Векторы · урок 10 из 12 · практикум

Практикум: разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Геометрия · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R03 · GEOM9-036

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 11,5 мин · практика 33,5 мин (74 %), итого 45 мин.
Паспорт: R03 «Векторы» (12 ч), урок 10/12, единица R03.3. Тип урока — П (практикум): теория — только сводка и две демонстрации учителя.
Теория (11,5): титул 0,5 · цели 0,5 · сводка теорем 2 · формула деления отрезка 2,5 · схема 1,5 · шестиугольник 2 · средняя линия 2,5.
Практика (33,5): разминка 2,5 · шесть образцов → сам по 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2 · ОГЭ 2 · из жизни 1 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: повышенный уровень (сл. 18) — в ДЗ по выбору; задачу из жизни — устно.

R03.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Раскладывать на клетке

находить $x$ и $y$ в $p = x a + y b$ , когда оба вектора «косые»

Выражать векторы в фигурах

параллелограмм, треугольник, трапеция, шестиугольник (ПР-6)

Делить отрезок в отношении

пользоваться формулой для точки $K$ : $A K : K B = m : n$

Сравнивать коэффициенты

решать обратные задачи и доказывать векторным способом

повторение: R03.1–R03.3

Разминка · устно

Перемещения, силы и коллинеарность

Катер прошёл 3 км на север, затем 4 км на восток. Модуль перемещения? $5$ км
Силы $6$ Н и $8$ Н приложены к точке под прямым углом. Равнодействующая? $10$ Н
Силы $5$ Н и $3$ Н направлены противоположно. Равнодействующая? $2$ Н, в сторону большей
$A B + BC + C A = ?$ $0$

$b = - 3 a$ , $∣ a ∣ = 2$ . Найдите $∣ b ∣$ . $6$ , направлены противоположно
$M$ — середина $A B$ , $MB = k B A$ . Найдите $k$ . $- \frac{1}{2}$
Разложим ли любой вектор по $a$ и $- 2 a$ ? нет: они коллинеарны

R03.3

Сводка · что мы знаем

Лемма, теорема и единственность

Лемма

$a$ и $b$ коллинеарны, $b \neq = 0$ ⇒ $a = k b$ ; знак $k$ — по направлению, $∣ k ∣ = ∣ a ∣ : ∣ b ∣$

Теорема

$a$ , $b$ неколлинеарны ⇒ любой $p$ раскладывается: $p = x a + y b$

Единственность

$x a + y b = x_{1} a + y_{1} b$ ⇒ $x = x_{1}$ , $y = y_{1}$

R03.3

Полезное разложение · вывод

Точка делит отрезок в отношении $m : n$

Дано:

K \in A B

,

A K : K B = m : n

,

O

— любая точка.
Выразить

O K

через

O A

и

OB

.

1

A K = \frac{m}{m + n} A B

лемма: сонаправлены,

A K

—

m

частей из

m + n

2

A B = OB - O A

правило вычитания

3

O K = O A + \frac{m}{m + n} (OB - O A)

правило треугольника

4

O K

= \frac{n}{m + n}

O A

+ \frac{m}{m + n}

OB

«крест-накрест»: при

O A

— доля

n

; при

m = n

— середина

R03.3

Схема-конспект

Три способа найти $x$ и $y$

1. По клеткам

сдвиг $p$ по клеткам: вправо и вверх
то же для $x a + y b$
приравнять — система двух уравнений

2. Цепочкой

путь по сторонам фигуры от начала к концу
каждое звено — $\pm a$ , $\pm b$ или их часть
точка деления — по формуле $m : n$

3. Сравнением

$a$ , $b$ неколлинеарны
коэффициенты при $a$ равны, при $b$ равны
коллинеарность: $p = t q$

R03.3

Образец → сам · на клетчатой бумаге

Разложите по $a$ и $b$

Образец: разложите $p$ по $a$ и $b$ .

