Декартовы координаты · урок 6 из 9 · практикум

Практикум: декартовы координаты точек на плоскости

Геометрия · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R04 · GEOM9-044

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R04 «Декартовы координаты на плоскости» (9 ч), урок 6/9, единица R04.1 «Декартовы координаты точек на плоскости». Тип урока — П (практикум): новой теории нет, только повторение вывода, сводка, демонстрационный пример и много практики.
Теория (12,5): титул 1 · цели 0,5 · повторение вывода формулы расстояния 2,5 · сводка 2,5 · типы задач 2,5 · демонстрационный пример 3,5.
Практика (32,5): разминка 3 · образцы → сам 2,5 × 5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 3 · ОГЭ 2,5 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: задачи 3–4 повышенного уровня — в ДЗ; самостоятельную не сокращать.

R04.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь уверенно

Читать и строить точки

по координатам; находить симметричные точки

Находить расстояние

между точками и неизвестную координату по расстоянию

Находить середину

отрезка и конец отрезка по его середине

Решать задачи на фигуры

вид треугольника, параллелограмм, точка на оси

повторение: R04.1 · R04.5

Разминка · устно

Шесть быстрых вопросов

Координаты точек $A$ и $C$ ? $A (3; 2)$ , $C (- 3; - 1)$
В какой четверти точка $B$ ? Её координаты? во II, $B (- 2; 4)$
Точки, симметричные $A$ относительно $O x$ и относительно $O$ ? $(3; - 2)$ и $(- 3; - 2)$
Расстояние от точки $(- 5; 12)$ до начала координат? $13$
Середина отрезка с концами $(2; 6)$ и $(8; 0)$ ? $(5; 3)$
Прямоугольник $a \times b$ : куда удобно поместить начало координат? в вершину, оси — по сторонам

R04.1 · повторение

Повторение · вывод формулы расстояния

Расстояние — гипотенуза

Для

A (x_{1}; y_{1})

,

B (x_{2}; y_{2})

:

A B = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}

1

A C = ∣ x_{2} - x_{1} ∣ = ∣5 - 1∣ = 4

C (5; 1)

: катет

A C

параллелен оси

O x

2

BC = ∣ y_{2} - y_{1} ∣ = ∣4 - 1∣ = 3

катет

BC

параллелен оси

O y

,

∠ C = 9 0^{\circ}

3

A B = 4^{2} + 3^{2} = 5

теорема Пифагора; модули исчезают при возведении в квадрат

R04.1 · сводка

Сводка правил

Всё, что нужно на практикуме

Что	Правило
Четверти и оси	I $(+; +)$ , II $(-; +)$ , III $(-; -)$ , IV $(+; -)$ ; на оси $O x$ : $y = 0$ , на оси $O y$ : $x = 0$
Симметрия	относительно $O x$ : $(x; - y)$ , $O y$ : $(- x; y)$ , точки $O$ : $(- x; - y)$
Расстояние	$A B = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$ , $O A = x^{2} + y^{2}$
Середина $M$ отрезка $A B$	$x_{M} = \frac{x _{1} + x _{2}}{2}$ , $y_{M} = \frac{y _{1} + y _{2}}{2}$
Конец по середине	$x_{2} = 2 x_{M} - x_{1}$ , $y_{2} = 2 y_{M} - y_{1}$
Параллелограмм $A BC D$	середины диагоналей $A C$ и $B D$ совпадают

R04.1 · сводка

Схема · типы задач практикума

Дано → найти → формула

1 · точка → симметричная

меняем знак нужной координаты

2 · две точки → расстояние

$Δ x^{2} + Δ y^{2}$ ; по длине — уравнение

3 · концы → середина и обратно

полусумма; $x_{2} = 2 x_{M} - x_{1}$

4 · точка на оси, равноудалённая

$M (x; 0)$ или $M (0; y)$ , $M A^{2} = M B^{2}$

5 · три вершины → вид треугольника

сравнить стороны; $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ?

6 · три вершины → четвёртая

середины диагоналей совпадают

R04.1

Образец → сам · симметричные точки

Какая координата меняет знак?

Образец: $A (- 3; 2)$ . Найдите точки, симметричные $A$ относительно $O x$ , $O y$ и точки $O$ .

