Декартовы координаты на плоскости · урок 3 из 9

Уравнение окружности

Геометрия · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R04 · GEOM9-041

0,5 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R04 «Декартовы координаты на плоскости» (9 ч), урок 3/9, единица R04.3. Тип урока — Н.
Теория (12): титул 0,5 · цели 0,5 · вывод уравнения 3,5 · читаем уравнение 2 · выделение полного квадрата 2,5 · положение точки 1,5 · схема-конспект 1,5.
Практика (33): разминка 2 · пять «Образец → сам» 3 + 3 + 2,5 + 3 + 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · задача из жизни 1,5 · ОГЭ 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: задание 3 повышенного уровня и третий вопрос задачи из жизни — в ДЗ; вывод уравнения и выделение квадрата не сокращать.

R04.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Выводить уравнение окружности

из формулы расстояния между точками (ПР-7)

Читать уравнение

находить центр и радиус, в том числе выделяя полный квадрат

Составлять уравнение

по центру и радиусу, по центру и точке, по диаметру

Применять метод координат

где лежит точка, задача о зоне покрытия (ПР-7)

повторение: R04.1–R04.2

Разминка · устно

Расстояние, середина, квадрат суммы

Найдите $A B$ по чертежу. $5$
$M (- 6; 8)$ . Найдите $OM$ . $10$
Середина отрезка с концами $(2; - 3)$ и $(6; 5)$ ? $(4; 1)$
Лежит ли $K (2; 5)$ на прямой $y = 2 x + 1$ ? да
Раскройте скобки: $(x - 3)^{2}$ . $x^{2} - 6 x + 9$
$x^{2} + 10 x + □ = (x + □)^{2}$ $25$ и $5$
Все точки, удалённые от $C$ на $3$ см, — это… окружность, $R = 3$ см

R04.3

Вывод уравнения окружности

Точка на окружности ⇔ расстояние до центра равно $R$

Центр $C (a; b)$ , радиус $R$ , точка $M (x; y)$ .

1

M

на окружности

⟺

CM = R

определение окружности

2

CM = (x - a)^{2} + (y - b)^{2}

теорема Пифагора в

△ C K M

(формула расстояния)

3

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R

обе части неотрицательны — возводим в квадрат

4

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}

уравнение окружности: ему удовлетворяют координаты всех её точек и только они

3,5 мин · теория
Вопросы классу на каждом шаге: «почему?» — ответ под строкой. Цвет катетов на чертеже совпадает с цветом в формуле.
Шаг 4 — оба направления: если $M$ на окружности, координаты удовлетворяют уравнению; если координаты удовлетворяют уравнению, то $CM = R$ и $M$ на окружности. Поэтому это именно уравнение окружности (как на прошлом уроке — уравнение прямой).
Чертёж нарисован для точки $M$ правее и выше центра, но формула расстояния верна при любом расположении: квадрат разности не зависит от знака.

R04.3

Свойство · читаем уравнение

Центр и радиус видны сразу

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}

Уравнение	Центр	$R$
$x^{2} + y^{2} = 9$	$O (0; 0)$	$3$
$(x - 5)^{2} + (y - 2)^{2} = 4$	$(5; 2)$	$2$
$(x + 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 5$	$(- 2; 3)$	$5$
$x^{2} + (y + 1)^{2} = 16$	$(0; - 1)$	$4$

x + 2 = x - (- 2)

, поэтому

a = - 2

: знак в скобке противоположен координате центра.

R04.3

Образец → сам · центр и радиус по уравнению

Прочитайте и постройте

Образец: $(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 9$ . Найдите центр и радиус, постройте окружность.

$a = 2$ $x - 2$ : координата $2$

$b = - 1$ $y + 1 = y - (- 1)$

$R = 9 = 3$ справа $R^{2}$

$C (2; - 1)$ , $R = 3$ циркулем: раствор 3 клетки

Сам

$(x + 1)^{2} + (y - 5)^{2} = 9$ $C (- 1; 5)$ , $R = 3$
$x^{2} + (y + 4)^{2} = 7$ $C (0; - 4)$ , $R = 7$
$(x - 2)^{2} + y^{2} = 0, 25$ $C (2; 0)$ , $R = 0, 5$

R04.3

Образец → сам · уравнение по центру и точке

Радиус — это расстояние от центра до точки

Образец: центр $C (- 1; 2)$ , окружность проходит через $A (1; 3)$ . Составьте уравнение.

