Правильные многоугольники · урок 1 из 8

Правильные многоугольники

Геометрия · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R05 · GEOM9-048

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R05 «Правильные многоугольники. Длина окружности и площадь круга. Вычисление площадей» (8 ч), урок 1/8, единица R05.1. Тип урока — Н.
Теория (12,5): титул 0,5 · цели 0,5 · определение 1,5 · угол 1,5 · теорема 1 — 2 · теорема 2 — 1,5 · формулы 2 · сводка 2 · построение 1.
Практика (32,5): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 3 + 3 + 3 + 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2,5 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: образец 5 (гайка) и задание 4 повышенного уровня — в ДЗ; доказательства теорем не сокращать.

R05.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Узнавать правильный многоугольник

по определению: равны все стороны и все углы (ПР-8)

Находить углы

правильного $n$ -угольника и число его сторон по углу

Доказывать

что около правильного многоугольника можно описать окружность и в него вписать окружность

Вычислять элементы

сторону, $R$ , $r$ , площадь — в задачах ОГЭ и из жизни (ПР-8, ПР-10)

повторение: 8 класс, R01

Разминка · устно

Углы, окружности, тригонометрия

Сумма углов выпуклого шестиугольника? $72 0^{\circ}$
Угол равностороннего треугольника? $6 0^{\circ}$
Диагональ квадрата со стороной $5$ ? $52$
$sin 3 0^{\circ}$ и $cos 3 0^{\circ}$ ? $\frac{1}{2}$ и $\frac{3}{2}$

Центр описанной окружности треугольника — точка пересечения… серединных перпендикуляров
Центр вписанной окружности — точка пересечения… биссектрис
Теорема синусов: $\frac{a}{sin A} = ?$ $2 R$

R05.1

Определение

Что такое правильный многоугольник

Правильный многоугольник — выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.

Нужны оба условия: ромб и прямоугольник — не правильные.

Правильный четырёхугольник — квадрат, правильный треугольник — равносторонний.

R05.1

Свойство · угол правильного n-угольника

Чему равен каждый угол

Диагонали из одной вершины делят $n$ -угольник на $n - 2$ треугольника: сумма углов $(n - 2) \cdot 18 0^{\circ}$ .

α_{n} = \frac{( n - 2 ) \cdot 18 0 ^{\circ}}{n}

Внешний угол: $18 0^{\circ} - α_{n} = \frac{36 0 ^{\circ}}{n}$ — удобно искать $n$ по углу.

$n$	3	4	5	6	8	10	12
$α_{n}$	$6 0^{\circ}$	$9 0^{\circ}$	$10 8^{\circ}$	$12 0^{\circ}$	$13 5^{\circ}$	$14 4^{\circ}$	$15 0^{\circ}$

R05.1

Образец → сам · угол и число сторон

По углу найдите число сторон

Образец: угол правильного многоугольника равен $14 4^{\circ}$ . Сколько у него сторон?

внешний угол $18 0^{\circ} - 14 4^{\circ} = 3 6^{\circ}$ смежный

$3 6^{\circ} = \frac{36 0 ^{\circ}}{n}$ внешние углы равны, в сумме $36 0^{\circ}$

$n = 360 : 36 = 10$ проверка: $8 \cdot 18 0^{\circ} : 10 = 14 4^{\circ}$

Сам

Найдите угол правильного 18-угольника. $16 0^{\circ}$
Угол правильного многоугольника $13 5^{\circ}$ . Сколько у него сторон? $8$
Может ли угол правильного многоугольника быть равен $10 0^{\circ}$ ? нет: $360 : 80 = 4, 5$ — не целое

R05.1

Теорема 1 · доказательство

Около правильного многоугольника можно описать окружность

Дано:

A_{1} A_{2} \dots A_{n}

— правильный,

α

— его угол.
Доказать: есть окружность через все вершины, и только одна.

