Декартовы координаты на плоскости · урок 5 из 9

Метод координат при решении геометрических и практических задач

Геометрия · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R04 · GEOM9-043

0,5 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R04 «Декартовы координаты на плоскости» (9 ч), урок 5/9, единица R04.5. Тип — Н. До этого: координаты точки, уравнение прямой, уравнение окружности, точки пересечения (GEOM9-039–042).
Теория (12): сл. 1 титул 0,5 · 2 цели 0,5 · 4 алгоритм метода 3 · 5 формулы 2,5 · 7 выбор системы координат 2,5 · 9 теорема о медиане 3.
Практика (33): 3 разминка 2,5 · 6, 8, 10, 11 «Образец → сам» 3 + 3 + 3,5 + 3 · 12 ошибки 1,5 · 13 найди ошибку 2 · 14 база 3 · 15 повышенный 2,5 · 16 ОГЭ 18 — 1,5 · 17 ОГЭ 23 — 1,5 · 18 самостоятельная 5 · 19 итог 1.
Если не успеваете: задания 3–4 повышенного уровня (сл. 15) и ОГЭ 23 б) — в ДЗ; доказательство теоремы (сл. 9) и самостоятельную не сокращать.

R04.5

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Решать задачи методом координат

по алгоритму из четырёх шагов (ПР-7)

Выбирать удобную систему

начало и оси — по вершинам, сторонам, оси симметрии (ПР-7)

Доказывать в координатах

свойства треугольников и параллелограммов (ПР-7)

Строить модели реальных задач

карта, дорога, зона связи — и считать (ПР-10)

0,5 мин · теория
ПР-7: «Пользоваться методом координат на плоскости, применять его в решении геометрических и практических задач». ПР-10: «Применять полученные знания на практике – строить математические модели для задач реальной жизни и проводить соответствующие вычисления».
Вид деятельности строки R04: применять координаты при решении геометрических и практических задач, для построения математических моделей реальных задач («метод координат»); знакомиться с историей развития геометрии.

R04.1–R04.4

Разминка · устно

Формулы прошлых уроков

Длина отрезка $A B$ на рисунке? $5$
Середина отрезка: $C (- 2; 5)$ , $D (4; 1)$ . $(1; 3)$
Центр и радиус: $(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 9$ . $(2; - 1)$ , $R = 3$
Лежит ли $(2; 2)$ на окружности $x^{2} + y^{2} = 8$ ? да
Прямая через $O$ , параллельная $y = - 3 x + 2$ . $y = - 3 x$
Точки пересечения $x^{2} + y^{2} = 25$ с осью $O x$ . $(\pm 5; 0)$

R04.5

Новый материал · метод координат

Геометрия → алгебра → геометрия

1

Ввести систему координат

удобно: начало в вершине, оси по сторонам

→

2

Записать координаты

точек, уравнения прямых и окружностей

→

3

Вычислить

длины, середины, решить уравнения

→

4

Перевести ответ

на язык геометрии: длина, вид фигуры, место

Рене Декарт, «Геометрия» (1637): точку задают парой чисел, линию — уравнением. Тогда геометрическую задачу можно решить вычислением.

3 мин · теория
Метод координат — способ решать геометрические задачи, переводя их на язык чисел и уравнений: фигура → координаты → вычисления → вывод о фигуре.
Главное в шаге 1 — удобство: чем больше нулей в координатах, тем короче вычисления. Как выбирать — сл. 7.
Шаг 4 часто забывают: ответ « $x = 2, 5$ » не ответ на вопрос «где построить остановку?».
История (вид деятельности ФРП): Р. Декарт и П. Ферма независимо пришли к идее координат в XVII в.; систему координат называют декартовой. Вопрос классу: где вы встречали координаты? (карта, шахматы, GPS, морской бой.)