$A_{1} (- 3; - 2)$ относительно $O x$ : меняем знак $y$

$A_{2} (3; 2)$ относительно $O y$ : меняем знак $x$

$A_{3} (3; - 2)$ относительно $O$ : обе координаты

Сам

Точка, симметричная $K (4; - 5)$ относительно $O y$ ? $(- 4; - 5)$
В какой четверти точка, симметричная $(- 2; 7)$ относительно $O$ ? $(2; - 7)$ , IV
Точки $(a; 3)$ и $(- 5; b)$ симметричны относительно $O x$ . Найдите $a$ и $b$ . $a = - 5$ , $b = - 3$

R04.1

Образец → сам · расстояние между точками

Разности координат — в квадрат

Образец: найдите расстояние между точками $A (- 2; - 1)$ и $B (4; 7)$ .

$x_{2} - x_{1} = 4 - (- 2) = 6$ вычитаем отрицательное — плюс

$y_{2} - y_{1} = 7 - (- 1) = 8$ катеты прямоугольного треугольника

$A B = 36 + 64 = 10$ формула расстояния

Сам

Найдите $MN$ , если $M (1; - 3)$ , $N (- 4; 9)$ . $13$
Расстояние от $P (- 6; 8)$ до начала координат? $10$
$A (1; y)$ , $B (4; 5)$ , $A B = 5$ . Найдите $y$ . $y = 1$ или $y = 9$

R04.1

Образец → сам · середина отрезка

Середина — полусумма координат

Образец: найдите координаты середины $M$ отрезка $A B$ , если $A (- 3; 5)$ , $B (7; - 1)$ .

$x_{M} = \frac{- 3 + 7}{2} = 2$ полусумма абсцисс

$y_{M} = \frac{5 + ( - 1 )}{2} = 2$ полусумма ординат

$M (2; 2)$

Сам

Середина отрезка $C D$ : $C (- 4; - 7)$ , $D (6; 1)$ ? $(1; - 3)$
$M (1; - 2)$ — середина $A B$ , $A (- 3; 4)$ . Найдите $B$ . $B (5; - 8)$
$A (- 1; 3)$ , $B (5; 1)$ , $C (2; - 4)$ . Найдите медиану $CM$ . $CM = 6$

R04.1 · демонстрация

Демонстрационный пример · учитель решает

Достроим параллелограмм и докажем, что это ромб

Дано:

A (- 3; 0)

,

B (1; 3)

,

C (6; 3)

,

A BC D

— параллелограмм.

1

M (\frac{- 3 + 6}{2}; \frac{0 + 3}{2}) = (1, 5; 1, 5)

середина диагонали

A C

2

D (2 \cdot 1, 5 - 1; 2 \cdot 1, 5 - 3) = (2; 0)

M

— и середина

B D

: диагонали делятся пополам

3

A B = 16 + 9 = 5

,

BC = 6 - 1 = 5

соседние стороны равны — параллелограмм является ромбом

R04.1 · R04.5

Образец → сам · точка на оси, равноудалённая от двух точек

Приравниваем квадраты расстояний

Образец: на оси $O x$ найдите точку $M$ , равноудалённую от $A (1; 4)$ и $B (7; 2)$ .

$M (x; 0)$ , $M A^{2} = M B^{2}$ на оси $O x$ ордината $0$

$(x - 1)^{2} + 16 = (x - 7)^{2} + 4$ формула расстояния в квадрате

$- 2 x + 17 = - 14 x + 53$ $x^{2}$ сокращается

$x = 3$ , $M (3; 0)$

Сам

На оси $O y$ — точка, равноудалённая от $A (- 2; 1)$ и $B (4; 3)$ . $(0; 5)$
На оси $O x$ — точка, равноудалённая от $C (- 3; 2)$ и $D (5; 6)$ . $(3; 0)$
Докажите, что $K (1; 1)$ равноудалена от $A (- 2; 5)$ и $B (5; 4)$ . $K A = K B = 5$

R04.1 · R04.5

Образец → сам · вид треугольника по координатам

Сравниваем стороны и проверяем Пифагора

Образец: определите вид $△ A BC$ : $A (- 2; 1)$ , $B (1; 5)$ , $C (5; 2)$ .

$A B = 9 + 16 = 5$ формула расстояния

$BC = 16 + 9 = 5$ $A B = BC$ — равнобедренный

$A C = 49 + 1 = 50$ большая сторона

$25 + 25 = 50$ : $∠ B = 9 0^{\circ}$ обратная теорема Пифагора

Сам

Вид $△ MN K$ : $M (0; 0)$ , $N (4; 2)$ , $K (1; - 2)$ ? прямоугольный, $∠ M = 9 0^{\circ}$
Периметр $△ D EF$ : $D (- 1; - 1)$ , $E (3; 2)$ , $F (- 1; 4)$ . $10 + 25$
Лежат ли $A (1; 2)$ , $B (3; 6)$ , $C (4; 8)$ на одной прямой? да: $A B + BC = A C$

