Декартовы координаты · урок 8 из 9 · практикум

Практикум: уравнение окружности

Геометрия · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R04 · GEOM9-046

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R04 «Декартовы координаты на плоскости» (9 ч), урок 8/9, единица R04.3 «Уравнение окружности». Тип урока — П (практикум): вывод уравнения был на уроке GEOM9-041, сегодня — короткое повторение, сводка, демонстрационный пример и много практики.
Теория (12,5): титул 1 · цели 0,5 · повторение вывода 2,5 · сводка правил 2,5 · типы задач 2,5 · демонстрационный пример 3,5.
Практика (32,5): разминка 3 · образцы → сам 2,5 × 5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 3 · ОГЭ 2,5 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: задачи 3–4 повышенного уровня — в ДЗ; самостоятельную не сокращать.

R04.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь уверенно

Читать уравнение

находить центр и радиус окружности по её уравнению

Составлять уравнение

по центру и радиусу, по центру и точке, по концам диаметра

Выделять полный квадрат

и приводить уравнение $x^{2} + y^{2} + \dots = 0$ к виду окружности

Проверять точку

на окружности, внутри или вне круга — подстановкой координат

повторение: R04.1 · R04.2

Разминка · устно

Шесть быстрых вопросов

Найдите длину отрезка $A B$ по рисунку. $5$
Найдите координаты середины $A B$ . $(2, 5; 3)$
Раскройте скобки: $(x - 3)^{2}$ . $x^{2} - 6 x + 9$
Дополните до полного квадрата: $x^{2} + 8 x + \dots$ $16$ : $(x + 4)^{2}$
Прямая проходит через $(0; 2)$ , угловой коэффициент $3$ . Уравнение? $y = 3 x + 2$
Точка $M (x; y)$ удалена от $O (0; 0)$ на $5$ . Запишите это равенством. $x^{2} + y^{2} = 25$

R04.3 · повторение

Повторение · вывод уравнения окружности

Окружность — точки на расстоянии $R$ от центра

Окружность с центром

C (a; b)

и радиусом

R

— все точки

M

, для которых

CM = R

.

1

M (x; y)

на окружности

\Leftrightarrow CM = R

определение окружности

2

CM = (x - a)^{2} + (y - b)^{2}

расстояние между точками (теорема Пифагора)

3

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}

обе части неотрицательны — возвели в квадрат

R04.3 · сводка

Сводка правил

Всё, что нужно на практикуме

Что	Правило
Уравнение	центр $C (a; b)$ , радиус $R$ : $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$
Центр в $O (0; 0)$	$x^{2} + y^{2} = R^{2}$
Знаки в скобках	$(x + 3)^{2} = (x - (- 3))^{2}$ → $a = - 3$ : знак координаты противоположный
Справа	стоит $R^{2}$ : $\dots = 49$ → $R = 7$ ; $\dots = 12$ → $R = 23$
Точка $M (x_{0}; y_{0})$	подставить в левую часть: $= R^{2}$ — на окружности, $< R^{2}$ — внутри, $> R^{2}$ — вне
Вид $x^{2} + y^{2} + \dots = 0$	выделить полные квадраты; справа $\leq 0$ — это не окружность

R04.3 · сводка

Схема · типы задач практикума

Дано → найти → как

1 · уравнение → центр, радиус

$C (a; b)$ , $R = R^{2}$

2 · центр и точка → уравнение

$R^{2} = C M^{2}$ — радиус не извлекаем

3 · концы диаметра → уравнение

центр — середина $A B$ ,
$R = \frac{A B}{2}$

4 · $x^{2} + y^{2} + \dots = 0$ → центр

полные квадраты по $x$ и по $y$

5 · точка → где лежит?

подставить и сравнить с $R^{2}$

6 · касание оси → радиус

касается $O x$ : $R = ∣ b ∣$ ; касается $O y$ : $R = ∣ a ∣$

R04.3

Образец → сам · центр и радиус по уравнению

Читаем уравнение — видим окружность

Образец: найдите центр и радиус окружности $(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 16$ .

