1}{7}$ .

R05.2

Теорема · доказательство

Отношение $C : d$ одно и то же для всех окружностей

Дано: окружности радиусов

R_{1}

,

R_{2}

, длины

C_{1}

,

C_{2}

.
Доказать:

\frac{C _{1}}{2 R _{1}} = \frac{C _{2}}{2 R _{2}}

.

1Впишем правильные

n

-угольники с периметрами

P_{1}

,

P_{2}

они подобны,

k = R_{1} : R_{2}

(правильные с одинаковым

n

)

2

P_{1} : P_{2} = R_{1} : R_{2}

периметры подобных фигур относятся как

k

3

\frac{P _{1}}{2 R _{1}} = \frac{P _{2}}{2 R _{2}}

свойство пропорции; верно при любом

n

4

n \to \infty

:

P_{1} \to C_{1}

,

P_{2} \to C_{2}

\Rightarrow

\frac{C _{1}}{2 R _{1}} = \frac{C _{2}}{2 R _{2}}

это общее для всех окружностей число и есть

π

3,5 мин · теория
Каждый шаг — вопрос классу «почему?». Чертёж: малая окружность и её шестиугольник — розовые, большая — бирюзовые; пунктирные лучи из $O$ показывают, что шестиугольники подобны (большой — «растянутый» малый).
Шаг 1: у правильных $n$ -угольников все углы равны $\frac{18 0 ^{\circ} ( n - 2 )}{n}$ , а стороны пропорциональны радиусам ( $a_{n} = 2 R sin \frac{18 0 ^{\circ}}{n}$ ) — значит, они подобны с $k = R_{1} : R_{2}$ (GEOM9-048).
Шаг 3: из $P_{1} : P_{2} = R_{1} : R_{2}$ по свойству пропорции $P_{1} : R_{1} = P_{2} : R_{2}$ , делим обе части на 2.
Шаг 4: равенство верно при каждом $n$ , значит, и для чисел, к которым стремятся обе части (строгое обоснование предельного перехода — в 10–11 классе).

R05.2

Определение

Число $π$ и длина окружности

Число $π$ — отношение длины окружности к её диаметру.

π = \frac{C}{d} \Rightarrow C = π d = 2 π R

$π = 3, 1415926535 \dots$ — бесконечная непериодическая дробь

Приближения: $π \approx 3, 14$ , $π \approx \frac{22}{7}$ (Архимед)

3 мин · теория
Опыт (30 с): обмотать ниткой банку, развернуть и приложить к диаметру — укладывается чуть больше трёх диаметров. Чертёж: колесо диаметра $d$ прокатили на один оборот — точка касания прошла путь $C = π d \approx 3, 14 d$ .
Обозначение $π$ — первая буква греческого слова «окружность, периферия»; общепринятым его сделал Л. Эйлер (XVIII в.). Иррациональность $π$ доказал И. Ламберт в 1761 г.
Важно: $3, 14$ и $\frac{22}{7} = 3, 142 \dots$ — приближения, поэтому пишем $π \approx 3, 14$ , а не « $π = 3, 14$ ». Точный ответ записывают с $π$ : $C = 14 π$ .
Вопрос: во сколько раз длина окружности больше радиуса? (В $2 π \approx 6, 28$ раза.)

R05.2

Образец → сам · длина окружности по радиусу

Точный ответ и приближённый

Образец: радиус колеса $35$ см. Найдите длину его окружности точно и при $π \approx 3, 14$ .

$C = 2 π R$ формула длины окружности

$C = 2 \cdot π \cdot 35 = 70 π$ смточный ответ — с $π$

$C \approx 70 \cdot 3, 14 = 219, 8$ смприближённый ответ

Сам

$d = 12$ . Найдите $C$ точно и при $π \approx 3, 14$ . $12 π \approx 37, 68$
$R = 4, 5$ . Найдите $C$ . $9 π \approx 28, 26$
$R = 7$ , $π \approx \frac{22}{7}$ . Найдите $C$ . $44$

R05.2

Образец → сам · радиус по длине окружности

Обратная задача: делим на $2 π$

Образец: длина окружности $37, 68$ см. Найдите её радиус ( $π \approx 3, 14$ ).

