Подобие · урок 6 из 10 · практикум

Соответственные элементы подобных фигур

Геометрия · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R02 · GEOM9-022

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R02 «Преобразование подобия. Метрические соотношения в окружности» (10 ч), урок 6/10, единица R02.2. Тип урока — П (практикум).
Теория (12): титул 1 · цели 1 · сводка «соответственные элементы» 3 · доказательство для высот и медиан 3 · отношение площадей 2 · схема-конспект 2.
Практика (33): разминка 2,5 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: образец 6 (клетчатая бумага) и задание 4 повышенного уровня — в ДЗ; самостоятельную не сокращать.

R02.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Находить соответственные элементы

стороны, углы, высоты, медианы подобных фигур

Вычислять длины и углы

через коэффициент подобия $k$ — в обе стороны

Работать с площадями

$S_{1} : S = k^{2}$ — прямая и обратная задача

Применять подобие на практике

карта, план, модель, фото; задачи ОГЭ

1 мин · теория
ПР-4 (результат 4 по ФРП): «Владеть понятиями преобразования подобия, соответственных элементов подобных фигур. Пользоваться свойствами подобия произвольных фигур, уметь вычислять длины и находить углы у подобных фигур. Применять свойства подобия в практических задачах. Уметь приводить примеры подобных фигур в окружающем мире».
Вид деятельности ФРП R02: «Исследовать отношение линейных элементов фигур при преобразовании подобия. Находить примеры подобия в окружающей действительности».

повторение: GEOM9-021

Разминка · устно

Преобразование подобия и гомотетия

Гомотетия с $k = 2$ : $O A = 3$ . Найдите $O A_{1}$ . $6$
При подобии с $k = 3$ отрезок $5$ см переходит в отрезок… $15$ см
$△ A BC \sim △ K MN$ , $∠ A = 5 0^{\circ}$ , $∠ B = 7 0^{\circ}$ . Найдите $∠ N$ . $6 0^{\circ}$
Подобны ли треугольники со сторонами $3, 4, 5$ и $6, 8, 10$ ? да, $k = 2$
Квадрат со стороной $2$ увеличили в $3$ раза. Сторона? Площадь? $6$ и $36$

R02.2

Сводка · соответственные элементы

Что сохраняется, а что умножается на $k$

Соответственные элементы — переходят друг в друга при подобии: стороны против равных углов, высоты, медианы, биссектрисы из соответственных вершин.

\frac{a _{1}}{a} = \frac{h _{1}}{h} = \frac{m _{1}}{m} = \frac{P _{1}}{P} = k

Углы равны: $∠ A_{1} = ∠ A$ , $∠ B_{1} = ∠ B$

Площадь: $S_{1} = k^{2} S$

3 мин · теория
Напомнить урок GEOM9-018: при преобразовании подобия с коэффициентом k все расстояния умножаются на k. Значит, любой отрезок, построенный «одинаково» в двух фигурах (высота из соответственной вершины, медиана, биссектриса, радиус вписанной и описанной окружности), тоже умножается на k.
Коэффициент k = (элемент второй фигуры) : (соответственный элемент первой). Если k больше 1 — увеличение, если меньше 1 — уменьшение.
Вопрос классу: какая сторона △A₁B₁C₁ соответствует AC? (A₁C₁ — против равных углов B и B₁.)
На чертеже k = 1,4: стороны a и ka, высоты h и kh; равные углы — одинаковыми дугами.

R02.2

Сводка · доказательство для высот и медиан

Почему высоты и медианы относятся как $k$

Дано:

△ A_{1} B_{1} C_{1} \sim △ A BC

,

k

;

B H

,

B_{1} H_{1}

— высоты,

BM

,

B_{1} M_{1}

— медианы.
Доказать:

\frac{B _{1} H _{1}}{B H} = \frac{B _{1} M _{1}}{BM} = k

.

