Преобразование подобия · урок 9 из 10 · практикум

Понятие о преобразовании подобия

Геометрия · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R02 · GEOM9-025

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R02 «Преобразование подобия. Метрические соотношения в окружности» (10 ч), урок 9/10, единица R02.1. Тип — П (практикум), второй практикум по понятию подобия (первый — GEOM9-021: образ точки, центр и коэффициент, $MN ∥ A C$ , площади, координаты). Сегодня новые типы: подобны ли фигуры, стороны подобного многоугольника, гомотетия окружностей, метод подобия (вписанный квадрат), две гомотетии подряд.
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Теория (12): сл. 1 титул 1 · 2 цели 1 · 4 подобие = гомотетия + движение 3,5 · 5 метод подобия 3,5 · 6 план решения 3.
Практика (33): 3 разминка 2,5 · 7–11 пять «Образец → сам» 3 + 3 + 3 + 3 + 3 · 12 ошибки 1,5 · 13 найди ошибку 2 · 14 база 3 · 15 повышенный 2,5 · 16 ОГЭ 2 · 17 самостоятельная 4 · 18 итог 0,5.
Если не успеваете: задания 3–4 на сл. 15 — в ДЗ; сл. 5 не сокращать — на нём держатся сл. 10, 13 и самостоятельная.

R02.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Отличать подобные фигуры

многоугольники: равные углы и пропорциональные стороны (ПР-4)

Находить элементы образа

стороны многоугольника, радиус и центр окружности (ПР-4)

Решать задачи методом подобия

квадрат и прямоугольник, вписанные в треугольник (ПР-4)

Выполнять преобразования подряд

$k_{1} k_{2}$ , обратное $\frac{1}{k}$ ; фото и макеты (ПР-4, ПР-10)

R02.1 · R02.3 · повторение

Разминка · устно

Коэффициент, площади, гомотетия

$k = 2, 5$ , сторона $4$ . Сторона образа? $10$
$k = 3$ . Во сколько раз изменится площадь? в $9$ раз
Площади подобных фигур $4 : 9$ . Найдите $k$ . $\frac{3}{2}$
Гомотетия с $k = - 1$ — это … центральная симметрия

Центр $O$ , $k = 2$ , точка $(3; - 1)$ . Образ? $(6; - 2)$
$\frac{x}{4} = \frac{4 - x}{4}$ . Найдите $x$ . $2$
Хорды $A B$ , $C D$ пересекаются в $E$ : $A E = 2$ , $EB = 6$ , $CE = 3$ . $E D$ ? $4$
Угол $3 5^{\circ}$ при подобии переходит в угол … $3 5^{\circ}$

R02.1

Сводка · подобие = гомотетия + движение

Любое подобие с коэффициентом $k$

Гомотетия с $k$ ( $△ A BC \to △ A^{'} B^{'} C^{'}$ ), затем движение ( $\to △ A_{1} B_{1} C_{1}$ ).

углы сохраняются, длины $\times k$
$P \times k$ , $S \times k^{2}$
окружность $r$ → окружность $k r$

Обратное — с $\frac{1}{k}$ ; два подряд — с $k_{1} \cdot k_{2}$

3,5 мин · теория
Чертёж точный: розовый пунктир $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ — образ $△ A BC$ при гомотетии с центром $O$ и $k = 2$ (пунктир — лучи из $O$ через вершины, $O A^{'} = 2 O A$ ); фиолетовый $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ — тот же $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ после переноса и поворота на $3 5^{\circ}$ (движение). Проверка: $A B \approx 1, 84$ , $A_{1} B_{1} \approx 3, 69$ ; $A C \approx 1, 34$ , $A_{1} C_{1} \approx 2, 68$ — везде $\times 2$ . Дуги — равные углы $A$ , $A^{'}$ , $A_{1}$ .
Вопрос классу: почему $△ A BC$ и $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ нельзя совместить одной гомотетией? (Соответственные стороны не параллельны.) Почему при двух гомотетиях коэффициенты перемножаются? (Длина сначала $\times k_{1}$ , потом ещё $\times k_{2}$ .)
Окружность → окружность: все точки на расстоянии $r$ от центра переходят в точки на расстоянии $k r$ от образа центра.

