Преобразование подобия · урок 10 из 10 · обобщение

Подобие и метрические соотношения в окружности

Геометрия · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R02 · GEOM9-026

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R02 «Преобразование подобия. Метрические соотношения в окружности» (10 ч), урок 10/10, единицы R02.1–R02.4. Тип — О (обобщение и систематизация): завершает строку. Теория — только короткие сводки (сл. 4–6), остальное — задачи всех типов строки: соответственные элементы, хорды, секущие и касательная, доказательство через подобие, задачи из жизни.
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Теория (12): сл. 1 титул 1 · 2 цели 1 · 4 сводка «подобие» 3 · 5 сводка «отрезки в окружности» 4 · 6 план решения 3.
Практика (33): 3 разминка 2,5 · 7–11 пять «Образец → сам» 3 + 3 + 3 + 3 + 3 · 12 ошибки 1,5 · 13 найди ошибку 2 · 14 база 3 · 15 повышенный 2 · 16 ОГЭ 2 · 17 самостоятельная 4 · 18 итог 1.
Если не успеваете: задания 3–4 на сл. 15 — в ДЗ; самостоятельную (сл. 17) не сокращать — это проверка по всей строке перед следующей темой «Векторы».

R02.1 · R02.2 · R02.3 · R02.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Применять подобие фигур

длины, высоты, медианы — в $k$ раз, площади — в $k^{2}$ раз (ПР-4)

Пользоваться теоремами об отрезках

хорд, секущих и касательной (ПР-5)

Доказывать через подобие

пара треугольников, два равных угла, пропорция (ПР-4, ПР-5)

Решать задачи из жизни

арка моста, тень, горизонт, модель в масштабе (ПР-10)

1 мин · теория
ПР-4: «Владеть понятиями преобразования подобия, соответственных элементов подобных фигур. Пользоваться свойствами подобия произвольных фигур, уметь вычислять длины и находить углы у подобных фигур. Применять свойства подобия в практических задачах…».
ПР-5: «Пользоваться теоремами о произведении отрезков хорд, о произведении отрезков секущих, о квадрате касательной». ПР-10: математические модели задач реальной жизни (сл. 11, 15).

R02.1 · R02.2 · R02.3 · повторение

Разминка · устно

Коэффициент подобия и углы в окружности

$k = 2$ , сторона фигуры $5$ . Соответственная сторона образа? $10$
$k = 3$ , площадь фигуры $3$ . Площадь образа? $27$
Периметры подобных треугольников $3 : 4$ . Отношение их высот? $3 : 4$
Вписанный угол опирается на дугу $10 0^{\circ}$ . Найдите угол. $5 0^{\circ}$

Угол между касательной и радиусом в точке касания? $9 0^{\circ}$
$x \cdot 4 = 3 \cdot 8$ . Найдите $x$ . $6$
$x^{2} = 4 \cdot 9$ , $x > 0$ . Найдите $x$ . $6$
Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, … равны

R02.1 · R02.2

Сводка · подобие и соответственные элементы

Все линейные элементы — в $k$ раз, площадь — в $k^{2}$

$\frac{A _{1} B _{1}}{A B} = \frac{h _{1}}{h} = \frac{P _{1}}{P} = k$

соответственные элементы: стороны, высоты, медианы, биссектрисы, радиусы $r$ и $R$

углы сохраняются
$S_{1} = k^{2} \cdot S$ , $k = S_{1} : S$
гомотетия: $O A_{1} = ∣ k ∣ \cdot O A$

R02.3

Сводка · отрезки хорд, секущих и касательной

Три теоремы — одно произведение

Две хорды

$A E \cdot EB = CE \cdot E D$

отрезки каждой хорды — от точки $E$

Две секущие

$M A \cdot MB = MC \cdot M D$

от $M$ до ближней и до дальней точки

Касательная и секущая

$M T^{2} = M A \cdot MB$

$OT ⊥ MT$ — радиус в точку касания

R02.1–R02.4

Сводка · план решения

Что дано → что применяем

Дано	Как решаем
подобные фигуры, элементы	$k = \frac{a _{1}}{a}$ ; любой линейный элемент $\times k$
площади подобных фигур	$k = S_{1} : S$ , потом длины
две хорды пересекаются	$A E \cdot EB = CE \cdot E D$
из точки $M$ — секущие, касательная	$M A \cdot MB = MC \cdot M D = M T^{2}$ (до дальней точки!)
доказать равенство произведений	$△ \sim △$ по двум углам → пропорция

R02.2

Образец → сам · соответственные элементы

От площадей — к коэффициенту, от него — к длинам

Образец: площади подобных треугольников $16$ и $36$ , медиана $BM$ меньшего равна $6$ . Найдите соответственную медиану большего.

