Векторы · урок 3 из 12

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Геометрия · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R03 · GEOM9-029

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R03 «Векторы» (12 ч), урок 3/12, единица R03.3. Тип урока — Н.
Теория (12,5): титул 0,5 · цели 0,5 · понятия 1,5 · лемма 2 · теорема (существование) 2,5 · единственность 2 · схема 1,5 · вектор середины отрезка 2.
Практика (32,5): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 3 + 3 + 2,5 + 3 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 18/19 — 2,5 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: повышенный уровень (сл. 18) — в ДЗ по выбору; доказательство теоремы не сокращать.

R03.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Выражать коллинеарные векторы

друг через друга: $a = k b$ — лемма с доказательством

Раскладывать вектор

по двум неколлинеарным: $p = x a + y b$ (ПР-6)

Находить коэффициенты

на клетчатой бумаге, в параллелограмме и треугольнике

Пользоваться единственностью

сравнивать коэффициенты, решать задачи ОГЭ 18–19

повторение: R03.1–R03.2

Разминка · устно

Сложение векторов и умножение на число

$A B + A D = ?$ $A C$ — правило параллелограмма
$A B + BC = ?$ $A C$ — правило треугольника
$A D - A B = ?$ $B D$
Выразите $A O$ через $A C$ . $\frac{1}{2} A C$
Как направлены $A B$ и $C D$ ? противоположно
$∣ a ∣ = 3$ . Найдите $∣ - 2 a ∣$ . $6$

R03.3

Понятия

Коллинеарные и неколлинеарные векторы

Коллинеарные векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

0

коллинеарен любому вектору.

$a$ и $b$ сонаправлены: $a ↑↑ b$

$a$ и $c$ противоположно направлены: $a ↑↓ c$

$m$ и $n$ — неколлинеарные: ни одно $k$ не даёт $m = k n$

R03.3

Лемма · доказательство

Коллинеарные векторы: $a = k b$

Дано:

a

и

b

коллинеарны,

b \neq = 0

.
Доказать: существует число

k

:

a = k b

.

1

a ↑↑ b

: возьмём

k = \frac{∣ a ∣}{∣ b ∣}

k b ↑↑ a

и

∣ k b ∣ = k ∣ b ∣ = ∣ a ∣

2

a ↑↓ b

: возьмём

k = - \frac{∣ a ∣}{∣ b ∣}

k < 0 \Rightarrow k b ↑↑ a

, длины снова равны

3

a = k b

сонаправлены и равной длины; при

a = 0

берём

k = 0

2 мин · теория
Опора — определение произведения вектора на число: $∣ k b ∣ = ∣ k ∣ \cdot ∣ b ∣$ ; при $k > 0$ векторы $k b$ и $b$ сонаправлены, при $k < 0$ — противоположно направлены.
По чертежу: $∣ a ∣ = 5$ клеток-единиц, $∣ b ∣ = 2$ , значит $k = 2, 5$ ; $∣ c ∣ = 3$ , направлен против $b$ , значит $k = - 1, 5$ .
Обратное тоже верно: если $a = k b$ , то $a$ и $b$ коллинеарны (по определению умножения). Это пригодится в задачах «при каком $k$ коллинеарны».
Число $k$ единственно: две разные длины $∣ k ∣ \cdot ∣ b ∣$ не могут обе равняться $∣ a ∣$ .

R03.3

Образец → сам · коллинеарные векторы

Найдите число $k$

Образец: $M \in A B$ , $A M : MB = 2 : 1$ . Выразите $A M$ , $MB$ , $BM$ через $A B$ .

