Векторы · урок 6 из 12

Решение задач с помощью векторов

Геометрия · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R03 · GEOM9-032

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R03 «Векторы» (12 ч), урок 6/12, единица R03.6. Тип урока — Н.
Теория (12,5): титул 0,5 · цели 0,5 · словарь «геометрия → векторы» 2,5 · план метода и середина отрезка 2,5 · средняя линия 2,5 · диагонали ромба 2,5 · сводка 1,5.
Практика (32,5): разминка 2,5 · образцы → сам 2,5 + 3 + 2,5 + 2,5 + 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 3 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: образец 5 (прямоугольник на клетках) и ОГЭ 24 — в ДЗ; доказательства не сокращать.

R03.6

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Переводить условие на язык векторов

середина, параллельность, перпендикулярность, длина, угол (ПР-6)

Раскладывать векторы

по двум неколлинеарным векторам в треугольнике и параллелограмме

Доказывать векторным методом

параллельность отрезков и перпендикулярность прямых (ПР-6)

Вычислять длины и углы

через скалярное произведение и в координатах, в том числе ОГЭ

повторение: R03.1–R03.5

Разминка · устно

Векторы и их координаты

Координаты $a$ и $b$ по рисунку? $a (3; 1)$ , $b (- 1; 2)$
Координаты $a + b$ и $2 a$ ? $(2; 3)$ , $(6; 2)$
Длина $b$ ? $5$
$a \cdot b$ ? Перпендикулярны ли векторы? $- 1$ ; нет
$A B + BC = ?$ $A B - A C = ?$ $A C$ ; $CB$
Чему равен $a \cdot a$ ? $∣ a ∣^{2}$

2,5 мин · практика
Ответы: 1) a(3; 1), b(−1; 2) — считаем клетки от начала до конца стрелки. 2) a + b = (3 − 1; 1 + 2) = (2; 3); 2a = (6; 2). 3) |b| = √(1 + 4) = √5. 4) a · b = 3 · (−1) + 1 · 2 = −1 ≠ 0 — не перпендикулярны (угол тупой, так как произведение отрицательно).
5) Правило треугольника: AB + BC = AC; разность AB − AC = CB (из конца вычитаемого в конец уменьшаемого). 6) Скалярный квадрат равен квадрату длины — главный инструмент для длин сегодня.
Это всё, что нужно для векторного метода: правило треугольника, умножение на число, скалярное произведение (урок GEOM9-031).

R03.6

Векторный метод · словарь

Как перевести геометрию на язык векторов

Геометрический факт	Векторная запись
$A B ∥ C D$ (или на одной прямой)	$A B = k \cdot C D$
$A BC D$ — параллелограмм	$A B = D C$
$M$ — середина $A B$ , $O$ — любая точка	$OM = \frac{1}{2} (O A + OB)$
$A B ⊥ C D$	$A B \cdot C D = 0$
длина отрезка $A B$	$A B^{2} = A B \cdot A B = A B^{2}$
угол между $a$ и $b$	$cos α = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣ ∣ b ∣}$

2,5 мин · теория
Строки открывать по одной, к каждой спросить «почему?»: 1) коллинеарные векторы — признак параллельности (или точки на одной прямой, если есть общая точка); 2) равные векторы AB и DC дают AB ∥ DC и AB = DC — признак параллелограмма (две стороны равны и параллельны); 3) формула середины — докажем на следующем слайде; 4) скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю ⇔ они перпендикулярны; 5–6) из определения скалярного произведения.
Важно: в строке 1 при k ≠ 1 четырёхугольник ABCD — не параллелограмм, а, например, трапеция (|k| — отношение оснований).

R03.6

Векторный метод · план и доказательство

Вектор, проведённый в середину отрезка

План: 1) выбрать два базисных вектора; 2) выразить через них нужные векторы; 3) выполнить действия; 4) перевести ответ обратно на язык геометрии.

Дано:

M

— середина

A B

,

O

— любая точка.
Доказать:

OM = \frac{1}{2} (O A + OB)

.

