Векторы · урок 7 из 12 · новый материал

Применение векторов для решения задач физики

Геометрия · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R03 · GEOM9-033

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R03 «Векторы» (12 ч), урок 7/12, единица R03.7 «Применение векторов для решения задач физики». Тип — Н. Опора: сложение векторов и правило параллелограмма (R03.1), координаты (R03.4), скалярное произведение (R03.5, GEOM9-031), решение задач векторами (GEOM9-032).
Хронометраж: Теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %), итого 45 мин.
Теория (13,5): сл. 1 титул 1 · 2 цели 1 · 4 величины-векторы 2 · 5 равнодействующая 3 · 6 составляющие силы 2,5 · 7 работа 2,5 · 8 сводка 1,5.
Практика (31,5): 3 разминка 2,5 · 9–13 пять «Образец → сам» 3 + 3 + 3 + 3 + 2,5 · 14 ошибки 1,5 · 15 найди ошибку 2 · 16 база 3 · 17 повышенный 2 · 18 ОГЭ 1,5 · 19 самостоятельная 4 · 20 итог 0,5.
Если не успеваете: задания 3–4 на сл. 17 — в ДЗ. Вывод формулы на сл. 5 не сокращать — на нём держатся сл. 9, 14, 15.
Обозначения физики: $F$ — сила (Н), $s$ — перемещение (м), $v$ — скорость (м/с), $A$ — работа (Дж). Модуль силы пишем $F$ вместо $∣ F ∣$ , как в учебнике физики.

R03.7

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Видеть векторы в физике

перемещение, скорость, сила — направленные отрезки (ПР-6)

Находить равнодействующую

по правилу параллелограмма и в координатах (ПР-6)

Раскладывать силу

на горизонтальную и вертикальную составляющие (ПР-6, ПР-1)

Вычислять работу силы

как скалярное произведение $F \cdot s$ (ПР-6, ПР-10)

R03.4 · R03.5 · повторение

Разминка · устно

Координаты, длина, скалярное произведение

$a (3; - 1) + b (- 1; 5) = ?$ $(2; 4)$
Длина вектора $(6; 8)$ ? $10$
$a (2; 3) \cdot b (4; - 1) = ?$ $5$
$cos 6 0^{\circ} = ?$ $cos 12 0^{\circ} = ?$ $\frac{1}{2}$ ; $- \frac{1}{2}$

$∣ a ∣ = 2$ , $∣ b ∣ = 5$ , угол $6 0^{\circ}$ . $a \cdot b$ ? $5$
$a \cdot b = 0$ ⇒ векторы … перпендикулярны
$a \cdot a = ?$ $∣ a ∣^{2}$
Теорема косинусов: $c^{2} = ?$ $a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C$

R03.7 · R03.2

Новый материал · векторы в физике

Перемещение — вектор, путь — число

Турист прошёл $3$ км на восток и $4$ км на север. Путь $7$ км, перемещение $A C$ : $∣ A C ∣ = 5$ км.

Векторные величины

перемещение

s

скорость

v

ускорение

a

сила

F

Скалярные величины

масса

m

время

t

путьработа

A

2 мин · теория
Чертёж точный: $A (0; 0)$ , $B (3; 0)$ , $C (3; 4)$ (1 км — 64 px), $A C = A B + BC$ — правило треугольника; $∣ A C ∣ = 9 + 16 = 5$ .
Вопрос классу: чем отличается путь от перемещения? (Путь — длина траектории, число; перемещение — направленный отрезок от начала к концу.) Когда путь равен модулю перемещения? (Движение по прямой в одну сторону.)
Векторная величина имеет модуль и направление и складывается по правилу треугольника (параллелограмма); скалярная — только числовое значение.

R03.7 · R03.5

Новый материал · равнодействующая сил

Силы складываются как векторы

Силы $F_{1}$ и $F_{2}$ приложены к точке $O$ , угол между ними $α$ . Их равнодействующая $R = F_{1} + F_{2}$ — диагональ параллелограмма.

