Векторы · урок 5 из 12

Скалярное произведение векторов

Геометрия · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R03 · GEOM9-031

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R03 «Векторы» (12 ч), урок 5/12, единица R03.5 «Скалярное произведение векторов, его применение для нахождения длин и углов». Тип — Н (новый материал). До этого: определение и действия (027), смысл (028), разложение (029), координаты вектора (030).
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Теория (12): сл. 1 титул 1 · 2 цели 1 · 4 угол между векторами 2 · 5 определение 2,5 · 7 теорема в координатах 3 · 8 следствия и свойства 2,5.
Практика (33): 3 разминка 2,5 · 6, 9–12 пять «Образец → сам» по 3 · 13 ошибки 1,5 · 14 найди ошибку 2 · 15 база 3 · 16 повышенный 2 · 17 ОГЭ 2 · 18 самостоятельная 4 · 19 итог 1.
Если не успеваете: задания 3–4 на сл. 16 — в ДЗ; самостоятельную (сл. 18) не сокращать.

R03.5

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Находить угол между векторами

откладывать векторы от одной точки, $0^{\circ} \leq α \leq 18 0^{\circ}$ (ПР-6)

Вычислять скалярное произведение

по длинам и углу и по координатам (ПР-6)

Выводить его свойства

скалярный квадрат, условие перпендикулярности (ПР-6)

Находить длины и углы

в задачах с векторами и в треугольниках (ПР-6)

1 мин · теория
ПР-6: «Пользоваться векторами, понимать их геометрический и физический смысл, применять их в решении геометрических и физических задач. Применять скалярное произведение векторов для нахождения длин и углов».
Вид деятельности строки R03: «Использовать скалярное произведение векторов, выводить его основные свойства… Вычислять… скалярное произведение векторов в координатах. Применять скалярное произведение для нахождения длин и углов».

R03.4 · повторение

Разминка · устно

Координаты вектора и косинусы углов

$a (3; 4)$ . Найдите $∣ a ∣$ . $5$
$a (2; - 1)$ , $b (1; 5)$ . $a + b = ?$ $(3; 4)$
$A (1; 2)$ , $B (4; 6)$ . $A B = ?$ $(3; 4)$
$a (- 1; 3)$ . $2 a = ?$ $(- 2; 6)$

$cos 6 0^{\circ} = ?$ $\frac{1}{2}$
$cos 9 0^{\circ} = ?$ $0$
$cos 12 0^{\circ} = ?$ $- \frac{1}{2}$
Какой угол $α$ от $0^{\circ}$ до $18 0^{\circ}$ , если $cos α = - \frac{2}{2}$ ? $13 5^{\circ}$

R03.5

Определение · угол между векторами

Сначала откладываем векторы от одной точки

Углом между ненулевыми векторами $a$ и $b$ называют угол $∠ A OB$ , где $O A = a$ , $OB = b$ .

$0^{\circ} \leq α \leq 18 0^{\circ}$

сонаправлены
$α = 0^{\circ}$

перпендикулярны
$α = 9 0^{\circ}$

противоположны
$α = 18 0^{\circ}$

2 мин · теория
Чертёж: слева векторы $a$ и $b$ в разных местах плоскости, справа те же векторы (та же длина и направление: $∣ a ∣ : ∣ b ∣ = 230 : 180$ , угол $5 2^{\circ}$ ) отложены от точки $O$ — угол между ними $α$ .
Вопрос классу: может ли угол между векторами быть $20 0^{\circ}$ ? (нет: берём угол $∠ A OB$ , он не больше $18 0^{\circ}$ ). Какой угол между $a$ и $- a$ ? ( $18 0^{\circ}$ .) Между $a$ и $2 a$ ? ( $0^{\circ}$ .)
Важно для сл. 12: если векторы «идут друг за другом» (конец одного — начало другого), угол между ними — не угол фигуры, их сначала откладывают от одной точки.

R03.5

Определение · скалярное произведение

Результат — число, его знак задаёт косинус

$a \cdot b = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣ \cdot cos α$

произведение длин векторов на косинус угла между ними; если $a = 0$ или $b = 0$ , то $a \cdot b = 0$

угол острый

$a \cdot b > 0$

угол прямой

$a \cdot b = 0$

угол тупой

$a \cdot b < 0$

R03.5

Образец → сам · по длинам и углу

Перемножаем длины и косинус угла

Образец: $∣ a ∣ = 4$ , $∣ b ∣ = 3$ , угол между векторами $6 0^{\circ}$ . Найдите $a \cdot b$ .