$A M = \frac{2}{3} A B$ сонаправлены, $A M = \frac{2}{3} A B$

$MB = \frac{1}{3} A B$ сонаправлены, $MB = \frac{1}{3} A B$

$BM = - \frac{1}{3} A B$ направлены противоположно

Сам: найдите $k$

$K$ — середина $C D$ , $C K = k C D$ $k = \frac{1}{2}$
$K$ — середина $C D$ , $DK = k C D$ $k = - \frac{1}{2}$
$∣ a ∣ = 6$ , $∣ b ∣ = 4$ , $a ↑↓ b$ , $a = k b$ $k = - 1, 5$

R03.3

Теорема · доказательство

Разложение по двум неколлинеарным векторам

Теорема. Любой вектор

p

можно разложить по неколлинеарным

a

,

b

:

p = x a + y b

.

1Отложим

a

,

b

,

p = OP

от точки

O

вектор откладывается от любой точки

2Через

P

— прямые

∥ b

и

∥ a

: точки

A_{1}

,

B_{1}

a

,

b

неколлинеарны ⇒ прямые пересекаются

3

p = O A_{1} + O B_{1}

правило параллелограмма:

O A_{1} P B_{1}

4

O A_{1} = x a

,

O B_{1} = y b

лемма: векторы коллинеарны

5

p = x a + y b

x

,

y

— коэффициенты разложения

R03.3

Теорема · единственность

Коэффициенты определяются однозначно

Пусть

p = x a + y b

и

p = x_{1} a + y_{1} b

.
Доказать:

x = x_{1}

,

y = y_{1}

.

1

0 = (x - x_{1}) a + (y - y_{1}) b

вычли равенства, свойства действий

2Если

x \neq = x_{1}

:

a = - \frac{y - y _{1}}{x - x _{1}} b

разделили на

x - x_{1} \neq = 0

3Тогда

a

и

b

коллинеарны — противоречие

a = k b

⇒ коллинеарны

4

x = x_{1}

, тогда

(y - y_{1}) b = 0

⇒

y = y_{1}

b \neq = 0

Сравнение коэффициентов

$x a + y b = x_{1} a + y_{1} b$

$⇓$

$x = x_{1}, y = y_{1}$

Работает, только если

a

и

b

неколлинеарны.

R03.3

Схема-конспект

Как выразить один вектор через другие

Коллинеарны, $b \neq = 0$

$a = k b$
$k > 0$ — сонаправлены
$k < 0$ — противоп.
$∣ k ∣ = \frac{∣ a ∣}{∣ b ∣}$

⟶

Неколлинеарны $a$ , $b$

$p = x a + y b$
$x$ , $y$ — коэффициенты разложения
единственны

⟶

Как найти $x$ и $y$

отложить от одной точки
достроить параллелограмм
$x$ , $y$ — по лемме: длина и знак
или цепочкой: правила треугольника и параллелограмма

R03.3

Образец → сам · на клетчатой бумаге

Разложите по $a$ и $b$

Образец: разложите $p$ по $a$ и $b$ .

$2 b$ : 2 клетки вправо, 4 вверх подъём $p$ — только от $b$

остаток: 3 клетки вправо $=$ $1, 5 a$ ⇒ $p = 1, 5 a + 2 b$

Сам: разложите по $a$ , $b$

$c$ $a + b$
$d$ $- a + 2 b$
$e$ $- 2 a$

3 мин · практика
По клеткам: $a$ — 2 вправо; $b$ — 1 вправо, 2 вверх; $p$ — 5 вправо, 4 вверх.
Образец: $a$ горизонтален, поэтому весь подъём $4$ клетки даёт $b$ : $y = 2$ . Тогда $2 b$ — 2 вправо; осталось $5 - 2 = 3$ вправо $= 1, 5 a$ . Проверка: $1, 5 \cdot 2 + 2 \cdot 1 = 5$ , $2 \cdot 2 = 4$ .
Сам: 1) $c$ : 3 вправо, 2 вверх ⇒ $y = 1$ , остаток 2 вправо ⇒ $x = 1$ : $c = a + b$ . 2) $d$ : 0 вправо, 4 вверх ⇒ $y = 2$ , $2 b$ даёт 2 вправо, нужно 0 ⇒ $x = - 1$ : $d = - a + 2 b$ . 3) $e$ : 4 влево ⇒ $e = - 2 a$ (коэффициент при $b$ равен $0$ ).
Ученики проверяют себя достроением параллелограмма или «шагами по клеткам».