$R^{2} = C A^{2}$ $A$ лежит на окружности

$C A^{2} = (1 + 1)^{2} + (3 - 2)^{2} = 5$ формула расстояния

$(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 5$ подставили $a = - 1$ , $b = 2$

Сам

Центр $(1; - 3)$ , $R = 5$ . $(x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} = 25$
Центр $O (0; 0)$ , проходит через $(- 5; 12)$ . $x^{2} + y^{2} = 169$
Центр $(4; - 1)$ , проходит через $(1; 3)$ . $(x - 4)^{2} + (y + 1)^{2} = 25$

R04.3

Образец → сам · окружность на диаметре

Центр — середина диаметра

Образец: $A B$ — диаметр, $A (- 1; 1)$ , $B (3; 3)$ . Составьте уравнение окружности.

$C (\frac{- 1 + 3}{2}; \frac{1 + 3}{2}) = C (1; 2)$ середина $A B$

$R^{2} = C A^{2} = 2^{2} + 1^{2} = 5$ $R = \frac{A B}{2}$

$(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 5$

Сам: $A B$ — диаметр

$A (- 3; 0)$ , $B (3; 0)$ $x^{2} + y^{2} = 9$
$A (1; 1)$ , $B (7; 9)$ $(x - 4)^{2} + (y - 5)^{2} = 25$
$A (0; - 2)$ , $B (4; 2)$ $(x - 2)^{2} + y^{2} = 8$

R04.3

Правило · выделение полного квадрата

Уравнение не в «готовом» виде

x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y - 3 = 0

1

(x^{2} - 6 x) + (y^{2} + 4 y) = 3

группируем слагаемые с

x

и с

y

2

x^{2} - 6 x = (x - 3)^{2} - 9

,

y^{2} + 4 y = (y + 2)^{2} - 4

квадрат разности и квадрат суммы

3

(x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 3 + 9 + 4 = 16

переносим числа вправо

4центр $(3; - 2)$ , радиус $4$

Справа после выделения получилось

$> 0$ — окружность

$= 0$ — одна точка (центр)

$< 0$ — нет ни одной точки

Пример

$x^{2} + y^{2} + 2 x + 5 = 0$
$(x + 1)^{2} + y^{2} = - 4$ — точек нет

R04.3

Образец → сам · выделяем полный квадрат

Найдите центр и радиус

Образец: $x^{2} + y^{2} + 8 x - 2 y + 8 = 0$

$(x^{2} + 8 x) + (y^{2} - 2 y) = - 8$ группируем

$(x + 4)^{2} - 16 + (y - 1)^{2} - 1 = - 8$ дополнили до квадратов: $4^{2} = 16$ , $1^{2} = 1$

$(x + 4)^{2} + (y - 1)^{2} = 9$ $- 8 + 16 + 1 = 9 > 0$ — окружность

центр $(- 4; 1)$ , $R = 3$

Сам

$x^{2} + y^{2} - 4 x - 12 = 0$ $(2; 0)$ , $R = 4$
$x^{2} + y^{2} + 6 y = 0$ $(0; - 3)$ , $R = 3$
$x^{2} + y^{2} - 2 x + 10 y + 1 = 0$ $(1; - 5)$ , $R = 5$

R04.3

Свойство · положение точки

Подставить и сравнить с $R^{2}$

d^{2} = (x_{0} - a)^{2} + (y_{0} - b)^{2}

$d$ — расстояние от точки $(x_{0}; y_{0})$ до центра

$d^{2} < R^{2}$ — внутри: $B$ : $1 + 4 = 5 < 25$

$d^{2} = R^{2}$ — на окружности: $A$ : $9 + 16 = 25$

$d^{2} > R^{2}$ — вне: $D$ : $16 + 25 = 41 > 25$

R04.3

Образец → сам · где лежит точка

Внутри, на окружности или вне?

Образец: $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 25$ . Где лежат $A (4; 2)$ , $B (- 2; 0)$ , $D (6; 1)$ ?

$A$ : $(4 - 1)^{2} + (2 + 2)^{2} = 9 + 16 = 25$ $= R^{2}$ — на окружности

$B$ : $(- 2 - 1)^{2} + (0 + 2)^{2} = 9 + 4 = 13$ $13 < 25$ — внутри круга

$D$ : $(6 - 1)^{2} + (1 + 2)^{2} = 25 + 9 = 34$ $34 > 25$ — вне круга

Сам

$x^{2} + y^{2} = 100$ , точка $(- 6; 8)$ . на окружности
$(x + 3)^{2} + y^{2} = 9$ , точка $(- 1; 2)$ . внутри: $8 < 9$
При каких $k$ точка $P (k; 3)$ лежит на окружности $x^{2} + y^{2} = 25$ ? $k = 4$ или $k = - 4$

