Векторы · урок 11 из 12 · практикум

Практикум: координаты вектора

Геометрия · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R03 · GEOM9-037

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R03 «Векторы» (12 ч), урок 11/12, единица R03.4 «Координаты вектора». Тип урока — П (практикум): новой теории нет, только сводка, демонстрационный пример и много практики.
Теория (12,5): титул 1 · цели 0,5 · повторение «конец минус начало» 2,5 · сводка правил 2,5 · типы задач 2,5 · демонстрационный пример 3,5.
Практика (32,5): разминка 3 · образцы → сам 2,5 × 5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 3 · ОГЭ 2,5 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: задачи 3–4 повышенного уровня — в ДЗ; самостоятельную не сокращать.

R03.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь уверенно

Читать координаты

вектора по клеткам и по разложению $x i + y j$

Находить начало и конец

вектора по координатам точки и вектора

Считать длину

и находить неизвестную координату по длине

Решать задачи на фигуры

параллелограмм и трапеция — через равные и коллинеарные векторы

повторение: R03.3 · R03.4

Разминка · устно

Шесть быстрых вопросов

Разложите $p$ по $i$ , $j$ . Его координаты? $3 i - 2 j$ , ${3; - 2}$
${2; - 1} + {- 5; 4} = ?$ ${- 3; 3}$
$- 2 \cdot {3; - 4} = ?$ ${- 6; 8}$
$A (1; 2)$ , $B (4; 6)$ . Координаты $A B$ ? ${3; 4}$
Длина вектора ${6; 8}$ ? $10$
$a$ , $b$ неколлинеарны, $x a + y b = 0$ . Чему равны $x$ и $y$ ? $x = y = 0$

R03.4 · повторение

Повторение · координаты точки и вектора

Конец минус начало

Если

A (x_{A}; y_{A})

,

B (x_{B}; y_{B})

, то

A B {x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}}

.

1

O A {1; 4}

,

OB {6; 2}

координаты радиус-вектора равны координатам его конца

2

A B

=

OB

-

O A

правило треугольника:

O A + A B = OB

3

A B {6 - 1; 2 - 4} = {5; - 2}

по рисунку: 5 клеток вправо, 2 вниз

R03.4 · сводка

Сводка правил

Всё, что нужно на практикуме

Что	Формула
Координаты	$a = x i + y j \Leftrightarrow a {x; y}$ ; равные векторы — равные координаты
Действия	$a \pm b {x_{1} \pm x_{2}; y_{1} \pm y_{2}}$ , $k a {k x_{1}; k y_{1}}$
Начало и конец	$A B {x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}}$ , $x_{B} = x_{A} + x, y_{B} = y_{A} + y$
Длина	$∣ a ∣ = x^{2} + y^{2}$
Коллинеарность	$b = k a \Leftrightarrow x_{2} = k x_{1}, y_{2} = k y_{1}$ (координаты пропорциональны)
Параллелограмм $A BC D$	$A B = D C$ , $A D = BC$

R03.4 · сводка

Схема · типы задач практикума

Дано → найти → формула

1 · точки $A$ , $B$ → вектор

$A B {x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}}$

2 · точка $A$ и $A B$ → точка $B$

$B (x_{A} + x; y_{A} + y)$

3 · вектор → длина

$∣ a ∣ = x^{2} + y^{2}$

4 · длина → неизвестная координата

$x^{2} + y^{2} = d^{2}$ — обычно два ответа

5 · два вектора → коллинеарны?

$\frac{x _{2}}{x _{1}} = \frac{y _{2}}{y _{1}} = k$

6 · три вершины → четвёртая

$A D = BC$ → $D = A + BC$

R03.4

Образец → сам · координаты по клеткам

Считаем клетки от начала к концу

Образец: найдите координаты и длину вектора $a$ (клетка $1 \times 1$ ).

$a = 4 i + 3 j$ 4 клетки вправо, 3 вверх

$a {4; 3}$ коэффициенты разложения

$∣ a ∣ = 16 + 9 = 5$

Сам

Координаты $b$ и $c$ ? ${2; - 5}$ и ${- 4; - 1}$
Координаты и длина $a + c$ ? ${0; 2}$ , длина $2$
Разложите $b$ по $i$ , $j$ . $b = 2 i - 5 j$

R03.4

Образец → сам · действия в координатах

Сначала умножаем, потом складываем

Образец: $a {3; - 1}$ , $b {- 2; 4}$ . Найдите координаты $c = 3 a + 2 b$ .