1

△ A_{1} B_{1} H_{1} \sim △ A B H

∠ A_{1} = ∠ A

,

∠ H_{1} = ∠ H = 9 0^{\circ}

— по двум углам

2

\frac{B _{1} H _{1}}{B H} = \frac{A _{1} B _{1}}{A B} = k

соответственные стороны подобных треугольников

3

\frac{A _{1} M _{1}}{A M} = \frac{A _{1} C _{1} /2}{A C /2} = k

,

∠ A_{1} = ∠ A

\Rightarrow △ A_{1} B_{1} M_{1} \sim △ A BM

— по двум сторонам и углу

4

\frac{B _{1} M _{1}}{BM} = k

так же для биссектрис: равные половины углов

3 мин · теория
Каждый шаг — вопрос «почему?». Цвета: высоты розовые, медианы бирюзовые, как на чертеже.
Для биссектрис BL и B₁L₁: ∠A₁ = ∠A и ∠A₁B₁L₁ = ½∠B₁ = ½∠B = ∠ABL ⇒ △A₁B₁L₁ ∼ △ABL по двум углам ⇒ B₁L₁ : BL = k.
Если высота падает на продолжение стороны (тупой угол A), доказательство то же: в прямоугольных треугольниках равны острые углы, смежные с ∠A и ∠A₁.
Вывод: любые соответственные отрезки подобных треугольников относятся как k.

R02.2

Сводка · отношение площадей

Площади подобных фигур относятся как $k^{2}$

$S = \frac{1}{2} b h$ площадь треугольника

$S_{1} = \frac{1}{2} (kb) (kh)$ сторона и высота умножились на $k$

S_{1} = k^{2} S

,

\frac{S _{1}}{S} = k^{2}

Обратно: $k = \frac{S _{1}}{S}$

R02.2

Схема-конспект · подобные фигуры

Одна таблица на всю тему

Величина	При подобии	$k = 3$
стороны, высоты, медианы, биссектрисы	$\times k$	$\times 3$
периметр, радиусы окружностей	$\times k$	$\times 3$
углы	не меняются	те же
площадь	$\times k^{2}$	$\times 9$

Всегда подобны

две окружности, два квадрата, два равносторонних треугольника, два правильных $n$ -угольника

Алгоритм

соответствие — по равным углам
$k$ = второй : первый
длины $\times k$ , площади $\times k^{2}$

R02.2

Образец → сам · стороны и периметр

Найдите коэффициент, затем стороны

Образец: $△ A_{1} B_{1} C_{1} \sim △ A BC$ , $A B = 4$ , $BC = 5$ , $A C = 6$ , $A_{1} C_{1} = 9$ . Найдите $A_{1} B_{1}$ , $B_{1} C_{1}$ , $P_{1}$ .

$k = \frac{A _{1} C _{1}}{A C} = \frac{9}{6} = 1, 5$ соответственные стороны

$A_{1} B_{1} = 6$ , $B_{1} C_{1} = 7, 5$ умножаем на $k$

$P_{1} = 1, 5 \cdot 15 = 22, 5$ $P_{1} = k P$

Сам

Стороны треугольника $5$ , $7$ , $9$ . Наибольшая сторона подобного ему равна $27$ . Найдите остальные. $15$ и $21$
Периметры подобных треугольников $24$ и $36$ , сторона первого $10$ . Соответственная сторона второго? $15$
$△ A BC \sim △ D EF$ , $A B = 3$ , $D E = 12$ , $∠ A = 4 0^{\circ}$ , $∠ B = 6 5^{\circ}$ . Найдите $k$ и $∠ F$ . $k = 4$ , $∠ F = 7 5^{\circ}$

R02.2

Образец → сам · высоты, медианы, радиусы

Соответственные отрезки — тоже в $k$ раз

Образец: $△ A_{1} B_{1} C_{1} \sim △ A BC$ , $A B = 6$ , $A_{1} B_{1} = 9$ , высота $B H = 4$ . Найдите высоту $B_{1} H_{1}$ .

$k = \frac{A _{1} B _{1}}{A B} = \frac{9}{6} = 1, 5$

$B_{1} H_{1} = k \cdot B H = 1, 5 \cdot 4 = 6$ высоты из соответственных вершин

Сам

Соответственные стороны подобных треугольников $6$ и $9$ , биссектриса первого $4$ . Найдите соответственную биссектрису второго. $6$
Соответственные высоты $3$ и $7, 5$ , периметр первого $14$ . Периметр второго? $35$
Треугольники со сторонами $3, 4, 5$ и $9, 12, 15$ . Радиус описанной окружности первого $2, 5$ . Радиус второго? $7, 5$

R02.2

Образец → сам · площади, обратная задача

От отношения площадей — к сторонам

Образец: площади подобных треугольников $18$ и $50$ , сторона меньшего $6$ . Найдите соответственную сторону большего.