$k^{2} = \frac{36}{16} = \frac{9}{4}$ , $k = \frac{3}{2}$ $S_{1} = k^{2} S$ , $k > 0$
$B_{1} M_{1} = \frac{3}{2} \cdot 6 = 9$ медианы — соответственные элементы

Сам

$k = 2, 5$ , высота меньшего треугольника $4$ . Высота большего? $10$
Площади подобных треугольников $25$ и $49$ , биссектриса большего $14$ . Биссектриса меньшего? $10$
Радиусы вписанных окружностей подобных треугольников $3$ и $6$ , площадь меньшего $10$ . Площадь большего? $40$

R02.3

Образец → сам · пересекающиеся хорды

Произведения отрезков хорд равны

Образец: хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в точке $E$ ; $A E = 4$ , $EB = 9$ , $C D = 15$ , $CE < E D$ . Найдите $CE$ и $E D$ .

$CE \cdot E D = A E \cdot EB = 36$ теорема об отрезках хорд
$CE = x$ , $E D = 15 - x$ : $x (15 - x) = 36$ $CE + E D = C D$
$x^{2} - 15 x + 36 = 0$ , $x = 3$ или $12$ ⇒ $CE = 3$ , $E D = 12$ $CE < E D$

Сам

$A E = 6$ , $EB = 4$ , $CE = 3$ . Найдите $E D$ . $8$
$E$ — середина $A B$ , $CE = 2$ , $E D = 8$ . Найдите $A B$ . $8$
Хорда $A B ⊥$ диаметру $C D$ , $A E = EB = 6$ , $CE = 4$ . Найдите радиус. $6, 5$

R02.3

Образец → сам · секущая и касательная

Отрезки — от точки $M$ до точек на окружности

Образец: из $M$ проведены касательная $MT$ и секущая $M A B$ , $M A = 4$ , $A B = 5$ . Найдите $MT$ и радиус, если секущая $MC D$ проходит через центр и $MC = 3$ .

$M T^{2} = 4 \cdot 9 = 36$ , $MT = 6$ $M T^{2} = M A \cdot MB$ , $MB = 9$
$MC \cdot M D = 36$ ⇒ $M D = 12$ теорема о секущих
$2 R = C D = 9$ , $R = 4, 5$ $C D = M D - MC$ — диаметр

Сам

$MT = 8$ , $M A = 4$ . Найдите $A B$ . $12$
$M A = 3$ , $A B = 9$ , $MC = 4$ . Найдите $C D$ . $5$
$MT = 12$ , секущая через центр, $MC = 8$ . Найдите радиус. $5$

R02.3 · R02.4

Образец → сам · доказательство через подобие

Нашли пару подобных треугольников — получили пропорцию

Образец: хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $E$ . Докажите, что $A E \cdot EB = CE \cdot E D$ .

$∠ C A B = ∠ C D B$ вписанные, опираются на дугу $CB$
$∠ A EC = ∠ D EB$ вертикальные
$△ A EC \sim △ D EB$ по двум углам
$\frac{A E}{D E} = \frac{CE}{BE}$ стороны пропорциональны
$A E \cdot EB = CE \cdot E D$ свойство пропорции

Сам: какая пара подобна и почему?

Секущие $M A B$ и $MC D$ : докажите $M A \cdot MB = MC \cdot M D$ . $△ M A D \sim △ MCB$ : $∠ M$ общий, $∠ M D A = ∠ MBC$
Касательная $MT$ , секущая $M A B$ : докажите $M T^{2} = M A \cdot MB$ . $△ MT A \sim △ MBT$ : $∠ M$ общий, $∠ MT A = ∠ MBT$

R02.4

Образец → сам · задача из жизни

Арка моста — дуга окружности

Образец: пролёт арки $A B = 12$ м, высота подъёма $KH = 2$ м. Найдите радиус дуги арки.

Продолжим $KH$ до диаметра: второй отрезок $2 R - 2$ $KH ⊥ A B$ через середину хорды
$36 = 2 (2 R - 2)$ ⇒ $R = 10$ м $A H \cdot H B = KH \cdot (2 R - 2)$ — теорема об отрезках хорд

Сам

Арка: пролёт $8$ м, подъём $2$ м. Найдите радиус. $5$ м
Человек ростом $1, 8$ м отбрасывает тень $1, 2$ м, дерево — $8$ м. Высота дерева? $12$ м
С маяка высотой $20$ м видно до горизонта $d$ : $d^{2} \approx 2 R h$ , $R = 6400$ км. Найдите $d$ . $\approx 16$ км