R03.3

Образец → сам · в параллелограмме

$A BC D$ — параллелограмм, $A B = a$ , $A D = b$

Образец: $M$ — середина $BC$ . Выразите $A C$ , $A M$ , $M D$ .

$A C = a + b$ правило параллелограмма

$A M = A B + BM = a + \frac{1}{2} b$ $BM = \frac{1}{2} A D$

$M D = MC + C D = \frac{1}{2} b - a$ $C D = - a$

Сам: выразите через $a$ , $b$

$B D$ $b - a$
$A O$ $\frac{1}{2} a + \frac{1}{2} b$
$OB$ $\frac{1}{2} a - \frac{1}{2} b$

R03.3

Образец → сам · обратная задача

Найдите коэффициенты ( $a$ , $b$ неколлинеарны)

Образец а: $(x - 1) a + 4 b = 3 a + 2 y b$ . Найдите $x$ , $y$ .

$x - 1 = 3$ , $4 = 2 y$ сравнение коэффициентов

$x = 4$ , $y = 2$

Образец б: при каком $k$ векторы $k a + 2 b$ и $3 a - b$ коллинеарны?

$k a + 2 b = t (3 a - b)$ лемма

$k = 3 t$ , $2 = - t$ ⇒ $t = - 2$ , $k = - 6$

Сам

$x a + (y + 2) b = 5 a - b$ $x = 5$ , $y = - 3$
$3 a - 2 b = (x + y) a + (x - y) b$ $x = 0, 5$ , $y = 2, 5$
$a + 2 b$ и $k a - 6 b$ коллинеарны. Найдите $k$ . $k = - 3$

R03.3

Полезное разложение · доказательство

Вектор, проведённый в середину отрезка

OM

= \frac{1}{2} (

O A

+

OB

)

Дано:

M

— середина

A B

,

O

— любая точка.
Доказать:

OM = \frac{1}{2} (O A + OB)

.

1

OM = O A + A M

,

OM = OB + BM

правило треугольника

2

2 OM = O A + OB + (A M + BM)

сложили равенства

3

A M + BM = 0

A M = MB

, векторы противоположны

4

OM = \frac{1}{2} (O A + OB)

разделили на 2

R03.3

Образец → сам · в треугольнике

$△ A BC$ , $A B = a$ , $A C = b$

Образец: $K \in BC$ , $B K : K C = 1 : 2$ . Выразите $A K$ .

$BC = b - a$ $A B + BC = A C$

$B K = \frac{1}{3} BC = \frac{1}{3} (b - a)$ лемма: $B K = \frac{1}{3} BC$

$A K = A B + B K = \frac{2}{3} a + \frac{1}{3} b$

Сам: выразите через $a$ , $b$

$M$ — середина $BC$ , $A M$ $\frac{1}{2} a + \frac{1}{2} b$
$N$ — середина $A C$ , $BN$ $- a + \frac{1}{2} b$
$P \in BC$ , $BP : PC = 3 : 1$ , $A P$ $\frac{1}{4} a + \frac{3}{4} b$

R03.3

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
« $p = x a + y b$ для любых $a$ , $b$ »	если $a$ , $b$ коллинеарны, то $x a + y b$ всегда им коллинеарен	раскладываем по неколлинеарным
$A M : MB = 2 : 1$ ⇒ $BM = \frac{1}{3} A B$	$BM$ и $A B$ направлены противоположно	$BM = - \frac{1}{3} A B$
$BC = A B - A C$	разность идёт из конца вычитаемого в конец уменьшаемого	$BC = A C - A B$
$B K : K C = 1 : 2$ ⇒ $B K = \frac{1}{2} BC$	отношение частей — не доля от целого	$B K = \frac{1}{3} BC$

R03.3

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $A BC D$ — параллелограмм, $A B = a$ , $A D = b$ . Выразите $C A$ .

