Векторы · урок 2 из 12

Физический и геометрический смысл векторов

Геометрия · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R03 · GEOM9-028

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R03 «Векторы» (12 ч), урок 2/12, единица R03.2 «Физический и геометрический смысл векторов». Тип урока — Н.
Теория (13): титул 0,5 · цели 0,5 · вектор = перенос 2 · сложение перемещений 1,5 · векторные и скалярные величины 1,5 · равнодействующая 2 · вывод формулы 2 · скорости и умножение на число 1,5 · схема-конспект 1,5.
Практика (32): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2 · из жизни 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: задачу из жизни (баржа) и задание 4 повышенного уровня — в ДЗ; вывод формулы равнодействующей не сокращать.

R03.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Видеть в векторе перемещение

параллельный перенос, путь и перемещение (ПР-6)

Изображать силу вектором

отличать векторные величины от скалярных (ПР-6)

Находить равнодействующую

по правилу параллелограмма и теореме косинусов

Складывать скорости

и решать задачи физики с помощью векторов (ПР-10)

0,5 мин · теория
ПР-6: «Пользоваться векторами, понимать их геометрический и физический смысл, применять их в решении геометрических и физических задач». ПР-10: строить математические модели для задач реальной жизни.
Виды деятельности ФРП R03: «Использовать векторы как направленные отрезки, исследовать геометрический (перемещение) и физический (сила) смыслы векторов… исследовать геометрический и физический смыслы этих операций».

повторение: урок 1

Разминка · устно

Действия с векторами в параллелограмме

$A B + BC = ?$ $A C$ — правило треугольника
$A B + A D = ?$ $A C$ — правило параллелограмма
$A C - A B = ?$ $BC$
Какой вектор равен $BC$ ? $A D$
Вектор, противоположный $C D$ ? $D C = A B$
$∣ a ∣ = 3$ . Чему равна $∣ - 2 a ∣$ ? $6$
Как направлены $a$ и $- 3 a$ ? противоположно

R03.2

Геометрический смысл · перемещение

Вектор задаёт параллельный перенос

Вектор

a

переносит каждую точку на одно и то же расстояние

∣ a ∣

в одном направлении.

A A^{'} = B B^{'} = C C^{'} = a

$△ A^{'} B^{'} C^{'}$ — образ $△ A BC$ : фигура не меняется, только сдвигается.

R03.2

Геометрический смысл · сумма

Два перемещения подряд — одно перемещение

Из

A

в

B

, затем из

B

в

C

— то же, что сразу из

A

в

C

:

A B + BC = A C

.

$∣ a ∣ = 5$ , $∣ b ∣ = 5$ (3 и 4 клетки — т. Пифагора)

Путь: $5 + 5 = 10$ , перемещение: $∣ A C ∣ = 8$

путь

⩾

модуль перемещения

R03.2

Образец → сам · перемещение на клетчатой бумаге

Куда приехал робот?

Образец: робот из $O$ — 5 м на восток, 3 м на север, 1 м на запад. Найдите перемещение и путь.

$s = a + b + c$ цепочка перемещений

$s$ : 4 м на восток, 3 м на север $5 - 1 = 4$

$∣ s ∣ = 4^{2} + 3^{2} = 5$ м, путь $5 + 3 + 1 = 9$ м

Сам: нарисуйте в тетради

8 м на восток, затем 6 м на север. $∣ s ∣$ и путь? $10$ м и $14$ м
7 м на север, 3 м на восток, 3 м на юг. $∣ s ∣$ ? $5$ м (путь $13$ м)
После четырёх перемещений робот вернулся в $O$ . Чему равна их сумма? $0$ , $∣ s ∣ = 0$

R03.2

Физический смысл · векторные величины

Число и направление — или только число

Векторные: число и направление

перемещение $s$
скорость $v$
ускорение $a$
сила $F$

Скалярные: только число

путь
время
масса
температура

Длина стрелки в масштабе — модуль силы, стрелка — направление, начало — точка приложения.