$2 π R = C$ формула длины окружности

$R = \frac{C}{2 π} \approx \frac{37 , 68}{6 , 28}$ выразили $R$ : делим на $2 π$

$R \approx 6$ смпроверка: $2 \cdot 3, 14 \cdot 6 = 37, 68$

Сам

$C = 26 π$ . Найдите $R$ . $13$
$C = 15, 7$ ( $π \approx 3, 14$ ). Найдите $d$ . $5$
$C = 20$ . Найдите $R$ точно и приближённо. $\frac{10}{π} \approx 3, 18$

R05.2

Образец → сам · оценка многоугольниками

Окружность между двумя шестиугольниками

Образец: докажите, что $3 < π < 3, 5$ , сравнив $C$ с периметрами вписанного и описанного правильных шестиугольников.

$P_{впис} = 6 R$ сторона вписанного шестиугольника $= R$

$P_{опис} = 43 R$ сторона описанного $= \frac{2 R}{3}$

$6 R < 2 π R < 43 R$ окружность между периметрами

$3 < π < 23 \approx 3, 46 < 3, 5$ разделили на $2 R$

Сам

Оцените $π$ вписанным и описанным квадратами. $22 < π < 4$
$P_{12} \approx 6, 21 R$ (вписанный 12-угольник). Какая оценка снизу? $π > 3, 1$
Обхват банки $31, 8$ см, диаметр $10$ см. Какое приближение $π$ получено измерением? $3, 18$

2,5 мин · практика
Образец: вписанный шестиугольник короче окружности (хорды короче дуг), описанный — длиннее (так же, как в учебнике, принимаем: периметр описанного многоугольника больше длины окружности). Сторона описанного: апофема $= R$ , $a = 2 R tg 3 0^{\circ} = \frac{2 R}{3}$ , $P = \frac{12 R}{3} = 43 R$ ; $23 = 3, 464 \dots$
1) Вписанный: $a = R 2$ , $P = 42 R$ ; описанный: $a = 2 R$ , $P = 8 R$ ; делим на $2 R$ : $22 \approx 2, 83 < π < 4$ — грубее, чем шестиугольниками.
2) $P_{12} = 24 R sin 1 5^{\circ} = 6, 2117 \dots R$ ; $2 π R > 6, 21 R$ , $π > 3, 105$ , т. е. $π > 3, 1$ . 3) $31, 8 : 10 = 3, 18$ — измерение даёт погрешность, вычисление многоугольниками точнее.

R05.2

Образец → сам · как меняется длина окружности

Радиус увеличили — что с длиной?

Образец: радиус окружности увеличили на $3$ см. На сколько увеличилась её длина?

$C_{1} = 2 π R$ было

$C_{2} = 2 π (R + 3) = 2 π R + 6 π$ стало; раскрыли скобки

$C_{2} - C_{1} = 6 π \approx 18, 84$ смот $R$ не зависит!

Сам

Радиус увеличили в $3$ раза. Во сколько раз увеличилась длина? в $3$ раза
$C_{1} : C_{2} = 2 : 5$ , $R_{1} = 4$ . Найдите $R_{2}$ . $10$
Обруч вокруг экватора удлинили на $1$ м. Пролезет ли под ним кошка? зазор $\frac{1}{2 π} \approx 0, 16$ м — да

R05.2

Сводка правил

Число $π$ и длина окружности — на одной странице

Что	Правило
определение	$π = \frac{C}{d}$ — одно для всех окружностей
длина окружности	$C = π d = 2 π R$
радиус и диаметр по длине	$R = \frac{C}{2 π}$ , $d = \frac{C}{π}$
две окружности	$C_{1} : C_{2} = R_{1} : R_{2}$ ; радиус $+ a$ $\Rightarrow$ длина $+ 2 πa$
запись ответа	точно: $14 π$ ; приближённо: $π \approx 3, 14$ или $π \approx \frac{22}{7}$

R05.2 · R05.1

Образец → сам · многоугольник и окружность

Сначала радиус, потом длина

Образец: правильный треугольник со стороной $63$ вписан в окружность. Найдите длину окружности.

