Векторы · урок 12 из 12 · обобщение

Векторы: обобщение и систематизация

Геометрия · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R03 · GEOM9-038

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R03 «Векторы» (12 ч), урок 12/12, единицы R03.1–R03.7. Тип — О (обобщение и систематизация): теория — только сводками, остальное — практика. До этого: уроки 027–033 (новый материал) и практикумы 034–037.
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Теория (12): сл. 1 титул 1 · 2 цели 1 · 4 сводка понятий 1,5 · 5 сводка действий 3 · 8 сводка координат 3 · 11 векторный метод 2,5.
Практика (33): 3 разминка 2 · 6, 7, 9, 10, 12, 13 шесть «Образец → сам» по 2,5 · 14 ошибки 1,5 · 15 найди ошибку 2 · 16 база 2,5 · 17 повышенный 2 · 18 ОГЭ 2 · 19 самостоятельная 5 · 20 итог 1.
Если не успеваете: задания 3–4 на сл. 17 — в ДЗ; самостоятельную (сл. 19) не сокращать — это проверка по всей теме.

R03.1–R03.7

Цели урока

Сегодня вы соберёте всю тему вместе

Выполнять действия с векторами

сложение, вычитание, умножение на число — на чертеже (ПР-6)

Раскладывать вектор

по двум неколлинеарным векторам (ПР-6)

Считать в координатах

длины, скалярное произведение, углы (ПР-6)

Решать задачи векторами

геометрические доказательства и задачи физики (ПР-6)

R03.1 · R03.4 · R03.5

Разминка · устно

Восемь вопросов по всей теме

$A B + BC = ?$ $A C$
$A B - A C = ?$ $CB$
$a (3; - 4)$ . Найдите $∣ a ∣$ . $5$
$a (1; 2)$ , $b (- 3; 1)$ . $2 a - b = ?$ $(5; 3)$

$A (2; - 1)$ , $B (5; 3)$ . $A B = ?$ $(3; 4)$
$a (2; 3) \cdot b (3; - 2) = ?$ $0$
$∣ a ∣ = 2$ , $∣ b ∣ = 5$ , угол $6 0^{\circ}$ . $a \cdot b = ?$ $5$
Коллинеарны ли $a (2; - 6)$ и $b (- 1; 3)$ ? да, $a = - 2 b$

R03.1 · R03.2

Сводка · понятия

Вектор — направленный отрезок: перемещение, сила, скорость

вектор $A B$ , длина $∣ A B ∣ = A B$

нулевой вектор $AA = 0$ , длина $0$

сонаправленные $a ↑↑ b$

противоположно направленные $a ↑↓ b$

равные: сонаправлены и $∣ a ∣ = ∣ b ∣$

коллинеарные — на одной или параллельных прямых

R03.1 · R03.3

Сводка · действия и разложение

Четыре правила и одна теорема

правило треугольника

$A B + BC = A C$

правило параллелограмма

$a + b$ — диагональ из общего начала

разность

$OB - O A = A B$

умножение на число

$∣ k a ∣ = ∣ k ∣ \cdot ∣ a ∣$

Разложение. Если

a

и

b

неколлинеарны, то любой вектор

p

единственным образом представляется в виде

p = x a + y b

. Коллинеарность:

b ∥ a ⟺ b = k a

(

a \neq = 0

).

R03.1

Образец → сам · действия на чертеже

Выражаем векторы через $a$ и $b$

Образец: $A BC D$ — параллелограмм, $O$ — центр, $A B = a$ , $A D = b$ . Выразите $A C$ , $B D$ , $A O$ .