R03.2

Физический смысл · сумма сил

Равнодействующая — по правилу параллелограмма

Две силы, приложенные к точке

O

, заменяет одна:

R = F_{1} + F_{2}

.

сонаправлены

$R = F_{1} + F_{2}$

противоположны

$R = ∣ F_{1} - F_{2} ∣$

перпендикулярны

$R = F_{1}^{2} + F_{2}^{2}$

В общем случае $R < F_{1} + F_{2}$ : силы «мешают» друг другу.

R03.2

Образец → сам · перпендикулярные силы

Найдите равнодействующую

Образец: $F_{1} ⊥ F_{2}$ , $F_{1} = 8$ Н, $F_{2} = 6$ Н. Найдите $R$ .

параллелограмм сил — прямоугольник угол $9 0^{\circ}$

$R$ — его диагональ: $R^{2} = 8^{2} + 6^{2} = 100$ т. Пифагора

$R = 10$ Н

Сам

$F_{1} ⊥ F_{2}$ , $F_{1} = 5$ Н, $F_{2} = 12$ Н. $R$ ? $13$ Н
Две силы по $4$ Н, угол $9 0^{\circ}$ . $R$ ? $42 \approx 5, 7$ Н
$F_{1} ⊥ F_{2}$ , $R = 25$ Н, $F_{1} = 7$ Н. Найдите $F_{2}$ . $24$ Н

R03.2

Вывод · равнодействующая под углом

Модуль суммы двух сил под углом $φ$

Дано:

O A = F_{1}

,

OB = F_{2}

,

∠ A OB = φ

.
Найти:

R = ∣ OC ∣

,

O A CB

— параллелограмм.

1

A C = OB = F_{2}

противоположные стороны параллелограмма

2

∠ O A C = 18 0^{\circ} - φ

односторонние углы при

OB ∥ A C

3

R^{2} = F_{1}^{2} + F_{2}^{2} - 2 F_{1} F_{2} cos (18 0^{\circ} - φ)

теорема косинусов в

△ O A C

4

R^{2} = F_{1}^{2} + F_{2}^{2} + 2 F_{1} F_{2} cos φ

cos (18 0^{\circ} - φ) = - cos φ

R03.2

Образец → сам · силы под углом

Применяем формулу

Образец: $F_{1} = 5$ Н, $F_{2} = 3$ Н, угол между силами $6 0^{\circ}$ . Найдите $R$ .

$R^{2} = 25 + 9 + 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot cos 6 0^{\circ}$ формула

$R^{2} = 34 + 30 \cdot \frac{1}{2} = 49$ $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$

$R = 7$ Н

Сам

Две силы по $10$ Н, угол $12 0^{\circ}$ . $R$ ? $10$ Н
$F_{1} = 5$ Н, $F_{2} = 3$ Н, угол $12 0^{\circ}$ . $R$ ? $19 \approx 4, 4$ Н
Две силы по $6$ Н, угол $6 0^{\circ}$ . $R$ ? $63 \approx 10, 4$ Н

R03.2

Физический смысл · скорость и число

Сложение скоростей и умножение на число

v

=

v_{л}

+

v_{т}

$k > 0$ — то же направление, $k < 0$ — противоположное; длина в $∣ k ∣$ раз больше.

s = t v

,

F = m a

R03.2

Образец → сам · лодка и река

Переправа через реку

Образец: ширина реки $120$ м. Лодка плывёт перпендикулярно берегу, $v_{л} = 4$ м/с, течение $v_{т} = 3$ м/с. Найдите $v$ , время и снос.

