Подобие и окружность · урок 7 из 10 · практикум

Отрезки хорд, секущих и касательной

Геометрия · 9 класс · базовый уровень
Теоремы о произведении отрезков хорд и секущих, о квадрате касательной
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R02 · GEOM9-023

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R02 «Преобразование подобия. Метрические соотношения в окружности» (10 ч), урок 7/10, единица R02.3. Тип — П (практикум): теоремы доказаны на уроке GEOM9-019, сегодня — короткая сводка с выводом и много решения.
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Теория (12): сл. 1 титул 1 · 2 цели 1 · 4 хорды 2 · 5 вывод для хорд 2 · 6 секущие 2 · 7 касательная 2 · 8 какую формулу выбрать 2.
Практика (33): 3 разминка 2,5 · 9–13 пять «Образец → сам» по 2,5 · 14 ошибки 1,5 · 15 найди ошибку 2 · 16 база 3 · 17 повышенный 2,5 · 18 ОГЭ 2 · 19 из жизни 2 · 20 самостоятельная 4 · 21 итог 1.
Если не успеваете: выводы на сл. 6–7 — устно по чертежу (теорию не выбрасывать), задания 3–4 сл. 17 — в ДЗ.

R02.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Хорды

находить отрезки двух пересекающихся хорд (ПР-5, REQ-6.5, EL-6.4)

Секущие

находить отрезки двух секущих из одной точки (ПР-5, EL-6.4)

Касательная

находить длину касательной и отрезки секущей (ПР-5, EL-6.4)

Объяснять и применять

выводить равенства подобием и решать практические задачи (ПР-4, ПР-10)

1 мин · теория
ПР-5 = REQ-6.5 (ФРП дословно): «Пользоваться теоремами о произведении отрезков хорд, о произведении отрезков секущих, о квадрате касательной». EL-6.4 — те же три теоремы.
ПР-4 = REQ-6.4: подобие и соответственные элементы — основа вывода; ПР-10 = REQ-6.10: «строить математические модели для задач реальной жизни…» — дальность горизонта (сл. 19).
Вид деятельности ФРП: «Выводить метрические соотношения между отрезками хорд, секущих и касательных с использованием вписанных углов и подобных треугольников».

R02.2 · повторение

Разминка · устно

Пропорции, вписанные углы, касательная

$4 x = 6 \cdot 8$ $x = 12$
$x^{2} = 4 \cdot 9$ , $x > 0$ $x = 6$
$3 \cdot (3 + x) = 2 \cdot 6$ $x = 1$
$\frac{x}{3} = \frac{8}{6}$ $x = 4$

Вписанный угол опирается на дугу $8 0^{\circ}$ . Найдите угол. $4 0^{\circ}$
Вписанные $∠ A CB$ и $∠ A D B$ опираются на дугу $A B$ , $∠ A CB = 3 5^{\circ}$ . Найдите $∠ A D B$ . $3 5^{\circ}$
Угол между касательной и радиусом в точке касания? $9 0^{\circ}$
Сколько пар равных углов достаточно для подобия? две

R02.3

Сводка · теорема о хордах

Хорды пересекаются внутри круга

Если хорды

A B

и

C D

пересекаются в точке

E

, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой.

A E \cdot EB = CE \cdot E D

На чертеже (в масштабе):

A E = 4

,

EB = 3

,

CE = 2

,

E D = 6

;

4 \cdot 3 = 2 \cdot 6 = 12

.

R02.3 · R02.2 · повторение GEOM9-019

Повторим вывод · теорема о хордах

Подобные треугольники $A EC$ и $D EB$

Проведём $A C$ и $D B$ построение
$∠ C A B = ∠ C D B$ вписанные, опираются на одну дугу $CB$
$∠ A EC = ∠ D EB$ вертикальные углы
$△ A EC \sim △ D EB$ по двум углам
$\frac{A E}{D E} = \frac{CE}{BE}$ , т. е. $A E \cdot EB = CE \cdot E D$ соответственные стороны пропорциональны

R02.3

Сводка · теорема о секущих

Две секущие из одной точки

P A \cdot PB = PC \cdot P D

Произведение секущей на её внешнюю часть одно и то же для любой секущей из точки

P

.