R04.1–R04.5

Новый материал · инструменты метода

Какая формула — для какого вопроса

Инструмент	Формула	Отвечает на вопрос
Расстояние	$A B = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$	длина стороны, вид треугольника
Середина	$M (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}; \frac{y _{1} + y _{2}}{2})$	медиана, центр, диагонали
Прямая	$y = k x + b$ ; $k_{1} = k_{2} \Leftrightarrow$ параллельны	параллельность, точка на прямой
Окружность	$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$	равноудалённые точки, зона
Пересечение	система уравнений двух линий	общие точки

2,5 мин · теория
Сводка инструментов строки R04 — опорный конспект в тетрадь. Под каждой строкой — вопрос «где мы это применяли?».
Вид треугольника: сравнить стороны (равнобедренный, равносторонний) и проверить теорему, обратную теореме Пифагора ( $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ — прямоугольный).
Точка лежит на линии ⇔ её координаты удовлетворяют уравнению линии. Точки, равноудалённые от центра, — окружность.
Ошибка: в формуле середины вычитать координаты — это половина «шага», а не середина.

R04.5

Образец → сам · вид треугольника по координатам

Какой это треугольник?

Образец: $A (1; 1)$ , $B (4; 5)$ , $C (8; 2)$ . Определите вид $△ A BC$ .

$A B = 3^{2} + 4^{2} = 5$ формула расстояния
$BC = 4^{2} + 3^{2} = 5$ $A B = BC$ — равнобедренный
$A C^{2} = 7^{2} + 1^{2} = 50$ $A B^{2} + B C^{2} = 25 + 25 = 50$
прямоугольный равнобедренный, $∠ B = 9 0^{\circ}$ теорема, обратная теореме Пифагора

Сам

Вид треугольника: $P (0; 0)$ , $Q (6; 0)$ , $R (3; 4)$ . равнобедренный, не прямоугольный
$A BC D$ — параллелограмм, $A (1; 2)$ , $B (3; 5)$ , $C (7; 6)$ . Найдите $D$ . $D (5; 3)$
Центр окружности, описанной около $△ A BC$ из образца. $(4, 5; 1, 5)$

3 мин · практика
Образец: $A B = (4 - 1)^{2} + (5 - 1)^{2} = 5$ ; $BC = (8 - 4)^{2} + (2 - 5)^{2} = 5$ ; $A C^{2} = (8 - 1)^{2} + (2 - 1)^{2} = 50 = A B^{2} + B C^{2}$ ⇒ $∠ B = 9 0^{\circ}$ . Ответ: прямоугольный равнобедренный.
Сам: 1) $PQ = 6$ , $PR = 9 + 16 = 5$ , $QR = 9 + 16 = 5$ ; $25 + 25 \neq = 36$ ⇒ равнобедренный, не прямоугольный (острый: $36 < 50$ ).
2) Диагонали параллелограмма делятся пополам: середина $A C$ — $(4; 4)$ = середина $B D$ ⇒ $D = (2 \cdot 4 - 3; 2 \cdot 4 - 5) = (5; 3)$ .
3) В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности — середина гипотенузы $A C$ : $(\frac{1 + 8}{2}; \frac{1 + 2}{2}) = (4, 5; 1, 5)$ , $R = \frac{50}{2} = \frac{5 2}{2}$ .
Ошибка во 2): искать $D$ как середину или складывать $A + B + C$ — спросить, какое свойство параллелограмма удобно «перевести» в координаты.

R04.5

Новый материал · удобная система координат

Как ввести оси, чтобы считать было легко

Прямоугольник

$A (0; 0)$ , $B (0; b)$ ,
$C (a; b)$ , $D (a; 0)$

Равнобедренный треугольник

$A (- a; 0)$ , $C (a; 0)$ ,
$B (0; h)$

Параллелограмм

$A (0; 0)$ , $D (a; 0)$ ,
$B (b; c)$ , $C (a + b; c)$

Доказательство — буквы (общий случай), вычисление — числа из условия.

2,5 мин · теория
Правила: начало — в вершине (или в середине основания, центре окружности); оси — по сторонам, по оси симметрии фигуры; фигура — в первой четверти, если можно. Чем больше нулей, тем проще формулы.
Равнобедренный треугольник: ось $O y$ — его ось симметрии (высота $B H$ ), поэтому $A$ и $C$ симметричны: $(- a; 0)$ и $(a; 0)$ .
Параллелограмм: $BC ∥ A D$ и $BC = A D = a$ , значит $C$ получается из $B$ сдвигом на $a$ вправо: $C (a + b; c)$ .
Ошибка: доказывать на числах («возьмём прямоугольник $3 \times 4$ ») — это проверка частного случая, а не доказательство.