$a \cdot b = 4 \cdot 3 \cdot cos 6 0^{\circ}$ определение
$= 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$

Сам

$∣ a ∣ = 5$ , $∣ b ∣ = 2$ , угол $12 0^{\circ}$ . Найдите $a \cdot b$ . $- 5$
$a$ и $b$ противоположно направлены, $∣ a ∣ = 2$ , $∣ b ∣ = 6$ . Найдите $a \cdot b$ . $- 12$
$a \cdot b = 12$ , $∣ a ∣ = 4$ , $∣ b ∣ = 6$ . Найдите угол между векторами. $6 0^{\circ}$

R03.5

Теорема · доказательство

Скалярное произведение в координатах

Дано:

a (x_{1}; y_{1})

,

b (x_{2}; y_{2})

. Доказать:

a \cdot b = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}

.

1Отложим от

O

:

O A = a

,

OB = b

, тогда

A B = b - a

правило треугольника для разности

2

A B^{2} = O A^{2} + O B^{2} - 2 O A \cdot OB \cdot cos α

теорема косинусов для

△ O A B

3

∣ b - a ∣^{2} = ∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2} - 2 a \cdot b

определение скалярного произведения

4

(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} = x_{1}^{2} + y_{1}^{2} + x_{2}^{2} + y_{2}^{2} - 2 a \cdot b

длина вектора через координаты

5

- 2 x_{1} x_{2} - 2 y_{1} y_{2} = - 2 a \cdot b

⇒

a \cdot b = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}

раскрыли скобки, сократили квадраты

R03.5

Следствия и свойства

Длина, перпендикулярность, угол — из одной формулы

Скалярный квадрат

$a \cdot a = ∣ a ∣^{2} = x^{2} + y^{2}$

отсюда длина: $∣ a ∣ = a \cdot a$

Перпендикулярность

$a ⊥ b ⟺ a \cdot b = 0$

для ненулевых: $x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = 0$

Косинус угла

$cos α = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣} = \frac{x _{1} x _{2} + y _{1} y _{2}}{x _{1}^{2} + y _{1}^{2} \cdot x _{2}^{2} + y _{2}^{2}}$

Свойства

$a \cdot b = b \cdot a$ , $(k a) \cdot b = k (a \cdot b)$

$(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$

R03.5

Образец → сам · в координатах

Одноимённые координаты перемножаем и складываем

Образец: $a (4; 1)$ , $b (- 2; 3)$ . Найдите $a \cdot b$ и определите вид угла между векторами.

$4 \cdot (- 2) + 1 \cdot 3 = - 5$ $x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$
$- 5 < 0$ ⇒ угол тупойзнак совпадает со знаком $cos α$

Сам

$a (1; 2)$ , $b (4; - 2)$ . Найдите $a \cdot b$ и вид угла. $0$ , прямой
$a (3; - 2)$ , $b (1; 1)$ . Найдите $a \cdot b$ и вид угла. $1$ , острый
При каком $m$ векторы $a (m; 2)$ и $b (3; - 6)$ перпендикулярны? $m = 4$

R03.5

Образец → сам · угол между векторами

Косинус угла — через координаты

Образец: найдите угол между векторами $a (1; 2)$ и $b (3; 1)$ .

$a \cdot b = 3 + 2 = 5$ в координатах
$∣ a ∣ = 5$ , $∣ b ∣ = 10$ $x^{2} + y^{2}$
$cos α = \frac{5}{50} = \frac{2}{2}$ , $α = 4 5^{\circ}$ $50 = 52$

Сам: найдите угол

$a (4; 0)$ , $b (- 2; 2)$ $13 5^{\circ}$
$a (2; 0)$ , $b (1; 3)$ $6 0^{\circ}$
$a (3; 0)$ , $b (- 2; 23)$ $12 0^{\circ}$

R03.5

Образец → сам · длина через скалярный квадрат

Длину суммы находим через скалярный квадрат

Образец: $∣ a ∣ = 3$ , $∣ b ∣ = 5$ , угол между ними $6 0^{\circ}$ . Найдите $∣ a + b ∣$ .

$a \cdot b = 3 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 7, 5$ определение
$∣ a + b ∣^{2} = 9 + 2 \cdot 7, 5 + 25 = 49$ скалярный квадрат суммы
$∣ a + b ∣ = 7$ длина неотрицательна

Сам

$∣ a ∣ = ∣ b ∣ = 4$ , угол $6 0^{\circ}$ . Найдите $∣ a - b ∣$ . $4$
$∣ a ∣ = 3$ , $∣ b ∣ = 4$ , $a ⊥ b$ . Найдите $∣ a + b ∣$ . $5$
$∣ a ∣ = 2$ , $∣ b ∣ = 3$ , $a \cdot b = - 3$ . Найдите $∣ a + b ∣$ . $7$

R03.5

Образец → сам · на готовом чертеже

Векторы «друг за другом» — сначала от одной точки

Образец: $△ A BC$ — равносторонний, сторона $4$ . Найдите $A B \cdot A C$ и $A B \cdot BC$ .