$A C = a + b$ правило параллелограмма
$B D = A D - A B = b - a$ разность векторов с общим началом $A$
$A O = \frac{1}{2} A C = \frac{1}{2} a + \frac{1}{2} b$ диагонали делятся точкой $O$ пополам

Сам: тот же параллелограмм

$C D = ?$ $- a$
$OB = ?$ $\frac{1}{2} a - \frac{1}{2} b$
$CO = ?$ $- \frac{1}{2} a - \frac{1}{2} b$

R03.3

Образец → сам · разложение по двум векторам

Идём по сторонам от точки $A$

Образец: в $△ A BC$ точка $M$ — середина $BC$ , $A B = a$ , $A C = b$ . Разложите $A M$ по $a$ и $b$ .

$BC = b - a$ , $BM = \frac{1}{2} (b - a)$ разность; $M$ — середина $BC$
$A M = A B + BM = a + \frac{1}{2} b - \frac{1}{2} a$ правило треугольника
$A M = \frac{1}{2} a + \frac{1}{2} b$ привели подобные

Сам: тот же треугольник

$K$ на $BC$ , $B K : K C = 1 : 2$ . $A K = ?$ $\frac{2}{3} a + \frac{1}{3} b$
$N$ — середина $A B$ . $CN = ?$ $\frac{1}{2} a - b$
$MN = ?$ $- \frac{1}{2} b$

R03.4 · R03.5

Сводка · координаты и скалярное произведение

Что найти → какая формула

Что найти	Формула ( $a (x_{1}; y_{1})$ , $b (x_{2}; y_{2})$ )
вектор по концам	$A (x_{1}; y_{1})$ , $B (x_{2}; y_{2})$ : $A B (x_{2} - x_{1}; y_{2} - y_{1})$
сумма, число	$a + b (x_{1} + x_{2}; y_{1} + y_{2})$ , $k a (k x_{1}; k y_{1})$
длина	$∣ a ∣ = x_{1}^{2} + y_{1}^{2}$
коллинеарность	$x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} = 0$ (координаты пропорциональны)
скалярное произведение	$a \cdot b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos α = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$
угол	$cos α = \frac{x _{1} x _{2} + y _{1} y _{2}}{∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣}$
перпендикулярность	$a ⊥ b ⟺ x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = 0$

R03.4

Образец → сам · координаты и длина

Вектор по концам, действия, длина

Образец: $A (1; 2)$ , $B (4; 6)$ , $C (- 2; 3)$ . Найдите $∣ A B ∣$ и координаты $m = 2 A B - A C$ .

$A B (3; 4)$ , $∣ A B ∣ = 9 + 16 = 5$ из конца вычитаем начало; длина
$A C (- 3; 1)$ $- 2 - 1 = - 3$ , $3 - 2 = 1$
$m (6 + 3; 8 - 1) = (9; 7)$ $2 A B (6; 8)$ , вычитаем по координатам

Сам

$M (- 1; 3)$ , $N (2; - 1)$ . Найдите $MN$ и $MN$ . $(3; - 4)$ ; $5$
$a (2; - 1)$ , $b (- 1; 3)$ . Найдите $∣3 a + 2 b ∣$ . $5$
При каком $k$ векторы $a (k; 6)$ и $b (2; 3)$ коллинеарны? $k = 4$

R03.5

Образец → сам · угол и перпендикулярность

Угол треугольника — через векторы из вершины

Образец: $A (1; 1)$ , $B (4; 2)$ , $C (2; 3)$ . Найдите угол $A$ треугольника $A BC$ .

$A B (3; 1)$ , $A C (1; 2)$ , $A B \cdot A C = 3 + 2 = 5$ векторы из вершины $A$
$∣ A B ∣ = 10$ , $∣ A C ∣ = 5$ длины векторов
$cos A = \frac{5}{50} = \frac{2}{2}$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ $50 = 52$

Сам

Угол между $a (1; 3)$ и $b (- 1; 3)$ . $6 0^{\circ}$
$A (0; 0)$ , $B (2; 1)$ , $C (- 1; 2)$ . Найдите $∠ A$ . $9 0^{\circ}$
При каком $x$ $a (x; - 2) ⊥ b (3; 6)$ ? $x = 4$

