Подобие и окружность · урок 8 из 10 · практикум

Практикум: применение в решении геометрических задач

Геометрия · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R02 · GEOM9-024

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R02 «Преобразование подобия. Метрические соотношения в окружности» (10 ч), урок 8/10, единица R02.4 «Применение в решении геометрических задач». Тип — П (практикум), продолжение GEOM9-020: там — первые задачи на применение, здесь — комбинированные задачи (метрические соотношения + подобие), задачи с построением чертежа, доказательства и задачи из жизни.
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Теория (13): сл. 1 титул 1 · 2 цели 0,5 · 4 сводка «хорды, секущие, касательная» 2 · 5 сводка «где искать подобие» 2 · 6 план решения 1,5 · 7 пример учителя 1 — 2,5 · 10 пример учителя 2 — 2,5 · 14 сводка «что дано → что применить» 1.
Практика (32): 3 разминка 2 · 8, 9, 11 образцы 3 + 3 + 3 · 12, 13 образцы 2,5 + 2,5 · 15 ошибки 1,5 · 16 найди ошибку 2 · 17 база 3 · 18 повышенный 2,5 · 19 ОГЭ 2 · 20 самостоятельная 4 · 21 итог 1.
Если не успеваете: задания 4–5 на сл. 18 — в ДЗ; сводки (сл. 4–6) не сокращать — на них держатся все образцы.

R02.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Выбирать теорему

о хордах, о секущих или о касательной — по чертежу задачи (ПР-5)

Сочетать с подобием

находить «поперечные» отрезки через подобные треугольники (ПР-4)

Доказывать

равенство отрезков и подобие треугольников с обоснованием (ПР-5)

Решать задачи из жизни

арка моста, дальность горизонта, задания ОГЭ 16 и 23 (ПР-10)

0,5 мин · теория
ПР-5 (ФРП дословно): «Пользоваться теоремами о произведении отрезков хорд, о произведении отрезков секущих, о квадрате касательной».
ПР-4: «…Пользоваться свойствами подобия произвольных фигур, уметь вычислять длины и находить углы у подобных фигур. Применять свойства подобия в практических задачах». ПР-10: строить математические модели для задач реальной жизни с применением подобия.
Вид деятельности ФРП R02: «Решать геометрические задачи и задачи из реальной жизни с использованием подобных треугольников».

повторение: GEOM9-019, GEOM9-023

Разминка · устно

Отрезки в окружности — в уме

Хорды пересекаются в $E$ : $A E = 2$ , $EB = 6$ , $CE = 3$ . Найдите $E D$ . $4$
Касательная $PT$ , секущая $P A B$ : $P A = 4$ , $PB = 9$ . Найдите $PT$ . $6$
Секущие $P A B$ и $PC D$ : $P A = 2$ , $PB = 10$ , $PC = 4$ . Найдите $P D$ . $5$
$PT = 8$ , $P A = 4$ . Найдите хорду $A B$ . $12$

$△ A BC \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}$ , $k = 3$ , $A B = 5$ . Найдите $A_{1} B_{1}$ . $15$
$k = 3$ , $S_{A BC} = 4$ . Найдите $S_{A_{1} B_{1} C_{1}}$ . $36$
Два вписанных угла опираются на одну дугу, один — $3 5^{\circ}$ . Второй? $3 5^{\circ}$
Делит ли диаметр, перпендикулярный хорде, эту хорду пополам? да

R02.3 · опора урока

Сводка · метрические соотношения в окружности

Три теоремы — одно правило

Хорды пересекаются

A E \cdot EB = CE \cdot E D

Две секущие из точки

P A \cdot PB = PC \cdot P D

Касательная и секущая

P T^{2} = P A \cdot PB

Правило: произведение расстояний от точки до двух точек окружности на прямой одно и то же для всех прямых через эту точку.

2 мин · теория
Повторить формулировки из GEOM9-019: «Если хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в точке $E$ , то $A E \cdot EB = CE \cdot E D$ »; «Если из точки $P$ проведены две секущие $P A B$ и $PC D$ , то $P A \cdot PB = PC \cdot P D$ »; «Если $PT$ — касательная, то $P T^{2} = P A \cdot PB$ ».
Общее правило (по клику): во всех трёх случаях множители — расстояния от одной точки ( $E$ или $P$ ) до двух точек пересечения прямой с окружностью. Касательная — секущая, у которой две точки слились: $PT \cdot PT$ .
Вопрос классу: как доказывали эти теоремы? (подобие треугольников по вписанным углам) — мостик к сл. 5.