$v = 4^{2} + 3^{2} = 5$ м/с $v_{л} ⊥ v_{т}$

$t = 120 : 4 = 30$ с поперёк реки везёт только $v_{л}$

снос $= 3 \cdot 30 = 90$ м течение за то же время

проверка: $5 \cdot 30 = 150 = 12 0^{2} + 9 0^{2}$ м

Сам

$v_{л} = 2, 4$ м/с поперёк, $v_{т} = 1$ м/с. $v$ ? $2, 6$ м/с
Ширина $60$ м, $v_{л} = 3$ м/с поперёк, $v_{т} = 2$ м/с. Время и снос? $20$ с, $40$ м
$v_{л} = 5$ м/с, $v_{т} = 2$ м/с. Скорость по течению и против? $7$ м/с и $3$ м/с

R03.2

Схема-конспект

Действие → геометрия → физика

Действие	Геометрический смысл	Физический смысл
вектор $A B$	перенос точки $A$ в точку $B$	перемещение, сила, скорость
$a + b$	два переноса подряд	равнодействующая, сложение скоростей
$a - b$	вектор из конца $b$ в конец $a$	скорость одного тела относительно другого
$k a$	растяжение в $∣ k ∣$ раз, при $k < 0$ — разворот	$s = t v$ , $F = m a$
$0$	точка остаётся на месте	равновесие: $F_{1} + F_{2} + \dots = 0$

R^{2} = F_{1}^{2} + F_{2}^{2} + 2 F_{1} F_{2} cos φ

R03.2

Образец → сам · равновесие трёх сил

Какая сила уравновешивает две другие?

Образец: тело в покое; $F_{1} = 6$ Н на восток, $F_{2} = 8$ Н на север. Найдите $F_{3}$ .

$F_{1} + F_{2} + F_{3} = 0$ равновесие

$F_{3} = - (F_{1} + F_{2}) = - R$ противоположный вектор

$F_{3} = R = 36 + 64 = 10$ Н, против $R$

Сам

$F_{1} = 3$ Н, $F_{2} = 4$ Н, $F_{1} ⊥ F_{2}$ , тело в покое. $F_{3}$ ? $5$ Н
Две силы по $5$ Н под углом $12 0^{\circ}$ уравновешены третьей. $F_{3}$ ? $5$ Н
Фонарь весом $20$ Н висит на двух тросах, угол между ними $12 0^{\circ}$ , натяжения равны. Натяжение троса? $20$ Н

R03.2

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$F_{1} ⊥ F_{2}$ : $R = 3 + 4 = 7$ Н	модули складываются, только если силы сонаправлены	$R = 9 + 16 = 5$ Н
«Путь равен модулю перемещения»	путь — длина траектории, скаляр	путь $⩾ ∣ s ∣$
$R^{2} = F_{1}^{2} + F_{2}^{2} - 2 F_{1} F_{2} cos φ$	в $△ O A C$ угол $18 0^{\circ} - φ$ , а не $φ$	$R^{2} = F_{1}^{2} + F_{2}^{2} + 2 F_{1} F_{2} cos φ$
«Скорость $60$ км/ч — вектор»	это только модуль, направления нет	вектор: $60$ км/ч на север

R03.2

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Две силы по $10$ Н, угол $12 0^{\circ}$ . Найдите $R$ .

$R^{2} = 100 + 100 - 200 cos 12 0^{\circ} = 300$

$R = 103$ Н

знак « $+$ »: $R^{2} = 200 - 100 = 100$ , $R = 10$ Н

б) Река $30$ м, $v_{л} = 3$ м/с поперёк, течение $4$ м/с. Время?

$v = 5$ м/с

$t = 30 : 5 = 6$ с

поперёк везёт только $v_{л}$ : $t = 30 : 3 = 10$ с

в) Робот: $6$ м на север, $6$ м на юг, $8$ м на восток. $∣ s ∣$ ?