$a$ : $3$ вправо, $1$ вверх; $b$ : $1$ и $2$ ; $p$ : $5$ и $5$ счёт клеток

$3 x + y = 5$ , $x + 2 y = 5$ ⇒ $x = 1$ , $y = 2$ : $p = a + 2 b$

Сам: разложите по $a$ , $b$

$c$ $a + b$
$d$ $- a + 2 b$
$e$ $2 a - 2 b$

R03.3

Образец → сам · в параллелограмме

$A BC D$ — параллелограмм, $A B = a$ , $A D = b$

Образец: $K \in BC$ , $B K : K C = 2 : 1$ , $N$ — середина $C D$ . Выразите $A K$ , $A N$ , $K N$ .

$A K = A B + B K = a + \frac{2}{3} b$ $BC = A D$

$A N = A D + D N = \frac{1}{2} a + b$ $D C = A B$

$K N = A N - A K = - \frac{1}{2} a + \frac{1}{3} b$

Сам: выразите через $a$ , $b$

$DK$ $a - \frac{1}{3} b$
$NB$ $\frac{1}{2} a - b$
$O K$ , $O$ — центр $\frac{1}{2} a + \frac{1}{6} b$

R03.3

Образец → сам · в треугольнике, чертёж — сами

$△ A BC$ , $A B = a$ , $A C = b$

Образец: $K \in BC$ , $B K : K C = 3 : 2$ . Выразите $A K$ и $C K$ .

$A K = \frac{2}{5} a + \frac{3}{5} b$ формула $m : n$ , «крест-накрест»

$C K = A K - A C = \frac{2}{5} a - \frac{2}{5} b$ правило вычитания

Сам: постройте чертёж и выразите

$E \in A B$ , $A E : EB = 1 : 3$ ; $CE$ $\frac{1}{4} a - b$
$M$ — середина $BC$ , $T$ — середина $A M$ ; $BT$ $- \frac{3}{4} a + \frac{1}{4} b$
$G$ — точка пересечения медиан; $BG$ $- \frac{2}{3} a + \frac{1}{3} b$

R03.3

Демонстрация учителя · правильный шестиугольник

$A BC D EF$ — правильный, $A B = a$ , $A F = b$

$A O = a + b$ $A BOF$ — ромб, правило параллелограмма

$A C = A B + BC = 2 a + b$ $BC = A O$ : $A BCO$ — ромб

$A D = 2 A O = 2 a + 2 b$ $O$ — середина диагонали $A D$

$A E = A F + FE = a + 2 b$ $FE = A O$ : $A OEF$ — ромб

R03.3

Образец → сам · в трапеции

$A BC D$ — трапеция, $A D ∥ BC$ , $A B = a$ , $A D = b$

Образец: $A D = 2 BC$ , $M$ — середина $C D$ . Выразите $A C$ , $C D$ , $A M$ .

$BC = \frac{1}{2} b$ ⇒ $A C = a + \frac{1}{2} b$ $BC ↑↑ A D$ , лемма

$C D = A D - A C = - a + \frac{1}{2} b$

$A M = \frac{1}{2} (A C + A D) = \frac{1}{2} a + \frac{3}{4} b$ середина $C D$

Сам: та же трапеция, но $BC : A D = 2 : 3$

$B D$ $- a + b$
$A C$ $a + \frac{2}{3} b$
$C D$ $- a + \frac{1}{3} b$

R03.3

Образец → сам · сравнение коэффициентов

$a$ и $b$ неколлинеарны. Найдите неизвестные

Образец а: $(2 x - 1) a + (y + 3) b = 5 a - b$ .

$2 x - 1 = 5$ , $y + 3 = - 1$ единственность разложения

$x = 3$ , $y = - 4$

Образец б: при каком $k$ коллинеарны $2 a - k b$ и $- 3 a + 6 b$ ?

$2 a - k b = t (- 3 a + 6 b)$ лемма

$2 = - 3 t$ ⇒ $t = - \frac{2}{3}$ ; $- k = 6 t = - 4$ ⇒ $k = 4$

Сам

$x a + 2 y b = (y + 1) a + 6 b$ $x = 4$ , $y = 3$
$(x + y) a + (x - 2 y) b = 4 a + b$ $x = 3$ , $y = 1$
При каком $k$ коллинеарны $k a + 3 b$ и $2 a - b$ ? $k = - 6$

R03.6 → R03.3

Демонстрация учителя · векторное доказательство

Средняя линия треугольника

Дано:

△ A BC

,

M

и

N

— середины

A B

и

A C

.
Доказать:

MN ∥ BC

,

MN = \frac{1}{2} BC

.

