Координаты на плоскости · урок 1 из 9

Декартовы координаты точек на плоскости

Геометрия · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R04 · GEOM9-039

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %), итого 45 мин.
Паспорт: R04 «Декартовы координаты на плоскости» (9 ч), урок 1/9, единица R04.1 «Декартовы координаты точек на плоскости». Тип — Н. Опора: координаты вектора и его длина (R03.4, GEOM9-037), вектор середины отрезка (R03).
Теория (13,5): сл. 1 титул 1 · 2 цели 0,5 · 4 система координат 2,5 · 5 оси и симметрия 2 · 7 вывод формулы середины 3 · 9 вывод формулы расстояния 3 · 11 сводка 1,5.
Практика (31,5): 3 разминка 2,5 · 6, 8, 10, 12, 13 пять «Образец → сам» 2 + 2,5 + 2,5 + 3 + 2,5 · 14 ошибки 1,5 · 15 найди ошибку 2 · 16 база 3 · 17 повышенный 2 · 18 ОГЭ 1,5 · 19 из жизни 1,5 · 20 самостоятельная 4 · 21 итог 1.
Если не успеваете: образец 5 (сл. 13) и задачу из жизни — в ДЗ; выводы формул (сл. 7, 9) не сокращать — на них держится вся тема R04.
История (ФРП: «знакомиться с историей развития геометрии»): метод координат ввёл Рене Декарт в «Геометрии» (1637), отсюда «декартовы координаты»; независимо — Пьер Ферма. Одна фраза на титуле.

R04.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Находить координаты

точки по чертежу и строить точку по координатам

Вычислять середину

отрезка по координатам его концов

Находить расстояние

между двумя точками по формуле

Решать задачи методом координат

вид треугольника, точка на оси, план местности (ПР-7)

повторение: R03 «Векторы»

Разминка · устно

Координаты вектора

По рисунку: координаты $A B$ ? ${3; 4}$
Длина $A B$ ? $5$
$a {2; - 1} + b {1; 3}$ ${3; 2}$
$3 a$ , если $a {2; - 1}$ ${6; - 3}$
$∣ c ∣$ , если $c {- 6; 8}$ $10$
Координаты вектора $3 i - 2 j$ ${3; - 2}$

R04.1

Определение · прямоугольная система координат

Оси, начало, координаты точки

Две перпендикулярные оси

O x

и

O y

с общим началом

O

и единичным отрезком — прямоугольная система координат.

M (4; 2)

$x = 4$ — абсцисса, $y = 2$ — ордината; первой пишут абсциссу.

$OM = 4 i + 2 j$ , т. е. $OM {4; 2}$ : координаты точки — координаты её радиус-вектора.

2,5 мин · теория
Чтобы найти координаты M: опускаем перпендикуляры на оси (пунктир). Основание на Ox даёт абсциссу (розовая 4), на Oy — ординату (бирюзовая 2).
Оси делят плоскость на четыре координатные четверти (I–IV против часовой стрелки); знаки координат подписаны в каждой. Точки на осях не принадлежат ни одной четверти.
Связь с векторами (R03): $i$ , $j$ — единичные векторы осей; $OM$ — радиус-вектор точки M. Эта связь нужна для вывода формулы середины (сл. 7).
Вопрос: где лежат точки с абсциссой 0? (На оси Oy.) С ординатой 0? (На оси Ox.)

R04.1

Свойство · точки на осях и симметричные точки

Какие координаты меняют знак

Точка	Координаты
на оси $O x$	$(x; 0)$
на оси $O y$	$(0; y)$
симметрична $M$ отн. $O x$	$(x; - y)$
симметрична $M$ отн. $O y$	$(- x; y)$
симметрична $M$ отн. $O$	$(- x; - y)$

R04.1

Образец → сам · координаты по чертежу

Читаем координаты точек

Образец: назовите координаты точек $A$ и $B$ и четверти, в которых они лежат.