R02.2 · R02.4

Сводка · где искать подобные треугольники

Три типовые картинки

Параллельная прямая

$MN ∥ A C$ ⇒ $△ MBN \sim △ A BC$

$∠ B$ общий, соответственные углы

Две хорды

$△ A EC \sim △ D EB$

вертикальные углы, $∠ C A B = ∠ C D B$ (на дугу $CB$ )

Две секущие

$△ P A C \sim △ P D B$

$∠ P$ общий, $\frac{P A}{P D} = \frac{PC}{PB}$ — II признак

Подобие с коэффициентом

k

: все отрезки

\times k

, периметр

\times k

, площадь

\times k^{2}

.

R02.4

Сводка · план решения

Пять шагов к ответу

1

Чертёж и данные на нём подписать известные отрезки, неизвестный обозначить

x

2

Узнать конфигурацию хорды пересекаются? две секущие? касательная? параллельные прямые?

3

Записать теорему или пару подобных треугольников вершины — в порядке равных углов

4

Составить уравнение и решить произведения отрезков или пропорция сходственных сторон

5

Проверить ответ что спрашивали:

PB

или

A B

? отрезок положителен? подходит к чертежу?

R02.4

Пример учителя · касательная и подобие

$PT = 6$ , $P A = 4$ . Найдите $A B$ и $T A : TB$

$P T^{2} = P A \cdot PB$ : $36 = 4 \cdot PB$ , $PB = 9$ теорема о касательной и секущей
$A B = PB - P A = 9 - 4 = 5$ точка $A$ лежит между $P$ и $B$
$\frac{PT}{P A} = \frac{6}{4} = \frac{PB}{PT} = \frac{9}{6}$ , $∠ P$ общий
⇒ $△ PT A \sim △ PBT$ II признак подобия: две стороны пропорциональны, угол между ними общий
$\frac{T A}{BT} = \frac{PT}{PB} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ сходственные стороны: $P \leftrightarrow P$ , $T \leftrightarrow B$ , $A \leftrightarrow T$

2,5 мин · теория (решает учитель, класс записывает)
Ответ: $A B = 5$ , $T A : TB = 2 : 3$ . Чертёж в масштабе ( $R = 4$ ): $T A \approx 3, 27$ , $TB \approx 4, 90$ , отношение ровно $2 : 3$ .
Вопрос перед шагом 3: «В формуле нет отрезков $T A$ и $TB$ . Как их сравнить?» — нужна пара подобных треугольников, у которых $T A$ и $TB$ — сходственные стороны.
Шаг 3 — проверить пропорцию: $1, 5 = 1, 5$ . Это то же самое, что $P T^{2} = P A \cdot PB$ , записанное как пропорция.
Соответствие вершин: против общего угла $P$ — $T A$ и $BT$ ; против $∠ P A T$ — $PT$ , против $∠ PTB$ — $PB$ .

R02.4

Образец → сам · хорды и подобие на готовом чертеже

Отрезок хорды и «поперечный» отрезок

Образец: $A E = 4$ , $EB = 9$ , $CE = 6$ , $A C = 5$ . Найдите $E D$ и $D B$ .

$4 \cdot 9 = 6 \cdot E D$ , $E D = 6$ теорема о хордах

$△ A EC \sim △ D EB$ вертикальные углы, вписанные на дугу $CB$

$\frac{A C}{D B} = \frac{A E}{D E} = \frac{4}{6}$ , $D B = 7, 5$ сходственные стороны

Сам: хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $E$

$A E = 3$ , $EB = 8$ , $CE = 4$ , $A C = 4$ . Найдите $E D$ и $D B$ . $E D = 6$ , $D B = 8$
$CE = 5$ , $E D = 4$ , $A B = 12$ , $A E < EB$ . Найдите $A E$ . $A E = 2$
$A E = EB = 6$ , $CE : E D = 1 : 4$ . Найдите $C D$ . $C D = 15$

R02.4

Образец → сам · обратная задача: касательная и секущая

Известно отношение — найдите отрезки

Образец: касательная $PT = 12$ , секущая $P A B$ , $P A : A B = 1 : 3$ . Найдите $P A$ и $A B$ .