$3 a {9; - 3}$ обе координаты × 3

$2 b {- 4; 8}$ обе координаты × 2

$c {9 + (- 4); - 3 + 8}$ сумма в координатах

$c {5; 5}$

Сам

Для тех же векторов найдите $a - 3 b$ . ${9; - 13}$
Найдите длину $c$ . $52$
Найдите $x$ , если $2 x + a = b$ . $x {- 2, 5; 2, 5}$

R03.4

Образец → сам · начало и конец вектора

Найти точку — прибавить вектор

Образец: $A (- 2; 3)$ , $A B {5; - 4}$ . Найдите координаты точки $B$ .

$x_{B} - x_{A} = 5$ , $y_{B} - y_{A} = - 4$ конец минус начало

$x_{B} = - 2 + 5 = 3$ к абсциссе начала прибавили

$y_{B} = 3 + (- 4) = - 1$ к ординате начала прибавили

$B (3; - 1)$

Сам

$B (4; - 1)$ , $A B {6; 2}$ . Найдите $A$ . $A (- 2; - 3)$
$M (1; 5)$ , $MN {- 3; - 7}$ . Найдите $N$ . $N (- 2; - 2)$
$A (0; 2)$ , $B (3; 6)$ , $C (- 1; 1)$ , $C D = A B$ . Найдите $D$ . $D (2; 5)$

R03.4 · демонстрация

Демонстрационный пример · учитель решает

Докажем, что $A BC D$ — равнобедренная трапеция

Дано:

A (- 3; - 1)

,

B (- 1; 2)

,

C (3; 2)

,

D (5; - 1)

.

1

BC {4; 0}

,

A D {8; 0}

—

A D = 2 BC

коллинеарны, значит

A D ∥ BC

и

A D \neq = BC

2

A B {2; 3}

,

D C {- 2; 3}

\frac{- 2}{2} \neq = \frac{3}{3}

— не коллинеарны,

A B ∦ C D

: трапеция

3

A B = D C = 4 + 9 = 13

боковые стороны равны — трапеция равнобедренная

R03.4

Образец → сам · длина и неизвестная координата

По длине — обычно два ответа

Образец: при каких $x$ длина вектора $a {x; - 6}$ равна $10$ ?

$x^{2} + (- 6)^{2} = 1 0^{2}$ $∣ a ∣^{2} = x^{2} + y^{2}$

$x^{2} = 100 - 36 = 64$

$x = 8$ или $x = - 8$ два вектора на рисунке

Сам

$∣ {5; y} ∣ = 13$ . Найдите $y$ . $y = \pm 12$
$A (1; 2)$ , $B (x; 5)$ , $A B = 5$ . Найдите $x$ . $x = 5$ или $x = - 3$
$a {1; 3}$ , $b {- 1; 2}$ . Найдите $∣2 a - b ∣$ . $5$

R03.4

Образец → сам · четвёртая вершина параллелограмма

Равные векторы — равные координаты

Образец: $A BC D$ — параллелограмм, $A (- 2; 1)$ , $B (1; 3)$ , $C (4; 0)$ . Найдите $D$ .

$A D = BC$ противоположные стороны равны и сонаправлены

$BC {3; - 3}$ конец минус начало

$D (- 2 + 3; 1 - 3) = (1; - 2)$

Проверка: $D C {3; 2} = A B$ вторая пара сторон тоже равна

Сам

$A BC D$ — параллелограмм, $A (1; - 1)$ , $B (3; 2)$ , $C (7; 3)$ . Найдите $D$ . $D (5; 0)$
Параллелограмм ли $A (0; 0)$ , $B (2; 3)$ , $C (7; 4)$ , $D (5; 1)$ ? да, $A B = D C {2; 3}$
$M$ — середина $A B$ , $A (- 1; 4)$ , $M (2; 1)$ . Найдите $B$ . $B (5; - 2)$

