Декартовы координаты на плоскости · урок 4 из 9

Координаты точек пересечения окружности и прямой

Геометрия · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R04 · GEOM9-042

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R04 «Декартовы координаты на плоскости» (9 ч), урок 4/9, единица R04.4. Тип урока — Н.
Теория (12,5): титул 0,5 · цели 0,5 · идея метода 3 · пример учителя 3,5 · три случая 3 · алгоритм 2.
Практика (32,5): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 · задача из жизни 1,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: образец 5 (хорда) и задание 4 повышенного уровня — в ДЗ; пример учителя и три случая не сокращать.

R04.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Составлять систему

из уравнений окружности и прямой: общая точка — её решение

Находить координаты

точек пересечения способом подстановки (ПР-7)

Определять число общих точек

по дискриминанту и по расстоянию $d$ от центра до прямой

Применять метод координат

хорды, касание, задача из жизни, ОГЭ 19 и 20 (ПР-7)

повторение: R04.2, R04.3

Разминка · устно

Уравнения окружности и прямой

Центр и радиус: $(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 9$ $(2; - 1)$ , $r = 3$
Лежит ли $A (3; 4)$ на $x^{2} + y^{2} = 25$ ? да: $9 + 16 = 25$
Подставьте $y = 2$ в $x^{2} + y^{2} = 13$ . Найдите $x$ . $x^{2} = 9$ , $x = \pm 3$

Решите $x^{2} + x - 12 = 0$ . $3$ и $- 4$
Сколько корней у квадратного уравнения, если $D < 0$ ? ни одного
Окружность $x^{2} + y^{2} = 9$ , прямая $y = 3$ : расстояние от центра до прямой? Как они расположены? $d = 3 = r$ — касаются

2 мин · практика
Ответы: 1) центр (2; −1), r = 3 (знаки в скобках — противоположные). 2) 3² + 4² = 9 + 16 = 25 — да. 3) x² = 13 − 4 = 9, x = ±3 (оба корня!). 4) по теореме Виета 3 и −4 (D = 1 + 48 = 49). 5) действительных корней нет. 6) d = 3, r = 3 — прямая касается окружности (8 класс: d < r — две общие точки, d = r — одна, d > r — ни одной).
Всё это — инструменты сегодняшнего урока: подстановка в уравнение окружности, квадратное уравнение и его дискриминант, расстояние от центра до прямой.

R04.4

Новый материал · идея метода

Общая точка удовлетворяет обоим уравнениям

Точка лежит на окружности ⇔ её координаты удовлетворяют уравнению окружности.

Точки $A$ и $B$ лежат и на окружности, и на прямой — значит, их координаты удовлетворяют обоим уравнениям сразу:

{x^{2} + y^{2} = 25, y = x + 1 .

Найти общие точки = решить систему. Каждое решение $(x; y)$ — одна общая точка.

3 мин · теория
Вопрос классу: как найти координаты A и B точно? Измерить по клеткам — приблизительно и не всегда возможно (точка может лежать не в узле сетки). Нужен расчёт.
Вывод: координаты общей точки — решение системы из уравнения окружности (центр O, r = 5) и уравнения прямой. Обратно: каждое решение системы — точка, лежащая на обеих линиях.
Число решений системы = число общих точек. Решать будем подстановкой: из уравнения прямой y уже выражен.

R04.4

Пример учителя · решаем систему

Найдём координаты точек $A$ и $B$

{x^{2} + y^{2} = 25, y = x + 1

1

x^{2} + (x + 1)^{2} = 25

подставили

y = x + 1

в уравнение окружности

2

2 x^{2} + 2 x - 24 = 0 \Rightarrow x^{2} + x - 12 = 0

раскрыли скобки, разделили на 2

3

D = 1 + 48 = 49 > 0

:

x_{1} = 3

,

x_{2} = - 4

две общие точки

4

y_{1} = 3 + 1 = 4

,

y_{2} = - 4 + 1 = - 3

вторую координату — из уравнения прямой

5

A (3; 4)

,

B (- 4; - 3)

проверка:

9 + 16 = 25

,

16 + 9 = 25

✓

3,5 мин · теория (решает учитель, класс отвечает на «почему?»)
Шаг 1 — главная идея подстановки: вместо y пишем x + 1 целиком, в скобках. (x + 1)² = x² + 2x + 1.
Шаг 2: x² + x² + 2x + 1 = 25 ⇒ 2x² + 2x − 24 = 0 ⇒ x² + x − 12 = 0.
Шаг 3: D = 1² − 4·1·(−12) = 49, x = (−1 ± 7)/2 ⇒ 3 и −4. Шаг 4: ординаты считаем по уравнению прямой (проще и без лишних корней).
Последний щелчок показывает точки на чертеже — сверяем с сеткой: A(3; 4), B(−4; −3) лежат в узлах. Проверка подстановкой в уравнение окружности обязательна.