$P A = x$ , $A B = 3 x$ , $PB = 4 x$ обозначили неизвестное

$1 2^{2} = x \cdot 4 x$ , $x^{2} = 36$ , $x = 6$ $P T^{2} = P A \cdot PB$ , $x > 0$

$P A = 6$ , $A B = 18$ проверка: $6 \cdot 24 = 144$

Сам

Касательная $PT = 10$ , хорда $A B = 15$ . Найдите $P A$ . $P A = 5$
Секущие $P A B$ и $PC D$ : $P A = 4$ , $A B = 5$ , $PC = 3$ . Найдите $C D$ . $C D = 9$
$PT = 62$ , $P A = A B$ . Найдите $PB$ . $PB = 12$

R02.4

Пример учителя · две секущие и подобие

$P A = 4$ , $PB = 9$ , $PC = 3$ , $A C = 2$ . Найдите $P D$ и $B D$

$P A \cdot PB = PC \cdot P D$ : $36 = 3 \cdot P D$ , $P D = 12$ теорема о секущих
$\frac{P A}{P D} = \frac{4}{12} = \frac{PC}{PB} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ , $∠ P$ общийдве стороны пропорциональны, угол между ними общий
$△ P A C \sim △ P D B$ , $k = 3$ II признак: $A \leftrightarrow D$ , $C \leftrightarrow B$
$B D = 3 \cdot A C = 3 \cdot 2 = 6$ $A C$ и $D B$ — сходственные стороны

R02.4

Образец → сам · чертёж строим сами

Найдите радиус окружности

Образец: хорда $A B = 16$ перпендикулярна диаметру $C D$ и пересекает его в точке $E$ , $CE = 4$ . Найдите радиус.

$A E = EB = 8$ диаметр $⊥$ хорде делит её пополам

$8 \cdot 8 = 4 \cdot E D$ , $E D = 16$ теорема о хордах

$C D = 20$ , $R = 10$ радиус — половина диаметра

Сам: сначала чертёж

Хорда $A B = 24$ перпендикулярна диаметру $C D$ , $E$ — точка пересечения, $R = 13$ , $CE < E D$ . Найдите $CE$ . $CE = 8$
Точка $E$ делит хорду на отрезки $4$ и $6$ , $R = 7$ . Найдите расстояние $OE$ . $OE = 5$
$OP = 10$ , $R = 6$ , секущая $P A B$ , $P A = 4$ . Найдите $A B$ . $A B = 12$

R02.4

Образец → сам · задача на доказательство

Докажите равенство отрезков

Образец: окружности пересекаются в $A$ и $B$ , точка $P$ — на прямой $A B$ , $P T_{1}$ и $P T_{2}$ — касательные. Докажите: $P T_{1} = P T_{2}$ .

$P T_{1}^{2} = P A \cdot PB$ для фиолетовой окружности

$P T_{2}^{2} = P A \cdot PB$ та же секущая — для зелёной

$P T_{1}^{2} = P T_{2}^{2}$ ⇒ $P T_{1} = P T_{2}$ длины положительны

Сам: докажите

Хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $E$ , $A E = E D$ . Тогда $CE = EB$ . $A E \cdot EB = CE \cdot E D$ , $A E = E D$ ⇒ $EB = CE$
Секущие $P A B$ и $PC D$ , $P A = PC$ . Тогда $A B = C D$ . $PB = P D$ ⇒ $A B = C D$
Касательная $PT$ , секущая $P A B$ . Тогда $△ PT A \sim △ PBT$ . $\frac{PT}{P A} = \frac{PB}{PT}$ , $∠ P$ общий