R02.1–R02.3

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$M T^{2} = M A \cdot A B$	отрезки секущей — от точки $M$	$M T^{2} = M A \cdot MB$
$A E \cdot CE = EB \cdot E D$	перемножают отрезки одной хорды	$A E \cdot EB = CE \cdot E D$
$S_{1} : S = 2 : 3$ ⇒ $h_{1} : h = 2 : 3$	площади — в $k^{2}$ раз	$h_{1} : h = 2 : 3$
«на рисунке видно, что треугольники подобны»	нужно обоснование — два равных угла	назвать углы и причину

R02.3

Найди ошибку

Касательная $MT$ , секущая $M A B$ : $M A = 3$ , $A B = 9$ . Секущая $MC D$ проходит через центр, $MC = 4$ . Найдите $MT$ и $R$ .

Решение ученика

$M T^{2} = M A \cdot A B = 3 \cdot 9 = 27$ , $MT = 33$
$MC \cdot M D = 27$ , $M D = 6, 75$
$R = M D : 2 = 3, 375$

Ошибка 1 (шаг 1). $MB = 3 + 9 = 12$ :
$M T^{2} = 3 \cdot 12 = 36$ , $MT = 6$

Ошибка 2 (шаг 3). Диаметр — $C D$ :
$M D = 9$ , $C D = 9 - 4 = 5$ , $R = 2, 5$

R02.1–R02.3

Задания с самопроверкой · база

Решите и сверьте

база $k = 2, 5$ , высота $B H = 4$ . Найдите $B_{1} H_{1}$ $10$
базаПериметры подобных треугольников $10$ и $15$ , площадь меньшего $8$ . Площадь большего? $18$
базаХорды: $A E = 5$ , $EB = 4$ , $CE = 2$ . Найдите $E D$ . $10$

базаКасательная $MT$ , секущая $M A B$ : $M A = 2$ , $MB = 18$ . Найдите $MT$ . $6$
базаСекущие $M A B$ и $MC D$ : $M A = 3$ , $MB = 8$ , $MC = 4$ . Найдите $M D$ . $6$
базаРадиусы вписанных окружностей подобных треугольников $3$ и $5$ , сторона меньшего $9$ . Сторона большего? $15$

R02.1–R02.4

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $E$ , $A E : EB = 1 : 3$ , $CE = 3$ , $E D = 4$ . Найдите $A B$ . $8$
повыш.Касательная $MT = 10$ , секущая через центр, ближняя к $M$ точка $C$ , $MC = 5$ . Найдите радиус. $7, 5$
повыш. $MN ∥ A C$ в $△ A BC$ , $S_{MBN} = 4$ , $S_{A MNC} = 21$ , $A C = 10$ . Найдите $MN$ . $4$
из жизниМодель самолёта в масштабе $1 : 72$ , размах крыльев модели $40$ см. Найдите размах крыльев самолёта. $28, 8$ м

R02.1–R02.3 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15, 16 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 15Прямая, параллельная $A C$ , пересекает $A B$ в $M$ , $BC$ в $N$ ; $A B = 14$ , $A C = 21$ , $MN = 12$ . Найдите $BM$ . $8$
ОГЭ 16Хорды $A C$ и $B D$ пересекаются в точке $P$ , $BP = 15$ , $CP = 6$ , $D P = 10$ . Найдите $A P$ . $25$
ОГЭ 19Укажите номер верного утверждения. 1) Произведения отрезков двух пересекающихся хорд равны. 2) Площади подобных треугольников относятся как $k$ . 3) Квадрат касательной равен произведению секущей на её внутреннюю часть. 1

R02.1–R02.3

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$k = 3$ , медиана меньшего треугольника $4$ . Медиана большего? $12$
Площади подобных треугольников $9$ и $25$ , сторона меньшего $6$ . Соответственная сторона большего? $10$
Хорды: $A E = 3$ , $EB = 8$ , $CE = 4$ . Найдите $E D$ . $6$
Касательная $MT$ , секущая $M A B$ : $M A = 4$ , $A B = 12$ . Найдите $MT$ . $8$

Вариант 2

$k = 2$ , биссектриса большего треугольника $10$ . Биссектриса меньшего? $5$
Площади подобных треугольников $16$ и $36$ , сторона большего $12$ . Соответственная сторона меньшего? $8$
Хорды: $A E = 6$ , $EB = 2$ , $E D = 3$ . Найдите $CE$ . $4$
Касательная $MT$ , секущая $M A B$ : $M A = 2$ , $A B = 16$ . Найдите $MT$ . $6$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Во сколько раз меняются высота и площадь при подобии с $k$ ?
Какие отрезки перемножают в теореме о секущих?
Как доказывают все три теоремы об отрезках?