R03.4

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$A (4; 1)$ , $A B {2; - 3}$ : $B (2; 4)$	вычли вектор из начала	$B (4 + 2; 1 - 3) = (6; - 2)$
$∣ {x; - 6} ∣ = 10$ : $x = 8$	потерян второй корень	$x = 8$ или $x = - 8$
$A BC D$ : $A D = CB$	в параллелограмме $CB = - A D$	$A D = BC$
${2; - 4}$ и ${- 1; 2}$ не коллинеарны: знаки разные	$k$ может быть отрицательным	коллинеарны: ${2; - 4} = - 2 \cdot {- 1; 2}$

R03.4

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $a {2; - 3}$ , $b {- 4; 1}$ . Найдите $3 a - 2 b$ .

$3 a {6; - 9}$ , $2 b {- 8; 2}$

${6 - 8; - 9 - 2} = {- 2; - 11}$

$6 - (- 8) = 14$ : ${14; - 11}$

б) $A (3; - 2)$ , $A B {- 5; 4}$ . Найдите $B$ .

$x_{B} = - 5 - 3 = - 8$

$y_{B} = 4 + 2 = 6$ , $B (- 8; 6)$

прибавлять к началу: $B (3 - 5; - 2 + 4) = (- 2; 2)$

в) $A BC D$ : $A (1; 1)$ , $B (2; 4)$ , $C (6; 5)$ , $D (5; 2)$ . Параллелограмм?

$A B {1; 3}$ , $C D {- 1; - 3}$

$A B \neq = C D$ — нет

сравнивать с $D C {1; 3}$ : да

R03.4

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $a = - 4 i + 7 j$ . Найдите координаты $a$ . ${- 4; 7}$
база $a {3; - 2}$ , $b {- 1; 5}$ . Найдите $2 a + b$ . ${5; 1}$
база $A (- 1; 4)$ , $A B {3; - 6}$ . Найдите $B$ . $B (2; - 2)$

базаНайдите длину вектора ${- 7; 24}$ . $25$
базаКоллинеарны ли ${3; - 6}$ и ${- 1; 2}$ ? да, ${3; - 6} = - 3 \cdot {- 1; 2}$
база $A (2; - 1)$ , $B (5; 3)$ . Найдите длину отрезка $A B$ . $5$

R03.3 · R03.4 · из жизни

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $a {1; 2}$ , $b {3; - 1}$ . Разложите $c {7; 0}$ по векторам $a$ и $b$ . $c = a + 2 b$
повыш.При каких $m$ длина вектора ${m; m + 1}$ равна $5$ ? $m = 3$ или $m = - 4$
повыш. $A (1; 2)$ , $B (4; 6)$ . Точка $B$ — середина отрезка $A C$ . Найдите $C$ . $C (7; 10)$
из жизниСкорость самолёта относительно воздуха ${300; 400}$ км/ч, ветер ${- 60; - 80}$ км/ч (ось $x$ — на восток, $y$ — на север). Найдите скорость относительно земли. ${240; 320}$ , $400$ км/ч

R03.4 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 18 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 18Клетка $1 \times 1$ . Найдите длину вектора $a - b$ . $5$
ОГЭ 18Найдите ординату вектора $a + 2 b$ . $- 5$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Векторы ${3; 4}$ и ${- 3; - 4}$ равны.
Длина вектора ${6; 8}$ равна $10$ .
Координаты суммы векторов равны суммам соответствующих координат.

Ответ: 23

R03.4

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$a {2; - 3}$ , $b {- 1; 4}$ . Найдите $a - 2 b$ . ${4; - 11}$
$A (3; - 1)$ , $A B {- 4; 5}$ . Найдите $B$ . $B (- 1; 4)$
$∣ {x; 8} ∣ = 10$ . Найдите $x$ . $x = \pm 6$
$A BC D$ — параллелограмм, $A (- 1; 0)$ , $B (2; 4)$ , $C (6; 3)$ . Найдите $D$ . $D (3; - 1)$

Вариант 2

$a {- 3; 1}$ , $b {2; - 5}$ . Найдите $a - 2 b$ . ${- 7; 11}$
$A (- 2; 4)$ , $A B {5; - 3}$ . Найдите $B$ . $B (3; 1)$
$∣ {9; y} ∣ = 15$ . Найдите $y$ . $y = \pm 12$
$A BC D$ — параллелограмм, $A (2; 1)$ , $B (0; 5)$ , $C (4; 7)$ . Найдите $D$ . $D (6; 3)$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как найти конец вектора по началу и координатам вектора?
Почему по длине обычно получается два ответа?
Какие векторы равны в параллелограмме $A BC D$ ?