2,5 мин · практика
Образец: секущая $P A B$ общая для двух окружностей, поэтому квадраты обеих касательных равны одному и тому же произведению. Чертёж в масштабе: $P A = 5$ , $PB = 13$ , $P T_{1} = P T_{2} = 65 \approx 8, 06$ .
Сам — записать доказательство в 2–3 строки с обоснованием: 1) из $A E \cdot EB = CE \cdot E D$ и $A E = E D$ ⇒ $EB = CE$ . 2) $P A \cdot PB = PC \cdot P D$ и $P A = PC$ ⇒ $PB = P D$ ⇒ $A B = C D$ . 3) $P T^{2} = P A \cdot PB$ ⇒ $\frac{PT}{P A} = \frac{PB}{PT}$ ; угол $P$ общий и лежит между этими сторонами ⇒ II признак.
Следствие образца (для сильных): прямая $A B$ делит пополам общую касательную двух окружностей.

R02.4 · ПР-10

Образец → сам · задача из жизни

Арка, горизонт, тень

Образец: пролёт арочного моста $24$ м, высота арки $6$ м. Найдите радиус дуги.

$A M = MB = 12$ , $M K^{'} = 2 R - 6$ $K K^{'}$ — диаметр

$12 \cdot 12 = 6 \cdot (2 R - 6)$ , $2 R - 6 = 24$ хорды $A B$ и $K K^{'}$

$R = 15$ м проверка: $6 \cdot 24 = 144$

Сам

Обломок колеса: хорда $40$ см, высота сегмента $10$ см. Найдите диаметр колеса. $50$ см
Площадка на высоте $0, 2$ км над морем, радиус Земли $6400$ км. Как далеко горизонт? $\approx 50, 6$ км
Столб $4$ м даёт тень $3$ м, а дерево — $12$ м. Найдите высоту дерева. $16$ м

R02.4

Сводка · что дано → что применить

Ключ к задаче — в условии

В условии	Применяем
две хорды пересекаются	$A E \cdot EB = CE \cdot E D$
из точки — две секущие	$P A \cdot PB = PC \cdot P D$
касательная и секущая	$P T^{2} = P A \cdot PB$
хорда $⊥$ диаметру	делится пополам, затем — теорема о хордах
известны $R$ и $OP$	$P T^{2} = O P^{2} - R^{2}$ (касательная $⊥$ радиусу)
нужен «поперечный» отрезок	подобные треугольники: общий или вертикальный угол + пропорция

R02.4

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$P A \cdot A B = PC \cdot C D$	множители — расстояния от $P$ до обеих точек	$P A \cdot PB = PC \cdot P D$
$PT = P A \cdot PB$	касательная входит дважды: $PT \cdot PT$	$P T^{2} = P A \cdot PB$
$A E \cdot EB = CE \cdot C D$	берут отрезки хорды от точки $E$	$A E \cdot EB = CE \cdot E D$
$△ A EC \sim △ BE D$	вершины — по равным углам: $∠ A = ∠ D$	$△ A EC \sim △ D EB$

R02.4

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Секущие $P A B$ и $PC D$ : $P A = 2$ , $A B = 6$ , $PC = 3$ . Найдите $P D$ .

$2 \cdot 6 = 3 \cdot P D$

$P D = 4$

$PB = 8$ : $2 \cdot 8 = 3 \cdot P D$

$P D = \frac{16}{3}$

б) Касательная $PT = 6$ , секущая $P A B$ , $P A = 3$ . Найдите $A B$ .

$6 = 3 \cdot PB$ , $PB = 2$

$A B = 3 - 2 = 1$

$P T^{2} = 36 = 3 \cdot PB$

$PB = 12$ , $A B = 9$

в) Хорды: $A E = 2$ , $EB = 9$ , $CE = 3$ , $E D = 6$ , $A C = 3$ . Найдите $D B$ .