$(y + 3)^{2} = (y - (- 3))^{2}$ приводим к виду $(y - b)^{2}$

$a = 2$ , $b = - 3$ знаки противоположны знакам в скобках

$R^{2} = 16$ , $R = 4$ справа — квадрат радиуса

$C (2; - 3)$ , $R = 4$

Сам

$(x + 1)^{2} + (y - 5)^{2} = 49$ $C (- 1; 5)$ , $R = 7$
$x^{2} + (y - 4)^{2} = 12$ $C (0; 4)$ , $R = 23$
$(x - 6)^{2} + y^{2} = 2, 25$ $C (6; 0)$ , $R = 1, 5$

R04.3

Образец → сам · уравнение по центру и точке

Радиус — расстояние от центра до точки

Образец: окружность с центром $C (- 1; 2)$ проходит через $M (2; 6)$ . Составьте её уравнение.

$R^{2} = C M^{2}$ $M$ лежит на окружности

$C M^{2} = (2 + 1)^{2} + (6 - 2)^{2}$ $CM {3; 4}$

$R^{2} = 9 + 16 = 25$

$(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 25$

Сам

Центр $C (3; - 2)$ , проходит через начало координат. $(x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 13$
Центр $O (0; 0)$ , проходит через $M (- 5; 12)$ . $x^{2} + y^{2} = 169$
Центр $C (2; 3)$ , касается оси $O x$ . $(x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 9$

R04.3

Образец → сам · уравнение по концам диаметра

Центр — середина диаметра

Образец: $A (- 3; 1)$ , $B (5; 7)$ — концы диаметра. Составьте уравнение окружности.

$C (\frac{- 3 + 5}{2}; \frac{1 + 7}{2}) = (1; 4)$ центр — середина $A B$

$A B = 8^{2} + 6^{2} = 10$ $A B {8; 6}$

$R = \frac{A B}{2} = 5$ радиус — половина диаметра

$(x - 1)^{2} + (y - 4)^{2} = 25$

Сам

$A (1; - 2)$ , $B (7; 6)$ . $(x - 4)^{2} + (y - 2)^{2} = 25$
$A (- 4; 0)$ , $B (4; 0)$ . $x^{2} + y^{2} = 16$
$A (0; 3)$ , $B (2; - 1)$ . $(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 5$

R04.3 · демонстрация

Демонстрационный пример · учитель решает

Выделяем полный квадрат

Найдите центр и радиус:

x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y - 12 = 0

.

1

(x^{2} - 6 x) + (y^{2} + 4 y) = 12

сгруппировали по

x

и по

y

, число — вправо

2

(x^{2} - 6 x + 9) + (y^{2} + 4 y + 4) = 12 + 9 + 4

прибавили к обеим частям

(\frac{6}{2})^{2}

и

(\frac{4}{2})^{2}

3

(x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 25

свернули по формуле квадрата разности и суммы

4

C (3; - 2)

,

R = 5

справа

25 > 0

— это окружность

R04.3

Образец → сам · полный квадрат

Половина коэффициента — в квадрат

Образец: найдите центр и радиус $x^{2} + y^{2} + 8 x - 2 y + 8 = 0$ .

$(x^{2} + 8 x + 16) + (y^{2} - 2 y + 1)$
$= - 8 + 16 + 1$ добавили $4^{2}$ и $1^{2}$ к обеим частям

$(x + 4)^{2} + (y - 1)^{2} = 9$ свернули квадраты

$C (- 4; 1)$ , $R = 3$

Сам

$x^{2} + y^{2} - 10 y = 0$ $C (0; 5)$ , $R = 5$
$x^{2} + y^{2} + 2 x + 6 y + 1 = 0$ $C (- 1; - 3)$ , $R = 3$
Окружность ли $x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y + 5 = 0$ ? нет: $(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 0$ — одна точка

R04.3

Образец → сам · положение точки

Подставляем и сравниваем с $R^{2}$

Образец: как расположены $A (4; 2)$ , $B (- 2; 0)$ , $C (6; 1)$ относительно окружности $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 25$ ?