R04.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$(1; 2)$ , $(4; 6)$ : $3 + 4 = 7$	забыли квадраты	$9 + 16 = 5$
середина $(2; - 4)$ и $(6; 8)$ : $(2; 6)$	вычли вместо сложения	$(\frac{2 + 6}{2}; \frac{- 4 + 8}{2}) = (4; 2)$
$(3; 5)$ относительно $O x$ : $(- 3; 5)$	перепутали оси	$(3; - 5)$
$(- 2; 1)$ , $(3; 4)$ : $1^{2} + 3^{2} = 10$	потерян знак в $3 - (- 2)$	$5^{2} + 3^{2} = 34$

1,5 мин · практика (ученики объясняют «почему», учитель открывает строку)
Строка 2: самопроверка — середина лежит между концами по каждой координате; ответ $(2; 6)$ совпадает по абсциссе с концом $(2; - 4)$ — значит, ошибка. Формула середины — полусумма, не полуразность.
Строка 3: «относительно $O x$ » — ось остаётся на месте, точка переходит в другую полуплоскость по вертикали, меняется $y$ .
Строка 4: $3 - (- 2) = 5$ ; удобно записывать разность со скобками.

R04.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Найдите $A B$ : $A (- 1; 5)$ , $B (3; - 3)$ .

$Δ x = 3 - 1 = 2$

$Δ y = - 3 - 5 = - 8$

$A B = 4 + 64 = 68$

$Δ x = 3 - (- 1) = 4$ ,
$A B = 16 + 64 = 45$

б) $M (2; 1)$ — середина $A B$ , $A (- 2; 3)$ . Найдите $B$ .

$B (\frac{- 2 + 2}{2}; \frac{3 + 1}{2})$

$B (0; 2)$

это середина $A M$ ;
$x_{B} = 2 \cdot 2 + 2 = 6$ ,
$y_{B} = 2 \cdot 1 - 3 = - 1$ : $B (6; - 1)$

в) На оси $O y$ — точка, равноудалённая от $A (1; 2)$ и $B (3; 6)$ .

$P (x; 0)$ :

$(x - 1)^{2} + 4 = (x - 3)^{2} + 36$

$4 x = 40$ , $P (10; 0)$

на $O y$ точка $P (0; y)$ :
$1 + (y - 2)^{2} = 9 + (y - 6)^{2}$ ,
$y = 5$ , $P (0; 5)$

R04.1

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаВ какой четверти лежит точка $(- 7; - 2)$ ? в III
базаТочка, симметричная $(- 4; 6)$ относительно $O y$ ? $(4; 6)$
базаРасстояние между $(- 3; 2)$ и $(5; - 4)$ ? $10$

базаСередина отрезка с концами $(- 5; 3)$ и $(1; - 7)$ ? $(- 2; - 2)$
базаРасстояние от $(5; - 12)$ до оси $O x$ и до точки $O$ ? $12$ и $13$
база $M (3; - 1)$ — середина $A B$ , $A (1; 4)$ . Найдите $B$ . $B (5; - 6)$

R04.1 · R04.5 · из жизни

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.На оси $O x$ найдите точку, равноудалённую от $A (- 1; 4)$ и $B (5; 2)$ . $(1; 0)$
повыш.Докажите, что $△ A BC$ с вершинами $A (- 3; - 2)$ , $B (1; 1)$ , $C (4; - 3)$ равнобедренный и прямоугольный. Найдите его площадь. $A B = BC = 5$ , $∠ B = 9 0^{\circ}$ , $S = 12, 5$
повыш.При каких $a$ расстояние между $A (a; 2)$ и $B (4; - 1)$ равно $5$ ? $a = 0$ или $a = 8$
из жизниНа карте (клетка — 1 км) школа в точке $S (2; 3)$ , дом — в $H (- 4; - 5)$ . Сколько км от дома до школы по прямой? Где остановка посередине? $10$ км, $(- 1; - 1)$

R04.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 18 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 18Клетка $1 \times 1$ . Найдите длину отрезка $A B$ . $5$
ОГЭ 18Найдите площадь $△ A BC$ . $12$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Расстояние от точки $(3; 4)$ до начала координат равно $5$ .
Точка $(- 2; 5)$ лежит во второй координатной четверти.
Точки $(2; 3)$ и $(- 2; 3)$ симметричны относительно оси абсцисс.