$A$ : 2 вправо, 3 вверх — $A (2; 3)$ , I четверть сначала $x$

$B$ : 3 влево, 1 вверх — $B (- 3; 1)$ , II четверть знаки $(-; +)$

Сам

Назовите координаты точек $C$ и $D$ . $C (- 4; - 2)$ , $D (3; - 3)$
Точка, симметричная $D$ относительно оси $O y$ ? $(- 3; - 3)$
$K (a; - 5)$ лежит в III четверти. Каков знак $a$ ? $a < 0$

R04.1

Теорема · координаты середины отрезка

Координата середины — полусумма координат концов

Дано:

A (x_{1}; y_{1})

,

B (x_{2}; y_{2})

,

C

— середина

A B

.
Найти: координаты

C (x; y)

.

1

OC

= \frac{1}{2} (

O A

+

OB

)

вектор середины отрезка (тема «Векторы»)

2

O A {x_{1}; y_{1}}

,

OB {x_{2}; y_{2}}

координаты радиус-вектора = координаты точки

3

OC {\frac{x _{1} + x _{2}}{2}; \frac{y _{1} + y _{2}}{2}}

сумма векторов и умножение на число в координатах

x = \frac{x _{1} + x _{2}}{2}, y = \frac{y _{1} + y _{2}}{2}

3 мин · теория
Шаг 1 — известная из темы «Векторы» формула: если C — середина AB, то для любой точки O: $OC = \frac{1}{2} (O A + OB)$ . Цвета векторов на чертеже совпадают с записью.
Шаг 3 — координаты суммы равны суммам координат, при умножении на ½ каждая координата делится на 2. Координаты точки C равны координатам вектора $OC$ (сл. 4).
Проверка на чертеже: A(−2; 1), B(4; 5) ⇒ C((−2 + 4)/2; (1 + 5)/2) = C(1; 3) — видно по клеткам.
Словами: каждая координата середины — среднее арифметическое соответствующих координат концов.

R04.1

Образец → сам · середина отрезка

Прямая и обратная задачи

Образец: $A (- 3; 5)$ , $B (7; 1)$ . Найдите середину $C$ отрезка $A B$ .

$x = \frac{- 3 + 7}{2} = 2$ полусумма абсцисс

$y = \frac{5 + 1}{2} = 3$ полусумма ординат

Ответ: $C (2; 3)$

Сам

$A (4; - 1)$ , $B (- 2; 5)$ . Найдите середину $A B$ . $(1; 2)$
$C (1; - 2)$ — середина $A B$ , $A (4; 3)$ . Найдите $B$ . $B (- 2; - 7)$
$A BC D$ — параллелограмм, $A (1; 1)$ , $C (5; 3)$ . Найдите точку пересечения диагоналей. $(3; 2)$

R04.1

Теорема · расстояние между точками

Расстояние — по теореме Пифагора

Дано:

A (x_{1}; y_{1})

,

B (x_{2}; y_{2})

. Найти:

d = A B

.

1

∠ H = 9 0^{\circ}

:

A H = ∣ x_{2} - x_{1} ∣

,

H B = ∣ y_{2} - y_{1} ∣

A H ∥ O x

,

H B ∥ O y

2

A B^{2}

=

A H^{2}

+

H B^{2}

теорема Пифагора для

△ A H B

d = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}

3

OM = x^{2} + y^{2}

для

M (x; y)

частный случай:

A = O (0; 0)

; это и длина вектора

{x; y}

3 мин · теория
Строим точку H( $x_{2}$ ; $y_{1}$ ): AH параллелен оси Ox, HB — оси Oy, значит угол H прямой. Длины катетов — разности координат по модулю (модуль: точки могут стоять в любом порядке).
При возведении в квадрат модули не нужны: $∣ x_{2} - x_{1} ∣^{2} = (x_{2} - x_{1})^{2}$ . Порядок вычитания не важен: $(x_{2} - x_{1})^{2} = (x_{1} - x_{2})^{2}$ .
Второй вывод (сильным): $A B {x_{2} - x_{1}; y_{2} - y_{1}}$ , $A B = ∣ A B ∣$ — формула длины вектора из R03 (разминка).
Если AB параллелен оси (катет нулевой), формула тоже верна: например, A(1; 2), B(1; 7): d = $0 + 25$ = 5.

R04.1

Образец → сам · расстояние между точками

Подставляем в формулу

Образец: $A (- 2; 1)$ , $B (4; 9)$ . Найдите длину отрезка $A B$ .