1

A M = \frac{1}{2} A B

,

A N = \frac{1}{2} A C

лемма: середины сторон

2

MN

= A N - A M = \frac{1}{2} (A C - A B)

правило вычитания

3

MN

= \frac{1}{2}

BC

A C - A B = BC

4

MN ∥ BC

,

MN = \frac{1}{2} BC

MN = k BC

⇒ коллинеарны;

∣ k ∣ = \frac{1}{2}

;

M \in / BC

R03.3 · R03.6

Образец → сам · задача на доказательство

План и обоснования

Образец: $A BC D$ — трапеция, $M$ , $N$ — середины $A B$ и $C D$ . Докажите: $MN = \frac{1}{2} (A D + BC)$ .

$MN = M A + A D + D N$ , $MN = MB + BC + CN$

сложим: $M A + MB = 0$ , $D N + CN = 0$ середины

$2 MN = A D + BC$ ⇒ $MN ∥ A D$ , $MN = \frac{1}{2} (A D + BC)$

Сам: составьте план

$A BC D$ — параллелограмм, $O$ — любая точка: $O A + OC = OB + O D$ обе суммы $= 2 OQ$ , $Q$ — центр
$G$ — точка пересечения медиан $△ A BC$ : $G A + GB + GC = 0$ $GB + GC = 2 G A_{1} = - G A$

R03.3

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$A K : K B = 1 : 3$ ⇒ $O K = \frac{1}{4} O A + \frac{3}{4} OB$	коэффициенты «крест-накрест»: $K$ ближе к $A$	$O K = \frac{3}{4} O A + \frac{1}{4} OB$
трапеция: $BC = A D$	сонаправлены, но длины разные	$BC = \frac{BC}{A D} A D$
$K N = A K - A N$	разность — из конца вычитаемого в конец уменьшаемого	$K N = A N - A K$
$b = 2 a$ , но «сравним коэффициенты»	единственность — только для неколлинеарных	сначала проверить неколлинеарность

R03.3

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Параллелограмм $A BC D$ , $A B = a$ , $A D = b$ , $K \in C D$ , $C K : KD = 1 : 2$ . Выразите $A K$ .

$A K = A D + DK = b + \frac{1}{3} a$

$DK = \frac{2}{3} D C$ ⇒ $A K = \frac{2}{3} a + b$

б) $△ A BC$ , $G$ — точка пересечения медиан, $A B = a$ , $A C = b$ . Выразите $A G$ .

$A G = \frac{1}{2} (a + b)$

это вектор медианы $A A_{1}$ ; $A G = \frac{2}{3} A A_{1} = \frac{1}{3} a + \frac{1}{3} b$

в) При каком $k$ коллинеарны $k a + 2 b$ и $3 a + 4 b$ ?

$k a + 2 b = t (3 a + 4 b)$ : $2 = 4 t$ ⇒ $t = 2$ , $k = 6$

$t = \frac{1}{2}$ ⇒ $k = 3 t = 1, 5$

R03.3

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Везде $a$ и $b$ неколлинеарны; в фигурах $A B = a$ , $A D = b$ (параллелограмм $A BC D$ ) или $A C = b$ (треугольник $A BC$ ).