1

OM = O A + A M

,

OM = OB + BM

правило треугольника

2

A M + BM = 0

равны по длине и противоположно направлены

3

2 OM = O A + OB

сложили два равенства из п. 1

2,5 мин · теория
Сначала план (4 шага) — он пригодится в каждой задаче урока. Затем доказательство: первый щелчок — векторы AM и BM на чертеже (равные половины отмечены чёрточками), второй — OM.
Вопрос классу: где на чертеже точка O? (Любая — хоть внутри, хоть на прямой AB.) Если O совпадает с началом координат, формула даёт координаты середины: x = (x₁ + x₂) / 2 — это вывод формулы из 8 класса.
Ошибка: записать OM = OA + OB (без ½) — это диагональ параллелограмма, она вдвое длиннее.

R03.6

Образец → сам · разложение по двум векторам

Выразите векторы через $a$ и $b$

Образец: $A BC D$ — параллелограмм, $A B = a$ , $A D = b$ , $M$ — середина $C D$ . Выразите $A M$ .

$D M = \frac{1}{2} D C = \frac{1}{2} a$ $D C = A B$

$A M = A D + D M = b + \frac{1}{2} a$ правило треугольника

Сам (тот же параллелограмм)

$N$ — середина $BC$ . Выразите $A N$ . $a + \frac{1}{2} b$
$O$ — точка пересечения диагоналей. Выразите $A O$ и $BO$ . $\frac{1}{2} (a + b)$ ; $\frac{1}{2} (b - a)$
$K \in A D$ , $A K : KD = 2 : 1$ . Выразите $C K$ . $- a - \frac{1}{3} b$

R03.6

Доказательство векторным методом

Средняя линия треугольника

Дано:

M

— середина

A B

,

N

— середина

BC

.
Доказать:

MN ∥ A C

,

MN = \frac{1}{2} A C

.

1

MN = MB + BN

правило треугольника

2

= \frac{1}{2} A B + \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} (A B + BC) = \frac{1}{2} A C

M

и

N

— середины; правило треугольника

3

MN = \frac{1}{2} A C

\Rightarrow

MN ∥ A C

,

MN = \frac{1}{2} A C

векторы коллинеарны; длина — половина

R03.6

Образец → сам · доказательство

Середины сторон четырёхугольника

Образец: $K, L, M, N$ — середины сторон $A BC D$ . Докажите: $K L MN$ — параллелограмм.

$K L = \frac{1}{2} A C$ средняя линия $△ A BC$ (сл. 7)

$NM = \frac{1}{2} A C$ средняя линия $△ A D C$

$K L = NM$ $\Rightarrow$ $K L MN$ — параллелограмм

Сам: план и обоснование

$A B = D C$ . Докажите: $A BC D$ — параллелограмм. $A B ∥ D C$ , $A B = D C$ — признак
$A BC D$ — параллелограмм, $O$ — любая точка. Докажите: $O A + OC = OB + O D$ . обе суммы $= 2 OP$ , $P$ — центр
$MN$ — средняя линия трапеции $A BC D$ . Докажите: $MN = \frac{1}{2} (A D + BC)$ . сложить два пути от $M$ к $N$

3 мин · практика
Образец (теорема Вариньона): KL = ½ AC и NM = ½ AC — средние линии треугольников ABC и ADC. Равные векторы KL и NM ⇒ KL ∥ NM и KL = NM ⇒ KLMN — параллелограмм (признак: две стороны равны и параллельны).
1) Равенство векторов означает: AB ∥ DC (сонаправлены) и AB = DC; точки не на одной прямой ⇒ ABCD — параллелограмм.
2) P — точка пересечения диагоналей, середина AC и BD: OA + OC = 2 OP и OB + OD = 2 OP (формула середины) ⇒ суммы равны.
3) MN = MA + AD + DN и MN = MB + BC + CN. Сложим: 2 MN = (MA + MB) + (AD + BC) + (DN + CN) = AD + BC, так как MA + MB = 0 и DN + CN = 0 (M, N — середины). Отсюда MN ∥ AD ∥ BC и MN = (AD + BC) / 2.
Работа в парах: один пишет план, другой — обоснования. Всем — 1 и 2, сильным — 3.