$∣ s ∣ = 6 + 6 + 8 = 20$ м

$s$ — $8$ м на восток, $∣ s ∣ = 8$ м; $20$ м — путь

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Ученик взял теорему косинусов с углом φ = 120° вместо 180° − φ = 60°: 300 — это квадрат модуля разности сил. Верно: R² = 100 + 100 + 200·(−½) = 100, R = 10 Н.
б) Скорость v = 5 м/с найдена верно, но лодка движется по диагонали: 5·t — это путь по диагонали, а не ширина. t = 30 : 3 = 10 с (снос 40 м, путь 50 м).
в) Север и юг взаимно уничтожаются: s = 8 м на восток. 20 м — путь.

R03.2

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаСилы $7$ Н и $5$ Н сонаправлены. $R$ ? $12$ Н
базаСилы $7$ Н и $5$ Н противоположны. $R$ ? $2$ Н
базаСилы $9$ Н и $12$ Н перпендикулярны. $R$ ? $15$ Н

базаСамолёт $300$ км/ч, попутный ветер $40$ км/ч. Скорость над землёй? $340$ км/ч
база $∣ v ∣ = 4$ м/с. Модуль перемещения $s = 3 v$ ? $12$ м
базаЧто из списка — векторы: масса, сила, путь, скорость? сила, скорость

R03.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Силы $5$ Н и $16$ Н, угол между ними $6 0^{\circ}$ . Найдите $R$ . $19$ Н
повыш.Две равные силы $F$ дают равнодействующую тоже $F$ . Найдите угол между ними. $12 0^{\circ}$
повыш. $R = 14$ Н, $F_{1} = 6$ Н, $F_{2} = 10$ Н. Найдите угол между силами. $6 0^{\circ}$
из жизниСамолёт держит курс на север, $240$ км/ч; ветер дует на восток, $70$ км/ч. Скорость над землёй? $250$ км/ч

R03.2 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 18 и 19

Ответ — число или номера утверждений

ОГЭ 18Клетка $1 \times 1$ . Найдите длину вектора $a + b$ . $10$
ОГЭ 18Найдите длину вектора $b - a$ . $6$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Равнодействующая двух сил всегда больше каждой из них.
Путь тела не меньше модуля его перемещения.
Модуль суммы сонаправленных векторов равен сумме их модулей.

Ответ: 23

R03.2 · ПР-10

Задача из жизни

Два буксира тянут баржу

Тросы образуют угол $6 0^{\circ}$ , каждый тянет с силой $5$ кН. С какой силой тянут баржу?

$R^{2} = 25 + 25 + 50 \cdot \frac{1}{2} = 75$

$R = 53 \approx 8, 7$ кН, а не $10$ кН

Если угол $12 0^{\circ}$ ? $5$ кН

R03.2

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Силы $6$ Н и $9$ Н сонаправлены. $R$ ? $15$ Н
Силы $15$ Н и $20$ Н перпендикулярны. $R$ ? $25$ Н
Силы $7$ Н и $8$ Н, угол $6 0^{\circ}$ . $R$ ? $13$ Н
Река $80$ м, $v_{л} = 4$ м/с поперёк, течение $3$ м/с. Снос? $60$ м

Вариант 2

Силы $6$ Н и $9$ Н противоположны. $R$ ? $3$ Н
Силы $8$ Н и $15$ Н перпендикулярны. $R$ ? $17$ Н
Силы $3$ Н и $8$ Н, угол $12 0^{\circ}$ . $R$ ? $7$ Н
Река $100$ м, $v_{л} = 5$ м/с поперёк, течение $2$ м/с. Снос? $40$ м

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чем путь отличается от перемещения?
Как найти равнодействующую двух сил?
Когда $R = F_{1} + F_{2}$ ?