R04.5

Образец → сам · вводим систему координат сами

Чертёж без координат — оси ставим сами

Образец: $A BC D$ — прямоугольник, $A B = 4$ , $A D = 6$ , $M$ — середина $BC$ . Найдите $A M$ и $D M$ .

$A (0; 0)$ , $B (0; 4)$ , $C (6; 4)$ , $D (6; 0)$ начало в $A$ , оси по сторонам
$M (3; 4)$ середина $BC$
$A M = 3^{2} + 4^{2} = 5$ формула расстояния
$D M = (3 - 6)^{2} + 4^{2} = 5$ $△ A M D$ — равнобедренный

Сам: введите оси

Квадрат $A BC D$ со стороной $6$ , $M$ — середина $C D$ . Найдите $BM$ . $35$
$△ A BC$ : $A B = BC$ , $A C = 4$ , высота $B H = 8$ . Медиана $A M$ ? $5$
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A C = 3$ , $BC = 8$ , $K$ — середина $BC$ . $A K$ ? $5$

R04.5

Теорема · доказательство методом координат

Медиана к гипотенузе равна её половине

Дано: $△ A BC$ , $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $CM$ — медиана.
Доказать: $CM = \frac{1}{2} A B$ .

1

C (0; 0)

,

A (2 a; 0)

,

B (0; 2 b)

начало в

C

, оси по катетам;

2 a

,

2 b

— чтобы не было дробей

2

M (a; b)

середина гипотенузы

A B

3

CM = a^{2} + b^{2}

формула расстояния

4

A B = 4 a^{2} + 4 b^{2} = 2 a^{2} + b^{2}

\Rightarrow CM = \frac{1}{2} A B

что и требовалось доказать

3 мин · теория
Доказательство общее: $a$ и $b$ — любые положительные числа (половины катетов), поэтому теорема верна для любого прямоугольного треугольника.
Шаги на чертеже: 1) подписи $2 a$ , $2 b$ на осях; 2) точка $M$ и равные отрезки $A M = MB$ ; 3) отрезок $CM$ .
Следствие: $CM = A M = BM$ ⇒ середина гипотенузы — центр описанной окружности, $R = \frac{1}{2} A B$ (использовали в задаче 3 сл. 6).
Сравнить с доказательством из 8 класса (достраивание до прямоугольника): метод координат — короче, без дополнительных построений.

R04.5

Образец → сам · доказательство

Диагонали и стороны параллелограмма

Образец: докажите, что $A C^{2} + B D^{2} = 2 (A B^{2} + A D^{2})$ для параллелограмма $A BC D$ .

$A (0; 0)$ , $D (a; 0)$ , $B (b; c)$ , $C (a + b; c)$ как на сл. 7
$A C^{2} = (a + b)^{2} + c^{2}$ , $B D^{2} = (a - b)^{2} + c^{2}$ формула расстояния
$A C^{2} + B D^{2} = 2 a^{2} + 2 b^{2} + 2 c^{2} = 2 (A D^{2} + A B^{2})$ $A D^{2} = a^{2}$ , $A B^{2} = b^{2} + c^{2}$

Сам

Докажите: диагонали прямоугольника равны. $A C = B D = a^{2} + b^{2}$
Стороны параллелограмма $5$ и $7$ , одна диагональ $8$ . Найдите другую. $221$
Докажите: средняя линия $MN$ треугольника параллельна $A C$ и равна $\frac{1}{2} A C$ . $MN = a$ , $M$ и $N$ на $y = c$

R04.5

Образец → сам · практическая задача

Где поставить остановку?

Образец: деревни $A (2; 4)$ и $B (6; 2)$ (км), дорога — ось $O x$ . Остановка $P$ на дороге на равных расстояниях от деревень. Где?

$P (x; 0)$ , $P A^{2} = P B^{2}$ $P$ на оси, $P A = PB$
$(x - 2)^{2} + 16 = (x - 6)^{2} + 4$ формула расстояния
$8 x = 20$ , $x = 2, 5$ $x^{2}$ сокращается
$P (2, 5; 0)$ — 2,5 км от начала дорогиответ на языке задачи

Сам

Роутер в $(3; 2)$ , радиус связи $5$ м. Есть ли сигнал в $(6; 6)$ ? в $(7; 6)$ ? да (ровно 5 м); нет
Маяк в $(0; 0)$ виден на $10$ км. Корабль идёт по прямой $y = 8$ . Сколько км пути маяк виден? $12$ км
Вышка на равных расстояниях от $(0; 0)$ , $(8; 0)$ , $(0; 6)$ . Где она? $(4; 3)$