$∠ P$ — общий; $∠ P D A = ∠ PBC$ вписанные, опираются на дугу $A C$
$△ P A D \sim △ PCB$ ⇒ $\frac{P A}{PC} = \frac{P D}{PB}$ по двум углам; отсюда $P A \cdot PB = PC \cdot P D$

R02.3

Сводка · теорема о квадрате касательной

Касательная и секущая из одной точки

PT^{2} = P A \cdot PB

Квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть.

$∠ P$ — общий; $∠ PT A = ∠ PBT$ оба равны половине дуги $T A$ (угол между касательной и хордой, вписанный угол)
$△ PT A \sim △ PBT$ ⇒ $\frac{PT}{PB} = \frac{P A}{PT}$ по двум углам; отсюда $P T^{2} = P A \cdot PB$

R02.3

Сводка · какую формулу выбрать

Где точка и какие прямые через неё

	Точка и прямые	Формула
	$E$ внутри круга, две хорды	$A E \cdot EB = CE \cdot E D$
	$P$ вне круга, две секущие	$P A \cdot PB = PC \cdot P D$
	$P$ вне круга, касательная и секущая	$P T^{2} = P A \cdot PB$
	$P$ вне круга, две касательные	$P T_{1} = P T_{2}$

Множители всегда отсчитываются от точки пересечения прямых до точек на окружности.

R02.3

Образец → сам · пересекающиеся хорды

Неизвестный отрезок хорды

Образец: хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в точке $E$ , $A E = 6$ , $EB = 4$ , $CE = 3$ . Найдите $E D$ .

$A E \cdot EB = CE \cdot E D$ теорема о произведении отрезков хорд
$6 \cdot 4 = 3 \cdot E D$ подставили
$E D = 8$ $24 : 3 = 8$

Сам: хорды $A B$ и $C D$ , точка $E$

$A E = 5$ , $EB = 6$ , $CE = 10$ . Найдите $E D$ . $3$
$A E = 2$ , $EB = 9$ , $CE = E D$ . Найдите $CE$ . $32$
$CE = 4$ , $E D = 9$ , $E$ — середина $A B$ . Найдите $A B$ . $12$

R02.3

Образец → сам · известна длина хорды

Обратная задача: отрезки по длине хорды

Образец: хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в точке $E$ , $A E = 4$ , $EB = 9$ , $C D = 15$ . Найдите $CE$ и $E D$ ( $CE < E D$ ).

$CE = x$ , $E D = 15 - x$ $E$ лежит на хорде $C D$
$x (15 - x) = 4 \cdot 9 = 36$ теорема о хордах
$x^{2} - 15 x + 36 = 0$ , $x = 3$ или $x = 12$ теорема Виета: $3 + 12 = 15$ , $3 \cdot 12 = 36$
$CE = 3$ , $E D = 12$ по условию $CE < E D$

Сам

$A E = 2$ , $EB = 12$ , $C D = 11$ . Найдите $CE$ и $E D$ . $3$ и $8$
$A B = 10$ , $CE = 2$ , $E D = 8$ . Найдите $A E$ и $EB$ . $2$ и $8$
$E$ делит $A B$ в отношении $1 : 4$ , $CE = 2$ , $E D = 8$ . Найдите $A B$ . $10$

R02.3

Образец → сам · две секущие

Секущая целиком и её внешняя часть

Образец: из точки $P$ проведены секущие $P A B$ и $PC D$ ; $P A = 4$ , $A B = 5$ , $PC = 3$ . Найдите $C D$ .

$PB = P A + A B = 9$ $A$ лежит между $P$ и $B$
$P A \cdot PB = PC \cdot P D$ : $36 = 3 \cdot P D$ теорема о секущих
$P D = 12$ , $C D = 12 - 3 = 9$ $C D = P D - PC$

Сам: секущие $P A B$ и $PC D$

$P A = 3$ , $PB = 8$ , $PC = 4$ . Найдите $P D$ . $6$
$P A = 2$ , $A B = 10$ , $PC = 3$ . Найдите $C D$ . $5$
$P A = A B$ , $PC = 4$ , $P D = 8$ . Найдите $PB$ . $8$

R02.3

Образец → сам · касательная и секущая

Длина касательной

Образец: из точки $P$ проведены касательная $PT$ и секущая $P A B$ ; $P A = 4$ , $A B = 5$ . Найдите $PT$ .