R04.4

Новый материал · три случая

Сколько общих точек: дискриминант и расстояние $d$

две точки — секущая

$y = 1$ : $x^{2} = 8$ , два корня

$D > 0$ · $d < r$

одна точка — касательная

$y = 3$ : $x^{2} = 0$ , один корень

$D = 0$ · $d = r$

нет общих точек

$y = 4, 5$ : $x^{2} < 0$ , корней нет

$D < 0$ · $d > r$

3 мин · теория
Окружность x² + y² = 9 (r = 3) и прямые y = 1, y = 3, y = 4,5. Подстановка: x² = 9 − 1 = 8 — два корня ±2√2; x² = 0 — один корень, точка (0; 3); x² = 9 − 20,25 < 0 — корней нет.
После подстановки получается квадратное уравнение (или неполное x² = c): число его корней = число общих точек. Это согласуется с 8 классом: d < r, d = r, d > r (пунктир — расстояние от центра до прямой).
Вопрос: может ли прямая иметь с окружностью три общие точки? (Нет — у квадратного уравнения не более двух корней.)

R04.4

Алгоритм · итоговая схема

Как найти точки пересечения

1Выразите из уравнения прямой

y

(или

x

)

x + y = 4 \Rightarrow y = 4 - x

2Подставьте в уравнение окружностив скобках:

(4 - x)^{2}

3Решите квадратное уравнениечисло корней = число общих точек

4Найдите вторую координатупо уравнению прямой

5Запишите ответ парами

(x; y)

и проверьте

$D$	точек	прямая
$D > 0$	2	секущая
$D = 0$	1	касательная
$D < 0$	0	не пересекает

R04.4

Образец → сам · прямая параллельна оси

Прямая $y = c$ или $x = c$

Образец: найдите общие точки окружности $x^{2} + y^{2} = 13$ и прямой $y = 2$ .

$x^{2} + 4 = 13$ подставили $y = 2$

$x^{2} = 9$ , $x = \pm 3$ не теряем $- 3$

$(- 3; 2)$ , $(3; 2)$ $y = 2$ у обеих точек

Сам

$x^{2} + y^{2} = 17$ и $y = 1$ $(- 4; 1)$ , $(4; 1)$
$x^{2} + y^{2} = 25$ и $x = - 5$ одна: $(- 5; 0)$ — касание
$x^{2} + y^{2} = 4$ и $y = 3$ нет: $x^{2} = - 5$

R04.4

Образец → сам · наклонная прямая

Центр окружности не в начале координат

Образец: найдите общие точки окружности $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 10$ и прямой $y = x + 3$ .

$(x - 2)^{2} + (x + 2)^{2} = 10$ $y - 1 = x + 3 - 1 = x + 2$

$2 x^{2} + 8 = 10$ , $x = \pm 1$ $- 4 x$ и $+ 4 x$ сократились

$(1; 4)$ , $(- 1; 2)$ $y = x + 3$

Сам

$(x - 1)^{2} + y^{2} = 5$ и $y = x$ $(2; 2)$ , $(- 1; - 1)$
$x^{2} + y^{2} = 20$ и $y = 2 x$ $(2; 4)$ , $(- 2; - 4)$
$x^{2} + y^{2} = 5$ и $x + y = 3$ $(1; 2)$ , $(2; 1)$

R04.4

Образец → сам · сколько общих точек

Хватит дискриминанта — корни не нужны

Образец: сколько общих точек у окружности $x^{2} + y^{2} = 9$ и прямой $y = x + 5$ ?

$x^{2} + (x + 5)^{2} = 9$ подстановка

$x^{2} + 5 x + 8 = 0$ $2 x^{2} + 10 x + 16 = 0$ , разделили на 2

$D = 25 - 32 < 0$ ни одной — прямая проходит мимо

Сам: определите число общих точек

$x^{2} + y^{2} = 8$ и $y = x + 4$ одна: $D = 0$ , точка $(- 2; 2)$
$x^{2} + y^{2} = 13$ и $y = x + 1$ две: $D = 25 > 0$
$(x - 3)^{2} + y^{2} = 4$ и $x = 6$ ни одной: $d = 3 > r = 2$

R04.4

Образец → сам · обратная задача: касание

При каком $b$ прямая касается окружности?