$x_{2} - x_{1} = 4 - (- 2) = 6$ , $y_{2} - y_{1} = 9 - 1 = 8$

$A B = 6^{2} + 8^{2} = 100 = 10$ формула расстояния

Сам

$M (1; 2)$ , $N (4; 6)$ . Найдите $MN$ . $5$
$A (1; 1)$ , $B (3; 5)$ . Найдите $A B$ . $20 = 25$
$P (- 3; 2)$ , $Q (2; - 10)$ . Найдите $PQ$ . $13$

R04.1

Схема-конспект · формулы метода координат

Три формулы урока

Что ищем	Формула	Пример
Координаты точки	$M (x; y) \Leftrightarrow OM {x; y}$	$M (4; 2)$ : $OM = 4 i + 2 j$
Середина отрезка	$x = \frac{x _{1} + x _{2}}{2}, y = \frac{y _{1} + y _{2}}{2}$	$A (- 3; 5)$ , $B (7; 1)$ → $(2; 3)$
Расстояние	$d = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$	$A (- 2; 1)$ , $B (4; 9)$ → $10$
До начала координат	$OM = x^{2} + y^{2}$	$M (- 6; 8)$ → $10$

R04.1

Образец → сам · задача на доказательство

Вид треугольника по координатам

Образец: $A (- 2; - 1)$ , $B (1; 3)$ , $C (5; 0)$ . Докажите: $△ A BC$ — прямоугольный равнобедренный.

$A B = 3^{2} + 4^{2} = 5$ , $BC = 4^{2} + 3^{2} = 5$

$A C^{2} = 7^{2} + 1^{2} = 50 = A B^{2} + B C^{2}$ ⇒ $∠ B = 9 0^{\circ}$

Сам: докажите

$A (1; 1)$ , $B (4; 5)$ , $C (7; 1)$ : $△ A BC$ равнобедренный. Найдите $P$ . $A B = BC = 5$ , $P = 16$
$A (- 1; 0)$ , $B (1; 4)$ , $C (6; 5)$ , $D (4; 1)$ : $A BC D$ — параллелограмм. середины $A C$ и $B D$ — $(2, 5; 2, 5)$
Определите вид $△ A BC$ : $A (0; 0)$ , $B (2; 4)$ , $C (6; 2)$ . прямоугольный равнобедренный

3 мин · практика
Образец: AB = $(1 + 2)^{2} + (3 + 1)^{2}$ = $25$ = 5; BC = $(5 - 1)^{2} + (0 - 3)^{2}$ = 5 ⇒ равнобедренный. $A C^{2}$ = $(5 + 2)^{2}$ + $(0 + 1)^{2}$ = 50 = 25 + 25 ⇒ по теореме, обратной теореме Пифагора, ∠B = 90°. «На рисунке видно, что угол прямой» — не доказательство.
1) AB = $9 + 16$ = 5, BC = $9 + 16$ = 5, AC = 6 ⇒ равнобедренный, P = 16.
2) Середина AC: ((−1 + 6)/2; (0 + 5)/2) = (2,5; 2,5); середина BD: ((1 + 4)/2; (4 + 1)/2) = (2,5; 2,5). Диагонали точкой пересечения делятся пополам ⇒ параллелограмм (признак 3).
3) $A B^{2}$ = 4 + 16 = 20, $B C^{2}$ = 16 + 4 = 20, $A C^{2}$ = 36 + 4 = 40 = $A B^{2}$ + $B C^{2}$ ⇒ прямоугольный (∠B = 90°) и равнобедренный.

R04.1

Образец → сам · комбинированная задача с уравнением

Точка на оси, равноудалённая от двух точек

Образец: найдите на оси $O x$ точку $M$ , для которой $M A = MB$ ; $A (1; 3)$ , $B (5; 1)$ .