R03.6

Доказательство · скалярное произведение

Диагонали ромба перпендикулярны

Дано:

A BC D

— ромб,

A B = a

,

A D = b

.
Доказать:

A C ⊥ B D

.

1

A C = a + b

,

B D = b - a

правило параллелограмма; разность векторов

2

A C \cdot B D = (b + a) (b - a) = b^{2} - a^{2}

свойства скалярного произведения

3

= ∣ b ∣^{2} - ∣ a ∣^{2} = 0

у ромба

∣ a ∣ = ∣ b ∣

4

A C ⊥ B D

скалярное произведение ненулевых векторов равно

0

R03.6

Образец → сам · длина через скалярный квадрат

Найдите диагонали параллелограмма

Образец: $∣ a ∣ = 5$ , $∣ b ∣ = 3$ , угол между ними $6 0^{\circ}$ . Найдите $∣ a + b ∣$ и $∣ a - b ∣$ .

$a \cdot b = 5 \cdot 3 \cdot cos 6 0^{\circ} = 7, 5$ определение

$∣ a + b ∣^{2} = 25 + 2 \cdot 7, 5 + 9 = 49$ , $∣ a + b ∣ = 7$

$∣ a - b ∣^{2} = 25 - 15 + 9 = 19$ , $∣ a - b ∣ = 19$

Сам

$∣ a ∣ = 1$ , $∣ b ∣ = 2$ , угол $6 0^{\circ}$ . Найдите $∣ a + b ∣$ . $7$
$∣ a ∣ = ∣ b ∣ = 4$ , угол $12 0^{\circ}$ . Найдите $∣ a - b ∣$ . $43$
В $△ A BC$ : $A B = 4$ , $A C = 6$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите медиану $A M$ . $19$

R03.6

Образец → сам · угол в координатах

Найдите угол треугольника

Образец: $A (1; 1)$ , $B (4; 2)$ , $C (3; 5)$ . Найдите $∠ A$ .

$A B (3; 1)$ , $A C (2; 4)$
конец − начало

$A B \cdot A C = 6 + 4 = 10$

$∣ A B ∣ = 10$ , $∣ A C ∣ = 20$

$cos A = \frac{10}{200} = \frac{2}{2}$

$∠ A = 4 5^{\circ}$

Сам

$A (1; 2)$ , $B (5; 2)$ , $C (3; 4)$ . Найдите $∠ B$ . $4 5^{\circ}$
$A (0; 0)$ , $B (2; 2)$ , $C (- 1; 1)$ . Найдите $∠ A$ . $9 0^{\circ}$
$A (0; 0)$ , $B (4; 0)$ , $C (- 2; 2)$ . Найдите $∠ A$ . $13 5^{\circ}$

R03.6

Образец → сам · вид четырёхугольника

Докажите, что $A BC D$ — прямоугольник

Образец: $A (0; 1)$ , $B (2; 3)$ , $C (5; 0)$ , $D (3; - 2)$ .

$A B (2; 2) = D C (2; 2)$
⇒ $A BC D$ — параллелограмм

$A D (3; - 3)$

$A B \cdot A D = 6 - 6 = 0$
⇒ $∠ A = 9 0^{\circ}$

$A BC D$ — прямоугольник

Сам

При каком $x$ векторы $a (x; 3)$ и $b (2; - 4)$ перпендикулярны? $x = 6$
$A (1; 1)$ , $B (3; 2)$ , $C (x; 0)$ , $∠ B = 9 0^{\circ}$ . Найдите $x$ . $x = 4$
$A (1; 1)$ , $B (2; 4)$ , $C (5; 5)$ , $D (4; 2)$ . Какой это четырёхугольник? ромб

2,5 мин · практика
Образец: AB = DC (равные векторы) ⇒ параллелограмм; AB · AD = 2 · 3 + 2 · (−3) = 0 ⇒ угол A прямой ⇒ параллелограмм с прямым углом — прямоугольник. Проверка: |AB| = 2√2, |AD| = 3√2 — стороны разные, значит не квадрат.
1) 2x − 12 = 0 ⇒ x = 6.
2) BA(−2; −1), BC(x − 3; −2): −2(x − 3) + 2 = 0 ⇒ x = 4. Проверка: BC(1; −2), BA · BC = −2 + 2 = 0 ✓.
3) AB(1; 3) = DC(1; 3) ⇒ параллелограмм; диагонали AC(4; 4), BD(2; −2): 8 − 8 = 0 ⇒ перпендикулярны ⇒ ромб. AB · AD = 1 · 3 + 3 · 1 = 6 ≠ 0 ⇒ не квадрат (|AB| = |AD| = √10).