3 мин · практика
Образец: $x^{2} - 4 x + 4 + 16 = x^{2} - 12 x + 36 + 4$ ⇒ $8 x = 20$ , $x = 2, 5$ . Проверка: $P A^{2} = 0, 25 + 16 = 16, 25 = P B^{2} = 12, 25 + 4$ . Расстояние ≈ 4,03 км.
Сам: 1) $3^{2} + 4^{2} = 5$ — точка на границе зоны, сигнал есть; $4^{2} + 4^{2} = 32 \approx 5, 7 > 5$ — нет.
2) Система $x^{2} + y^{2} = 100$ , $y = 8$ : $x^{2} = 36$ , точки $(- 6; 8)$ и $(6; 8)$ ; путь в зоне $12$ км.
3) Треугольник с вершинами $(0; 0)$ , $(8; 0)$ , $(0; 6)$ прямоугольный ⇒ центр описанной окружности — середина гипотенузы: $(4; 3)$ ; до каждого посёлка $5$ км (теорема сл. 9).
Модель: местность → система координат (единица — 1 км) → уравнение → ответ на языке задачи.

R04.5

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$A (3; 1)$ , $B (- 1; 4)$ : $A B = 2^{2} + 3^{2}$	$- 1 - 3 = - 4$ , а не $2$ : знак потерян	$(- 4)^{2} + 3^{2} = 5$
середина: $(\frac{x _{2} - x _{1}}{2}; \frac{y _{2} - y _{1}}{2})$	это половина «шага» от $A$ к $B$	$(\frac{x _{1} + x _{2}}{2}; \frac{y _{1} + y _{2}}{2})$
«Взяли прямоугольник $3 \times 4$ : диагонали $5$ и $5$ — доказано»	частный случай не доказательство	стороны $a$ и $b$ — буквами

1,5 мин · практика (ученики объясняют «почему», учитель открывает строку)
1) Разность считаем «конец минус начало» со всеми знаками: $x_{B} - x_{A} = - 1 - 3 = - 4$ ; квадрат всё равно положителен, но $2^{2} \neq = (- 4)^{2}$ .
2) Формула середины — полусумма координат. Проверка здравым смыслом: середина отрезка от $(2; 0)$ до $(8; 0)$ — $(5; 0)$ , а «полуразность» даёт $(3; 0)$ .
3) Проверка на примере полезна, но доказательство требует общего случая: $A (0; 0)$ , $B (0; b)$ , $C (a; b)$ , $D (a; 0)$ .
Ещё одна ошибка: забыть шаг 4 — перевести $x$ в ответ на вопрос задачи.

R04.5

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $A (- 1; 2)$ , $B (3; - 2)$ , $C (5; 4)$ . Найдите медиану $A M$ .

$M (\frac{3 + 5}{2}; \frac{- 2 + 4}{2}) = M (4; 1)$
$A M = (4 - 1)^{2} + (1 - 2)^{2}$
$A M = 9 + 1 = 10$

Шаг 2: $4 - (- 1) = 5$ ; $A M = 25 + 1 = 26$

б) Докажите, что $A BC D$ — параллелограмм: $A (0; 0)$ , $B (1; 3)$ , $C (5; 4)$ , $D (4; 1)$ .

$A B = 1 + 9 = 10$
$C D = 1 + 9 = 10$
$A B = C D$ ⇒ $A BC D$ — параллелограмм

Одна пара равных сторон — не признак. Середины $A C$ и $B D$ — $(2, 5; 2)$ ⇒ диагонали делятся пополам

2 мин · практика
Сначала видны только решения «ученика»; 1 мин в парах — найти ошибку, затем открыть исправления.
а) Шаг 1 верен. Ошибка в шаге 2: $x_{M} - x_{A} = 4 - (- 1) = 5$ , а не $4 - 1$ . $A M = 5^{2} + (- 1)^{2} = 26 \approx 5, 1$ .
б) Вычисления верны, ошибка в выводе: равенство одной пары противоположных сторон не признак (так бывает у равнобедренной трапеции). Верно: середина $A C$ — $(\frac{0 + 5}{2}; \frac{0 + 4}{2}) = (2, 5; 2)$ , середина $B D$ — $(\frac{1 + 4}{2}; \frac{3 + 1}{2}) = (2, 5; 2)$ — совпадают ⇒ диагонали точкой пересечения делятся пополам ⇒ параллелограмм. (Другой путь: ещё $BC = A D = 17$ — две пары равных сторон.)
Ошибка «признак перепутан со свойством» — типичная для геометрии; потребовать назвать признак словами.