$M (x; 0)$ : $(x - 1)^{2} + 9 = (x - 5)^{2} + 1$ $M A^{2} = M B^{2}$

$- 2 x + 10 = - 10 x + 26$ , $x = 2$ $x^{2}$ сократились

Ответ: $M (2; 0)$ , $M A = MB = 10$

Сам

На оси $O x$ : $M A = MB$ , $A (0; 4)$ , $B (6; 2)$ . $M (2; 0)$
На оси $O y$ : $M A = MB$ , $A (2; 1)$ , $B (- 4; 3)$ . $M (0; 5)$
$A (x; 2)$ , $B (1; 5)$ , $A B = 5$ . Найдите $x$ . $x = 5$ или $x = - 3$

R04.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$A (2; 5)$ : 5 вправо, 2 вверх	первой пишут абсциссу $x$	2 вправо, 5 вверх
середина: $x = \frac{x _{2} - x _{1}}{2}$	это половина длины проекции, а не координата	$x = \frac{x _{1} + x _{2}}{2}$
$d = (x_{2} - x_{1}) + (y_{2} - y_{1})$	катеты складывают в квадратах — Пифагор	$d = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$
$2 - (- 4) = - 2$ , $(- 3)^{2} = - 9$	ошибка в знаках	$2 - (- 4) = 6$ , $(- 3)^{2} = 9$

R04.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $A (- 1; 4)$ , $B (3; - 2)$ . Найдите середину $A B$ .

$x = \frac{3 - ( - 1 )}{2} = 2$

$y = \frac{- 2 - 4}{2} = - 3$ , $M (2; - 3)$

нужна полусумма: $x = \frac{- 1 + 3}{2} = 1$ $y = \frac{4 - 2}{2} = 1$ , $M (1; 1)$

б) $A (- 2; 3)$ , $B (4; - 5)$ . Найдите $A B$ .

$A B^{2} = (4 - 2)^{2} + (- 5 - 3)^{2}$

$A B = 4 + 64 = 68$

$4 - (- 2) = 6$ , а не $2$ :
$A B = 36 + 64 = 10$

в) Найдите расстояние от $O$ до $M (- 6; 8)$ .

$OM = - 36 + 64$

$OM = 28 = 27$

$(- 6)^{2} = 36$ , а не $- 36$ :
$OM = 100 = 10$

R04.1

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаСередина $A B$ : $A (2; - 3)$ , $B (- 4; 7)$ . $(- 1; 2)$
база $A B$ : $A (- 1; 2)$ , $B (5; 10)$ . $10$
базаРасстояние от $O$ до $M (5; - 12)$ . $13$

базаТочка, симметричная $K (- 4; 7)$ относительно $O x$ . $(- 4; - 7)$
база $M (3; - 1)$ — середина $A B$ , $A (1; 4)$ . Найдите $B$ . $(5; - 6)$
базаНа какой оси лежит $P (0; - 6)$ ? на оси $O y$

R04.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Центр окружности $C (2; - 1)$ , точка $A (5; 3)$ лежит на ней. Найдите радиус. $5$
повыш. $A BC D$ — параллелограмм, $A (- 2; 1)$ , $B (1; 4)$ , $C (6; 3)$ . Найдите $D$ . $D (3; 0)$
повыш. $A (- 4; 7)$ , $B (- 2; - 3)$ , $C (6; 1)$ . Найдите медиану $A M$ треугольника $A BC$ . $10$
повыш.Докажите, что $A (- 1; - 2)$ , $B (1; 2)$ , $C (3; 6)$ лежат на одной прямой. $A B + BC = 25 + 25 = 45 = A C$

R04.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 18

Клетчатая бумага: клетка $1 \times 1$

ОГЭ 18 На клетчатой бумаге отмечены точки $A$ и $B$ . Найдите длину отрезка $A B$ .

10

ОГЭ 18 Найдите расстояние от точки $A$ до середины отрезка $BC$ .

5

R04.1 · из жизни

Задача из жизни · план района

Координаты на карте

Клетка — $100$ м. Дом $Д (1; 2)$ , школа $Ш (7; 10)$ , парк $П (5; 5)$ , библиотека $Б (7; 2)$ .