$R = \frac{a 3}{3}$ радиус описанной окружности правильного треугольника

$R = \frac{6 3 \cdot 3}{3} = 6$ подставили $a = 63$

$C = 2 π \cdot 6 = 12 π$ формула длины окружности

Сам

Квадрат со стороной $8$ вписан в окружность. Найдите $C$ . $82 π$
Квадрат со стороной $8$ описан около окружности. Найдите $C$ . $8 π$
Правильный шестиугольник со стороной $5$ вписан в окружность. $C$ ? $10 π$

R05.2 · из жизни

Образец → сам · задача из жизни

Колёса, деревья и часы

Образец: диаметр колеса велосипеда $70$ см. Сколько полных оборотов сделает колесо на пути $1$ км ( $π \approx 3, 14$ )?

$C = π d \approx 3, 14 \cdot 0, 7 = 2, 198$ мпуть за один оборот

$1000 : 2, 198 \approx 454, 96$ сколько раз $C$ укладывается в 1 км

$454$ полных оборота«полных» — округляем вниз

Сам

Обхват ствола дерева $1, 57$ м. Найдите его диаметр. $0, 5$ м
Колесо $d = 60$ см сделало $100$ оборотов. Какой путь пройден? $188, 4$ м
Минутная стрелка $10$ см. Путь её конца за час? $20 π \approx 62, 8$ см

R05.2

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$C = π R$	$π$ — отношение длины к диаметру, а не к радиусу	$C = π d = 2 π R$
$π = 3, 14$	$π$ — бесконечная непериодическая дробь, $3, 14$ — приближение	$π \approx 3, 14$ ; точно: $C = 14 π$
$C = 30 π \Rightarrow R = 30$	разделили на $π$ — получили диаметр	$R = \frac{30 π}{2 π} = 15$

R05.2

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $C = 10 π$ . Найдите $R$ .

$R = \frac{C}{π} = \frac{10 π}{π} = 10$

$R = \frac{C}{2 π} = \frac{10 π}{2 π} = 5$

б) $d = 8$ . Найдите $C$ ( $π \approx 3, 14$ ).

$C = 2 π \cdot 8 = 16 π \approx 50, 24$

$C = π d = 8 π \approx 25, 12$

в) Радиус увеличили в $2$ раза. Как изменилась длина окружности?

«Увеличилась в $4$ раза»

$2 π \cdot 2 R = 2 \cdot 2 π R$ — в $2$ раза

R05.2

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $R = 8$ . Найдите $C$ точно. $16 π$
база $d = 15$ . Найдите $C$ ( $π \approx 3, 14$ ). $47, 1$
база $C = 22 π$ . Найдите $R$ . $11$

база $C = 9, 42$ ( $π \approx 3, 14$ ). Найдите $d$ . $3$
база $R_{1} = 3$ , $R_{2} = 12$ . Найдите $C_{2} : C_{1}$ . $4$
база $C = 6, 28$ м ( $π \approx 3, 14$ ). Найдите $R$ . $1$ м

R05.2 · из жизни

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.В окружность вписан прямоугольник со сторонами $6$ и $8$ . Найдите длину окружности. $10 π$
повыш.Правильный шестиугольник с периметром $36$ вписан в окружность. Найдите её длину. $12 π$
повыш.Длину окружности увеличили на $12, 56$ см ( $π \approx 3, 14$ ). На сколько увеличили радиус? на $2$ см
из жизниКабинка колеса обозрения за один оборот проходит $157$ м ( $π \approx 3, 14$ ). Найдите диаметр колеса. $50$ м

R05.2 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 16 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 16Сторона квадрата, вписанного в окружность, равна $62$ . Найдите длину окружности. В ответе укажите длину, делённую на $π$ . $12$
ОГЭ 16Сторона правильного треугольника равна $93$ . Найдите длину описанной около него окружности, делённую на $π$ . $18$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Длина окружности равна $π R$ .
Отношение длины окружности к её диаметру одинаково для всех окружностей.
Число $π$ равно $3, 14$ .