$A$ : $3^{2} + 4^{2} = 25$ $= R^{2}$ — на окружности

$B$ : $(- 3)^{2} + 2^{2} = 13$ $13 < 25$ — внутри

$C$ : $5^{2} + 3^{2} = 34$ $34 > 25$ — вне

Сам

Лежит ли $D (- 3; 1)$ на этой окружности? да: $16 + 9 = 25$
При каких $y$ точка $M (5; y)$ лежит на ней? $y = 1$ или $y = - 5$
При каких $R > 0$ точка $(2; 2)$ внутри окружности $x^{2} + y^{2} = R^{2}$ ? $R > 22$

R04.3

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$(x + 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 9$ : центр $(2; - 1)$	знаки координат центра противоположны знакам в скобках	$C (- 2; 1)$
$(x - 3)^{2} + y^{2} = 16$ : $R = 16$	справа стоит $R^{2}$	$R = 4$
$C (1; - 2)$ , $R = 3$ : $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 3$	знак при $b$ и $R$ вместо $R^{2}$	$(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 9$
$x^{2} - 6 x + y^{2} = 7$ → $(x - 3)^{2} + y^{2} = 7$	$9$ прибавили только слева	$(x - 3)^{2} + y^{2} = 16$

R04.3

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Диаметр $A B$ : $A (- 2; 1)$ , $B (4; 9)$ . Уравнение окружности?

центр $(1; 5)$ , $R = A B = 10$

$(x - 1)^{2} + (y - 5)^{2} = 100$

$R = \frac{A B}{2} = 5$ : $(x - 1)^{2} + (y - 5)^{2} = 25$

б) Центр и радиус: $x^{2} + y^{2} + 4 x - 6 y - 3 = 0$

$(x + 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 3$

$C (- 2; 3)$ , $R = 3$

справа $3 + 4 + 9 = 16$ : $R = 4$

в) Лежит ли $A (1; 3)$ на окружности $(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 17$ ?

$(1 - 2)^{2} + (3 - 1)^{2} = 5$

$5 \neq = 17$ — не лежит

$(3 + 1)^{2} = 16$ ; $1 + 16 = 17$ — лежит

R04.3

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаЦентр и радиус: $(x - 5)^{2} + (y + 1)^{2} = 36$ . $C (5; - 1)$ , $R = 6$
базаУравнение окружности: центр $(- 2; 3)$ , $R = 4$ . $(x + 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 16$
базаЦентр в $O$ , проходит через $(6; - 8)$ . Уравнение? $x^{2} + y^{2} = 100$

базаЛежит ли $A (3; - 4)$ на окружности $x^{2} + y^{2} = 25$ ? да: $9 + 16 = 25$
базаЦентр и радиус: $x^{2} + y^{2} - 8 x = 0$ . $C (4; 0)$ , $R = 4$
базаДиаметр $A B$ : $A (- 1; - 1)$ , $B (5; 7)$ . Уравнение? $(x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 25$

R04.2 · R04.3 · из жизни

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Центр окружности лежит на оси $O x$ , окружность проходит через $A (- 1; 3)$ и $B (3; 5)$ . Составьте её уравнение. $(x - 3)^{2} + y^{2} = 25$
повыш.При каких $m$ уравнение $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + m = 0$ задаёт окружность? $m < 5$
повыш.Окружность радиуса $2$ проходит через начало координат, её центр лежит на прямой $y = x$ . Уравнение? $(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 2$ или $(x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} = 2$
из жизниВышка связи стоит в точке $(2; - 1)$ и покрывает круг радиусом 5 км (единица — 1 км). Есть ли связь в посёлках $P (5; 2)$ и $Q (- 2; 3)$ ? в $P$ есть ( $18 < 25$ ), в $Q$ нет ( $32 > 25$ )

R04.3 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 18 и 19

Ответ — число или номера утверждений

ОГЭ 18Клетка $1 \times 1$ , $Q$ — центр, $P$ — на окружности. Найдите радиус. $5$
ОГЭ 18Запишите уравнение этой окружности. $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 25$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Центр окружности $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 9$ — точка $(1; - 2)$ .
Радиус окружности $x^{2} + y^{2} = 16$ равен $16$ .
Точка $(0; 0)$ лежит внутри окружности $(x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 36$ .

Ответ: 13

R04.3

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Центр и радиус: $(x + 3)^{2} + (y - 2)^{2} = 49$ . $C (- 3; 2)$ , $R = 7$
Центр $C (1; - 4)$ , проходит через $(4; 0)$ . Уравнение? $(x - 1)^{2} + (y + 4)^{2} = 25$
Центр и радиус: $x^{2} + y^{2} - 6 x + 2 y - 6 = 0$ . $C (3; - 1)$ , $R = 4$
Диаметр $A B$ : $A (- 5; 2)$ , $B (3; - 4)$ . Уравнение? $(x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} = 25$

Вариант 2

Центр и радиус: $(x - 4)^{2} + (y + 5)^{2} = 64$ . $C (4; - 5)$ , $R = 8$
Центр $C (- 2; 3)$ , проходит через $(1; 7)$ . Уравнение? $(x + 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 25$
Центр и радиус: $x^{2} + y^{2} + 4 x - 8 y + 11 = 0$ . $C (- 2; 4)$ , $R = 3$
Диаметр $A B$ : $A (- 1; 6)$ , $B (7; 0)$ . Уравнение? $(x - 3)^{2} + (y - 3)^{2} = 25$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как по уравнению найти центр окружности?
Что стоит в правой части: $R$ или $R^{2}$ ?
Как понять, что точка лежит внутри круга?