Домашнее задание

$a {4; - 1}$ , $b {- 2; 3}$ . Найдите $2 a + 3 b$ и его длину.
$A (- 3; 2)$ , $A B {6; - 8}$ . Найдите $B$ и $A B$ .
* Разложите $c {1; 8}$ по $a {1; 2}$ и $b {- 1; 1}$ .
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_vektory.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9-037 · Практикум: координаты вектора

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R03 «Векторы», 12 ч · урок 11/12 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R03.4 «Координаты вектора» → 2, 4–19 · повторение R03.3 (разложение) → 3, 16
Результаты	ПР-6 → 4–19 · ПР-7 (метод координат, подготовка) → 10, 12
Виды деятельности	«Вычислять сумму, разность … векторов в координатах» → 8, 15, 18 · «Решать геометрические задачи с использованием векторов» → 10, 12, 16 · «Раскладывать вектор по двум неколлинеарным векторам» → 3, 16
ОГЭ	линия 18 → 17 (задачи 1, 2) · линия 19 → 17
Вне урока	скалярное произведение — GEOM9-031 (R03.5); середина отрезка и расстояние между точками подробно — R04 «Метод координат»
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: координаты вектора

Сегодня вы научитесь уверенно

Читать координаты

Находить начало и конец

Считать длину

Решать задачи на фигуры

Шесть быстрых вопросов

Конец минус начало

Всё, что нужно на практикуме

Дано → найти → формула

1 · точки A, B → вектор

2 · точка A и AB → точка B

3 · вектор → длина

4 · длина → неизвестная координата

5 · два вектора → коллинеарны?

6 · три вершины → четвёртая

Считаем клетки от начала к концу

Образец: найдите координаты и длину вектора a (клетка 1×1).

Сам

Сначала умножаем, потом складываем

Образец: a{3;−1}, b{−2;4}. Найдите координаты c=3a+2b.

Сам

Найти точку — прибавить вектор

Образец: A(−2;3), AB{5;−4}. Найдите координаты точки B.

Сам

Докажем, что ABCD — равнобедренная трапеция

По длине — обычно два ответа

Образец: при каких x длина вектора a{x;−6} равна 10?

Сам

Равные векторы — равные координаты

Образец: ABCD — параллелограмм, A(−2;1), B(1;3), C(4;0). Найдите D.

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) a{2;−3}, b{−4;1}. Найдите 3a−2b.

б) A(3;−2), AB{−5;4}. Найдите B.

в) ABCD: A(1;1), B(2;4), C(6;5), D(5;2). Параллелограмм?

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9-037 · Практикум: координаты вектора

1 · точки $A$ , $B$ → вектор

2 · точка $A$ и $A B$ → точка $B$

Образец: найдите координаты и длину вектора $a$ (клетка $1 \times 1$ ).

Образец: $a {3; - 1}$ , $b {- 2; 4}$ . Найдите координаты $c = 3 a + 2 b$ .

Образец: $A (- 2; 3)$ , $A B {5; - 4}$ . Найдите координаты точки $B$ .

Докажем, что $A BC D$ — равнобедренная трапеция

Образец: при каких $x$ длина вектора $a {x; - 6}$ равна $10$ ?

Образец: $A BC D$ — параллелограмм, $A (- 2; 1)$ , $B (1; 3)$ , $C (4; 0)$ . Найдите $D$ .

а) $a {2; - 3}$ , $b {- 4; 1}$ . Найдите $3 a - 2 b$ .

б) $A (3; - 2)$ , $A B {- 5; 4}$ . Найдите $B$ .

в) $A BC D$ : $A (1; 1)$ , $B (2; 4)$ , $C (6; 5)$ , $D (5; 2)$ . Параллелограмм?