база $(x - 2) a + 3 b = 4 a + (y + 1) b$ . Найдите $x$ , $y$ . $x = 6$ , $y = 2$
база $K \in A B$ , $A K : K B = 1 : 4$ , $A K = k A B$ . Найдите $k$ . $0, 2$
базаТам же: $K B = k B A$ . Найдите $k$ . $- 0, 8$

базаТреугольник, $N$ — середина $A B$ . Выразите $CN$ . $\frac{1}{2} a - b$
базаПараллелограмм, $M$ — середина $A D$ . Выразите $BM$ . $- a + \frac{1}{2} b$
базаПараллелограмм, $K \in BC$ , $B K : K C = 1 : 3$ . Выразите $A K$ . $a + \frac{1}{4} b$

R03.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $△ A BC$ , $A B = a$ , $A C = b$ ; $K \in A B$ , $L \in A C$ , $A K : K B = A L : L C = 2 : 1$ . Выразите $K L$ и сделайте вывод. $\frac{2}{3} (b - a) = \frac{2}{3} BC$ ⇒ $K L ∥ BC$
повыш.Параллелограмм $A BC D$ , $A B = a$ , $A D = b$ ; $M$ — середина $BC$ , $P = A M \cap B D$ , $BP : P D = 1 : 2$ . Выразите $A P$ . $\frac{2}{3} a + \frac{1}{3} b$
повыш.При каком $k$ векторы $a + k b$ и $k a + 4 b$ сонаправлены ( $a$ , $b$ неколлинеарны)? $k = 2$
повыш.Правильный шестиугольник $A BC D EF$ , $A B = a$ , $A F = b$ . Выразите $CE$ . $- a + b$

R03.3 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 18 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 18 $p = x a + y b$ . Найдите $x \cdot y$ . $3$
ОГЭ 18Сторона клетки $1$ . Найдите длину $2 a + b$ . $5$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Если $a$ , $b$ неколлинеарны и $2 a + 3 b = x a + 3 b$ , то $x = 2$ .
Вектор из вершины треугольника в точку пересечения медиан равен полусумме векторов сторон из этой вершины.
Если $K$ — середина $A B$ , то $O K = \frac{1}{2} (O A + OB)$ для любой точки $O$ .

Ответ: 13

R03.3 · R03.7

Задача из жизни · фонарь на двух тросах

Какой трос натянут сильнее?

Фонарь весом $50$ Н висит на двух тросах. Тросы должны дать силу $F$ вверх (клетка — $10$ Н). $a$ и $b$ — направления тросов.

1. $F = 2 a + b$ $- x + 2 y = 0$ , $x + 3 y = 5$

2. $∣2 a ∣ = 202 \approx 28$ Н, $∣ b ∣ = 1013 \approx 36$ Н

Правый, более крутой трос натянут сильнее.

R03.3

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

$A BC D$ — параллелограмм, $A B = a$ , $A D = b$ ; $a$ , $b$ неколлинеарны.

Вариант 1

$K \in C D$ , $DK : K C = 1 : 3$ . Выразите $A K$ . $\frac{1}{4} a + b$
$M$ — середина $BC$ . Выразите $D M$ . $a - \frac{1}{2} b$
$(x + 2) a + (1 - y) b = 5 a + 3 b$ . Найдите $x$ , $y$ . $x = 3$ , $y = - 2$
При каком $k$ коллинеарны $k a - 2 b$ и $3 a + 6 b$ ? $k = - 1$

Вариант 2

$K \in BC$ , $B K : K C = 3 : 1$ . Выразите $A K$ . $a + \frac{3}{4} b$
$M$ — середина $C D$ . Выразите $BM$ . $- \frac{1}{2} a + b$
$(2 - x) a + (y + 4) b = - 3 a + b$ . Найдите $x$ , $y$ . $x = 5$ , $y = - 3$
При каком $k$ коллинеарны $4 a + k b$ и $2 a - 3 b$ ? $k = - 6$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как найти $x$ и $y$ на клетчатой бумаге?
Чему равен $O K$ , если $A K : K B = m : n$ ?
Когда можно сравнивать коэффициенты?