Домашнее задание

Центр и радиус: $x^{2} + y^{2} + 10 x - 4 y + 4 = 0$ .
Уравнение окружности с диаметром $A B$ : $A (- 3; - 2)$ , $B (5; 4)$ .
* Центр на оси $O y$ , окружность проходит через $(2; 1)$ и $(- 4; 3)$ .
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_koordinaty.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9-046 · Практикум: уравнение окружности

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R04 «Декартовы координаты на плоскости», 9 ч · урок 8/9 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R04.3 «Уравнение окружности» → 2, 4–19 · повторение R04.1, R04.2 → 3, 16
Результаты	ПР-7 (метод координат) → 4–19 · ПР-10 (модель реальной задачи) → 16
Виды деятельности	«Выводить уравнение … окружности» → 4 · «Выделять полный квадрат для нахождения центра и радиуса окружности по ее уравнению» → 10, 11, 14, 15, 18 · «Применять координаты при решении … практических задач» → 16
ОГЭ	линия 18 → 17 (задачи 1, 2) · линия 19 → 17
Вне урока	точки пересечения окружности и прямой (R04.4), метод координат (R04.5) — GEOM9-042, GEOM9-043, GEOM9-047
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: уравнение окружности

Сегодня вы научитесь уверенно

Читать уравнение

Составлять уравнение

Выделять полный квадрат

Проверять точку

Шесть быстрых вопросов

Окружность — точки на расстоянии R от центра

Всё, что нужно на практикуме

Дано → найти → как

1 · уравнение → центр, радиус

2 · центр и точка → уравнение

3 · концы диаметра → уравнение

4 · x2+y2+…=0 → центр

5 · точка → где лежит?

6 · касание оси → радиус

Читаем уравнение — видим окружность

Образец: найдите центр и радиус окружности (x−2)2+(y+3)2=16.

Сам

Радиус — расстояние от центра до точки

Образец: окружность с центром C(−1;2) проходит через M(2;6). Составьте её уравнение.

Сам

Центр — середина диаметра

Образец: A(−3;1), B(5;7) — концы диаметра. Составьте уравнение окружности.

Сам

Выделяем полный квадрат

Половина коэффициента — в квадрат

Образец: найдите центр и радиус x2+y2+8x−2y+8=0.

Сам

Подставляем и сравниваем с R2

Образец: как расположены A(4;2), B(−2;0), C(6;1) относительно окружности (x−1)2+(y+2)2=25?

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Диаметр AB: A(−2;1), B(4;9). Уравнение окружности?

б) Центр и радиус: x2+y2+4x−6y−3=0

в) Лежит ли A(1;3) на окружности (x−2)2+(y+1)2=17?

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — число или номера утверждений

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9-046 · Практикум: уравнение окружности

Окружность — точки на расстоянии $R$ от центра

4 · $x^{2} + y^{2} + \dots = 0$ → центр

Образец: найдите центр и радиус окружности $(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 16$ .

Образец: окружность с центром $C (- 1; 2)$ проходит через $M (2; 6)$ . Составьте её уравнение.

Образец: $A (- 3; 1)$ , $B (5; 7)$ — концы диаметра. Составьте уравнение окружности.

Образец: найдите центр и радиус $x^{2} + y^{2} + 8 x - 2 y + 8 = 0$ .

Подставляем и сравниваем с $R^{2}$

Образец: как расположены $A (4; 2)$ , $B (- 2; 0)$ , $C (6; 1)$ относительно окружности $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 25$ ?

а) Диаметр $A B$ : $A (- 2; 1)$ , $B (4; 9)$ . Уравнение окружности?

б) Центр и радиус: $x^{2} + y^{2} + 4 x - 6 y - 3 = 0$

в) Лежит ли $A (1; 3)$ на окружности $(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 17$ ?