Образец: при каких $b$ прямая $y = b$ касается окружности $x^{2} + (y - 1)^{2} = 9$ ?

$x^{2} = 9 - (b - 1)^{2}$ подставили $y = b$

одна точка ⇔ $(b - 1)^{2} = 9$ тогда $x^{2} = 0$ , $x = 0$

$b - 1 = \pm 3$ :
$b = 4$ , $b = - 2$ два ответа

Сам

При каких $a$ прямая $y = a$ касается окружности $x^{2} + y^{2} = 49$ ? $a = 7$ , $a = - 7$
При каких $b$ прямая $x = b$ касается окружности $(x + 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 16$ ? $b = 2$ , $b = - 6$
При каких $b$ прямая $y = b$ пересекает окружность $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 4$ в двух точках? $- 4 < b < 0$

2,5 мин · практика
Образец: x² = 9 − (b − 1)². Одна точка ⇔ правая часть равна 0 ⇔ b − 1 = ±3 ⇔ b = 4 или b = −2 (касательные в точках (0; 4) и (0; −2)). Проверка границ: при b = 4 и b = −2 — одна точка; при −2 < b < 4 — две; при b < −2 или b > 4 — ни одной.
Геометрически: прямая y = b касается окружности, если d = |b − 1| = r = 3 — тот же ответ.
1) a² = 49, a = ±7. 2) (b + 2)² = 16 ⇒ b + 2 = ±4 ⇒ b = 2 или b = −6 (центр (−2; 3), r = 4).
3) (x − 1)² = 4 − (b + 2)² > 0 ⇔ |b + 2| < 2 ⇔ −4 < b < 0. Граничные b = −4 и b = 0 — касание (одна точка), поэтому не входят.

R04.4

Образец → сам · комбинированная: длина хорды

Нашли точки — найдём и хорду

Образец: прямая $y = 2$ пересекает окружность $(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} = 25$ в точках $A$ и $B$ . Найдите $A B$ .

$(x - 1)^{2} = 16$ подставили $y = 2$ : $(x - 1)^{2} + 9 = 25$

$A (- 3; 2)$ , $B (5; 2)$ $x - 1 = \pm 4$

$A B = 5 - (- 3) = 8$ проверка: $3^{2} + 4^{2} = 5^{2}$ ✓

Сам: найдите длину хорды

$x^{2} + y^{2} = 10$ и $x = 1$ $(1; \pm 3)$ , $A B = 6$
$(x + 2)^{2} + y^{2} = 13$ и $y = 2$ $(- 5; 2)$ , $(1; 2)$ , $A B = 6$
$(x - 3)^{2} + (y - 2)^{2} = 5$ и $y = x$ $(1; 1)$ , $(4; 4)$ , $A B = 32$

R04.4 · R04.5

Задача из жизни · маяк и корабль

Сколько времени корабль видит маяк?

Маяк в точке $O (0; 0)$ виден на $5$ км. Корабль идёт по прямой $y = 4$ (единица — 1 км) со скоростью $12$ км/ч.

1. Где корабль войдёт в зону и выйдет из неё? $(- 3; 4)$ и $(3; 4)$

2. Сколько минут маяк будет виден? $6$ км : $12$ км/ч $= 30$ мин

3. По какой прямой $y = c$ ( $c > 0$ ) идти, чтобы лишь «коснуться» зоны? $y = 5$

R04.4

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$y = x + 1$ : $x^{2} + x + 1 = 25$	подставили без скобок и без квадрата	$x^{2} + (x + 1)^{2} = 25$
$x^{2} = 16 \Rightarrow x = 4$ , одна точка	потерян корень $- 4$	$x = \pm 4$ — две точки
Ответ: $x = 3$ , $x = - 4$	найдены только абсциссы, точки не записаны	$(3; 4)$ и $(- 4; - 3)$
$D = 0$ — «прямая не пересекает окружность»	$D = 0$ — один корень	одна общая точка — касание

R04.4

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $(x - 2)^{2} + y^{2} = 10$ и $y = x$

$x^{2} - 4 + x^{2} = 10$

$x^{2} = 7$ , $x = \pm 7$

$(x - 2)^{2} = x^{2} - 4 x + 4$

$x^{2} - 2 x - 3 = 0$

$(3; 3)$ и $(- 1; - 1)$

б) $x^{2} + y^{2} = 8$ и $y = x + 4$

$x^{2} + 4 x + 4 = 0$ , $D = 0$

«общих точек нет»

$D = 0$ — одна точка $(- 2; 2)$ , прямая касается

в) При каких $b$ прямая $y = b$ касается $x^{2} + (y - 1)^{2} = 9$ ?