R03.6

Сводка · что записать

Задача → векторное равенство → вывод

Доказать $∥$ или отношение длин

выразить оба вектора через базис

$MN = k A C$

⇒ $MN ∥ A C$ ,
$MN = ∣ k ∣ \cdot A C$

Доказать $⊥$

перемножить скалярно

$A C \cdot B D = 0$

⇒ $A C ⊥ B D$

Найти длину или угол

скалярный квадрат, косинус

$∣ a + b ∣^{2} = a^{2} + 2 a \cdot b + b^{2}$

в координатах — $x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$

R03.6

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$∣ a + b ∣ = ∣ a ∣ + ∣ b ∣$	длины складываются, только если векторы сонаправлены	$∣ a + b ∣^{2} = a^{2} + 2 a \cdot b + b^{2}$
$A B + CB = A C$	правило треугольника: конец первого — начало второго	$A B + BC = A C$
$A B = 2 D C$ ⇒ $A BC D$ — параллелограмм	коллинеарность даёт только $A B ∥ D C$	нужно $A B = D C$ ; здесь — трапеция
$∠ A$ — угол между $B A$ и $A C$	векторы должны выходить из вершины $A$	$A B$ и $A C$

R03.6

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $∣ a ∣ = 3$ , $∣ b ∣ = 4$ , угол $12 0^{\circ}$ . Найдите $∣ a + b ∣$ .

$a \cdot b = 3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 6$

$∣ a + b ∣^{2} = 9 + 12 + 16 = 37$

$∣ a + b ∣ = 37$

$cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ , $a \cdot b = - 6$
$9 - 12 + 16 = 13$
ответ: $13$

б) $A BC D$ — параллелограмм, $A B = a$ , $A D = b$ , $M$ — середина $BC$ . Найдите $A M$ .

$A M = A B + BM$
$A M = a + \frac{1}{2} a$

$BM = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} b$
$A M = a + \frac{1}{2} b$

в) $A (0; 0)$ , $B (1; 3)$ , $C (3; - 1)$ . Докажите: $∠ A = 9 0^{\circ}$ .

$A B (1; 3)$ , $A C (3; - 1)$

$A B \cdot A C = 1 \cdot 3 + 3 \cdot 1 = 6$

$6 \neq = 0$ ⇒ угол не прямой

$1 \cdot 3 + 3 \cdot (- 1) = 0$
⇒ $∠ A = 9 0^{\circ}$

R03.6

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $a (3; - 1)$ , $b (1; 2)$ . Найдите $a \cdot b$ . $1$
база $∣ a ∣ = 2$ , $∣ b ∣ = 5$ , угол $6 0^{\circ}$ . Найдите $a \cdot b$ . $5$
базаНайдите длину вектора $a (4; - 3)$ . $5$

базаПри каком $k$ векторы $a (2; k)$ и $b (3; - 6)$ перпендикулярны? $k = 1$
база $A BC D$ — параллелограмм, $A B = a$ , $A D = b$ , $O$ — центр. Выразите $D O$ . $\frac{1}{2} (a - b)$
база $A (2; 6)$ , $B (- 4; 0)$ . Найдите координаты середины $A B$ . $(- 1; 3)$