1

O

— пересечение биссектрис

∠ A_{1}

и

∠ A_{2}

,

∠ O A_{1} A_{2} = ∠ O A_{2} A_{1} = α /2

значит,

△ O A_{1} A_{2}

равнобедренный:

O A_{1} = O A_{2}

2

△ O A_{2} A_{3}

=

△ O A_{2} A_{1}

, отсюда

O A_{3} = O A_{1}

I признак:

A_{2} A_{3} = A_{2} A_{1}

,

O A_{2}

— общая,

∠ O A_{2} A_{3} = ∠ O A_{2} A_{1}

3

∠ O A_{3} A_{2} = α /2

:

O A_{3}

— биссектриса; так далее

O A_{1} = O A_{2} = \dots = O A_{n}

повторяем шаг 2 для каждой следующей вершины

4окружность

(O; O A_{1})

— описанная, и она одначерез

A_{1}

,

A_{2}

,

A_{3}

проходит единственная окружность

2 мин · теория
Каждый шаг — вопрос классу «почему?». Розовые дуги на чертеже — равные половины угла α: биссектрисы делят углы пополам, а у правильного многоугольника все углы равны.
Последний щелчок рисует описанную окружность. Единственность: любая окружность через все вершины проходит через A₁, A₂, A₃, а такая окружность одна — описанная окружность треугольника A₁A₂A₃.
Ошибка: брать O как «центр на глаз». Центр — точка пересечения биссектрис двух соседних углов.

R05.1

Теорема 2 · доказательство

В правильный многоугольник можно вписать окружность

Дано:

A_{1} A_{2} \dots A_{n}

— правильный,

O

— центр описанной окружности.
Доказать: есть вписанная окружность, и только одна.

1

△ O A_{1} A_{2} = △ O A_{2} A_{3} = \dots

III признак: боковые стороны

= R

, основания — равные стороны

2

O H_{1} = O H_{2} = \dots = O H_{n}

высоты равных треугольников равны

3окружность

(O; O H_{1})

касается каждой сторонысторона

⊥

радиусу

O H_{i}

в его конце

4центры вписанной и описанной совпадают — центр многоугольника

H_{i}

— середины сторон; центральный угол

∠ A_{1} O A_{2} = 36 0^{\circ} : n

R05.1

Вывод формул · сторона, радиусы, площадь

Всё — из треугольника $O A_{1} H$

1

φ = ∠ A_{1} O H = \frac{18 0 ^{\circ}}{n}

O H

— биссектриса центрального угла

36 0^{\circ} : n

2

\frac{a}{2}

=

R

sin φ

и

r

=

R

cos φ

прямоугольный

△ O A_{1} H

, гипотенуза

O A_{1} = R

a

= 2

R

sin \frac{18 0 ^{\circ}}{n}

,

r

=

R

cos \frac{18 0 ^{\circ}}{n}

3

S = n \cdot \frac{1}{2} a r = \frac{1}{2} P r

n

равных треугольников с основанием

a

и высотой

r

R05.1

Сводка формул · n = 3, 4, 6

Три главных правильных многоугольника

	треугольник	квадрат	шестиугольник
$R$ — описанной, $r$ — вписанной
сторона через $R$	$a = R 3$	$a = R 2$	$a = R$
$R$ через сторону	$R = \frac{a 3}{3}$	$R = \frac{a 2}{2}$	$R = a$
$r$ через сторону	$r = \frac{a 3}{6} = \frac{R}{2}$	$r = \frac{a}{2}$	$r = \frac{a 3}{2}$

R05.1

Построение · циркуль и линейка

Правильный шестиугольник: сторона равна $R$

Проведите окружность радиуса $R$ .
Не меняя раствора циркуля, сделайте засечки по окружности — получится 6 точек.
Соедините их по порядку — правильный шестиугольник, так как $a_{6} = R$ .
Соедините точки через одну — правильный треугольник.
Серединные перпендикуляры к сторонам дают ещё 6 точек на окружности — правильный 12-угольник.

R05.1

Образец → сам · правильный треугольник

Сторона ↔ радиусы

Образец: сторона правильного треугольника равна $12$ . Найдите $R$ и $r$ .

$R = \frac{a 3}{3} = \frac{12 3}{3} = 43$ из $a = R 3$

$r = \frac{R}{2} = 23$ $r = R cos 6 0^{\circ}$

проверка: $R + r = 63$ — это высота $h$ ✓

Сам

$R = 8$ . Найдите сторону правильного треугольника. $83$
$r = 5$ . Найдите $R$ и сторону правильного треугольника. $R = 10$ , $a = 103$
Высота правильного треугольника $15$ . Найдите $R$ . $10$

R05.1

Образец → сам · обратная задача, шестиугольник

По радиусу вписанной окружности

Образец: в правильном шестиугольнике $r = 33$ . Найдите сторону, $R$ и площадь.