$(b - 1)^{2} = 9$

$b - 1 = 3$ , $b = 4$

$b - 1 = \pm 3$ :
$b = 4$ и $b = - 2$

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Ошибка в формуле квадрата разности: (x − 2)² ≠ x² − 4. Верно: x² − 4x + 4 + x² = 10 ⇒ 2x² − 4x − 6 = 0 ⇒ x² − 2x − 3 = 0 ⇒ x = 3, x = −1; точки (3; 3), (−1; −1). Проверка: 1 + 9 = 10, 9 + 1 = 10 ✓.
б) Вычисления верны (2x² + 8x + 8 = 0 ⇒ x² + 4x + 4 = 0), неверен вывод: D = 0 — один корень x = −2, y = 2. Прямая — касательная.
в) Потерян второй корень: касательных, параллельных оси Ox, две — сверху и снизу окружности (см. образец 4).

R04.4

Задания с самопроверкой · база

Найдите общие точки и проверьте

база $x^{2} + y^{2} = 10$ и $y = 1$ $(- 3; 1)$ , $(3; 1)$
база $x^{2} + y^{2} = 16$ и $x = 4$ $(4; 0)$
база $x^{2} + y^{2} = 2$ и $y = x$ $(1; 1)$ , $(- 1; - 1)$

базаСколько общих точек: $x^{2} + y^{2} = 9$ и $y = - 4$ ? ни одной
база $x^{2} + y^{2} = 25$ и ось $O x$ $(- 5; 0)$ , $(5; 0)$
база $(x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} = 25$ и ось $O y$ $(0; - 3)$ , $(0; 5)$

R04.4

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Найдите общие точки окружности $x^{2} + y^{2} = 10$ и прямой $x - 3 y = 0$ . $(3; 1)$ , $(- 3; - 1)$
повыш.Окружность с центром $(1; 3)$ проходит через точку $(4; 7)$ . Найдите точки её пересечения с осью $O x$ . $(- 3; 0)$ , $(5; 0)$
повыш.При каких $b$ прямая $y = x + b$ касается окружности $x^{2} + y^{2} = 8$ ? $b = 4$ , $b = - 4$
повыш. $A$ и $B$ — общие точки $x^{2} + y^{2} = 25$ и $y = x + 1$ , $O$ — начало координат. Найдите $S_{△ A OB}$ . $3, 5$

R04.4 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 19 и 20

Верные утверждения и система уравнений

ОГЭ 19 Укажите номера верных утверждений.

Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса, то они имеют две общие точки.
Прямая и окружность могут иметь ровно три общие точки.
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

Ответ: 13

ОГЭ 20 Решите систему уравнений ${x^{2} + y^{2} = 10, x + y = 4.$

$y = 4 - x$ : $x^{2} + (4 - x)^{2} = 10$

$2 x^{2} - 8 x + 6 = 0 \Rightarrow x^{2} - 4 x + 3 = 0$

$x = 1$ или $x = 3$ ; $y = 3$ или $y = 1$

Ответ: $(1; 3)$ , $(3; 1)$

2 мин · практика
19) 1 — верно (d < r); 2 — неверно (не более двух: квадратное уравнение); 3 — верно (свойство касательной, 8 класс). Ответ: 13.
20) Задание ОГЭ на 2 балла: геометрически — точки пересечения окружности (центр O, r = √10) и прямой x + y = 4. (4 − x)² = 16 − 8x + x²; 2x² − 8x + 16 = 10 ⇒ x² − 4x + 3 = 0 ⇒ x = 1, x = 3; y = 4 − x. Проверка: 1 + 9 = 10 ✓. В ответе — пары чисел.
Критерий ОГЭ: верная последовательность шагов, вычислительная ошибка — 1 балл; без записи ответа парами — снижать.