$PB = 4 + 5 = 9$ секущая целиком
$P T^{2} = P A \cdot PB = 36$ теорема о квадрате касательной
$PT = 6$ длина положительна

Сам: касательная $PT$ , секущая $P A B$

$P A = 2$ , $A B = 6$ . Найдите $PT$ . $4$
$PT = 6$ , $P A = 3$ . Найдите $A B$ . $9$
$PT = 12$ , $A B = 18$ . Найдите $P A$ . $6$

R02.3

Образец → сам · комбинированная задача

Секущая через центр: находим радиус

Образец: из точки $P$ проведены касательная $PT = 12$ и секущая $P A B$ через центр $O$ , $P A = 8$ . Найдите радиус.

$P T^{2} = P A \cdot PB$ : $144 = 8 \cdot PB$ , $PB = 18$ теорема о квадрате касательной
$A B = 18 - 8 = 10$ — диаметр, $R = 5$ секущая проходит через центр. Проверка: $5^{2} + 1 2^{2} = 1 3^{2} = O P^{2}$

Сам

$PT = 6$ , секущая $P A B$ через центр, $P A = 4$ . Найдите $R$ . $2, 5$
$R = 3$ , $PT = 4$ , секущая $P A B$ через центр. Найдите $P A$ . $2$
Диаметр $C D = 10$ перпендикулярен хорде $A B$ и пересекает её в точке $E$ , $CE = 2$ . Найдите $A B$ . $8$

R02.3

Осторожно · типичные ошибки

Так нельзя

Не вся секущая

$P A \cdot A B = PC \cdot C D$

Оба множителя отсчитываются от точки $P$ : до ближней и до дальней точки.

$P A \cdot PB = PC \cdot P D$

Потерян квадрат

$PT = P A \cdot PB$

Касательная — это оба множителя сразу: $PT \cdot PT$ .

$P T^{2} = P A \cdot PB$

Смешаны хорды

$A E \cdot CE = EB \cdot E D$

Перемножают два отрезка одной хорды.

$A E \cdot EB = CE \cdot E D$

R02.3

Найди ошибку

Из $P$ : касательная $PT$ , секущие $P A B$ и $PC D$ ; $P A = 4$ , $A B = 5$ , $PC = 3$ . Найдите $PT$ и $C D$ .

Решение ученика

$P T^{2} = P A \cdot A B = 4 \cdot 5 = 20$ , $PT = 25$
$PC \cdot P D = P T^{2} = 20$ , $P D = \frac{20}{3}$
$C D = P D - PC = \frac{20}{3} - 3 = \frac{11}{3}$

Ошибка в шаге 1. Нужна вся секущая $PB = 9$ :
$P T^{2} = 4 \cdot 9 = 36$ , $PT = 6$

Шаги 2–3 пересчитать. Метод верный:
$3 \cdot P D = 36$ , $P D = 12$ , $C D = 9$

R02.3

Задания с самопроверкой · база

Решите и сверьте

базаХорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $E$ , $A E = 3$ , $EB = 8$ , $CE = 4$ . Найдите $E D$ . $6$
базаСекущие $P A B$ и $PC D$ : $P A = 5$ , $PB = 12$ , $PC = 6$ . Найдите $P D$ . $10$
базаКасательная $PT$ , секущая $P A B$ : $P A = 3$ , $PB = 27$ . Найдите $PT$ . $9$

базаХорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $E$ , $A E = EB$ , $CE = 2$ , $E D = 18$ . Найдите $A B$ . $12$
базаКасательная $PT = 10$ , секущая $P A B$ , $P A = 5$ . Найдите $PB$ . $20$
базаСекущие $P A B$ и $PC D$ : $P A = 4$ , $A B = 8$ , $PC = 6$ . Найдите $C D$ . $2$