R04.3

Схема-конспект

Что дано → как составить или прочитать уравнение

Дано	Как действуем
центр $(a; b)$ и радиус $R$	сразу $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$
центр $C$ и точка $A$ на окружности	$R^{2} = C A^{2}$ — по формуле расстояния
концы диаметра $A$ и $B$	центр — середина $A B$ , $R^{2} = C A^{2}$
$x^{2} + y^{2} + p x + q y + c = 0$	выделить полные квадраты; справа должно быть $> 0$
точка $(x_{0}; y_{0})$	подставить, сравнить $d^{2}$ с $R^{2}$ : $<$ внутри, $=$ на, $>$ вне

R04.3

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$(x + 3)^{2} + (y - 1)^{2} = 4$ : центр $(3; - 1)$	$x + 3 = x - (- 3)$ : знак противоположный	центр $(- 3; 1)$
$(x - 2)^{2} + y^{2} = 16$ : $R = 16$	справа стоит $R^{2}$ , а не $R$	$R = 4$
центр $(1; 2)$ , $R = 3$ : $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 3$	радиус не возвели в квадрат	$(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 9$
$x^{2} + y^{2} + 2 x + 5 = 0$ — окружность	после выделения $(x + 1)^{2} + y^{2} = - 4$	ни одной точки

R04.3

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $A B$ — диаметр, $A (- 2; 3)$ , $B (4; - 5)$ . Составьте уравнение окружности.

1) центр — середина $A B$ : $C (1; - 1)$

2) $R = A B = 6^{2} + 8^{2} = 10$

3) $(x + 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 100$

2) $R = \frac{A B}{2} = 5$ ;
3) $(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} = 25$

б) Найдите центр и радиус: $x^{2} + y^{2} - 6 x = 7$ .

1) $x^{2} - 6 x = (x - 3)^{2} - 9$

2) $(x - 3)^{2} + y^{2} = 7 - 9 = - 2$

3) Ответ: это не окружность.

2) $(x - 3)^{2} + y^{2} = 7 + 9 = 16$ ;
3) центр $(3; 0)$ , $R = 4$

R04.3

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаЦентр и радиус: $(x - 5)^{2} + (y + 1)^{2} = 36$ $(5; - 1)$ , $R = 6$
базаЦентр и радиус: $x^{2} + (y - 7)^{2} = 2$ $(0; 7)$ , $R = 2$
базаУравнение: центр $(- 4; 0)$ , $R = 3$ $(x + 4)^{2} + y^{2} = 9$

базаЛежит ли $A (3; - 4)$ на окружности $x^{2} + y^{2} = 25$ ? да: $9 + 16 = 25$
базаЦентр $O (0; 0)$ , проходит через $(8; - 6)$ . Уравнение? $x^{2} + y^{2} = 100$
база $A B$ — диаметр, $A (2; 1)$ , $B (8; 9)$ . Центр и радиус? $(5; 5)$ , $R = 5$

R04.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Найдите центр и радиус: $x^{2} + y^{2} - 10 x + 4 y + 4 = 0$ . $(5; - 2)$ , $R = 5$
повыш.Окружность с центром $(- 3; 4)$ касается оси $O x$ . Составьте её уравнение. $(x + 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 16$
повыш.Найдите точки пересечения окружности $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 13$ с осью $O y$ . $(0; 4)$ и $(0; - 2)$
повыш.Задаёт ли окружность уравнение $x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y + 6 = 0$ ? нет: $(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = - 1$

R04.3 · практическая задача

Задача из жизни · зона покрытия

Вышка связи ловит на 5 км

Клетка — 1 км. Вышка — в точке $T (2; 1)$ , сёла — в точках $A (6; 4)$ , $B (- 2; 3)$ , $D (7; - 2)$ .

Запишите уравнение границы зоны. $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 25$
Какие сёла в зоне связи? $B$ ( $20 < 25$ ) и $A$ ( $25$ , на границе)
На сколько километров село $D$ дальше границы? $34 - 5 \approx 0, 8$ км

R04.3 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 18 и 19

Ответ — число или номера верных утверждений

ОГЭ 18Клетка $1 \times 1$ . Найдите радиус окружности. $5$
ОГЭ 18Начало координат в $O$ , оси по линиям сетки. Лежит ли узел $A$ на окружности? да: $3^{2} + 4^{2} = 25$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Уравнение $(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 9$ задаёт окружность с центром $(2; - 3)$ .
Радиус окружности $x^{2} + y^{2} = 16$ равен $16$ .
Точка $(0; 5)$ лежит на окружности $x^{2} + y^{2} = 25$ .