$A B \cdot A C = 4 \cdot 4 \cdot cos 6 0^{\circ} = 8$ векторы из одной точки $A$
угол между $A B$ и $BC$ — $18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}$ продолжили $A B$ за точку $B$
$A B \cdot BC = 16 \cdot (- \frac{1}{2}) = - 8$ $cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$

Сам: $A BC D$ — квадрат, сторона $3$

$A B \cdot A D$ $0$
$A B \cdot A C$ $9$
$A B \cdot C D$ $- 9$

R03.5

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$a \cdot b = (x_{1} x_{2}; y_{1} y_{2})$	скалярное произведение — число	$x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$
$a (3; 1)$ , $b (2; 4)$ : $3 \cdot 1 + 2 \cdot 4$	перемножают одноимённые координаты разных векторов	$3 \cdot 2 + 1 \cdot 4 = 10$
угол между $A B$ и $BC$ равен $∠ B$	векторы не отложены от одной точки	$18 0^{\circ} - ∠ B$
$a \cdot b = 0$ ⇒ один из векторов нулевой	ненулевые векторы тоже дают $0$	$a ⊥ b$

R03.5

Найди ошибку

$a (3; 1)$ , $b (2; 4)$ , $c (m; - 3)$ . Найдите угол между $a$ и $b$ и число $m$ , при котором $a ⊥ c$ .

Решение ученика

$a \cdot b = 3 \cdot 2 + 1 \cdot 4 = 10$
$∣ a ∣ = 10$ , $∣ b ∣ = 2 + 4 = 6$
$cos α = \frac{10}{60} \approx 1, 29$ — такого угла нет
$a ⊥ c$ : $\frac{3}{m} = \frac{1}{- 3}$ , $m = - 9$

Ошибка 1 (шаг 2). Координаты возводят в квадрат: $∣ b ∣ = 4 + 16 = 20$ ;
$cos α = \frac{10}{200} = \frac{2}{2}$ , $α = 4 5^{\circ}$

Ошибка 2 (шаг 4). Это условие коллинеарности. Перпендикулярность: $3 m + 1 \cdot (- 3) = 0$ , $m = 1$

R03.5

Задания с самопроверкой · база

Решите и сверьте

база $∣ a ∣ = 6$ , $∣ b ∣ = 5$ , угол $6 0^{\circ}$ . Найдите $a \cdot b$ . $15$
база $∣ a ∣ = 2$ , $∣ b ∣ = 3$ , угол $15 0^{\circ}$ . Найдите $a \cdot b$ . $- 33$
база $a (2; - 3)$ , $b (4; 1)$ . Найдите $a \cdot b$ . $5$

базаПерпендикулярны ли $a (- 1; 4)$ и $b (8; 2)$ ? да
базаНайдите угол между $a (1; 1)$ и $b (- 1; 0)$ . $13 5^{\circ}$
база $a (6; - 8)$ . Найдите скалярный квадрат $a \cdot a$ . $100$

R03.5 · R03.7

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.При каком $x$ векторы $a (x; 3)$ и $b (4; - 2)$ перпендикулярны? $1, 5$
повыш. $∣ a ∣ = ∣ b ∣ = 2$ , $a \cdot b = - 2$ . Найдите угол между векторами. $12 0^{\circ}$
повыш. $∣ a ∣ = 5$ , $∣ b ∣ = 3$ , угол между ними $12 0^{\circ}$ . Найдите $∣ a - b ∣$ . $7$
из жизниСанки тянут за верёвку силой $50$ Н под углом $6 0^{\circ}$ к горизонту и перемещают на $20$ м. Найдите работу силы $A = F \cdot s$ . $500$ Дж

R03.5 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 18 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 18На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображены векторы $a$ и $b$ . Найдите $a \cdot b$ . $15$
ОГЭ 18По тому же рисунку найдите косинус угла между $a$ и $b$ . $0, 6$
ОГЭ 19Укажите номер верного утверждения. 1) Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю. 2) Скалярное произведение векторов — вектор. 3) Если угол между векторами тупой, их скалярное произведение положительно. 1

R03.5

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$∣ a ∣ = 3$ , $∣ b ∣ = 4$ , угол $6 0^{\circ}$ . Найдите $a \cdot b$ . $6$
$a (2; 5)$ , $b (3; - 1)$ . Найдите $a \cdot b$ . $1$
При каком $m$ $a (m; 2) ⊥ b (4; - 6)$ ? $3$
Угол между $a (1; 0)$ и $b (- 1; 1)$ ? $13 5^{\circ}$