R04.5

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $A (- 3; 1)$ , $B (3; 9)$ . Найдите $A B$ . $10$
базаСередина отрезка: $(- 4; 7)$ и $(6; - 1)$ . $(1; 3)$
база $M (2; 3)$ — середина $A B$ , $A (- 1; 5)$ . Найдите $B$ . $(5; 1)$

база $A (0; 0)$ , $B (0; 6)$ , $C (8; 0)$ . Медиана к гипотенузе? $5$
база $A B$ — диаметр, $A (1; 2)$ , $B (7; 10)$ . Центр и $R$ ? $(4; 6)$ , $5$
базаОкружность с центром $O (0; 0)$ проходит через $(5; 0)$ . Лежит ли на ней $(3; - 4)$ ? да

R04.5

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Найдите точку на оси $O y$ , равноудалённую от $A (2; 3)$ и $B (4; 1)$ . $(0; - 1)$
повыш. $A BC D$ — параллелограмм, $A (1; 1)$ , $B (5; 4)$ , $C (2; 8)$ . Найдите $D$ и вид $A BC D$ . $D (- 2; 5)$ , квадрат
повыш.Докажите, что треугольник $(- 2; 0)$ , $(2; 0)$ , $(0; 23)$ — равносторонний. все стороны $4$
из жизниВышки связи в $(0; 0)$ и $(6; 0)$ (км), радиус каждой $5$ км. Где пересекаются границы зон? $(3; 4)$ и $(3; - 4)$

R04.5 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 18

Клетчатая бумага — это сетка координат

Размер клетки $1 \times 1$ . Введите оси по линиям сетки.

ОГЭ 18Найдите длину отрезка $A B$ . $10$
ОГЭ 18Найдите расстояние от точки $C$ до середины отрезка $A B$ . $5$

R04.5 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линия 23

Вторая часть: вычисление координатами

ОГЭ 23 Катеты прямоугольного треугольника $9$ и $12$ . Найдите расстояние от вершины прямого угла до точки пересечения медиан.

$C (0; 0)$ , $A (9; 0)$ , $B (0; 12)$

$G (\frac{0 + 9 + 0}{3}; \frac{0 + 0 + 12}{3})$ $= G (3; 4)$

$CG = 9 + 16 = 5$

ОГЭ 23 $E$ — середина стороны $C D$ квадрата $A BC D$ со стороной $4$ , $K$ — середина $BE$ . Найдите $A K$ .

$B (0; 4)$ , $E (4; 2)$

$K (2; 3)$ — середина $BE$

$A K = 4 + 9 = 13$

R04.5

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$A (- 2; 3)$ , $B (4; - 5)$ . Найдите $A B$ . $10$
Середина отрезка $(- 3; 8)$ и $(5; 2)$ . $(1; 5)$
Вид треугольника $(1; 2)$ , $(5; 5)$ , $(8; 1)$ . прямоугольный равнобедренный
Точка на оси $O x$ , равноудалённая от $(1; 3)$ и $(5; 1)$ . $(2; 0)$

Вариант 2

$C (3; - 1)$ , $D (- 5; 5)$ . Найдите $C D$ . $10$
Середина отрезка $(- 6; 1)$ и $(2; 7)$ . $(- 2; 4)$
Вид треугольника $(- 1; 1)$ , $(2; 5)$ , $(6; 2)$ . прямоугольный равнобедренный
Точка на оси $O y$ , равноудалённая от $(3; 1)$ и $(1; 5)$ . $(0; 2)$