Ответ: 13

R04.3

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Центр и радиус: $(x + 6)^{2} + (y - 2)^{2} = 49$ $(- 6; 2)$ , $R = 7$
Уравнение: центр $(3; - 5)$ , проходит через $(0; - 1)$ $(x - 3)^{2} + (y + 5)^{2} = 25$
Центр и радиус: $x^{2} + y^{2} + 4 x - 6 y - 3 = 0$ $(- 2; 3)$ , $R = 4$
Где лежит $M (1; 1)$ относительно окружности из п. 3? внутри: $13 < 16$

Вариант 2

Центр и радиус: $(x - 4)^{2} + (y + 9)^{2} = 64$ $(4; - 9)$ , $R = 8$
Уравнение: центр $(- 1; 2)$ , проходит через $(5; - 6)$ $(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 100$
Центр и радиус: $x^{2} + y^{2} - 8 x + 2 y - 8 = 0$ $(4; - 1)$ , $R = 5$
Где лежит $M (0; 3)$ относительно окружности из п. 3? вне: $32 > 25$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как по уравнению найти центр и радиус?
Что делать, если скобок с квадратами нет?
Как проверить, лежит ли точка на окружности?
Почему справа в уравнении $R^{2}$ , а не $R$ ?

Домашнее задание

$A B$ — диаметр, $A (- 3; 2)$ , $B (5; 8)$ . Составьте уравнение окружности.
Центр и радиус: $x^{2} + y^{2} + 10 x - 8 y + 5 = 0$ .
* Центр окружности на оси $O x$ , она проходит через $A (1; 3)$ и $B (5; 1)$ . Составьте уравнение.
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_koordinaty.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9-041 · Уравнение окружности

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R04 «Декартовы координаты на плоскости», 9 ч · урок 3/9 · тип Н
Единицы → слайды	R04.3 «Уравнение окружности» → 2, 4–21 · повторение R04.1–R04.2 → 3
Результаты	ПР-7 (метод координат на плоскости в геометрических и практических задачах) → 4–21
Вне урока	пересечение окружности и прямой — GEOM9-042 (точки на оси — только подготовка, сл. 17); метод координат в задачах — GEOM9-043
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Уравнение окружности

Сегодня вы научитесь

Выводить уравнение окружности

Читать уравнение

Составлять уравнение

Применять метод координат

Расстояние, середина, квадрат суммы

Точка на окружности ⇔ расстояние до центра равно R

Центр и радиус видны сразу

Прочитайте и постройте

Образец: (x−2)2+(y+1)2=9. Найдите центр и радиус, постройте окружность.

Сам

Радиус — это расстояние от центра до точки

Образец: центр C(−1;2), окружность проходит через A(1;3). Составьте уравнение.

Сам

Центр — середина диаметра

Образец: AB — диаметр, A(−1;1), B(3;3). Составьте уравнение окружности.

Сам: AB — диаметр

Уравнение не в «готовом» виде

Справа после выделения получилось

Пример

Найдите центр и радиус

Образец: x2+y2+8x−2y+8=0

Сам

Подставить и сравнить с R2

Внутри, на окружности или вне?

Образец: (x−1)2+(y+2)2=25. Где лежат A(4;2), B(−2;0), D(6;1)?

Сам

Что дано → как составить или прочитать уравнение

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) AB — диаметр, A(−2;3), B(4;−5). Составьте уравнение окружности.

б) Найдите центр и радиус: x2+y2−6x=7.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Вышка связи ловит на 5 км

Ответ — число или номера верных утверждений

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9-041 · Уравнение окружности

Точка на окружности ⇔ расстояние до центра равно $R$

Образец: $(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 9$ . Найдите центр и радиус, постройте окружность.

Образец: центр $C (- 1; 2)$ , окружность проходит через $A (1; 3)$ . Составьте уравнение.

Образец: $A B$ — диаметр, $A (- 1; 1)$ , $B (3; 3)$ . Составьте уравнение окружности.

Сам: $A B$ — диаметр

Образец: $x^{2} + y^{2} + 8 x - 2 y + 8 = 0$

Подставить и сравнить с $R^{2}$

Образец: $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 25$ . Где лежат $A (4; 2)$ , $B (- 2; 0)$ , $D (6; 1)$ ?

а) $A B$ — диаметр, $A (- 2; 3)$ , $B (4; - 5)$ . Составьте уравнение окружности.

б) Найдите центр и радиус: $x^{2} + y^{2} - 6 x = 7$ .