Домашнее задание

Трапеция $A BC D$ , $A D = 2 BC$ , $A B = a$ , $A D = b$ , $M$ — середина $BC$ : выразите $A M$ .
$△ A BC$ , $K \in BC$ , $B K : K C = 1 : 4$ : выразите $A K$ через $A B$ , $A C$ .
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_vektory.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9-036 · Практикум: разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R03 «Векторы», 12 ч · урок 10/12 · тип П
Единицы → слайды	R03.3 «Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам» → 2, 4–22 · повторение R03.1–R03.2 → 3 · связь с R03.6, R03.7 → 13, 14, 20
Результаты	ПР-6 (пользоваться векторами, применять их в решении геометрических и физических задач) → 4–22 · EL-6.5, REQ-6.6
Вне урока	координаты вектора — GEOM9-037 (R03.4); скалярное произведение — R03.5; обобщение темы — GEOM9-038
Время	теория 11,5 мин · практика 33,5 мин (74 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Сегодня вы научитесь

Раскладывать на клетке

Выражать векторы в фигурах

Делить отрезок в отношении

Сравнивать коэффициенты

Перемещения, силы и коллинеарность

Лемма, теорема и единственность

Лемма

Теорема

Единственность

Точка делит отрезок в отношении m:n

Три способа найти x и y

1. По клеткам

2. Цепочкой

3. Сравнением

Разложите по a и b

Образец: разложите p​ по a и b.

Сам: разложите по a, b

ABCD — параллелограмм, AB=a, AD=b

Образец: K∈BC, BK:KC=2:1, N — середина CD. Выразите AK, AN, KN.

Сам: выразите через a, b

△ABC, AB=a, AC=b

Образец: K∈BC, BK:KC=3:2. Выразите AK и CK.

Сам: постройте чертёж и выразите

ABCDEF — правильный, AB=a, AF=b

ABCD — трапеция, AD∥BC, AB=a, AD=b

Образец: AD=2BC, M — середина CD. Выразите AC, CD, AM.

Сам: та же трапеция, но BC:AD=2:3

a и b неколлинеарны. Найдите неизвестные

Образец а: (2x−1)a+(y+3)b=5a−b.

Образец б: при каком k коллинеарны 2a−kb и −3a+6b?

Сам

Средняя линия треугольника

План и обоснования

Образец: ABCD — трапеция, M, N — середины AB и CD. Докажите: MN=21​(AD+BC).

Сам: составьте план

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Параллелограмм ABCD, AB=a, AD=b, K∈CD, CK:KD=1:2. Выразите AK.

б) △ABC, G — точка пересечения медиан, AB=a, AC=b. Выразите AG.

в) При каком k коллинеарны ka+2b и 3a+4b?

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Какой трос натянут сильнее?

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9-036 · Практикум: разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Точка делит отрезок в отношении $m : n$

Три способа найти $x$ и $y$

Разложите по $a$ и $b$

Образец: разложите $p$ по $a$ и $b$ .

Сам: разложите по $a$ , $b$

$A BC D$ — параллелограмм, $A B = a$ , $A D = b$

Образец: $K \in BC$ , $B K : K C = 2 : 1$ , $N$ — середина $C D$ . Выразите $A K$ , $A N$ , $K N$ .

Сам: выразите через $a$ , $b$

$△ A BC$ , $A B = a$ , $A C = b$

Образец: $K \in BC$ , $B K : K C = 3 : 2$ . Выразите $A K$ и $C K$ .

$A BC D EF$ — правильный, $A B = a$ , $A F = b$

$A BC D$ — трапеция, $A D ∥ BC$ , $A B = a$ , $A D = b$

Образец: $A D = 2 BC$ , $M$ — середина $C D$ . Выразите $A C$ , $C D$ , $A M$ .

Сам: та же трапеция, но $BC : A D = 2 : 3$

$a$ и $b$ неколлинеарны. Найдите неизвестные

Образец а: $(2 x - 1) a + (y + 3) b = 5 a - b$ .

Образец б: при каком $k$ коллинеарны $2 a - k b$ и $- 3 a + 6 b$ ?

Образец: $A BC D$ — трапеция, $M$ , $N$ — середины $A B$ и $C D$ . Докажите: $MN = \frac{1}{2} (A D + BC)$ .

а) Параллелограмм $A BC D$ , $A B = a$ , $A D = b$ , $K \in C D$ , $C K : KD = 1 : 2$ . Выразите $A K$ .

б) $△ A BC$ , $G$ — точка пересечения медиан, $A B = a$ , $A C = b$ . Выразите $A G$ .

в) При каком $k$ коллинеарны $k a + 2 b$ и $3 a + 4 b$ ?