R02.1

Сводка · метод подобия

Впишем квадрат в треугольник

Строим любой маленький квадрат: сторона на $A C$ , вершина на $A B$ .
Луч из $A$ через его вершину → точка $P$ на $BC$ .
Гомотетия с центром $A$ → нужный квадрат.

$\frac{x}{a} = \frac{h - x}{h}$

$a$ — основание, $h$ — высота

3,5 мин · теория
Идея метода подобия: сначала строим фигуру, подобную искомой (выполнены все условия, кроме одного), затем гомотетией подгоняем размер под последнее условие. Здесь «лишнее» условие — четвёртая вершина на $BC$ .
Чертёж точный: $A (0; 0)$ , $B (4; 6)$ , $C (12; 0)$ ; маленький квадрат со стороной $2$ , большой — $4$ , $k = 2$ ; вершина большого квадрата $P (\frac{20}{3}; 4)$ лежит на $BC$ . Шаги 1–3 на чертеже открываются по клику.
Формула: верхняя сторона квадрата $NP ∥ A C$ , поэтому $△ NBP \sim △ A BC$ (гомотетия с центром $B$ ) с коэффициентом $\frac{h - x}{h}$ — отношение высот; $NP = x$ соответствует $A C = a$ . Отсюда $x = \frac{ah}{a + h}$ (вывести вместе на сл. 10).

R02.1

Сводка · план решения

Что спрашивают → что делаем

Вопрос	Как решаем
подобны ли многоугольники?	углы равны и стороны пропорциональны
стороны подобного многоугольника	$k = \frac{P _{1}}{P}$ (или по одной паре сторон), каждую сторону $\times k$
две окружности, касательные	центр гомотетии $P$ на линии центров, $\frac{P O _{1}}{P O _{2}} = \frac{r}{R}$
квадрат в треугольнике	$\frac{x}{a} = \frac{h - x}{h}$
два преобразования подряд	$k = k_{1} \cdot k_{2}$ ; обратное — $\frac{1}{k}$

R02.1

Образец → сам · подобны ли фигуры

Нужны оба условия: углы и стороны

Образец: подобны ли прямоугольники $4 \times 6$ и $6 \times 9$ ? А ромб с углом $6 0^{\circ}$ и квадрат со сторонами $3$ ?

$\frac{6}{4} = \frac{9}{6} = 1, 5$ , углы прямые ⇒ подобны, $k = 1, 5$ углы равны и стороны пропорциональны
Стороны равны, но $6 0^{\circ} \neq = 9 0^{\circ}$ ⇒ не подобныпри подобии углы сохраняются

Сам: подобны ли? Если да, найдите $k$

Прямоугольники $3 \times 5$ и $6 \times 9$ . нет
Равнобедренные треугольники с углом $5 0^{\circ}$ при вершине, основания $4$ и $6$ . да, $1, 5$
Правильные шестиугольники со сторонами $2$ и $5$ . да, $2, 5$

3 мин · практика
Образец: соответственные стороны $4 \to 6$ и $6 \to 9$ , отношения равны $1, 5$ ; ромб и квадрат: $k = 1$ по сторонам, но угол $6 0^{\circ}$ не переходит в $9 0^{\circ}$ . Чертёж в масштабе.
Сам: 1) $6 : 3 = 2$ , $9 : 5 = 1, 8$ — не пропорциональны, не подобны. 2) углы при основании $6 5^{\circ}$ у обоих — треугольники подобны по двум углам, $k = 6 : 4 = 1, 5$ . 3) все углы по $12 0^{\circ}$ , стороны в отношении $5 : 2$ ⇒ подобны, $k = 2, 5$ .
Ошибка в 1): «углы прямые — значит, подобны». Для треугольников равенства углов хватает, для четырёхугольников — нет.

R02.1

Образец → сам · стороны подобного многоугольника

Коэффициент — по периметрам

Образец: стороны четырёхугольника $2$ , $3$ , $4$ , $5$ . Периметр подобного ему четырёхугольника $42$ . Найдите его стороны.

