Векторы · урок 1 из 12

Векторы: сложение, вычитание, умножение на число

Геометрия · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R03 · GEOM9-027

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %), итого 45 мин.
Паспорт: R03 «Векторы» (12 ч), урок 1/12, единица R03.1. Тип урока — Н.
Теория (13,5): титул 0,5 · цели 0,5 · определение 1,5 · коллинеарные 1 · равные 1 · правило треугольника 1,5 · правило параллелограмма (доказательство) 2 · правило многоугольника 1 · разность 2 · умножение на число 1,5 · сводка 1.
Практика (31,5): разминка 2 · образцы → сам 2 + 2 + 2,5 + 2 + 2,5 + 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2 · самостоятельная 5 · итог 1.
Если не успеваете: образец 6 (выражение через два вектора) — в ДЗ, задания «сам» к нему разобрать в начале следующего урока; определения и правила не сокращать.

R03.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Узнавать векторы

длина, коллинеарные, сонаправленные, равные векторы (ПР-6)

Складывать векторы

по правилам треугольника, параллелограмма и многоугольника

Вычитать векторы

строить разность $a - b$ и противоположный вектор

Умножать на число

находить длину и направление $k a$ , выражать векторы через данные

повторение: 8 класс

Разминка · устно

Параллелограмм, средняя линия, диагонали

$A BC D$ — параллелограмм, $A B = 7$ . $C D$ ? $7$
Какая сторона параллельна $BC$ ? $A D$
$A C = 12$ . Чему равно $A O$ ? $6$
В $△ A BC$ $A C = 10$ . Средняя линия $MN ∥ A C$ ? $5$
Диагональ прямоугольника $6 \times 8$ ? $10$
Ромб: сторона $4$ , угол $6 0^{\circ}$ . Меньшая диагональ? $4$
«Машина едет $60$ км/ч». Где она будет через час? нужно знать ещё направление

2 мин · практика
1) CD = AB = 7 (противоположные стороны параллелограмма равны). 2) BC ∥ AD. 3) Диагонали точкой пересечения делятся пополам: AO = 6.
4) Средняя линия равна половине стороны и параллельна ей: 5. 5) √(36 + 64) = 10. 6) Треугольник ABD равносторонний (AB = AD, ∠A = 60°) ⇒ BD = 4.
7) Проблема урока: есть величины, для которых важны и число, и направление (скорость, сила, перемещение). Их изображают векторами.
Все факты разминки понадобятся сегодня: правило параллелограмма, разность векторов, средняя линия.

R03.1

Определение · вектор и его длина

Вектор — направленный отрезок

Вектор — отрезок, у которого указано, какой конец — начало, какой — конец.

A B

,

a

обозначения

∣ A B ∣ = A B

длина (модуль)

MM = 0

,

∣ 0 ∣ = 0

нулевой вектор

R03.1

Определение · коллинеарные векторы

Коллинеарные, сонаправленные, противоположные

Коллинеарные — лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

a ↑↑ b

сонаправлены

a ↑↓ c

противоположно направлены

d

не коллинеарен

a

. Нулевой вектор коллинеарен любому.

R03.1

Определение · равные векторы

Равные векторы и откладывание от точки

Равные векторы: сонаправлены и имеют равные длины.

a = b ⟺ a ↑↑ b, ∣ a ∣ = ∣ b ∣

От любой точки

M

можно отложить вектор, равный

a

, и только один.

MN = A B

A BNM

— параллелограмм

R03.1

Образец → сам · векторы на чертеже

Равные и противоположные векторы в параллелограмме

Образец: $A BC D$ — параллелограмм, $O$ — точка пересечения диагоналей. Найдите вектор, равный $A B$ ; равный $A O$ .

$A B = D C$ $A B ∥ D C$ , $A B = D C$ , сонаправлены

$A O = OC$ $O$ — середина $A C$

Сам: по тому же чертежу

Вектор, равный $BO$ $O D$
Вектор, равный $CB$ $D A$
Верно ли, что $A B = C D$ ? нет: $A B ↑↓ C D$

R03.1

Правило · сложение векторов

Правило треугольника

От точки

A

отложим

A B = a

, от точки

B

—

BC = b

. Вектор

A C

— сумма

a + b

.

A B + BC = A C

для любых точек

A

,

B

,

C

R03.1

Теорема · доказательство

Правило параллелограмма: $a + b = b + a$

Дано:

a

,

b

не коллинеарны. Доказать:

a + b = b + a

.