Домашнее задание

Силы $20$ Н и $21$ Н перпендикулярны. Найдите $R$ .
Силы $5$ Н и $8$ Н, угол $12 0^{\circ}$ . Найдите $R$ .
* Лодка ( $5$ м/с) идёт строго поперёк реки, течение $3$ м/с. Её скорость относительно берега?
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_vektory.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9-028 · Физический и геометрический смысл векторов

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R03 «Векторы», 12 ч · урок 2/12 · тип Н
Единицы → слайды	R03.2 «Физический и геометрический смысл векторов» → 2, 4–23 · повторение R03.1 (действия с векторами) → 3
Результаты	ПР-6 = REQ-6.6 (геометрический и физический смысл векторов, задачи физики) → 2, 4–23 · ПР-10 = REQ-6.10 (модели реальных задач) → 13, 15, 19, 21 · опора на ПР-3 (теорема косинусов) → 10, 11 · EL-6.5 → 4–5, 8, 12, 14
Виды деятельности	«исследовать геометрический (перемещение) и физический (сила) смыслы векторов» → 4–7 · «исследовать геометрический и физический смыслы этих операций» → 5, 8, 10, 12, 14
ОГЭ	линия 18 (клетчатая бумага) → 6, 20 · линия 19 (утверждения) → 20
Вне урока	определение и действия с векторами — GEOM9-027 · разложение вектора — GEOM9-029 · координаты вектора — GEOM9-030 · применение векторов в физике — R03.7 · параллельный перенос как движение — R06
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Физический и геометрический смысл векторов

Сегодня вы научитесь

Видеть в векторе перемещение

Изображать силу вектором

Находить равнодействующую

Складывать скорости

Действия с векторами в параллелограмме

Вектор задаёт параллельный перенос

Два перемещения подряд — одно перемещение

Куда приехал робот?

Образец: робот из O — 5 м на восток, 3 м на север, 1 м на запад. Найдите перемещение и путь.

Сам: нарисуйте в тетради

Число и направление — или только число

Векторные: число и направление

Скалярные: только число

Равнодействующая — по правилу параллелограмма

сонаправлены

противоположны

перпендикулярны

Найдите равнодействующую

Образец: F1​⊥F2​, F1​=8 Н, F2​=6 Н. Найдите R.

Сам

Модуль суммы двух сил под углом φ

Применяем формулу

Образец: F1​=5 Н, F2​=3 Н, угол между силами 60∘. Найдите R.

Сам

Сложение скоростей и умножение на число

Переправа через реку

Образец: ширина реки 120 м. Лодка плывёт перпендикулярно берегу, vл​=4 м/с, течение vт​=3 м/с. Найдите v, время и снос.

Сам

Действие → геометрия → физика

Какая сила уравновешивает две другие?

Образец: тело в покое; F1​=6 Н на восток, F2​=8 Н на север. Найдите F3​.

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Две силы по 10 Н, угол 120∘. Найдите R.

б) Река 30 м, vл​=3 м/с поперёк, течение 4 м/с. Время?

в) Робот: 6 м на север, 6 м на юг, 8 м на восток. ∣s∣?

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — число или номера утверждений

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Два буксира тянут баржу

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9-028 · Физический и геометрический смысл векторов

Образец: робот из $O$ — 5 м на восток, 3 м на север, 1 м на запад. Найдите перемещение и путь.

Образец: $F_{1} ⊥ F_{2}$ , $F_{1} = 8$ Н, $F_{2} = 6$ Н. Найдите $R$ .

Модуль суммы двух сил под углом $φ$

Образец: $F_{1} = 5$ Н, $F_{2} = 3$ Н, угол между силами $6 0^{\circ}$ . Найдите $R$ .

Образец: ширина реки $120$ м. Лодка плывёт перпендикулярно берегу, $v_{л} = 4$ м/с, течение $v_{т} = 3$ м/с. Найдите $v$ , время и снос.

Образец: тело в покое; $F_{1} = 6$ Н на восток, $F_{2} = 8$ Н на север. Найдите $F_{3}$ .

а) Две силы по $10$ Н, угол $12 0^{\circ}$ . Найдите $R$ .

б) Река $30$ м, $v_{л} = 3$ м/с поперёк, течение $4$ м/с. Время?

в) Робот: $6$ м на север, $6$ м на юг, $8$ м на восток. $∣ s ∣$ ?