$C A = A B + A D$

$C A = a + b$

это $A C$ , а $C A = - a - b$

б) $b = 2 a$ . Найдите все $x$ , $y$ : $4 a + b = x a + y b$ .

По единственности: $x = 4$ , $y = 1$ , других нет.

$a$ , $b$ коллинеарны — единственности нет: $x + 2 y = 6$ , например $x = 6$ , $y = 0$

в) $△ A BC$ , $M$ — середина $BC$ , $A B = a$ , $A C = b$ . Выразите $A M$ .

$BC = a - b$

$A M = a + \frac{1}{2} (a - b)$

$A M = \frac{3}{2} a - \frac{1}{2} b$

$BC = b - a$ , значит $A M = \frac{1}{2} a + \frac{1}{2} b$

R03.3

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $∣ a ∣ = 2$ , $∣ b ∣ = 10$ , $b ↑↑ a$ . Найдите $k$ : $b = k a$ . $5$
база $M$ — середина $A B$ . Найдите $k$ : $M A = k A B$ . $- 0, 5$
база $a$ , $b$ неколлинеарны, $x a + 2 b = 7 a + y b$ . Найдите $x$ , $y$ . $x = 7$ , $y = 2$

$A BC D$ — параллелограмм, $O$ — точка пересечения диагоналей. Выразите:

база $C A$ $- a - b$
база $D B$ $a - b$
база $O D$ $- \frac{1}{2} a + \frac{1}{2} b$

R03.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Трапеция $A BC D$ , $A D ∥ BC$ , $A D = 3 BC$ , $A B = a$ , $A D = b$ . Выразите $C D$ . $- a + \frac{2}{3} b$
повыш. $M$ — точка пересечения медиан $△ A BC$ , $A B = a$ , $A C = b$ . Выразите $A M$ . $\frac{1}{3} a + \frac{1}{3} b$
повыш. $a$ , $b$ неколлинеарны. При каком $k$ векторы $k a - 6 b$ и $2 a + 3 b$ коллинеарны? $k = - 4$
из жизниФонарь висит на двух тросах. Почему его вес $P$ раскладывается на силы вдоль тросов единственным образом? тросы неколлинеарны ⇒ теорема о разложении

R03.3 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 18 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 18 $p = x a + y b$ . Найдите $x + y$ . $5$
ОГЭ 18Клетка $1 \times 1$ . Найдите $∣ a + 2 b ∣$ . $5$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Любой вектор можно разложить по двум коллинеарным векторам.
Если $a = k b$ , то векторы $a$ и $b$ коллинеарны.
Коэффициенты разложения вектора по двум неколлинеарным векторам определяются единственным образом.

Ответ: 23

R03.3

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

$A BC D$ — параллелограмм, $A B = a$ , $A D = b$ ; в задании 4 векторы $a$ , $b$ неколлинеарны.

Вариант 1

Выразите $B D$ . $b - a$
$K$ — середина $C D$ . Выразите $A K$ . $\frac{1}{2} a + b$
$M \in A B$ , $A M : MB = 3 : 1$ , $M A = k A B$ . Найдите $k$ . $- 0, 75$
$(x + 1) a - 3 b = 4 a + y b$ . Найдите $x$ , $y$ . $x = 3$ , $y = - 3$

Вариант 2

Выразите $C A$ . $- a - b$
$K$ — середина $BC$ . Выразите $DK$ . $a - \frac{1}{2} b$
$M \in A B$ , $A M : MB = 2 : 3$ , $BM = k A B$ . Найдите $k$ . $- 0, 6$
$2 a + (y - 1) b = (x - 2) a + 5 b$ . Найдите $x$ , $y$ . $x = 4$ , $y = 6$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда $a = k b$ и какой знак у $k$ ?
По каким векторам можно разложить любой вектор?
Почему коэффициенты разложения единственны?
Как разложить вектор на клетчатой бумаге?