R03.6

Сводка · векторный метод

Переводим геометрию на язык векторов и обратно

На чертеже	В векторах
$M$ — середина $A B$	$OM = \frac{1}{2} (O A + OB)$
$A B ∥ C D$	$A B = k C D$
$A B ⊥ C D$	$A B \cdot C D = 0$
длина $A B$	$A B^{2} = A B \cdot A B$
угол между прямыми	через $cos α$ векторов

План решения

выбрать два неколлинеарных вектора
выразить через них нужные векторы
перевести условие и вычислить
перевести ответ на язык геометрии

R03.6

Образец → сам · доказательство

Перпендикулярность — через скалярное произведение

Образец: докажите, что диагонали ромба $A BC D$ перпендикулярны.

$A B = a$ , $A D = b$ , $∣ a ∣ = ∣ b ∣$ стороны ромба равны
$A C = a + b$ , $B D = b - a$ правило параллелограмма; разность
$A C \cdot B D = ∣ b ∣^{2} - ∣ a ∣^{2} = 0$ ⇒ $AC ⊥ BD$ раскрыли скобки, $a \cdot b = b \cdot a$

Сам: план и ключевая строка

$M$ , $N$ — середины $BC$ и $A B$ в $△ A BC$ . Докажите: $MN ∥ A C$ . $NM = \frac{1}{2} A C$
В параллелограмме $∣ a + b ∣ = ∣ a - b ∣$ . Докажите, что это прямоугольник. $a \cdot b = 0$

R03.2 · R03.7

Образец → сам · задача физики

Равнодействующая — сумма сил

Образец: на тело действуют силы $3$ Н и $5$ Н, угол между ними $6 0^{\circ}$ . Найдите равнодействующую.

$R = F_{1} + F_{2}$ , $F_{1} \cdot F_{2} = 3 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 7, 5$ правило параллелограмма; определение
$∣ R ∣^{2} = 9 + 2 \cdot 7, 5 + 25 = 49$ скалярный квадрат суммы
$∣ R ∣ = 7 Н$ длина неотрицательна

Сам

Силы $6$ Н и $8$ Н под прямым углом. Равнодействующая? $10$ Н
Сила $40$ Н под углом $6 0^{\circ}$ к перемещению $5$ м. Работа $A = F \cdot s$ ? $100$ Дж
Лодка: $4$ м/с поперёк реки, течение $3$ м/с. Скорость относительно берега? $5$ м/с

R03.1–R03.5

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$∣ a + b ∣ = ∣ a ∣ + ∣ b ∣$	верно только для сонаправленных	через скалярный квадрат
$A B (x_{1} - x_{2}; y_{1} - y_{2})$	из конца вычитают начало	$(x_{2} - x_{1}; y_{2} - y_{1})$
угол между $A B$ и $BC$ равен $∠ B$	векторы не отложены от одной точки	$18 0^{\circ} - ∠ B$
$A B - A C = BC$	разность — к концу уменьшаемого	$CB$

R03.4 · R03.5

Найди ошибку

$a (2; - 1)$ , $b (1; 3)$ . Найдите $∣ a + b ∣$ и угол между $a$ и $b$ .

Решение ученика

$a + b = (3; 2)$
$∣ a + b ∣ = 3 + 2 = 5$
$a \cdot b = 2 \cdot 1 + (- 1) \cdot 3 = - 1$
$cos α = \frac{- 1}{5 + 10}$ , угол тупой

Ошибка 1 (шаг 2). Длина — корень из суммы квадратов: $∣ a + b ∣ = 9 + 4 = 13$

Ошибка 2 (шаг 4). В знаменателе — произведение длин: $cos α = \frac{- 1}{50} = - \frac{2}{10}$ , $α \approx 9 8^{\circ}$