1

A B = a

,

A D = b

; строим параллелограмм

A BC D

откладывание вектора от точки

2

BC = b

,

D C = a

противоположные стороны параллельны и равны

3

a + b = A B + BC = A C

правило треугольника

4

b + a = A D + D C = A C

значит,

a + b = b + a

; также

(a + b) + c = a + (b + c)

2 мин · теория
Правило параллелограмма: отложим оба вектора от одной точки A и построим на них параллелограмм; сумма — диагональ из общего начала: $A B + A D = A C$ .
На каждом шаге — вопрос классу «почему?». Цвет векторов на чертеже совпадает с цветом в строках.
Сочетательный закон доказывается так же правилом треугольника (A, B, C, D — концы последовательно отложенных векторов): обе части равны $A D$ . Ещё: $a + 0 = a$ .
Для коллинеарных векторов правило параллелограмма не работает (параллелограмма нет) — пользуемся правилом треугольника.

R03.1

Правило · несколько векторов

Правило многоугольника

Векторы откладываем «цепочкой»: конец каждого — начало следующего.

A_{1} A_{2} + A_{2} A_{3} + A_{3} A_{4} + A_{4} A_{5} = A_{1} A_{5}

Цепочка замкнулась — сумма равна нулю:

A B + BC + C A = 0

.

R03.1

Образец → сам · упростите сумму

Соберите цепочку и найдите сумму

Образец: упростите $MN + K M + NP$ .

$= K M + MN + NP$ переставили слагаемые

цепочка $K \to M \to N \to P$ конец каждого — начало следующего

$= K P$ правило многоугольника

Сам: упростите

$A B + BC + C A$ $0$
$PQ + RP$ $RQ$
$A B + C D + BC + D E$ $A E$

R03.1

Образец → сам · длина суммы

Найдите длину суммы векторов

Образец: $A BC D$ — прямоугольник, $A B = 3$ , $A D = 4$ . Найдите $∣ A B + A D ∣$ .

$A B + A D = A C$ правило параллелограмма

$A C = 3^{2} + 4^{2} = 5$ теорема Пифагора, $△ A C D$

$∣ A B + A D ∣ = 5$ , а не $3 + 4$

Сам: найдите длину

$△ A BC$ равносторонний, сторона $6$ : $∣ A B + BC ∣$ $6$
Квадрат $A BC D$ , сторона $2$ : $∣ A B + A D ∣$ $22$
Ромб $A BC D$ , $A B = 4$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ : $∣ A B + A D ∣$ $43$

R03.1

Определение · противоположный вектор и разность

Вычитание векторов

- A B = B A

противоположный вектор

(a - b) + b = a

определение разности

a - b = a + (- b)

теорема

O A - OB = B A

: из общего начала — от конца вычитаемого к концу уменьшаемого.

R03.1

Образец → сам · разность

Замените разность одним вектором

Образец: $A BC D$ — параллелограмм. Найдите $A B - A D$ .

общее начало $A$ : уменьшаемое кончается в $B$ , вычитаемое — в $D$

$A B - A D = D B$ от $D$ к $B$

проверка: $A D + D B = A B$ правило треугольника

Сам: найдите

$O A - OB$ $B A$
$A B - CB$ $A B + BC = A C$
Прямоугольник $A BC D$ , $A B = 6$ , $A D = 8$ : $∣ A B - A D ∣$ $10$

R03.1

Определение · умножение вектора на число

Произведение $k a$

∣ k a ∣ = ∣ k ∣ \cdot ∣ a ∣

k > 0

:

k a ↑↑ a

k < 0

:

k a ↑↓ a

0 \cdot a = 0

,

(k l) a = k (l a)

k (a + b) = k a + k b

(k + l) a = k a + l a

1,5 мин · теория
Определение: произведение ненулевого вектора $a$ на число k — вектор длины $∣ k ∣ \cdot ∣ a ∣$ , сонаправленный с $a$ при k ≥ 0 и противоположно направленный при k < 0. Произведение нулевого вектора на число — нулевой вектор.
По клеткам: $a$ — 2 клетки вправо и 1 вверх; $2 a$ — 4 вправо и 2 вверх; $- 1, 5 a$ — 3 влево и 1,5 вниз. Вверху справа — тот же $a$ , отложенный от другой точки.
Следствие: $k a$ коллинеарен $a$ . Свойства позволяют раскрывать скобки и приводить подобные, как в алгебре.

R03.1

Образец → сам · вектор через вектор

Средняя линия и умножение на число

Образец: $M$ и $N$ — середины $A B$ и $BC$ . Выразите $MN$ через $A C$ .