Расстояние от дома до школы по прямой? $10$ клеток $= 1$ км
Друзья встречаются посередине между домом и школой. Где? $(4; 6)$
Что ближе к дому: парк или библиотека? парк: $500$ м против $600$ м

R04.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Середина $A B$ : $A (- 3; 4)$ , $B (5; - 2)$ . $(1; 1)$
Длина $A B$ для тех же точек. $10$
$C (2; - 1)$ — середина $P K$ , $P (- 1; 3)$ . Найдите $K$ . $(5; - 5)$
Периметр $△ OBC$ : $O (0; 0)$ , $B (3; 4)$ , $C (6; 0)$ . $16$

Вариант 2

Середина $A B$ : $A (4; - 5)$ , $B (- 2; 3)$ . $(1; - 1)$
Длина $A B$ для тех же точек. $10$
$C (- 1; 2)$ — середина $P K$ , $P (3; - 1)$ . Найдите $K$ . $(- 5; 5)$
Периметр $△ OBC$ : $O (0; 0)$ , $B (- 6; 8)$ , $C (0; 8)$ . $24$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какую координату пишут первой?
Как найти середину отрезка?
Из какой теоремы получена формула расстояния?

Домашнее задание

$A (- 5; 3)$ , $B (3; - 3)$ : середина и длина $A B$ .
Определите вид треугольника: $O (0; 0)$ , $A (4; 2)$ , $B (2; 6)$ .
* На оси $O x$ найдите точку, равноудалённую от $A (- 1; 5)$ и $B (7; 1)$ .
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_koordinaty.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9-039 · Декартовы координаты точек на плоскости

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R04 «Декартовы координаты на плоскости», 9 ч · урок 1/9 · тип Н
Единицы → слайды	R04.1 «Декартовы координаты точек на плоскости» → 2, 4–21 · повторение R03 «Векторы» → 3
Результаты	ПР-7 (метод координат на плоскости в геометрических и практических задачах) → 4–21
Вне урока	уравнение прямой — GEOM9-040 (R04.2); уравнение окружности — R04.3; пересечение окружности и прямой — R04.4; метод координат в задачах — R04.5
Время	теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Декартовы координаты точек на плоскости

Сегодня вы научитесь

Находить координаты

Вычислять середину

Находить расстояние

Решать задачи методом координат

Координаты вектора

Оси, начало, координаты точки

Какие координаты меняют знак

Читаем координаты точек

Образец: назовите координаты точек A и B и четверти, в которых они лежат.

Сам

Координата середины — полусумма координат концов

Прямая и обратная задачи

Образец: A(−3;5), B(7;1). Найдите середину C отрезка AB.

Сам

Расстояние — по теореме Пифагора

Подставляем в формулу

Образец: A(−2;1), B(4;9). Найдите длину отрезка AB.

Сам

Три формулы урока

Вид треугольника по координатам

Образец: A(−2;−1), B(1;3), C(5;0). Докажите: △ABC — прямоугольный равнобедренный.

Сам: докажите

Точка на оси, равноудалённая от двух точек

Образец: найдите на оси Ox точку M, для которой MA=MB; A(1;3), B(5;1).

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) A(−1;4), B(3;−2). Найдите середину AB.

б) A(−2;3), B(4;−5). Найдите AB.

в) Найдите расстояние от O до M(−6;8).

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Клетчатая бумага: клетка 1×1

Координаты на карте

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9-039 · Декартовы координаты точек на плоскости

Образец: назовите координаты точек $A$ и $B$ и четверти, в которых они лежат.

Образец: $A (- 3; 5)$ , $B (7; 1)$ . Найдите середину $C$ отрезка $A B$ .

Образец: $A (- 2; 1)$ , $B (4; 9)$ . Найдите длину отрезка $A B$ .

Образец: $A (- 2; - 1)$ , $B (1; 3)$ , $C (5; 0)$ . Докажите: $△ A BC$ — прямоугольный равнобедренный.

Образец: найдите на оси $O x$ точку $M$ , для которой $M A = MB$ ; $A (1; 3)$ , $B (5; 1)$ .

а) $A (- 1; 4)$ , $B (3; - 2)$ . Найдите середину $A B$ .

б) $A (- 2; 3)$ , $B (4; - 5)$ . Найдите $A B$ .

в) Найдите расстояние от $O$ до $M (- 6; 8)$ .

Клетчатая бумага: клетка $1 \times 1$