R04.4

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$x^{2} + y^{2} = 29$ и $y = 2$ $(- 5; 2)$ , $(5; 2)$
$x^{2} + y^{2} = 5$ и $y = 2 x$ $(1; 2)$ , $(- 1; - 2)$
Сколько общих точек: $x^{2} + y^{2} = 18$ и $y = x + 6$ ? одна: $(- 3; 3)$
$(x - 3)^{2} + y^{2} = 25$ и ось $O y$ $(0; - 4)$ , $(0; 4)$

Вариант 2

$x^{2} + y^{2} = 34$ и $x = 3$ $(3; - 5)$ , $(3; 5)$
$x^{2} + y^{2} = 10$ и $y = 3 x$ $(1; 3)$ , $(- 1; - 3)$
Сколько общих точек: $x^{2} + y^{2} = 2$ и $y = x + 2$ ? одна: $(- 1; 1)$
$x^{2} + (y - 4)^{2} = 25$ и ось $O x$ $(- 3; 0)$ , $(3; 0)$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как найти общие точки окружности и прямой?
Что означает $D = 0$ для прямой и окружности?
Почему общих точек не больше двух?

Домашнее задание

$x^{2} + y^{2} = 25$ и $y = x - 1$ — найдите точки.
$(x + 1)^{2} + y^{2} = 10$ и ось $O y$ — найдите точки.
* При каких $b$ прямая $x = b$ касается $x^{2} + y^{2} = 36$ ?
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_koordinaty.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9-042 · Координаты точек пересечения окружности и прямой

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R04 «Декартовы координаты на плоскости», 9 ч · урок 4/9 · тип Н
Единицы → слайды	R04.4 «Координаты точек пересечения окружности и прямой» → 2, 4–20 · повторение R04.2, R04.3 → 3 · R04.5 (практическая задача) → 13
Результаты	ПР-7 (метод координат на плоскости в геометрических и практических задачах) → 2, 4–20
Виды деятельности	«Решать задачи на нахождение точек пересечения прямых и окружностей с помощью метода координат» → 4–12, 16–19 · «Применять координаты… для построения математических моделей реальных задач» → 13
ОГЭ	линия 19 (верные утверждения), 20 (система уравнений) → 18
Вне урока	метод координат в задачах — GEOM9-043 · пересечение двух окружностей — не входит в R04.4 · практикумы GEOM9-044–047
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Координаты точек пересечения окружности и прямой

Сегодня вы научитесь

Составлять систему

Находить координаты

Определять число общих точек

Применять метод координат

Уравнения окружности и прямой

Общая точка удовлетворяет обоим уравнениям

Найдём координаты точек A и B

Сколько общих точек: дискриминант и расстояние d

две точки — секущая

одна точка — касательная

нет общих точек

Как найти точки пересечения

Прямая y=c или x=c

Образец: найдите общие точки окружности x2+y2=13 и прямой y=2.

Сам

Центр окружности не в начале координат

Образец: найдите общие точки окружности (x−2)2+(y−1)2=10 и прямой y=x+3.

Сам

Хватит дискриминанта — корни не нужны

Образец: сколько общих точек у окружности x2+y2=9 и прямой y=x+5?

Сам: определите число общих точек

При каком b прямая касается окружности?

Образец: при каких b прямая y=b касается окружности x2+(y−1)2=9?

Сам

Нашли точки — найдём и хорду

Образец: прямая y=2 пересекает окружность (x−1)2+(y+1)2=25 в точках A и B. Найдите AB.

Сам: найдите длину хорды

Сколько времени корабль видит маяк?

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) (x−2)2+y2=10 и y=x

б) x2+y2=8 и y=x+4

в) При каких b прямая y=b касается x2+(y−1)2=9?

Найдите общие точки и проверьте

Подумайте и решите

Верные утверждения и система уравнений

ОГЭ 19 Укажите номера верных утверждений.

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9-042 · Координаты точек пересечения окружности и прямой

Найдём координаты точек $A$ и $B$

Сколько общих точек: дискриминант и расстояние $d$

Прямая $y = c$ или $x = c$

Образец: найдите общие точки окружности $x^{2} + y^{2} = 13$ и прямой $y = 2$ .

Образец: найдите общие точки окружности $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 10$ и прямой $y = x + 3$ .

Образец: сколько общих точек у окружности $x^{2} + y^{2} = 9$ и прямой $y = x + 5$ ?

При каком $b$ прямая касается окружности?

Образец: при каких $b$ прямая $y = b$ касается окружности $x^{2} + (y - 1)^{2} = 9$ ?

Образец: прямая $y = 2$ пересекает окружность $(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} = 25$ в точках $A$ и $B$ . Найдите $A B$ .

а) $(x - 2)^{2} + y^{2} = 10$ и $y = x$

б) $x^{2} + y^{2} = 8$ и $y = x + 4$

в) При каких $b$ прямая $y = b$ касается $x^{2} + (y - 1)^{2} = 9$ ?