Домашнее задание

$A BC D$ — параллелограмм, $A B = a$ , $A D = b$ , $M$ — середина $A D$ . Выразите $CM$ .
$x a + 3 b = - 2 a + (y + 1) b$ . Найдите $x$ , $y$ .
* $△ A BC$ , $K \in A C$ , $A K : K C = 2 : 3$ . Выразите $B K$ через $A B = a$ , $A C = b$ .
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_vektory.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9-029 · Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R03 «Векторы», 12 ч · урок 3/12 · тип Н
Единицы → слайды	R03.3 «Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам» → 2, 4–21 · повторение R03.1–R03.2 → 3
Результаты	ПР-6 (пользоваться векторами, применять их в решении геометрических и физических задач) → 4–21 · EL-6.5, REQ-6.6
Вне урока	координаты вектора — GEOM9-030 (R03.4); скалярное произведение — R03.5; применение векторов в физике — R03.7
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Сегодня вы научитесь

Выражать коллинеарные векторы

Раскладывать вектор

Находить коэффициенты

Пользоваться единственностью

Сложение векторов и умножение на число

Коллинеарные и неколлинеарные векторы

Коллинеарные векторы: a=kb

Найдите число k

Образец: M∈AB, AM:MB=2:1. Выразите AM, MB, BM через AB.

Сам: найдите k

Разложение по двум неколлинеарным векторам

Коэффициенты определяются однозначно

Сравнение коэффициентов

Как выразить один вектор через другие

Коллинеарны, b=0

Неколлинеарны a, b

Как найти x и y

Разложите по a и b

Образец: разложите p​ по a и b.

Сам: разложите по a, b

ABCD — параллелограмм, AB=a, AD=b

Образец: M — середина BC. Выразите AC, AM, MD.

Сам: выразите через a, b

Найдите коэффициенты (a, b неколлинеарны)

Образец а: (x−1)a+4b=3a+2yb. Найдите x, y.

Образец б: при каком k векторы ka+2b и 3a−b коллинеарны?

Сам

Вектор, проведённый в середину отрезка

△ABC, AB=a, AC=b

Образец: K∈BC, BK:KC=1:2. Выразите AK.

Сам: выразите через a, b

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) ABCD — параллелограмм, AB=a, AD=b. Выразите CA.

б) b=2a. Найдите все x, y: 4a+b=xa+yb.

в) △ABC, M — середина BC, AB=a, AC=b. Выразите AM.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9-029 · Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Коллинеарные векторы: $a = k b$

Найдите число $k$

Образец: $M \in A B$ , $A M : MB = 2 : 1$ . Выразите $A M$ , $MB$ , $BM$ через $A B$ .

Сам: найдите $k$

Коллинеарны, $b \neq = 0$

Неколлинеарны $a$ , $b$

Как найти $x$ и $y$

Разложите по $a$ и $b$

Образец: разложите $p$ по $a$ и $b$ .

Сам: разложите по $a$ , $b$

$A BC D$ — параллелограмм, $A B = a$ , $A D = b$

Образец: $M$ — середина $BC$ . Выразите $A C$ , $A M$ , $M D$ .

Сам: выразите через $a$ , $b$

Найдите коэффициенты ( $a$ , $b$ неколлинеарны)

Образец а: $(x - 1) a + 4 b = 3 a + 2 y b$ . Найдите $x$ , $y$ .

Образец б: при каком $k$ векторы $k a + 2 b$ и $3 a - b$ коллинеарны?

$△ A BC$ , $A B = a$ , $A C = b$

Образец: $K \in BC$ , $B K : K C = 1 : 2$ . Выразите $A K$ .

Сам: выразите через $a$ , $b$

а) $A BC D$ — параллелограмм, $A B = a$ , $A D = b$ . Выразите $C A$ .

б) $b = 2 a$ . Найдите все $x$ , $y$ : $4 a + b = x a + y b$ .

в) $△ A BC$ , $M$ — середина $BC$ , $A B = a$ , $A C = b$ . Выразите $A M$ .