$R^{2} = R \cdot R = (F_{1} + F_{2})^{2}$ — скалярный квадрат
$= F_{1}^{2} + 2 F_{1} \cdot F_{2} + F_{2}^{2}$ — раскрыли скобки
$F_{1} \cdot F_{2} = F_{1} F_{2} cos α$ — определение

$R^{2} = F_{1}^{2} + F_{2}^{2} + 2 F_{1} F_{2} cos α$

3 мин · теория
Чертёж точный: $F_{1} = 3$ , $F_{2} = 5$ , $α = 6 0^{\circ}$ (1 Н — 46 px); равнодействующая (розовая) открывается по клику вместе с первым шагом вывода. Диагональ $OR$ — из точки приложения сил.
Вывод: свойства скалярного произведения (распределительный закон, $a \cdot a = ∣ a ∣^{2}$ ) — урок GEOM9-031. Тот же результат даёт теорема косинусов в $△$ со сторонами $F_{1}$ , $F_{2}$ , $R$ : угол против $R$ равен $18 0^{\circ} - α$ , а $cos (18 0^{\circ} - α) = - cos α$ — поэтому знак «плюс».
Частные случаи (спросить класс): $α = 0^{\circ}$ ⇒ $R = F_{1} + F_{2}$ ; $α = 18 0^{\circ}$ ⇒ $R = ∣ F_{1} - F_{2} ∣$ ; $α = 9 0^{\circ}$ ⇒ $R = F_{1}^{2} + F_{2}^{2}$ . Всегда $∣ F_{1} - F_{2} ∣ \leq R \leq F_{1} + F_{2}$ .

R03.7 · R03.3

Новый материал · разложение силы

Составляющие силы по осям

$F = F_{x} + F_{y}$ — разложение по двум перпендикулярным направлениям. $α$ — угол силы с осью $O x$ .

$F_{x} = F cos α$

прилежащий катет

$F_{y} = F sin α$

противолежащий катет

2,5 мин · теория
Чертёж точный: $F = 5$ , $α = 3 2^{\circ}$ ; пунктиры — перпендикуляры из конца $F$ на оси, прямоугольник со сторонами $F_{x}$ , $F_{y}$ и диагональю $F$ . Составляющие открываются по клику вместе с формулами.
Координаты силы: $F (F cos α; F sin α)$ — то же, что координаты вектора длины $F$ под углом $α$ к оси (урок GEOM9-029). Проверка: $F_{x}^{2} + F_{y}^{2} = F^{2} (cos^{2} α + sin^{2} α) = F^{2}$ .
Вопрос: что тянет санки вперёд, когда верёвку держат под углом? (Только горизонтальная составляющая, вертикальная «приподнимает» санки.)

R03.7 · R03.5

Новый материал · работа силы

Работа — скалярное произведение

Работает только составляющая силы вдоль перемещения: $F cos α$ .

$A = F \cdot s = F s cos α$

$α < 9 0^{\circ}$ ⇒ $A > 0$
$α = 9 0^{\circ}$ ⇒ $A = 0$
$α > 9 0^{\circ}$ ⇒ $A < 0$

2,5 мин · теория
Чертёж: брусок перемещается на $s$ (пунктир — конечное положение), сила $F$ под углом $3 8^{\circ}$ ; бирюзовая стрелка — проекция силы на направление перемещения, длина $F cos α$ .
Работа — число (скаляр), хотя сила и перемещение — векторы: это и есть скалярное произведение. В координатах $A = F_{x} s_{x} + F_{y} s_{y}$ . Единицы: $1 Дж = 1 Н \cdot 1 м$ .
Примеры знаков: сила тяжести при движении по горизонтали — $A = 0$ ; сила трения направлена против движения ( $α = 18 0^{\circ}$ ) — $A < 0$ .

R03.7

Сводка · что спрашивают → что делаем

План решения физической задачи

Вопрос	Как решаем
равнодействующая двух сил	$R^{2} = F_{1}^{2} + F_{2}^{2} + 2 F_{1} F_{2} cos α$
силы заданы координатами	складываем координаты, $R = x^{2} + y^{2}$
равновесие	$F_{1} + F_{2} + \dots + F_{n} = 0$
скорость относительно берега	$v = v_{1} + v_{2}$ (собственная + течение)
составляющие силы	$F_{x} = F cos α$ , $F_{y} = F sin α$
работа силы	$A = F s cos α = F_{x} s_{x} + F_{y} s_{y}$

R03.7

Образец → сам · равнодействующая двух сил

Модуль суммы — не сумма модулей

Образец: к телу приложены силы $3$ Н и $5$ Н, угол между ними $6 0^{\circ}$ . Найдите модуль равнодействующей.