$MN ∥ A C$ , $MN = \frac{1}{2} A C$ средняя линия

$MN ↑↑ A C$ обе стрелки от $A B$ к $BC$

$MN = \frac{1}{2} A C$ $k = \frac{1}{2} > 0$

Сам

Выразите $NM$ через $A C$ $- \frac{1}{2} A C$
$∣ a ∣ = 3$ . Найдите $∣ - 4 a ∣$ $12$
Упростите $3 (a - 2 b) - 2 (a - 3 b)$ $a$

R03.1

Сводка · действия с векторами

Три действия — три правила

Действие	Как построить	Формула
Сложение	конец первого — начало второго	$A B + BC = A C$
Сложение	из общего начала — диагональ параллелограмма $A BC D$	$A B + A D = A C$
Вычитание	из общего начала — к концу уменьшаемого	$O A - OB = B A$
Противоположный	та же длина, обратное направление	$- A B = B A$
На число	длина $\times ∣ k ∣$ , знак $k$ — направление	$∣ k a ∣ = ∣ k ∣ \cdot ∣ a ∣$

R03.1

Образец → сам · через два вектора

Выразите векторы через $a$ и $b$

Образец: $A BC D$ — параллелограмм, $A B = a$ , $A D = b$ . Выразите $A O$ и $B D$ .

$A C = a + b$ правило параллелограмма

$A O = \frac{1}{2} A C = \frac{1}{2} (a + b)$ $O$ — середина $A C$

$B D = A D - A B = b - a$ разность, начало $A$

Сам: по тому же чертежу

$C A$ $- a - b$
$O D$ $\frac{1}{2} (b - a)$
$A M$ , $M$ — середина $BC$ $a + \frac{1}{2} b$

R03.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
параллелограмм $A BC D$ : $A B = C D$	длины равны, а направления противоположны	$A B = D C$
$∣ a + b ∣ = ∣ a ∣ + ∣ b ∣$	длины складываются, только если $a ↑↑ b$	строим сумму и считаем длину
$O A - OB = A B$	разность направлена к концу уменьшаемого	$O A - OB = B A$
$∣ - 3 a ∣ = - 3∣ a ∣$	длина не бывает отрицательной	$∣ - 3 a ∣ = 3∣ a ∣$

R03.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Упростите $A B + C A$ .

$C A = A C$

$A B + A C = BC$

$C A \neq = A C$ , это противоположные векторы.
Верно: $C A + A B = CB$

б) $A BC D$ — ромб. Равны ли $A B$ и $BC$ ?

$A B = BC$ — стороны ромба

значит, $A B = BC$

векторы не коллинеарны — не равны; равны только длины

в) $b = - 2 a$ , $∣ a ∣ = 3$ . Найдите $∣ b ∣$ и направление.

$∣ b ∣ = - 2 \cdot 3 = - 6$

$b ↑↑ a$

$∣ b ∣ = 2 \cdot 3 = 6$ , $b ↑↓ a$ , так как $k < 0$

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Перепутаны противоположный и равный вектор: $C A = - A C$ . Даже при этой замене «сложение» $A B + A C$ по цепочке неверно. Верно: $CB$ .
б) Первая строка верна, вывод — нет: признак равенства векторов — сонаправленность и равные длины. Ошибка «перепутал равенство отрезков и векторов».
в) Длина: $∣ - 2∣ \cdot 3 = 6$ ; направление противоположное.

R03.1

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $A B + BC$ $A C$
база $M K - MP$ $P K$
база $A B + B A$ $0$
база $∣ a ∣ = 5$ . Найдите $∣3 a ∣$ и $∣ - 0, 2 a ∣$ $15$ и $1$
база $K$ на $A B$ , $A K : K B = 1 : 2$ . Выразите $A K$ через $A B$ $\frac{1}{3} A B$
базаКвадрат $A BC D$ , $A B = 1$ : $∣ A B + BC ∣$ $2$

R03.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Упростите $(A B - CB) + (C D - E D)$ $A E$
повыш.Упростите $2 (a + 3 b) - 3 (a - b)$ $- a + 9 b$
повыш. $A$ , $B$ , $C$ , $D$ не на одной прямой и $A B = D C$ . Докажите, что $A BC D$ — параллелограмм. $A B ∥ D C$ и $A B = D C$ — признак
из жизниКурьер прошёл $600$ м на восток, затем $800$ м на север. На каком расстоянии он от старта? $1000$ м $= 1$ км

2,5 мин · практика
1) $- CB = BC$ , $- E D = D E$ : $A B + BC + C D + D E = A E$ .
2) $2 a + 6 b - 3 a + 3 b = - a + 9 b$ .
3) Из равенства векторов: AB ∥ DC (коллинеарны, точки не на одной прямой) и AB = DC — признак параллелограмма (две стороны параллельны и равны). Порядок вершин верный, так как векторы сонаправлены.
4) Перемещение — сумма векторов «восток» и «север», перпендикулярных друг другу: $60 0^{2} + 80 0^{2} = 1000$ м. Путь — 1400 м, а длина перемещения — 1000 м. Подробнее о физическом смысле — на следующем уроке.

R03.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 17, 18 и 19

Ответ — число или номера утверждений

ОГЭ 17Диагонали ромба $A BC D$ равны $A C = 16$ и $B D = 12$ . Найдите длину вектора $A B - A D$ . $12$

ОГЭ 19Какие утверждения верны?