$\frac{A C}{D B} = \frac{A E}{EB} = \frac{2}{9}$

$D B = 13, 5$

$\frac{A C}{D B} = \frac{A E}{D E} = \frac{2}{6}$

$D B = 9$

R02.4

Задания с самопроверкой · база

Решите и сверьте

Хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $E$ : $A E = 6$ , $EB = 2$ , $C D = 7$ , $CE < E D$ . Найдите $CE$ . $3$
Касательная $PT$ , секущая $P A B$ : $P A = 2$ , $A B = 16$ . Найдите $PT$ . $6$
Секущие $P A B$ и $PC D$ : $P A = 5$ , $PB = 12$ , $P D = 10$ . Найдите $PC$ . $6$

$OP = 13$ , радиус $5$ . Найдите длину касательной из $P$ . $12$
$MN ∥ A C$ , $M \in A B$ , $N \in BC$ , $BM = 4$ , $M A = 6$ , $A C = 15$ . Найдите $MN$ . $6$
Хорды пересекаются в $E$ , $△ A EC \sim △ D EB$ , $A E = 3$ , $D E = 5$ , $A C = 6$ . Найдите $D B$ . $10$

R02.4

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Секущая $P A B$ проходит через центр, $P A = 4$ , касательная $PT = 8$ . Найдите радиус. $6$
повыш.Точка $E$ на хорде $A B$ : $A E = 2$ , $EB = 8$ , $OE = 4$ . Найдите радиус. $42$
повыш.Секущие $P A B$ и $PC D$ : $P A = 3$ , $A B = 5$ , $PC = 4$ , $A C = 2, 5$ . Найдите $B D$ . $5$
из жизниОкно — сегмент круга шириной $1, 2$ м и высотой $0, 3$ м. Найдите радиус дуги. $0, 75$ м
повыш.Хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $E$ . Докажите: $A C \cdot BE = D B \cdot CE$ . $△ A EC \sim △ D EB$ ⇒ $\frac{A C}{D B} = \frac{CE}{BE}$

R02.4 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 16 и 23

Часть 1 — число, часть 2 — решение

линия 16Через точку $A$ вне окружности проведены касательная $A K$ и секущая, пересекающая окружность в точках $B$ и $C$ ( $B$ между $A$ и $C$ ). $A K = 12$ , $A B = 8$ . Найдите $BC$ .

A C = 144 : 8 = 18

,

BC = 10

линия 23Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $A BC$ и пересекает $A B$ и $A C$ в точках $K$ и $P$ . $A K = 6$ , сторона $BC$ в $1, 5$ раза меньше $A C$ . Найдите $K P$ .

△ A K P \sim △ A CB

,

K P = 6 : 1, 5 = 4

R02.4

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в точке $E$ ; $PT$ — касательная; секущие $P A B$ и $PC D$ ( $A$ и $C$ ближе к $P$ ).

Вариант 1

$A E = 6$ , $EB = 4$ , $CE = 3$ . Найдите $E D$ . $8$
$P A = 3$ , $PB = 12$ . Найдите $PT$ . $6$
$P A = 2$ , $A B = 10$ , $PC = 4$ . Найдите $C D$ . $2$
Хорда $A B = 12$ перпендикулярна диаметру $C D$ , $CE = 2$ . Найдите радиус. $10$

Вариант 2

$A E = 8$ , $EB = 3$ , $E D = 6$ . Найдите $CE$ . $4$
$PT = 10$ , $P A = 5$ . Найдите $A B$ . $15$
$P A = 3$ , $A B = 9$ , $PC = 4$ . Найдите $C D$ . $5$
Хорда $A B = 16$ перпендикулярна диаметру $C D$ , $CE = 2$ . Найдите радиус. $17$

R02.4

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Запомнить

Множители — от точки до двух точек окружности.
Касательная — в квадрате.
«Поперечный» отрезок — через подобие.

Проверь себя

Узнаю по чертежу, какую теорему применить.
Записываю подобные треугольники в верном порядке.
Проверяю, тот ли отрезок нашёл.

Дома

Хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $E$ , $A E = 3$ , $EB = 12$ , $C D = 15$ , $CE < E D$ . Найдите $CE$ .
Касательная $PT = 4$ , хорда $A B = 6$ секущей $P A B$ . Найдите $P A$ .
Тренажёр:
reknow.ru/9/geometry/9_geometry_podobie.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9-024 · Практикум: Применение в решении геометрических задач