R02.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $E$ , $A B = 13$ , $CE = 4$ , $E D = 9$ . Найдите $A E$ и $EB$ , если $A E < EB$ . $4$ и $9$
повыш.Точка $P$ удалена от центра окружности радиуса $7$ на $25$ . Найдите длину касательной из $P$ . $24$
повыш.Через точку $E$ , удалённую на $6$ от центра окружности радиуса $10$ , проведена хорда $A B$ , $A E = 4$ . Найдите $EB$ . $16$
повыш.Секущие $P A B$ и $PC D$ : $P A = 2$ , $A B = 6$ , $PC = C D$ . Найдите $PC$ . $22$

R02.3 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 16 и 23

Ответ — одно число

1. Через точку $A$ вне окружности проведены касательная $A K$ и секущая, пересекающая окружность в точках $B$ и $C$ ( $B$ между $A$ и $C$ ), $A B = 4$ , $A C = 25$ . Найдите $A K$ . $10$

Хорды $A C$ и $B D$ окружности пересекаются в точке $P$ , $BP = 15$ , $CP = 6$ , $D P = 10$ . Найдите $A P$ . $25$
Хорда $A B$ проходит через точку $P$ , $A P = 8$ , $BP = 2$ , точка $P$ удалена от центра на $3$ . Найдите радиус окружности. $5$

В бланк — только число: 10.

R02.3 · R02.4

Задача из жизни

Как далеко видно горизонт

Смотритель маяка стоит на высоте $h = 50$ м. Найдите расстояние $d$ до горизонта, если радиус Земли $R \approx 6400$ км.

$d^{2} = P A \cdot PB = h (h + 2 R)$ касательная $PT$ и секущая через центр
$d^{2} = 0, 05 \cdot 12800, 05 \approx 640$ в километрах: $h = 0, 05$ км
$d \approx 25$ км $640 \approx 25, 3$

Сам (калькулятор)

Глаза человека на берегу — на высоте $2$ м. Найдите $d$ . $\approx 5$ км
Самолёт летит на высоте $10$ км. Найдите $d$ . $\approx 358$ км
С какой высоты горизонт виден на $16$ км? $\approx 20$ м

R02.3

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Хорды $A B$ и $C D$ , точка $E$ : $A E = 4$ , $EB = 6$ , $CE = 3$ . Найдите $E D$ . $8$
Секущие $P A B$ и $PC D$ : $P A = 3$ , $PB = 10$ , $PC = 5$ . Найдите $P D$ . $6$
Касательная $PT$ , секущая $P A B$ : $P A = 4$ , $A B = 12$ . Найдите $PT$ . $8$
Касательная $PT = 6$ , секущая $P A B$ , $P A = 4$ . Найдите $A B$ . $5$

Вариант 2

Хорды $A B$ и $C D$ , точка $E$ : $A E = 5$ , $EB = 4$ , $CE = 2$ . Найдите $E D$ . $10$
Секущие $P A B$ и $PC D$ : $P A = 4$ , $PB = 9$ , $PC = 3$ . Найдите $P D$ . $12$
Касательная $PT$ , секущая $P A B$ : $P A = 2$ , $A B = 16$ . Найдите $PT$ . $6$
Касательная $PT = 10$ , секущая $P A B$ , $P A = 5$ . Найдите $A B$ . $15$

R02.3

Итог урока

Что запомнить и что сделать дома

Три теоремы

A E \cdot EB = CE \cdot E D

хорды

P A \cdot PB = PC \cdot P D

секущие

P T^{2} = P A \cdot PB

касательная и секущая

Проверь себя

Определяю, где точка: внутри или вне круга.
Отсчитываю отрезки от этой точки.
Не теряю квадрат у касательной.

Дома

Хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $E$ , $CE = 2$ , $E D = 15$ , $A B = 13$ . Найдите $A E$ и $EB$ .
Касательная $PT = 15$ , секущая $P A B$ через центр, $P A = 9$ . Найдите $R$ .
Тренажёр:
reknow.ru/9/geometry/9_geometry_podobie.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9-023 · Практикум: Теорема о произведении отрезков хорд, теорема о произведении отрезков секущих, теорема о квадрате касательной