Ответ: 12

R04.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Точка, симметричная $(5; - 3)$ относительно $O$ ? $(- 5; 3)$
Расстояние между $(- 1; 2)$ и $(5; 10)$ ? $10$
$M (1; - 2)$ — середина $A B$ , $A (- 3; 1)$ . Найдите $B$ . $B (5; - 5)$
На оси $O x$ — точка, равноудалённая от $(1; 3)$ и $(5; 1)$ . $(2; 0)$

Вариант 2

Точка, симметричная $(- 4; 7)$ относительно $O$ ? $(4; - 7)$
Расстояние между $(3; - 2)$ и $(- 9; 3)$ ? $13$
$M (- 1; 0)$ — середина $A B$ , $A (2; - 4)$ . Найдите $B$ . $B (- 4; 4)$
На оси $O y$ — точка, равноудалённая от $(3; 1)$ и $(1; 5)$ . $(0; 2)$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какая координата меняет знак при симметрии относительно $O y$ ?
Как найти конец отрезка по его середине?
Как по координатам узнать, что треугольник прямоугольный?

Домашнее задание

Периметр $△ A BC$ : $A (- 2; 0)$ , $B (2; 3)$ , $C (2; - 3)$ .
$M (- 2; 5)$ — середина $A B$ , $B (1; 1)$ . Найдите $A$ .
* Докажите, что $A (- 2; - 1)$ , $B (1; 3)$ , $C (5; 0)$ , $D (2; - 4)$ — вершины квадрата.
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_koordinaty.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9-044 · Практикум: декартовы координаты точек на плоскости

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R04 «Декартовы координаты на плоскости», 9 ч · урок 6/9 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R04.1 «Декартовы координаты точек на плоскости» → 2–19 · R04.5 (метод координат, повторение) → 3, 11, 12, 16, 17
Результаты	ПР-7 → 2–19 · ПР-10 (модель реальной задачи) → 16
Виды деятельности	«Осваивать понятие прямоугольной системы координат, декартовых координат точки» → 3, 5, 7 · «Применять координаты при решении геометрических и практических задач» → 8–12, 15–18
ОГЭ	линия 18 → 17 (задачи 1, 2) · линия 19 → 17
Вне урока	уравнение прямой — GEOM9-045 (R04.2); уравнение окружности — GEOM9-046 (R04.3)
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: декартовы координаты точек на плоскости

Сегодня вы научитесь уверенно

Читать и строить точки

Находить расстояние

Находить середину

Решать задачи на фигуры

Шесть быстрых вопросов

Расстояние — гипотенуза

Всё, что нужно на практикуме

Дано → найти → формула

1 · точка → симметричная

2 · две точки → расстояние

3 · концы → середина и обратно

4 · точка на оси, равноудалённая

5 · три вершины → вид треугольника

6 · три вершины → четвёртая

Какая координата меняет знак?

Образец: A(−3;2). Найдите точки, симметричные A относительно Ox, Oy и точки O.

Сам

Разности координат — в квадрат

Образец: найдите расстояние между точками A(−2;−1) и B(4;7).

Сам

Середина — полусумма координат

Образец: найдите координаты середины M отрезка AB, если A(−3;5), B(7;−1).

Сам

Достроим параллелограмм и докажем, что это ромб

Приравниваем квадраты расстояний

Образец: на оси Ox найдите точку M, равноудалённую от A(1;4) и B(7;2).

Сам

Сравниваем стороны и проверяем Пифагора

Образец: определите вид △ABC: A(−2;1), B(1;5), C(5;2).

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Найдите AB: A(−1;5), B(3;−3).

б) M(2;1) — середина AB, A(−2;3). Найдите B.

в) На оси Oy — точка, равноудалённая от A(1;2) и B(3;6).

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9-044 · Практикум: декартовы координаты точек на плоскости

Образец: $A (- 3; 2)$ . Найдите точки, симметричные $A$ относительно $O x$ , $O y$ и точки $O$ .

Образец: найдите расстояние между точками $A (- 2; - 1)$ и $B (4; 7)$ .

Образец: найдите координаты середины $M$ отрезка $A B$ , если $A (- 3; 5)$ , $B (7; - 1)$ .

Образец: на оси $O x$ найдите точку $M$ , равноудалённую от $A (1; 4)$ и $B (7; 2)$ .

Образец: определите вид $△ A BC$ : $A (- 2; 1)$ , $B (1; 5)$ , $C (5; 2)$ .

а) Найдите $A B$ : $A (- 1; 5)$ , $B (3; - 3)$ .

б) $M (2; 1)$ — середина $A B$ , $A (- 2; 3)$ . Найдите $B$ .

в) На оси $O y$ — точка, равноудалённая от $A (1; 2)$ и $B (3; 6)$ .