$P = 14$ , $k = \frac{42}{14} = 3$ $P_{1} = k P$
Стороны: $6, 9, 12, 15$ каждую сторону умножаем на $k$

Сам

Стороны треугольника $4$ , $5$ , $6$ ; наибольшая сторона подобного ему $15$ . Найдите остальные. $10$ ; $12, 5$
Прямоугольник $3 \times 4$ ; диагональ подобного ему прямоугольника $15$ . Найдите его стороны. $9$ ; $12$
Периметры подобных многоугольников $30$ и $45$ , сторона меньшего $8$ . Соответственная сторона большего? $12$

R02.1

Образец → сам · гомотетия окружностей

Касательные сходятся в центре гомотетии

Образец: радиусы окружностей $3$ и $6$ , $O_{1} O_{2} = 10$ . Общие внешние касательные пересекаются в $P$ . Найдите $P O_{1}$ .

Гомотетия с центром $P$ , $k = \frac{6}{3} = 2$ : $P O_{2} = 2 P O_{1}$ меньшая окружность → большая; $P$ , $O_{1}$ , $O_{2}$ на одной прямой
$2 P O_{1} - P O_{1} = 10$ ⇒ $P O_{1} = 10$ $P O_{2} - P O_{1} = O_{1} O_{2}$

Сам

Гомотетия с центром $O$ , $k = 3$ ; окружность радиуса $1, 5$ , $O O_{1} = 4$ . Найдите радиус образа и расстояние от $O$ до его центра. $4, 5$ ; $12$
Радиусы $3$ и $5$ , $O_{1} O_{2} = 10$ , внешние касательные пересекаются в $P$ . Найдите $P O_{1}$ . $15$
Радиусы $2$ и $4$ , $O_{1} O_{2} = 9$ ; внутренние касательные пересекаются в $Q$ . Найдите $Q O_{1}$ и $Q O_{2}$ . $3$ ; $6$

R02.1

Образец → сам · метод подобия

Квадрат, вписанный в треугольник

Образец: $A C = 12$ , высота $B H = 6$ . Квадрат $MNPQ$ : $MQ$ на $A C$ , $N \in A B$ , $P \in BC$ . Найдите сторону $x$ .

$NP ∥ A C$ ⇒ $△ NBP \sim △ A BC$ , $k = \frac{6 - x}{6}$ гомотетия с центром $B$ ; $k$ — отношение высот
$\frac{x}{12} = \frac{6 - x}{6}$ ⇒ $x = 12 - 2 x$ ⇒ $x = 4$ $NP$ соответствует $A C$

Сам: найдите сторону квадрата

Основание $10$ , высота $15$ . $6$
Основание $8$ , высота $8$ . $4$
Вместо квадрата — прямоугольник, его сторона на основании вдвое больше другой; основание $12$ , высота $6$ . Найдите стороны. $3$ ; $6$

R02.1

Образец → сам · два преобразования подряд

Коэффициенты перемножаются

Образец: центр $O$ ; гомотетия с $k_{1} = 2$ , затем с $k_{2} = - 1, 5$ . Найдите итоговый $k$ и образ точки $A (1; - 1)$ .

$A^{'} = (2; - 2)$ координаты $\times 2$
$A^{''} = (- 3; 3)$ координаты $A^{'}$ $\times (- 1, 5)$
$k = 2 \cdot (- 1, 5) = - 3$ проверка: $- 3 \cdot (1; - 1)$ ✓

Сам (центр $O$ )

Гомотетия с $k = 3$ , затем с $k = \frac{1}{3}$ . Что получится? все точки на месте
Гомотетия с $k = 4$ переводит $F$ в $F_{1}$ . Какая переводит $F_{1}$ в $F$ ? $k = \frac{1}{4}$
$k = - 2$ , затем $k = 0, 5$ . Образ точки $(4; - 6)$ ? $(- 4; 6)$

R02.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
прямоугольники $2 \times 3$ и $4 \times 5$ подобны: углы равны	у многоугольников нужны ещё пропорциональные стороны	$\frac{4}{2} \neq = \frac{5}{3}$ — не подобны
ромбы со сторонами $2$ и $6$ подобны	углы ромбов могут быть разными	подобны, только если углы равны
квадрат в треугольнике: $\frac{x}{a} = \frac{x}{h}$	высота $△ NBP$ равна $h - x$	$\frac{x}{a} = \frac{h - x}{h}$
$k_{1} = 2$ , $k_{2} = 3$ ⇒ $k = 5$	длина умножается дважды	$k = 2 \cdot 3 = 6$

R02.1

Найди ошибку

$A C = 15$ , $B H = 10$ , квадрат вписан (сторона на $A C$ ). Найдите $x$ и $S_{NBP}$ .