Вариант 2

$∣ a ∣ = 5$ , $∣ b ∣ = 2$ , угол $12 0^{\circ}$ . Найдите $a \cdot b$ . $- 5$
$a (- 3; 4)$ , $b (2; 1)$ . Найдите $a \cdot b$ . $- 2$
При каком $m$ $a (3; m) ⊥ b (2; - 3)$ ? $2$
Угол между $a (0; 2)$ и $b (1; 1)$ ? $4 5^{\circ}$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что получается в результате скалярного произведения — вектор или число?
Как по скалярному произведению узнать, что векторы перпендикулярны?
Как найти длину вектора через скалярный квадрат?

$a \cdot b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos α = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$

Домашнее задание

$a (3; - 1)$ , $b (1; 2)$ . Найдите $a \cdot b$ и угол между векторами.
При каком $k$ векторы $a (k; 4)$ и $b (2; - 1)$ перпендикулярны?
$∣ a ∣ = 1$ , $∣ b ∣ = 2$ , угол $6 0^{\circ}$ . Найдите $∣ a + b ∣$ .
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_skalyarnoe-proizvedenie.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9-031 · Скалярное произведение векторов, его применение для нахождения длин и углов

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R03 «Векторы», 12 ч · урок 5/12 · тип Н (новый материал)
Единицы → слайды	R03.5 «Скалярное произведение векторов, его применение для нахождения длин и углов» → 4–18
Результаты	ПР-6 (векторы; скалярное произведение для нахождения длин и углов) → 2, 4–18
Виды деятельности	«Использовать скалярное произведение векторов, выводить его основные свойства» → 5, 7, 8 · «Вычислять… скалярное произведение векторов в координатах» → 7, 9, 15, 17, 18 · «Применять скалярное произведение для нахождения длин и углов» → 10–12, 16
ОГЭ	линия 18 (клетчатая бумага), 19 (верные утверждения) → 17
Вне урока	координаты вектора — GEOM9-030 · решение задач с помощью векторов — GEOM9-032 · физика (работа силы) — GEOM9-033
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Скалярное произведение векторов

Сегодня вы научитесь

Находить угол между векторами

Вычислять скалярное произведение

Выводить его свойства

Находить длины и углы

Координаты вектора и косинусы углов

Сначала откладываем векторы от одной точки

Результат — число, его знак задаёт косинус

угол острый

угол прямой

угол тупой

Перемножаем длины и косинус угла

Образец: ∣a∣=4, ∣b∣=3, угол между векторами 60∘. Найдите a⋅b.

Сам

Скалярное произведение в координатах

Длина, перпендикулярность, угол — из одной формулы

Скалярный квадрат

Перпендикулярность

Косинус угла

Свойства

Одноимённые координаты перемножаем и складываем

Образец: a(4;1), b(−2;3). Найдите a⋅b и определите вид угла между векторами.

Сам

Косинус угла — через координаты

Образец: найдите угол между векторами a(1;2) и b(3;1).

Сам: найдите угол

Длину суммы находим через скалярный квадрат

Образец: ∣a∣=3, ∣b∣=5, угол между ними 60∘. Найдите ∣a+b∣.

Сам

Векторы «друг за другом» — сначала от одной точки

Образец: △ABC — равносторонний, сторона 4. Найдите AB⋅AC и AB⋅BC.

Сам: ABCD — квадрат, сторона 3

Неверно → почему → верно

a(3;1), b(2;4), c(m;−3). Найдите угол между a и b и число m, при котором a⊥c.

Решение ученика

Решите и сверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9-031 · Скалярное произведение векторов, его применение для нахождения длин и углов

Образец: $∣ a ∣ = 4$ , $∣ b ∣ = 3$ , угол между векторами $6 0^{\circ}$ . Найдите $a \cdot b$ .

Образец: $a (4; 1)$ , $b (- 2; 3)$ . Найдите $a \cdot b$ и определите вид угла между векторами.

Образец: найдите угол между векторами $a (1; 2)$ и $b (3; 1)$ .

Образец: $∣ a ∣ = 3$ , $∣ b ∣ = 5$ , угол между ними $6 0^{\circ}$ . Найдите $∣ a + b ∣$ .

Образец: $△ A BC$ — равносторонний, сторона $4$ . Найдите $A B \cdot A C$ и $A B \cdot BC$ .

Сам: $A BC D$ — квадрат, сторона $3$

$a (3; 1)$ , $b (2; 4)$ , $c (m; - 3)$ . Найдите угол между $a$ и $b$ и число $m$ , при котором $a ⊥ c$ .