Если два вектора равны, то их длины равны.
Если длины двух векторов равны, то векторы равны.
Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Ответ: 13

ОГЭ 18На клетчатой бумаге с клетками $1 \times 1$ изображены векторы $a$ и $b$ . Найдите длину вектора $a + b$ .

Ответ: $5$

R03.1

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Упростите $A B + BM + MC$ $A C$
Упростите $K A - K B$ $B A$
$∣ a ∣ = 4$ . Длина и направление $- 2, 5 a$ ? $10$ ; $↑↓ a$
Прямоугольник, $A B = 6$ , $A D = 8$ : $∣ A B + A D ∣$ $10$

Вариант 2

Упростите $PQ + QR + RS$ $PS$
Упростите $OC - O D$ $D C$
$∣ b ∣ = 6$ . Длина и направление $1, 5 b$ ? $9$ ; $↑↑ b$
Квадрат $A BC D$ , $A B = 5$ : $∣ A B - A D ∣$ $52$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какие векторы называют равными?
Как построить сумму и разность двух векторов?
Куда направлен $k a$ при $k < 0$ ?

Домашнее задание

Упростите $A B + D C + B D$ .
Ромб $A BC D$ , $A B = 6$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ : $∣ A B - A D ∣$ .
Постройте $3 a$ и $- \frac{1}{2} a$ по клеткам.
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_vektory.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9-027 · Определение векторов, сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R03 «Векторы», 12 ч · урок 1/12 · тип Н
Единицы → слайды	R03.1 «Определение векторов, сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число» → 2, 4–25 · повторение 8 класса (параллелограмм, средняя линия) → 3
Результаты	ПР-6 / REQ-6.6 (векторы, их применение в задачах) → 4–25 · EL-6.5 (вектор, длина, коллинеарность, равенство, операции) → 4–18
Вне урока	физический и геометрический смысл — GEOM9-028 (здесь только задача о перемещении, сл. 22); разложение по двум неколлинеарным векторам и лемма о коллинеарных векторах — GEOM9-029; координаты вектора — GEOM9-030
Время	теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Векторы: сложение, вычитание, умножение на число

Сегодня вы научитесь

Узнавать векторы

Складывать векторы

Вычитать векторы

Умножать на число

Параллелограмм, средняя линия, диагонали

Вектор — направленный отрезок

Коллинеарные, сонаправленные, противоположные

Равные векторы и откладывание от точки

Равные и противоположные векторы в параллелограмме

Образец: ABCD — параллелограмм, O — точка пересечения диагоналей. Найдите вектор, равный AB; равный AO.

Сам: по тому же чертежу

Правило треугольника

Правило параллелограмма: a+b=b+a

Правило многоугольника

Соберите цепочку и найдите сумму

Образец: упростите MN+KM+NP.

Сам: упростите

Найдите длину суммы векторов

Образец: ABCD — прямоугольник, AB=3, AD=4. Найдите ∣AB+AD∣.

Сам: найдите длину

Вычитание векторов

Замените разность одним вектором

Образец: ABCD — параллелограмм. Найдите AB−AD.

Сам: найдите

Произведение ka

Средняя линия и умножение на число

Образец: M и N — середины AB и BC. Выразите MN через AC.

Сам

Три действия — три правила

Выразите векторы через a и b

Образец: ABCD — параллелограмм, AB=a, AD=b. Выразите AO и BD.

Сам: по тому же чертежу

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Упростите AB+CA.

б) ABCD — ромб. Равны ли AB и BC?

в) b=−2a, ∣a∣=3. Найдите ∣b∣ и направление.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — число или номера утверждений

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9-027 · Определение векторов, сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число

Образец: $A BC D$ — параллелограмм, $O$ — точка пересечения диагоналей. Найдите вектор, равный $A B$ ; равный $A O$ .

Правило параллелограмма: $a + b = b + a$

Образец: упростите $MN + K M + NP$ .

Образец: $A BC D$ — прямоугольник, $A B = 3$ , $A D = 4$ . Найдите $∣ A B + A D ∣$ .

Образец: $A BC D$ — параллелограмм. Найдите $A B - A D$ .

Произведение $k a$

Образец: $M$ и $N$ — середины $A B$ и $BC$ . Выразите $MN$ через $A C$ .

Выразите векторы через $a$ и $b$

Образец: $A BC D$ — параллелограмм, $A B = a$ , $A D = b$ . Выразите $A O$ и $B D$ .

а) Упростите $A B + C A$ .

б) $A BC D$ — ромб. Равны ли $A B$ и $BC$ ?

в) $b = - 2 a$ , $∣ a ∣ = 3$ . Найдите $∣ b ∣$ и направление.