$\frac{a 3}{2} = 33$ , $a = 6$ формула для $r$

$R = a = 6$ у шестиугольника

$S = \frac{1}{2} P r = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot 33 = 543$

Сам

Сторона правильного шестиугольника $10$ . Найдите $R$ и $r$ . $R = 10$ , $r = 53$
Большая диагональ правильного шестиугольника $14$ . Найдите сторону. $7$
Периметр правильного шестиугольника $24$ . Найдите площадь. $243$

R05.1

Образец → сам · комбинированная задача

Два многоугольника в одной окружности

Образец: квадрат со стороной $62$ и правильный треугольник вписаны в одну окружность. Найдите сторону треугольника.

$R = \frac{a _{4} 2}{2} = \frac{6 2 \cdot 2}{2} = 6$ квадрат

$a_{3} = R 3 = 63$ треугольник, тот же $R$

Сам

Сторона квадрата $8$ . Найдите $R$ и $r$ . $R = 42$ , $r = 4$
Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен $7$ . Найдите диагональ квадрата. $142$
Правильный шестиугольник со стороной $5$ и квадрат вписаны в одну окружность. Найдите сторону квадрата. $52$

R05.1 · ПР-10

Образец → сам · задача из жизни

Гайка «под ключ 17»

Образец: гайка — правильный шестиугольник, расстояние между параллельными гранями $17$ мм. Из прутка какого диаметра её выточить?

$2 r = 17$ , $a = \frac{2 r}{3} = \frac{17}{3} \approx 9, 8$ мм формула для $r$

$2 R = 2 a \approx 19, 6$ мм пруток — не тоньше

Сам (калькулятор)

Гайка «под ключ 24». Найдите диаметр описанной окружности. $\approx 27, 7$ мм
Плитка — правильный шестиугольник со стороной $10$ см. Расстояние между противоположными сторонами? $103 \approx 17, 3$ см
Знак — правильный восьмиугольник, $R = 10$ см. Найдите сторону ( $sin 22, 5^{\circ} \approx 0, 383$ ). $\approx 7, 7$ см

R05.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
«Ромб — правильный многоугольник: все стороны равны»	нужно ещё равенство всех углов	правильный ромб — только квадрат
Угол $α_{n} = \frac{36 0 ^{\circ}}{n}$	это центральный (и внешний) угол	$α_{n} = \frac{( n - 2 ) \cdot 18 0 ^{\circ}}{n}$
У шестиугольника сторона $a = r$	равносторонние треугольники $O A_{1} A_{2}$ дают $a = R$	$a = R$ , $r = \frac{a 3}{2}$
У треугольника $R = \frac{h}{2}$	центр делит высоту как $2 : 1$	$R = \frac{2}{3} h$ , $r = \frac{1}{3} h$

R05.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Угол правильного многоугольника $16 0^{\circ}$ . Найдите $n$ .

$n = 360 : 160 = 2, 25$

«такого многоугольника нет»

внешний угол $2 0^{\circ}$ , $n = 360 : 20 = 18$

б) Сторона правильного шестиугольника $8$ . Найдите $r$ .

У шестиугольника сторона равна радиусу, значит, $r = 8$

$a = R = 8$ ,
а $r = \frac{8 3}{2} = 43$

в) Сторона правильного треугольника $6$ . Найдите $R$ .

$h = \frac{6 3}{2} = 33$

$R = \frac{h}{2} = \frac{3 3}{2}$

$R = \frac{2}{3} h = 23$

R05.1

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаУгол правильного шестиугольника? $12 0^{\circ}$
базаУгол правильного 20-угольника? $16 2^{\circ}$
базаЦентральный угол правильного 12-угольника? $3 0^{\circ}$

базаСторона квадрата $10$ . Найдите $R$ . $52$
база $R$ правильного шестиугольника $9$ . Найдите периметр. $54$
база $r$ правильного треугольника $4$ . Найдите $R$ . $8$

R05.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Внешний угол правильного многоугольника $2 4^{\circ}$ . Найдите число сторон и сумму углов. $15$ ; $234 0^{\circ}$
повыш.Правильный треугольник со стороной $6$ вписан в окружность. Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около этой окружности. $4$
повыш.Площадь правильного шестиугольника $243$ . Найдите его сторону. $4$
из жизниИз круглой столешницы диаметром $120$ см выпилили правильный шестиугольник наибольшего размера. Найдите длину его кромки. $360$ см

R05.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 16 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 16Сторона равностороннего треугольника равна $103$ . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника. $10$
ОГЭ 16Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен $6$ . Найдите высоту этого треугольника. $18$
ОГЭ 16Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен $142$ . Найдите диагональ этого квадрата. $56$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность.
Любой ромб — правильный многоугольник.
Угол правильного шестиугольника равен $12 0^{\circ}$ .