R03.1–R03.5

Задания с самопроверкой · база

Решите и сверьте

база $A BC D$ — параллелограмм. $A B + A D = ?$ $A C$
база $a (3; - 2)$ , $b (- 1; 4)$ . $a - 2 b = ?$ $(5; - 10)$
база $A (- 2; 1)$ , $B (4; - 7)$ . Найдите $A B$ . $10$

база $a (4; - 3) \cdot b (2; 5) = ?$ $- 7$
база $∣ a ∣ = 4$ , $∣ b ∣ = 3$ , угол $12 0^{\circ}$ . $a \cdot b = ?$ $- 6$
базаПри каком $m$ $a (m; 4) ⊥ b (2; - 1)$ ? $m = 2$

R03.3 · R03.5 · R03.7

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $O$ — точка пересечения медиан $△ A BC$ , $A B = a$ , $A C = b$ . Выразите $A O$ . $\frac{1}{3} a + \frac{1}{3} b$
повыш. $∣ a ∣ = 3$ , $∣ b ∣ = 2$ , угол $6 0^{\circ}$ . Найдите $∣2 a - b ∣$ . $27$
повыш. $a (1; 2)$ , $b (2; - 1)$ . При каком $k$ $(a + k b) ⊥ (a - b)$ ? $k = 1$
из жизниДва буксира тянут баржу с силами по $4$ кН, угол между тросами $6 0^{\circ}$ . Равнодействующая? $43 \approx 6, 9$ кН

R03.4 · R03.5 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 18 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 18На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображены векторы $a$ и $b$ . Найдите длину вектора $a + b$ . $5$
ОГЭ 18По тому же рисунку найдите $a \cdot b$ . $- 1$
ОГЭ 19Укажите номера верных утверждений. 1) Если $a \cdot b < 0$ , то угол между ненулевыми векторами тупой. 2) Длина суммы векторов равна сумме их длин. 3) Противоположные векторы имеют равные длины. 13

R03.1–R03.5

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта — решите свой

Вариант 1 · $A BC D$ — параллелограмм, $A B = a$ , $A D = b$

Выразите $C A$ через $a$ и $b$ . $- a - b$
$A (2; - 3)$ , $B (- 4; 5)$ . Найдите $A B$ . $10$
$a (3; - 1) \cdot b (2; 4) = ?$ $2$
Угол между $a (2; 2)$ и $b (0; 3)$ ? $4 5^{\circ}$

Вариант 2 · $A BC D$ — параллелограмм, $A B = a$ , $A D = b$

Выразите $D B$ через $a$ и $b$ . $a - b$
$A (- 1; 4)$ , $B (5; - 4)$ . Найдите $A B$ . $10$
$a (- 2; 5) \cdot b (3; 1) = ?$ $- 1$
Угол между $a (- 3; 0)$ и $b (1; 1)$ ? $13 5^{\circ}$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чем правило треугольника отличается от правила параллелограмма?
Как по координатам проверить, что векторы перпендикулярны? коллинеарны?
Какая тема из «Векторов» далась труднее всего?

$a \cdot b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos α = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$

Домашнее задание

$A BC D$ — параллелограмм, $M$ — середина $C D$ . Выразите $A M$ через $A B = a$ , $A D = b$ .
Докажите, что $△ A BC$ с вершинами $A (1; 2)$ , $B (5; 5)$ , $C (4; - 2)$ прямоугольный.
$∣ a ∣ = 2$ , $∣ b ∣ = 4$ , угол $12 0^{\circ}$ . Найдите $∣ a + b ∣$ .
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_vektory.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9-038 · Обобщение и систематизация по теме «Векторы»