$R^{2} = 9 + 25 + 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 49$ $R^{2} = F_{1}^{2} + F_{2}^{2} + 2 F_{1} F_{2} cos α$
$R = 7$ Н $R > 0$ ; проверка: $2 \leq 7 \leq 8$

Сам: найдите модуль равнодействующей

$6$ Н и $8$ Н, угол $9 0^{\circ}$ . $10$ Н
$5$ Н и $5$ Н, угол $12 0^{\circ}$ . $5$ Н
$2$ Н и $3$ Н, угол $6 0^{\circ}$ . $19$ Н

R03.7 · R03.4

Образец → сам · силы в координатах

Равнодействующая и равновесие

Образец: $F_{1} (3; 1)$ , $F_{2} (- 1; 4)$ (в ньютонах). Найдите $R$ , её модуль и силу $F_{3}$ , при которой тело в равновесии.

$R = (2; 5)$ складываем координаты
$R = 4 + 25 = 29$ Ндлина вектора
$F_{3} = - R = (- 2; - 5)$ равновесие: $F_{1} + F_{2} + F_{3} = 0$

Сам

$F_{1} (2; - 3)$ , $F_{2} (4; 7)$ . Найдите $R$ и $R$ . $(6; 4)$ ; $213$
$F_{1} (5; 0)$ , $F_{2} (0; - 12)$ . Найдите $R$ . $13$ Н
Тело в равновесии под действием $F_{1} (1; 2)$ , $F_{2} (3; - 4)$ и $F_{3}$ . Найдите $F_{3}$ . $(- 4; 2)$

R03.7 · R03.2

Образец → сам · сложение скоростей

Лодка пересекает реку

Образец: лодка плывёт поперёк реки ( $v_{1} = 4$ м/с), течение $v_{2} = 3$ м/с, ширина $120$ м. Найдите $v$ , время переправы и снос $CB$ .

$v = 4^{2} + 3^{2} = 5$ м/с $v = v_{1} + v_{2}$ , $v_{1} ⊥ v_{2}$
$t = 120 : 4 = 30$ с; $CB = 3 \cdot 30 = 90$ мпоперёк реки движет только $v_{1}$ , вдоль — только $v_{2}$

Сам

Самолёт держит курс на север со скоростью $240$ км/ч, ветер дует на восток со скоростью $70$ км/ч. Скорость относительно земли? $250$ км/ч
Пловец плывёт поперёк реки шириной $60$ м со скоростью $1, 5$ м/с, течение $2$ м/с. Найдите снос. $80$ м
Собственная скорость катера $5$ м/с, течение $2$ м/с. Скорость по течению и против? $7$ и $3$ м/с

R03.7 · R03.3

Образец → сам · составляющие силы

Санки тянут за верёвку

Образец: санки тянут за верёвку с силой $40$ Н под углом $3 0^{\circ}$ к горизонту. Найдите горизонтальную и вертикальную составляющие силы.

$F_{x} = 40 cos 3 0^{\circ} = 203 \approx 34, 6$ Нприлежащий к углу катет
$F_{y} = 40 sin 3 0^{\circ} = 20$ Нпротиволежащий катет

Сам

Сила $60$ Н под углом $6 0^{\circ}$ к горизонту. Найдите $F_{x}$ и $F_{y}$ . $30$ ; $303$ Н
Сила $10$ Н под углом $4 5^{\circ}$ . Найдите $F_{x}$ . $52$ Н
Горизонтальная составляющая $30$ Н, угол с горизонтом $6 0^{\circ}$ . Найдите силу. $60$ Н

R03.7 · R03.5

Образец → сам · работа силы

$A = F s cos α$ и $A = F_{x} s_{x} + F_{y} s_{y}$

Образец: ящик переместили на $8$ м силой $50$ Н, направленной под углом $6 0^{\circ}$ к перемещению. Найдите работу силы.

$A = 50 \cdot 8 \cdot cos 6 0^{\circ}$ $A = F \cdot s = F s cos α$
$A = 400 \cdot \frac{1}{2} = 200$ Джработает составляющая $25$ Н вдоль перемещения

Сам: найдите работу силы

$F = 20$ Н, $s = 5$ м, сила направлена вдоль перемещения. $100$ Дж
$F (3; 4)$ Н, $s (2; 1)$ м. $10$ Дж
$F = 10$ Н, $s = 4$ м, угол между силой и перемещением $12 0^{\circ}$ . $- 20$ Дж