5 мин · практика
Вариант 1: 1) $6^{2} + 8^{2} = 10$ . 2) $(1; 5)$ . 3) стороны $5$ , $5$ , $50$ ; $25 + 25 = 50$ ⇒ прямоугольный равнобедренный, прямой угол при $(5; 5)$ . 4) $(x - 1)^{2} + 9 = (x - 5)^{2} + 1$ ⇒ $8 x = 16$ , $x = 2$ ; проверка $1 + 9 = 9 + 1$ .
Вариант 2: 1) $8^{2} + 6^{2} = 10$ . 2) $(- 2; 4)$ . 3) стороны $5$ , $5$ , $50$ ⇒ прямоугольный равнобедренный, прямой угол при $(2; 5)$ . 4) $9 + (y - 1)^{2} = 1 + (y - 5)^{2}$ ⇒ $8 y = 16$ , $y = 2$ ; проверка $9 + 1 = 1 + 9$ .
Критерий: 4 верно — «5», 3 — «4», 2 — «3». В задании 3 засчитывать только с обоснованием (стороны и теорема, обратная теореме Пифагора). Взаимопроверка по ответам (по щелчку).

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Назовите четыре шага метода координат.
Как удобно ввести оси для равнобедренного треугольника?
Почему доказательство — в буквах, а не в числах?

Домашнее задание

$A (0; 0)$ , $B (3; 4)$ , $C (6; 0)$ . Найдите медиану $BM$ .
Докажите методом координат: медианы к боковым сторонам равнобедренного треугольника равны.
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_koordinaty.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9-043 · Метод координат при решении геометрических задач, практических задач

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R04 «Декартовы координаты на плоскости», 9 ч · урок 5/9 · тип Н
Единицы → слайды	R04.5 «Метод координат при решении геометрических задач, практических задач» → 2, 4–19 · повторение R04.1–R04.4 → 3, 5
Результаты	ПР-7 (метод координат в геометрических и практических задачах) → 4–18 · ПР-10 (математические модели реальных задач) → 11, 15
Вне урока	практикумы по координатам, прямой и окружности — GEOM9-044–046; обобщение — GEOM9-047; условие перпендикулярности прямых через угловые коэффициенты не вводится
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Метод координат при решении геометрических и практических задач

Сегодня вы научитесь

Решать задачи методом координат

Выбирать удобную систему

Доказывать в координатах

Строить модели реальных задач

Формулы прошлых уроков

Геометрия → алгебра → геометрия

Ввести систему координат

Записать координаты

Вычислить

Перевести ответ

Какая формула — для какого вопроса

Какой это треугольник?

Образец: A(1;1), B(4;5), C(8;2). Определите вид △ABC.

Сам

Как ввести оси, чтобы считать было легко

Прямоугольник

Равнобедренный треугольник

Параллелограмм

Чертёж без координат — оси ставим сами

Образец: ABCD — прямоугольник, AB=4, AD=6, M — середина BC. Найдите AM и DM.

Сам: введите оси

Медиана к гипотенузе равна её половине

Диагонали и стороны параллелограмма

Образец: докажите, что AC2+BD2=2(AB2+AD2) для параллелограмма ABCD.

Сам

Где поставить остановку?

Образец: деревни A(2;4) и B(6;2) (км), дорога — ось Ox. Остановка P на дороге на равных расстояниях от деревень. Где?

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) A(−1;2), B(3;−2), C(5;4). Найдите медиану AM.

б) Докажите, что ABCD — параллелограмм: A(0;0), B(1;3), C(5;4), D(4;1).

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Клетчатая бумага — это сетка координат

Вторая часть: вычисление координатами

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9-043 · Метод координат при решении геометрических задач, практических задач

Образец: $A (1; 1)$ , $B (4; 5)$ , $C (8; 2)$ . Определите вид $△ A BC$ .

Образец: $A BC D$ — прямоугольник, $A B = 4$ , $A D = 6$ , $M$ — середина $BC$ . Найдите $A M$ и $D M$ .

Образец: докажите, что $A C^{2} + B D^{2} = 2 (A B^{2} + A D^{2})$ для параллелограмма $A BC D$ .

Образец: деревни $A (2; 4)$ и $B (6; 2)$ (км), дорога — ось $O x$ . Остановка $P$ на дороге на равных расстояниях от деревень. Где?

а) $A (- 1; 2)$ , $B (3; - 2)$ , $C (5; 4)$ . Найдите медиану $A M$ .

б) Докажите, что $A BC D$ — параллелограмм: $A (0; 0)$ , $B (1; 3)$ , $C (5; 4)$ , $D (4; 1)$ .