R03.6

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Докажите векторами: если диагонали параллелограмма равны, то он — прямоугольник. $∣ a + b ∣ = ∣ a - b ∣ \Rightarrow a \cdot b = 0$
повыш. $A (0; 0)$ , $B (6; 0)$ , $C (2; 4)$ . Найдите $cos C$ . $\frac{10}{10}$
повыш.В $△ A BC$ : $A B = 5$ , $A C = 3$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите медиану $A M$ . $3, 5$
из жизниРобот проехал $7$ м, повернул на $6 0^{\circ}$ и проехал ещё $8$ м. На каком расстоянии он от старта? $13$ м

2,5 мин · практика
1) AC = a + b, BD = b − a. AC² = a² + 2 a·b + b², BD² = a² − 2 a·b + b². AC = BD ⇒ 4 a·b = 0 ⇒ a ⊥ b ⇒ угол A прямой ⇒ прямоугольник.
2) CA(−2; −4), CB(4; −4): произведение −8 + 16 = 8; |CA| = √20 = 2√5, |CB| = √32 = 4√2; cos C = 8 / (8√10) = 1/√10 = √10/10 ≈ 0,32.
3) AM = ½(AB + AC); AM² = ¼(25 + 2 · 5 · 3 · ½ + 9) = ¼ · 49 ⇒ AM = 7/2 = 3,5.
4) Перемещения — векторы длиной 7 и 8, угол между направлениями 60° (робот повернул на 60°). |a + b|² = 49 + 2 · 7 · 8 · ½ + 64 = 169 ⇒ 13 м. Вопрос: а если повернул на 120°? (49 − 56 + 64 = 57, √57 ≈ 7,5 м.)

R03.6 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15, 19 и 24

Ответ — число или полное доказательство

ОГЭ 15В $△ A BC$ : $A B = 5$ , $A C = 8$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ , используя $BC = A C - A B$ . $7$
ОГЭ 24Докажите, что середины сторон ромба — вершины прямоугольника. $K L ∥ A C$ , $L M ∥ B D$ , $A C ⊥ B D$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Если скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.
Длина суммы двух векторов равна сумме их длин.
Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Ответ: 13

3 мин · практика
15) AB · AC = 5 · 8 · ½ = 20; BC² = AC² − 2 AB·AC + AB² = 64 − 40 + 25 = 49 ⇒ BC = 7. Это вывод теоремы косинусов векторами. В бланк — «7».
24) K, L, M, N — середины AB, BC, CD, DA ромба ABCD. KL = ½ AC и NM = ½ AC ⇒ KLMN — параллелограмм (образец 2). LM = ½ BD (средняя линия △BCD). Диагонали ромба перпендикулярны (сл. 9) ⇒ KL ⊥ LM ⇒ параллелограмм с прямым углом — прямоугольник. На 2 балла — каждое равенство с обоснованием.
19) 1 — верно; 2 — неверно (только для сонаправленных); 3 — верно. Ответ: 13.

R03.6

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$a (2; - 3)$ , $b (4; 1)$ . Найдите $a \cdot b$ . $5$
$∣ a ∣ = 2$ , $∣ b ∣ = 4$ , угол $6 0^{\circ}$ . Найдите $∣ a + b ∣$ . $27$
$A (1; 2)$ , $B (4; 2)$ , $C (4; 5)$ . Найдите $∠ A$ . $4 5^{\circ}$
$A BC D$ — параллелограмм, $A B = a$ , $A D = b$ , $K$ — середина $A D$ . Выразите $B K$ . $\frac{1}{2} b - a$

Вариант 2

$a (- 1; 5)$ , $b (3; 2)$ . Найдите $a \cdot b$ . $7$
$∣ a ∣ = ∣ b ∣ = 3$ , угол $12 0^{\circ}$ . Найдите $∣ a + b ∣$ . $3$
$A (2; 1)$ , $B (2; 4)$ , $C (5; 4)$ . Найдите $∠ A$ . $4 5^{\circ}$
$A BC D$ — параллелограмм, $A B = a$ , $A D = b$ , $K$ — середина $C D$ . Выразите $B K$ . $b - \frac{1}{2} a$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как векторами записать, что $M$ — середина $A B$ ?
Как доказать, что прямые перпендикулярны?
Как найти длину, зная два вектора и угол между ними?