R03.7

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
силы $3$ Н и $4$ Н под углом $9 0^{\circ}$ : $R = 3 + 4 = 7$ Н	складываются векторы, а не их модули	$R = 9 + 16 = 5$ Н
$R^{2} = F_{1}^{2} + F_{2}^{2} - 2 F_{1} F_{2} cos α$ , где $α$ — угол между силами	в треугольнике сил угол против $R$ равен $18 0^{\circ} - α$	$R^{2} = F_{1}^{2} + F_{2}^{2} + 2 F_{1} F_{2} cos α$
сила под углом к перемещению: $A = F s$	работает только составляющая вдоль $s$	$A = F s cos α$
угол с горизонтом $α$ : $F_{x} = F sin α$	горизонталь — прилежащий к углу катет	$F_{x} = F cos α$

R03.7

Найди ошибку

Силы $6$ Н и $10$ Н, угол $12 0^{\circ}$ . Тело сместилось на $5$ м вдоль второй силы. Найдите $R$ и работу первой силы.

Решение ученика

$R^{2} = 36 + 100 - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot cos 12 0^{\circ}$ $= 136 + 60 = 196$ .
$R = 14$ Н.
Угол между $F_{1}$ и $s$ равен $12 0^{\circ}$ , поэтому $A_{1} = F_{1} s = 6 \cdot 5 = 30$ Дж.

Ошибка 1 (шаг 1). Для угла между силами — «плюс»: $R^{2} = 136 + 120 \cdot (- \frac{1}{2}) = 76$ , $R = 219$ Н

Ошибка 2 (шаг 3). Потерян косинус: $A_{1} = 6 \cdot 5 \cdot cos 12 0^{\circ} = - 15$ Дж

R03.7

Задания с самопроверкой · база

Решите и сверьте

базаСилы $5$ Н и $12$ Н перпендикулярны. Модуль равнодействующей? $13$ Н
базаСилы $7$ Н и $3$ Н направлены противоположно. Равнодействующая? $4$ Н
база $F_{1} (1; - 2)$ , $F_{2} (5; 10)$ . Найдите $R$ . $10$ Н

базаСила $30$ Н под углом $6 0^{\circ}$ к горизонту. Горизонтальная составляющая? $15$ Н
база $F = 25$ Н вдоль перемещения $s = 4$ м. Работа? $100$ Дж
база $F (2; - 1)$ Н, $s (3; 6)$ м. Работа? $0$ Дж

R03.7

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Равнодействующая сил $4$ Н и $6$ Н равна $219$ Н. Найдите угол между силами. $6 0^{\circ}$
повыш.Три силы по $10$ Н приложены к точке, углы между соседними силами по $12 0^{\circ}$ . Найдите равнодействующую. $0$
из жизниФонарь весом $50$ Н висит на двух одинаковых тросах, угол между тросами $12 0^{\circ}$ . Найдите силу натяжения каждого троса. $50$ Н
из жизниСобственная скорость лодки $5$ м/с, течение $3$ м/с. Лодку направили так, что она плывёт перпендикулярно берегу. Её скорость и время переправы через реку шириной $200$ м? $4$ м/с; $50$ с

R03.7 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 12, 15 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 12Работу силы вычисляют по формуле $A = F s cos α$ . Найдите $A$ (в джоулях), если $F = 40$ Н, $s = 15$ м, $cos α = 0, 6$ . $360$
ОГЭ 15В треугольнике $A BC$ стороны $A B = 5$ , $A C = 8$ , угол $A$ равен $6 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ . $7$
ОГЭ 19Укажите номера верных утверждений. 1) Модуль равнодействующей двух сил всегда больше каждой из сил. 2) Модуль суммы двух перпендикулярных векторов длин $a$ и $b$ равен $a^{2} + b^{2}$ . 3) Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю. 23

R03.7

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Силы $9$ Н и $12$ Н перпендикулярны. $R$ ? $15$ Н
$F_{1} (4; - 1)$ , $F_{2} (- 1; 5)$ . $R$ ? $5$ Н
Сила $80$ Н под углом $6 0^{\circ}$ к горизонту. Горизонтальная составляющая? $40$ Н
$F = 15$ Н, $s = 6$ м, угол $6 0^{\circ}$ . Работа? $45$ Дж

Вариант 2

Силы $8$ Н и $15$ Н перпендикулярны. $R$ ? $17$ Н
$F_{1} (- 2; 7)$ , $F_{2} (8; 1)$ . $R$ ? $10$ Н
Сила $50$ Н под углом $3 0^{\circ}$ к горизонту. Вертикальная составляющая? $25$ Н
$F = 12$ Н, $s = 5$ м, угол $12 0^{\circ}$ . Работа? $- 30$ Дж

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Почему путь и перемещение — разные величины?
Когда равнодействующая двух сил равна их сумме?
Почему работа — скалярное произведение?