$A E \cdot EB = CE \cdot E D$ , $M T^{2} = M A \cdot MB$

Домашнее задание

Хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $E$ : $A E = 6$ , $EB = 8$ , $C D = 19$ . Найдите $CE$ и $E D$ .
Касательная $MT = 6$ , секущая $M A B$ , $A B = 5$ . Найдите $M A$ .
Арка: пролёт $16$ м, подъём $4$ м. Найдите радиус.
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_podobie.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9-026 · Обобщение и систематизация по теме «Преобразование подобия. Метрические соотношения в окружности»

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R02 «Преобразование подобия. Метрические соотношения в окружности», 10 ч · урок 10/10 · тип О (обобщение и систематизация)
Единицы → слайды	R02.1 «Понятие о преобразовании подобия» → 3, 4, 15, 16 · R02.2 «Соответственные элементы подобных фигур» → 4, 7, 14, 17 · R02.3 «Теоремы о хордах, секущих, касательной» → 5, 8–10, 12–17 · R02.4 «Применение в решении задач» → 6, 10, 11, 15
Результаты	ПР-4 (подобие, соответственные элементы, практические задачи) → 2, 4, 7, 11, 14–17 · ПР-5 (теоремы об отрезках хорд, секущих, касательной) → 2, 5, 8–10, 13–17 · ПР-10 (модели реальных задач) → 11, 15
Виды деятельности	«Исследовать отношение линейных элементов фигур при преобразовании подобия» → 4, 7 · «Выводить метрические соотношения … с использованием вписанных углов и подобных треугольников» → 10 · «Решать задачи из реальной жизни» → 11, 15
ОГЭ	линия 15 (треугольники), 16 (окружность), 19 (верные утверждения) → 16
Вне урока	введение понятий — GEOM9-017–020 · практикумы — GEOM9-021–025 · векторы — R03 (GEOM9-027)
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Подобие и метрические соотношения в окружности

Сегодня вы научитесь

Применять подобие фигур

Пользоваться теоремами об отрезках

Доказывать через подобие

Решать задачи из жизни

Коэффициент подобия и углы в окружности

Все линейные элементы — в k раз, площадь — в k2

Три теоремы — одно произведение

Две хорды

Две секущие

Касательная и секущая

Что дано → что применяем

От площадей — к коэффициенту, от него — к длинам

Образец: площади подобных треугольников 16 и 36, медиана BM меньшего равна 6. Найдите соответственную медиану большего.

Сам

Произведения отрезков хорд равны

Образец: хорды AB и CD пересекаются в точке E; AE=4, EB=9, CD=15, CE<ED. Найдите CE и ED.

Сам

Отрезки — от точки M до точек на окружности

Образец: из M проведены касательная MT и секущая MAB, MA=4, AB=5. Найдите MT и радиус, если секущая MCD проходит через центр и MC=3.

Сам

Нашли пару подобных треугольников — получили пропорцию

Образец: хорды AB и CD пересекаются в E. Докажите, что AE⋅EB=CE⋅ED.

Сам: какая пара подобна и почему?

Арка моста — дуга окружности

Образец: пролёт арки AB=12 м, высота подъёма KH=2 м. Найдите радиус дуги арки.

Сам

Неверно → почему → верно

Касательная MT, секущая MAB: MA=3, AB=9. Секущая MCD проходит через центр, MC=4. Найдите MT и R.

Решение ученика

Решите и сверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9-026 · Обобщение и систематизация по теме «Преобразование подобия. Метрические соотношения в окружности»

Все линейные элементы — в $k$ раз, площадь — в $k^{2}$

Образец: площади подобных треугольников $16$ и $36$ , медиана $BM$ меньшего равна $6$ . Найдите соответственную медиану большего.

Образец: хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в точке $E$ ; $A E = 4$ , $EB = 9$ , $C D = 15$ , $CE < E D$ . Найдите $CE$ и $E D$ .

Отрезки — от точки $M$ до точек на окружности

Образец: из $M$ проведены касательная $MT$ и секущая $M A B$ , $M A = 4$ , $A B = 5$ . Найдите $MT$ и радиус, если секущая $MC D$ проходит через центр и $MC = 3$ .

Образец: хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $E$ . Докажите, что $A E \cdot EB = CE \cdot E D$ .

Образец: пролёт арки $A B = 12$ м, высота подъёма $KH = 2$ м. Найдите радиус дуги арки.

Касательная $MT$ , секущая $M A B$ : $M A = 3$ , $A B = 9$ . Секущая $MC D$ проходит через центр, $MC = 4$ . Найдите $MT$ и $R$ .