Домашнее задание

$∣ a ∣ = 3$ , $∣ b ∣ = 2$ , угол $6 0^{\circ}$ . Найдите $∣ a - b ∣$ .
$A (1; 1)$ , $B (5; 3)$ , $C (3; 7)$ . Найдите $∠ B$ .
* Докажите векторами: диагонали прямоугольника равны.
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_vektory.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9-032 · Решение задач с помощью векторов

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R03 «Векторы», 12 ч · урок 6/12 · тип Н
Единицы → слайды	R03.6 «Решение задач с помощью векторов» → 2, 4–20 · повторение R03.1–R03.5 → 3
Результаты	ПР-6 (векторы в решении геометрических задач, скалярное произведение для длин и углов) → 2, 4–20 · ПР-10 (модель реальной задачи) → 17
Виды деятельности	«Решать геометрические задачи с использованием векторов» → 5–12, 16–19 · «Применять скалярное произведение для нахождения длин и углов» → 9–12
ОГЭ	линия 15 (треугольники), 19 (верные утверждения), 24 (доказательство) → 18
Вне урока	скалярное произведение — GEOM9-031 · векторы в физике — GEOM9-033 · метод координат — R04
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Решение задач с помощью векторов

Сегодня вы научитесь

Переводить условие на язык векторов

Раскладывать векторы

Доказывать векторным методом

Вычислять длины и углы

Векторы и их координаты

Как перевести геометрию на язык векторов

Вектор, проведённый в середину отрезка

Выразите векторы через a и b

Образец: ABCD — параллелограмм, AB=a, AD=b, M — середина CD. Выразите AM.

Сам (тот же параллелограмм)

Средняя линия треугольника

Середины сторон четырёхугольника

Образец: K,L,M,N — середины сторон ABCD. Докажите: KLMN — параллелограмм.

Сам: план и обоснование

Диагонали ромба перпендикулярны

Найдите диагонали параллелограмма

Образец: ∣a∣=5, ∣b∣=3, угол между ними 60∘. Найдите ∣a+b∣ и ∣a−b∣.

Сам

Найдите угол треугольника

Образец: A(1;1), B(4;2), C(3;5). Найдите ∠A.

Сам

Докажите, что ABCD — прямоугольник

Образец: A(0;1), B(2;3), C(5;0), D(3;−2).

Сам

Задача → векторное равенство → вывод

Доказать ∥ или отношение длин

Доказать ⊥

Найти длину или угол

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) ∣a∣=3, ∣b∣=4, угол 120∘. Найдите ∣a+b∣.

б) ABCD — параллелограмм, AB=a, AD=b, M — середина BC. Найдите AM.

в) A(0;0), B(1;3), C(3;−1). Докажите: ∠A=90∘.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — число или полное доказательство

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9-032 · Решение задач с помощью векторов

Выразите векторы через $a$ и $b$

Образец: $A BC D$ — параллелограмм, $A B = a$ , $A D = b$ , $M$ — середина $C D$ . Выразите $A M$ .

Образец: $K, L, M, N$ — середины сторон $A BC D$ . Докажите: $K L MN$ — параллелограмм.

Образец: $∣ a ∣ = 5$ , $∣ b ∣ = 3$ , угол между ними $6 0^{\circ}$ . Найдите $∣ a + b ∣$ и $∣ a - b ∣$ .

Образец: $A (1; 1)$ , $B (4; 2)$ , $C (3; 5)$ . Найдите $∠ A$ .

Докажите, что $A BC D$ — прямоугольник

Образец: $A (0; 1)$ , $B (2; 3)$ , $C (5; 0)$ , $D (3; - 2)$ .

Доказать $∥$ или отношение длин

Доказать $⊥$

а) $∣ a ∣ = 3$ , $∣ b ∣ = 4$ , угол $12 0^{\circ}$ . Найдите $∣ a + b ∣$ .

б) $A BC D$ — параллелограмм, $A B = a$ , $A D = b$ , $M$ — середина $BC$ . Найдите $A M$ .

в) $A (0; 0)$ , $B (1; 3)$ , $C (3; - 1)$ . Докажите: $∠ A = 9 0^{\circ}$ .