Решение ученика

$NP ∥ A C$ , $△ NBP \sim △ A BC$ , $k = \frac{10 - x}{10}$ .
$x = k \cdot B H = 10 - x$ ⇒ $x = 5$ .
$S_{A BC} = 75$ , $S_{NBP} = k \cdot 75 = 0, 5 \cdot 75 = 37, 5$ .

Ошибка 1 (шаг 2). $NP$ соответствует $A C$ , а не высоте: $x = \frac{10 - x}{10} \cdot 15$ ⇒ $x = 6$

Ошибка 2 (шаг 3). $k = 0, 4$ , площадь — через $k^{2}$ : $S_{NBP} = 0, 16 \cdot 75 = 12$

R02.1

Задания с самопроверкой · база

Решите и сверьте

базаПодобны ли прямоугольники $5 \times 8$ и $10 \times 16$ ? Если да, $k$ ? да, $2$
базаСтороны треугольника $3$ , $7$ , $8$ ; наименьшая сторона подобного $6$ . Найдите наибольшую. $16$
базаГомотетия с $k = - 2$ , окружность радиуса $3$ . Радиус образа? $6$

базаПодобие с $k = 4$ , затем гомотетия с $k = 0, 5$ . Итоговый коэффициент подобия? $2$
базаКвадрат вписан в треугольник: основание $6$ , высота $3$ . Сторона квадрата? $2$
базаПлощади подобных шестиугольников $12$ и $75$ , сторона меньшего $4$ . Сторона большего? $10$

R02.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Окружности радиусов $1$ и $4$ касаются внешним образом. Их общая внешняя касательная пересекает прямую $O_{1} O_{2}$ в точке $P$ . Найдите $P O_{1}$ . $\frac{5}{3}$
повыш.В прямоугольный треугольник с катетами $3$ и $6$ вписан квадрат, вершина которого — вершина прямого угла. Найдите сторону квадрата. $2$
повыш.В треугольник вписан прямоугольник со сторонами $1 : 3$ , большая сторона на основании $18$ ; высота треугольника $6$ . Найдите стороны. $3$ ; $9$
из жизниФото $10 \times 15$ см увеличили, площадь стала $600 см^{2}$ . Найдите размеры нового фото. $20 \times 30$ см

R02.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15, 17 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 15Площадь треугольника $A BC$ равна $48$ , $MN$ — его средняя линия, $M \in A B$ , $N \in BC$ . Найдите площадь треугольника $MBN$ . $12$
ОГЭ 17В трапеции $A BC D$ основания $BC = 4$ , $A D = 12$ , диагонали пересекаются в $O$ , $S_{BOC} = 3$ . Найдите площадь трапеции. $48$
ОГЭ 19Укажите номер верного утверждения. 1) Любые два квадрата подобны. 2) Любые два ромба подобны. 3) При гомотетии с $k = 2$ площадь увеличивается в $2$ раза. 1

R02.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Подобны ли прямоугольники $4 \times 10$ и $6 \times 15$ ? Если да, $k$ ? да, $1, 5$
Стороны треугольника $5$ , $6$ , $9$ , периметр подобного $60$ . Наибольшая сторона? $27$
Квадрат вписан в треугольник: основание $20$ , высота $5$ . Сторона? $4$
Центр $O$ : $k = - 3$ , затем $k = 2$ . Образ точки $(1; - 2)$ ? $(- 6; 12)$

Вариант 2

Подобны ли прямоугольники $3 \times 7$ и $6 \times 12$ ? Если да, $k$ ? нет
Стороны треугольника $4$ , $7$ , $9$ , периметр подобного $30$ . Наибольшая сторона? $13, 5$
Квадрат вписан в треугольник: основание $12$ , высота $4$ . Сторона? $3$
Центр $O$ : $k = 4$ , затем $k = - 0, 5$ . Образ точки $(- 2; 3)$ ? $(4; - 6)$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Почему любые два квадрата подобны, а ромбы — нет?
Где лежит центр гомотетии двух окружностей?
В чём идея метода подобия?