$R^{2} = F_{1}^{2} + F_{2}^{2} + 2 F_{1} F_{2} cos α$

Домашнее задание

Силы $8$ Н и $5$ Н, угол $6 0^{\circ}$ . Найдите $R$ .
Лодка плывёт поперёк реки шириной $90$ м со скоростью $3$ м/с, течение $1$ м/с. Найдите снос.
$F (5; - 2)$ Н, $s (4; 3)$ м. Найдите работу.
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_vektory.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9-033 · Применение векторов для решения задач физики

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R03 «Векторы», 12 ч · урок 7/12 · тип Н
Единицы → слайды	R03.7 «Применение векторов для решения задач физики» → 2, 4–20 · опора на R03.4, R03.5 → 3, 5, 7, 10, 13
Результаты	ПР-6 (векторы, их физический смысл, скалярное произведение) → 2, 4–19 · ПР-1 (тригонометрические функции острого угла) → 6, 12 · ПР-10 (модели реальных задач) → 11, 12, 17
Виды деятельности	«Использовать векторы как направленные отрезки, исследовать геометрический (перемещение) и физический (сила) смыслы векторов» → 4, 5, 9, 11 · «Использовать скалярное произведение векторов» → 5, 7, 13 · «Вычислять сумму … в координатах» → 10, 16, 19
ОГЭ	линия 12 (расчёт по формуле), 15 (треугольники), 19 (верные утверждения) → 18
Вне урока	скалярное произведение — GEOM9-031 · задачи с векторами — GEOM9-032 · практикумы — GEOM9-034, GEOM9-035 · проекции и ускорение — курс физики 9 класса
Время	теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Применение векторов для решения задач физики

Сегодня вы научитесь

Видеть векторы в физике

Находить равнодействующую

Раскладывать силу

Вычислять работу силы

Координаты, длина, скалярное произведение

Перемещение — вектор, путь — число

Векторные величины

Скалярные величины

Силы складываются как векторы

Составляющие силы по осям

Работа — скалярное произведение

План решения физической задачи

Модуль суммы — не сумма модулей

Образец: к телу приложены силы 3 Н и 5 Н, угол между ними 60∘. Найдите модуль равнодействующей.

Сам: найдите модуль равнодействующей

Равнодействующая и равновесие

Образец: F1​(3;1), F2​(−1;4) (в ньютонах). Найдите R, её модуль и силу F3​, при которой тело в равновесии.

Сам

Лодка пересекает реку

Образец: лодка плывёт поперёк реки (v1​=4 м/с), течение v2​=3 м/с, ширина 120 м. Найдите v, время переправы и снос CB.

Сам

Санки тянут за верёвку

Образец: санки тянут за верёвку с силой 40 Н под углом 30∘ к горизонту. Найдите горизонтальную и вертикальную составляющие силы.

Сам

A=Fscosα и A=Fx​sx​+Fy​sy​

Образец: ящик переместили на 8 м силой 50 Н, направленной под углом 60∘ к перемещению. Найдите работу силы.

Сам: найдите работу силы

Неверно → почему → верно

Силы 6 Н и 10 Н, угол 120∘. Тело сместилось на 5 м вдоль второй силы. Найдите R и работу первой силы.

Решение ученика

Решите и сверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9-033 · Применение векторов для решения задач физики

Образец: к телу приложены силы $3$ Н и $5$ Н, угол между ними $6 0^{\circ}$ . Найдите модуль равнодействующей.

Образец: $F_{1} (3; 1)$ , $F_{2} (- 1; 4)$ (в ньютонах). Найдите $R$ , её модуль и силу $F_{3}$ , при которой тело в равновесии.

Образец: лодка плывёт поперёк реки ( $v_{1} = 4$ м/с), течение $v_{2} = 3$ м/с, ширина $120$ м. Найдите $v$ , время переправы и снос $CB$ .

Образец: санки тянут за верёвку с силой $40$ Н под углом $3 0^{\circ}$ к горизонту. Найдите горизонтальную и вертикальную составляющие силы.

$A = F s cos α$ и $A = F_{x} s_{x} + F_{y} s_{y}$

Образец: ящик переместили на $8$ м силой $50$ Н, направленной под углом $6 0^{\circ}$ к перемещению. Найдите работу силы.

Силы $6$ Н и $10$ Н, угол $12 0^{\circ}$ . Тело сместилось на $5$ м вдоль второй силы. Найдите $R$ и работу первой силы.