Ответ: 2

R05.2

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$R = 6$ . Найдите $C$ точно. $12 π$
$C = 28 π$ . Найдите $d$ . $28$
$d = 20$ см. Найдите $C$ ( $π \approx 3, 14$ ). $62, 8$ см
Квадрат со стороной $5$ описан около окружности. Найдите $C$ . $5 π$

Вариант 2

$d = 14$ . Найдите $C$ точно. $14 π$
$C = 18 π$ . Найдите $R$ . $9$
$R = 5$ см. Найдите $C$ ( $π \approx 3, 14$ ). $31, 4$ см
Правильный шестиугольник со стороной $7$ вписан в окружность. Найдите $C$ . $14 π$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что такое число $π$ ?
Почему $C : d$ одинаково для всех окружностей?
Как найти радиус по длине окружности?

Домашнее задание

$R = 2, 5$ . Найдите $C$ точно и при $π \approx 3, 14$ .
Обхват мяча $69, 08$ см ( $π \approx 3, 14$ ). Найдите его диаметр.
* Оцените $π$ снизу вписанным правильным 12-угольником.
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_okruzhnost.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9-049 · Число π

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R05 «Правильные многоугольники. Длина окружности и площадь круга. Вычисление площадей», 8 ч · урок 2/8 · тип Н
Единицы → слайды	R05.2 «Число π» → 2, 4–20 · R05.1 (правильные многоугольники, повторение) → 3, 9, 12 · 8 класс (подобие) → 3, 5
Результаты	ПР-8 → 2, 4–20 · ПР-10 (задачи реальной жизни, калькулятор) → 13, 17
Виды деятельности	«Пользоваться понятием длины окружности, введенным с помощью правильных многоугольников, определять число π» → 4–6, 9
ОГЭ	линия 16 → 18 · линия 19 → 18
Вне урока	длина дуги окружности — GEOM9-050 (R05.3); радианная мера — GEOM9-051 (R05.4); площадь круга — R05.5
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Число π

Сегодня вы научитесь

Понимать длину окружности

Объяснять число π

Вычислять C=2πR

Решать задачи из жизни

Правильные многоугольники и окружность

Удваиваем число сторон вписанного многоугольника

Отношение C:d одно и то же для всех окружностей

Число π и длина окружности

Точный ответ и приближённый

Образец: радиус колеса 35 см. Найдите длину его окружности точно и при π≈3,14.

Сам

Обратная задача: делим на 2π

Образец: длина окружности 37,68 см. Найдите её радиус (π≈3,14).

Сам

Окружность между двумя шестиугольниками

Образец: докажите, что 3<π<3,5, сравнив C с периметрами вписанного и описанного правильных шестиугольников.

Сам

Радиус увеличили — что с длиной?

Образец: радиус окружности увеличили на 3 см. На сколько увеличилась её длина?

Сам

Число π и длина окружности — на одной странице

Сначала радиус, потом длина

Образец: правильный треугольник со стороной 63​ вписан в окружность. Найдите длину окружности.

Сам

Колёса, деревья и часы

Образец: диаметр колеса велосипеда 70 см. Сколько полных оборотов сделает колесо на пути 1 км (π≈3,14)?

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) C=10π. Найдите R.

б) d=8. Найдите C (π≈3,14).

в) Радиус увеличили в 2 раза. Как изменилась длина окружности?

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9-049 · Число π

Объяснять число $π$

Вычислять $C = 2 π R$

Отношение $C : d$ одно и то же для всех окружностей

Число $π$ и длина окружности

Образец: радиус колеса $35$ см. Найдите длину его окружности точно и при $π \approx 3, 14$ .

Обратная задача: делим на $2 π$

Образец: длина окружности $37, 68$ см. Найдите её радиус ( $π \approx 3, 14$ ).

Образец: докажите, что $3 < π < 3, 5$ , сравнив $C$ с периметрами вписанного и описанного правильных шестиугольников.

Образец: радиус окружности увеличили на $3$ см. На сколько увеличилась её длина?

Число $π$ и длина окружности — на одной странице

Образец: правильный треугольник со стороной $63$ вписан в окружность. Найдите длину окружности.

Образец: диаметр колеса велосипеда $70$ см. Сколько полных оборотов сделает колесо на пути $1$ км ( $π \approx 3, 14$ )?

а) $C = 10 π$ . Найдите $R$ .

б) $d = 8$ . Найдите $C$ ( $π \approx 3, 14$ ).

в) Радиус увеличили в $2$ раза. Как изменилась длина окружности?