Ответ: 13

R05.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Найдите угол правильного 15-угольника. $15 6^{\circ}$
Угол правильного многоугольника $14 0^{\circ}$ . Найдите $n$ . $9$
Сторона правильного шестиугольника $7$ . Найдите $R$ и $r$ . $7$ и $3, 53$
Сторона правильного треугольника $123$ . Найдите $r$ . $6$

Вариант 2

Найдите угол правильного 24-угольника. $16 5^{\circ}$
Угол правильного многоугольника $15 0^{\circ}$ . Найдите $n$ . $12$
Сторона квадрата $12$ . Найдите $R$ и $r$ . $62$ и $6$
$R$ правильного треугольника $10$ . Найдите его сторону. $103$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какой многоугольник называют правильным?
Как найти угол правильного $n$ -угольника?
Чему равна сторона правильного шестиугольника?

Домашнее задание

Найдите угол правильного 30-угольника.
В правильном шестиугольнике $r = 63$ . Найдите сторону и площадь.
* $R = 5$ . Найдите сторону правильного восьмиугольника (калькулятор).
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_pravilnye.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9-048 · Правильные многоугольники

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R05 «Правильные многоугольники. Длина окружности и площадь круга. Вычисление площадей», 8 ч · урок 1/8 · тип Н
Единицы → слайды	R05.1 «Правильные многоугольники» → 2, 4–22 · повторение 8 класса и R01 → 3
Результаты	ПР-8 (понятие правильного многоугольника) → 2, 4–21 · ПР-10 (задачи реальной жизни, калькулятор) → 15, 19
Виды деятельности	«Формулировать определение правильных многоугольников, находить их элементы» → 4–21
ОГЭ	линия 16 → 20 (задачи 1–3) · линия 19 → 20
Вне урока	число π — GEOM9-049 (R05.2); длина окружности и дуги — GEOM9-050 (R05.3); площадь круга — GEOM9-052 (R05.5); практикум — GEOM9-053
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Правильные многоугольники

Сегодня вы научитесь

Узнавать правильный многоугольник

Находить углы

Доказывать

Вычислять элементы

Углы, окружности, тригонометрия

Что такое правильный многоугольник

Чему равен каждый угол

По углу найдите число сторон

Образец: угол правильного многоугольника равен 144∘. Сколько у него сторон?

Сам

Около правильного многоугольника можно описать окружность

В правильный многоугольник можно вписать окружность

Всё — из треугольника OA1​H

Три главных правильных многоугольника

Правильный шестиугольник: сторона равна R

Сторона ↔ радиусы

Образец: сторона правильного треугольника равна 12. Найдите R и r.

Сам

По радиусу вписанной окружности

Образец: в правильном шестиугольнике r=33​. Найдите сторону, R и площадь.

Сам

Два многоугольника в одной окружности

Образец: квадрат со стороной 62​ и правильный треугольник вписаны в одну окружность. Найдите сторону треугольника.

Сам

Гайка «под ключ 17»

Образец: гайка — правильный шестиугольник, расстояние между параллельными гранями 17 мм. Из прутка какого диаметра её выточить?

Сам (калькулятор)

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Угол правильного многоугольника 160∘. Найдите n.

б) Сторона правильного шестиугольника 8. Найдите r.

в) Сторона правильного треугольника 6. Найдите R.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9-048 · Правильные многоугольники

Образец: угол правильного многоугольника равен $14 4^{\circ}$ . Сколько у него сторон?

Всё — из треугольника $O A_{1} H$

Правильный шестиугольник: сторона равна $R$

Образец: сторона правильного треугольника равна $12$ . Найдите $R$ и $r$ .

Образец: в правильном шестиугольнике $r = 33$ . Найдите сторону, $R$ и площадь.

Образец: квадрат со стороной $62$ и правильный треугольник вписаны в одну окружность. Найдите сторону треугольника.

Образец: гайка — правильный шестиугольник, расстояние между параллельными гранями $17$ мм. Из прутка какого диаметра её выточить?

а) Угол правильного многоугольника $16 0^{\circ}$ . Найдите $n$ .

б) Сторона правильного шестиугольника $8$ . Найдите $r$ .

в) Сторона правильного треугольника $6$ . Найдите $R$ .