$\frac{x}{a} = \frac{h - x}{h}$ , $k = k_{1} k_{2}$

Домашнее задание

Квадрат вписан в треугольник: основание $24$ , высота $8$ . Найдите сторону.
Радиусы окружностей $2$ и $5$ , $O_{1} O_{2} = 9$ ; внешние касательные пересекаются в $P$ . Найдите $P O_{1}$ .
Стороны пятиугольника $1, 2, 3, 4, 5$ ; периметр подобного $45$ . Найдите его стороны.
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_podobie.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9-025 · Практикум: Понятие о преобразовании подобия

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R02 «Преобразование подобия. Метрические соотношения в окружности», 10 ч · урок 9/10 · тип П (практикум), продолжение GEOM9-017 и GEOM9-021
Единицы → слайды	R02.1 «Понятие о преобразовании подобия» → 2, 4–17 · опора на R02.3 (хорды) → 3
Результаты	ПР-4 (преобразование подобия, свойства подобия произвольных фигур, практические задачи) → 2, 4–17 · ПР-10 (модели реальных задач) → 15
Виды деятельности	«Осваивать понятие преобразования подобия» → 4–6, 11 · «Исследовать отношение линейных элементов фигур при преобразовании подобия» → 7–10 · «Находить примеры подобия в окружающей действительности» → 15
ОГЭ	линия 15 (треугольники), 17 (четырёхугольники), 19 (верные утверждения) → 16
Вне урока	введение понятия — GEOM9-017 · первый практикум — GEOM9-021 · соответственные элементы — GEOM9-018/022 · обобщение — GEOM9-026 · движения — R06
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Понятие о преобразовании подобия

Сегодня вы научитесь

Отличать подобные фигуры

Находить элементы образа

Решать задачи методом подобия

Выполнять преобразования подряд

Коэффициент, площади, гомотетия

Любое подобие с коэффициентом k

Впишем квадрат в треугольник

Что спрашивают → что делаем

Нужны оба условия: углы и стороны

Образец: подобны ли прямоугольники 4×6 и 6×9? А ромб с углом 60∘ и квадрат со сторонами 3?

Сам: подобны ли? Если да, найдите k

Коэффициент — по периметрам

Образец: стороны четырёхугольника 2, 3, 4, 5. Периметр подобного ему четырёхугольника 42. Найдите его стороны.

Сам

Касательные сходятся в центре гомотетии

Образец: радиусы окружностей 3 и 6, O1​O2​=10. Общие внешние касательные пересекаются в P. Найдите PO1​.

Сам

Квадрат, вписанный в треугольник

Образец: AC=12, высота BH=6. Квадрат MNPQ: MQ на AC, N∈AB, P∈BC. Найдите сторону x.

Сам: найдите сторону квадрата

Коэффициенты перемножаются

Образец: центр O; гомотетия с k1​=2, затем с k2​=−1,5. Найдите итоговый k и образ точки A(1;−1).

Сам (центр O)

Неверно → почему → верно

AC=15, BH=10, квадрат вписан (сторона на AC). Найдите x и SNBP​.

Решение ученика

Решите и сверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9-025 · Практикум: Понятие о преобразовании подобия

Любое подобие с коэффициентом $k$

Образец: подобны ли прямоугольники $4 \times 6$ и $6 \times 9$ ? А ромб с углом $6 0^{\circ}$ и квадрат со сторонами $3$ ?

Сам: подобны ли? Если да, найдите $k$

Образец: стороны четырёхугольника $2$ , $3$ , $4$ , $5$ . Периметр подобного ему четырёхугольника $42$ . Найдите его стороны.

Образец: радиусы окружностей $3$ и $6$ , $O_{1} O_{2} = 10$ . Общие внешние касательные пересекаются в $P$ . Найдите $P O_{1}$ .

Образец: $A C = 12$ , высота $B H = 6$ . Квадрат $MNPQ$ : $MQ$ на $A C$ , $N \in A B$ , $P \in BC$ . Найдите сторону $x$ .

Образец: центр $O$ ; гомотетия с $k_{1} = 2$ , затем с $k_{2} = - 1, 5$ . Найдите итоговый $k$ и образ точки $A (1; - 1)$ .

Сам (центр $O$ )

$A C = 15$ , $B H = 10$ , квадрат вписан (сторона на $A C$ ). Найдите $x$ и $S_{NBP}$ .