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R03 «Векторы», 12 ч · урок 12/12 · тип О (обобщение и систематизация)
Единицы → слайды	R03.1 → 4–6, 14, 16, 19 · R03.2 → 4, 13 · R03.3 → 5, 7, 17 · R03.4 → 8, 9, 15, 16, 18, 19 · R03.5 → 8, 10, 15–19 · R03.6 → 11, 12 · R03.7 → 13, 17
Результаты	ПР-6 (векторы, их геометрический и физический смысл; скалярное произведение для длин и углов) → 2–20
Виды деятельности	«Использовать векторы как направленные отрезки… физический (сила) смысл» → 4, 13 · «суммы и разности… умножения на число» → 5, 6 · «Раскладывать вектор по двум неколлинеарным» → 7, 17 · «Решать геометрические задачи с использованием векторов» → 11, 12 · «Вычислять… в координатах», «длины и углы» → 8–10, 15–19
ОГЭ	линия 18 (клетчатая бумага), 19 (верные утверждения) → 18
Вне урока	практикумы GEOM9-034–037 · метод координат — GEOM9-039 и далее (R04)
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Векторы: обобщение и систематизация

Сегодня вы соберёте всю тему вместе

Выполнять действия с векторами

Раскладывать вектор

Считать в координатах

Решать задачи векторами

Восемь вопросов по всей теме

Вектор — направленный отрезок: перемещение, сила, скорость

Четыре правила и одна теорема

правило треугольника

правило параллелограмма

разность

умножение на число

Выражаем векторы через a и b

Образец: ABCD — параллелограмм, O — центр, AB=a, AD=b. Выразите AC, BD, AO.

Сам: тот же параллелограмм

Идём по сторонам от точки A

Образец: в △ABC точка M — середина BC, AB=a, AC=b. Разложите AM по a и b.

Сам: тот же треугольник

Что найти → какая формула

Вектор по концам, действия, длина

Образец: A(1;2), B(4;6), C(−2;3). Найдите ∣AB∣ и координаты m=2AB−AC.

Сам

Угол треугольника — через векторы из вершины

Образец: A(1;1), B(4;2), C(2;3). Найдите угол A треугольника ABC.

Сам

Переводим геометрию на язык векторов и обратно

План решения

Перпендикулярность — через скалярное произведение

Образец: докажите, что диагонали ромба ABCD перпендикулярны.

Сам: план и ключевая строка

Равнодействующая — сумма сил

Образец: на тело действуют силы 3 Н и 5 Н, угол между ними 60∘. Найдите равнодействующую.

Сам

Неверно → почему → верно

a(2;−1), b(1;3). Найдите ∣a+b∣ и угол между a и b.

Решение ученика

Решите и сверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

Два варианта — решите свой

Вариант 1 · ABCD — параллелограмм, AB=a, AD=b

Вариант 2 · ABCD — параллелограмм, AB=a, AD=b

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9-038 · Обобщение и систематизация по теме «Векторы»

Выражаем векторы через $a$ и $b$

Образец: $A BC D$ — параллелограмм, $O$ — центр, $A B = a$ , $A D = b$ . Выразите $A C$ , $B D$ , $A O$ .

Идём по сторонам от точки $A$

Образец: в $△ A BC$ точка $M$ — середина $BC$ , $A B = a$ , $A C = b$ . Разложите $A M$ по $a$ и $b$ .

Образец: $A (1; 2)$ , $B (4; 6)$ , $C (- 2; 3)$ . Найдите $∣ A B ∣$ и координаты $m = 2 A B - A C$ .

Образец: $A (1; 1)$ , $B (4; 2)$ , $C (2; 3)$ . Найдите угол $A$ треугольника $A BC$ .

Образец: докажите, что диагонали ромба $A BC D$ перпендикулярны.

Образец: на тело действуют силы $3$ Н и $5$ Н, угол между ними $6 0^{\circ}$ . Найдите равнодействующую.

$a (2; - 1)$ , $b (1; 3)$ . Найдите $∣ a + b ∣$ и угол между $a$ и $b$ .

Вариант 1 · $A BC D$ — параллелограмм, $A B = a$ , $A D = b$

Вариант 2 · $A BC D$ — параллелограмм, $A B = a$ , $A D = b$