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R02 «Преобразование подобия. Метрические соотношения в окружности», 10 ч · урок 8/10 · тип П (практикум), продолжение GEOM9-020
Единицы → слайды	R02.4 «Применение в решении геометрических задач» → 2, 6–21 · опора на R02.3 (хорды, секущие, касательная) → 3–4 и R02.2 (соответственные элементы) → 5
Результаты	ПР-5 (теоремы о хордах, секущих, касательной) → 3–4, 7–12, 14–20 · ПР-4 (подобие, длины подобных фигур) → 5, 7, 8, 10, 13, 17–19 · ПР-10 (модели реальных задач) → 13, 18
Виды деятельности	«Решать геометрические задачи и задачи из реальной жизни с использованием подобных треугольников» → 7–13, 17–20 · «Выводить метрические соотношения… с использованием подобных треугольников» → 5, 12, 18
ОГЭ	линия 16 (окружность), линия 23 (геометрическая задача на вычисление) → 19
Вне урока	доказательство трёх теорем — GEOM9-019 · первые задачи на применение — GEOM9-020 · практикум по теоремам — GEOM9-023 · преобразование подобия — GEOM9-025 · обобщение — GEOM9-026
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: применение в решении геометрических задач

Сегодня вы научитесь

Выбирать теорему

Сочетать с подобием

Доказывать

Решать задачи из жизни

Отрезки в окружности — в уме

Три теоремы — одно правило

Хорды пересекаются

Две секущие из точки

Касательная и секущая

Три типовые картинки

Параллельная прямая

Две хорды

Две секущие

Пять шагов к ответу

PT=6, PA=4. Найдите AB и TA:TB

Отрезок хорды и «поперечный» отрезок

Образец: AE=4, EB=9, CE=6, AC=5. Найдите ED и DB.

Сам: хорды AB и CD пересекаются в E

Известно отношение — найдите отрезки

Образец: касательная PT=12, секущая PAB, PA:AB=1:3. Найдите PA и AB.

Сам

PA=4, PB=9, PC=3, AC=2. Найдите PD и BD

Найдите радиус окружности

Образец: хорда AB=16 перпендикулярна диаметру CD и пересекает его в точке E, CE=4. Найдите радиус.

Сам: сначала чертёж

Докажите равенство отрезков

Образец: окружности пересекаются в A и B, точка P — на прямой AB, PT1​ и PT2​ — касательные. Докажите: PT1​=PT2​.

Сам: докажите

Арка, горизонт, тень

Образец: пролёт арочного моста 24 м, высота арки 6 м. Найдите радиус дуги.

Сам

Ключ к задаче — в условии

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Секущие PAB и PCD: PA=2, AB=6, PC=3. Найдите PD.

б) Касательная PT=6, секущая PAB, PA=3. Найдите AB.

в) Хорды: AE=2, EB=9, CE=3, ED=6, AC=3. Найдите DB.

Решите и сверьте

Подумайте и решите

Часть 1 — число, часть 2 — решение

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Запомнить

Проверь себя

Дома

GEOM9-024 · Практикум: Применение в решении геометрических задач

$PT = 6$ , $P A = 4$ . Найдите $A B$ и $T A : TB$

Образец: $A E = 4$ , $EB = 9$ , $CE = 6$ , $A C = 5$ . Найдите $E D$ и $D B$ .

Сам: хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $E$

Образец: касательная $PT = 12$ , секущая $P A B$ , $P A : A B = 1 : 3$ . Найдите $P A$ и $A B$ .

$P A = 4$ , $PB = 9$ , $PC = 3$ , $A C = 2$ . Найдите $P D$ и $B D$

Образец: хорда $A B = 16$ перпендикулярна диаметру $C D$ и пересекает его в точке $E$ , $CE = 4$ . Найдите радиус.

Образец: окружности пересекаются в $A$ и $B$ , точка $P$ — на прямой $A B$ , $P T_{1}$ и $P T_{2}$ — касательные. Докажите: $P T_{1} = P T_{2}$ .

Образец: пролёт арочного моста $24$ м, высота арки $6$ м. Найдите радиус дуги.

а) Секущие $P A B$ и $PC D$ : $P A = 2$ , $A B = 6$ , $PC = 3$ . Найдите $P D$ .

б) Касательная $PT = 6$ , секущая $P A B$ , $P A = 3$ . Найдите $A B$ .

в) Хорды: $A E = 2$ , $EB = 9$ , $CE = 3$ , $E D = 6$ , $A C = 3$ . Найдите $D B$ .