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R02 «Преобразование подобия. Метрические соотношения в окружности», 10 ч · урок 7/10 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R02.3 «Теорема о произведении отрезков хорд, теорема о произведении отрезков секущих, теорема о квадрате касательной» → 2, 4–21 · опора на R02.2 (соответственные элементы подобных фигур) → 3, 5–7 · R02.4 (применение) → 13, 19
Результаты	ПР-5 = REQ-6.5 (теоремы о хордах, секущих, квадрате касательной) → 2, 4–21 · ПР-4 = REQ-6.4 (подобие) → 5–7 · ПР-10 = REQ-6.10 (модели реальных задач) → 19 · EL-6.4 → 4–8
Виды деятельности	«Выводить метрические соотношения между отрезками хорд, секущих и касательных с использованием вписанных углов и подобных треугольников» → 5–7 · «Решать геометрические задачи и задачи из реальной жизни…» → 9–13, 16–20
ОГЭ	линия 16 (окружность) → 18 · линия 23 (задача на вычисление) → 17, 18
Вне урока	первичное доказательство теорем — GEOM9-019 · комбинированные задачи с подобием — GEOM9-024 · обобщение строки — GEOM9-026
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Отрезки хорд, секущих и касательной

Сегодня вы научитесь

Хорды

Секущие

Касательная

Объяснять и применять

Пропорции, вписанные углы, касательная

Хорды пересекаются внутри круга

Подобные треугольники AEC и DEB

Две секущие из одной точки

Касательная и секущая из одной точки

Где точка и какие прямые через неё

Неизвестный отрезок хорды

Образец: хорды AB и CD пересекаются в точке E, AE=6, EB=4, CE=3. Найдите ED.

Сам: хорды AB и CD, точка E

Обратная задача: отрезки по длине хорды

Образец: хорды AB и CD пересекаются в точке E, AE=4, EB=9, CD=15. Найдите CE и ED (CE<ED).

Сам

Секущая целиком и её внешняя часть

Образец: из точки P проведены секущие PAB и PCD; PA=4, AB=5, PC=3. Найдите CD.

Сам: секущие PAB и PCD

Длина касательной

Образец: из точки P проведены касательная PT и секущая PAB; PA=4, AB=5. Найдите PT.

Сам: касательная PT, секущая PAB

Секущая через центр: находим радиус

Образец: из точки P проведены касательная PT=12 и секущая PAB через центр O, PA=8. Найдите радиус.

Сам

Так нельзя

Не вся секущая

Потерян квадрат

Смешаны хорды

Из P: касательная PT, секущие PAB и PCD; PA=4, AB=5, PC=3. Найдите PT и CD.

Решение ученика

Решите и сверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

Как далеко видно горизонт

Смотритель маяка стоит на высоте h=50 м. Найдите расстояние d до горизонта, если радиус Земли R≈6400 км.

Сам (калькулятор)

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Что запомнить и что сделать дома

Три теоремы

Проверь себя

Дома

GEOM9-023 · Практикум: Теорема о произведении отрезков хорд, теорема о произведении отрезков секущих, теорема о квадрате касательной

Подобные треугольники $A EC$ и $D EB$

Образец: хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в точке $E$ , $A E = 6$ , $EB = 4$ , $CE = 3$ . Найдите $E D$ .

Сам: хорды $A B$ и $C D$ , точка $E$

Образец: хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в точке $E$ , $A E = 4$ , $EB = 9$ , $C D = 15$ . Найдите $CE$ и $E D$ ( $CE < E D$ ).

Образец: из точки $P$ проведены секущие $P A B$ и $PC D$ ; $P A = 4$ , $A B = 5$ , $PC = 3$ . Найдите $C D$ .

Сам: секущие $P A B$ и $PC D$

Образец: из точки $P$ проведены касательная $PT$ и секущая $P A B$ ; $P A = 4$ , $A B = 5$ . Найдите $PT$ .

Сам: касательная $PT$ , секущая $P A B$

Образец: из точки $P$ проведены касательная $PT = 12$ и секущая $P A B$ через центр $O$ , $P A = 8$ . Найдите радиус.

Из $P$ : касательная $PT$ , секущие $P A B$ и $PC D$ ; $P A = 4$ , $A B = 5$ , $PC = 3$ . Найдите $PT$ и $C D$ .

Смотритель маяка стоит на высоте $h = 50$ м. Найдите расстояние $d$ до горизонта, если радиус Земли $R \approx 6400$ км.