$k^{2} = \frac{50}{18} = \frac{25}{9}$ $S_{1} : S = k^{2}$

$k = \frac{5}{3}$ $k > 0$

$x = 6 \cdot \frac{5}{3} = 10$

Сам

$k = 3$ , площадь меньшего треугольника $7$ . Площадь большего? $63$
Соответственные стороны относятся как $2 : 5$ , площадь меньшего $12$ . Площадь большего? $75$
Площади подобных треугольников $16$ и $36$ , периметр большего $27$ . Периметр меньшего? $18$

R02.2

Образец → сам · отсечённый треугольник

Прямая, параллельная стороне, отсекает подобный

Образец: $D E ∥ A C$ , $B D : D A = 2 : 3$ , $S_{A BC} = 50$ . Найдите $S_{D BE}$ и $S_{A D EC}$ .

$△ D BE \sim △ A BC$ $∠ B$ общий, $∠ B D E = ∠ A$

$k = \frac{B D}{B A} = \frac{2}{5}$ , $S_{D BE} = 50 \cdot \frac{4}{25} = 8$

$S_{A D EC} = 50 - 8 = 42$

Сам: сделайте чертёж

$D E ∥ A C$ , $B D = 3$ , $A B = 9$ , $S_{D BE} = 5$ . Найдите $S_{A BC}$ . $45$
$MN$ — средняя линия $△ A BC$ , $S_{A BC} = 48$ . Найдите площадь отсечённого треугольника и трапеции. $12$ и $36$
$D E ∥ A C$ , $A C = 15$ , $D E = 6$ , $S_{A BC} = 75$ . Найдите $S_{A D EC}$ . $63$

R02.2

Образец → сам · задача из жизни

Карта, модель, фотография

Образец: масштаб карты $1 : 50000$ , участок на карте — прямоугольник $3 \times 2$ см. Найдите его настоящую площадь.

$3$ см $\to 1500$ м, $2$ см $\to 1000$ м $k = 50000$

$S = 1, 5 \cdot 1 = 1, 5 км^{2}$ $6 см^{2} \cdot k^{2}$

Сам

Фото $10 \times 15$ см напечатали в формате $20 \times 30$ см. Во сколько раз больше бумаги? в $4$ раза
Модель самолёта $1 : 72$ , размах крыльев модели $50$ см. Размах настоящего? $36$ м
На покраску модели $1 : 10$ ушло $50$ г краски. Сколько краски нужно на оригинал? $5$ кг

R02.2

Образец → сам · клетчатая бумага

Считаем клетки и проверяем $k^{2}$

Образец: треугольники 1 и 2 подобны. Найдите $k$ и площадь треугольника 2 (клетка $1 \times 1$ ).

основания $3$ и $6$ : $k = 2$ высоты $2$ и $4$

$S_{1} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3$ , $S_{2} = 3 \cdot 2^{2} = 12$

Сам: нарисуйте в тетради

Треугольник площадью $6$ клеток увеличили в $3$ раза по сторонам. Площадь образа? $54$ клетки
Окружности радиусов $2$ и $5$ клеток. Отношение длин и площадей? $2 : 5$ и $4 : 25$
Подобны ли прямоугольники $2 \times 3$ и $4 \times 5$ клеток? нет: $\frac{4}{2} \neq = \frac{5}{3}$

R02.2

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$k = 3$ ⇒ площадь больше в $3$ раза	площадь — произведение двух длин, каждая $\times 3$	в $k^{2} = 9$ раз
Площади $4 : 9$ ⇒ стороны $4 : 9$	обратный ход: из отношения площадей извлекают корень	стороны $2 : 3$
Периметры относятся как $k^{2}$	периметр — сумма длин, а не площадь	$P_{1} : P = k$
$△ A BC \sim △ K MN$ ⇒ $A B$ соответствует $MN$ «по рисунку»	соответствие — по равным углам, порядку букв	$A B \leftrightarrow K M$ , $BC \leftrightarrow MN$

R02.2

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Соответственные стороны $4$ и $6$ , $S_{1} = 8$ . Найдите $S_{2}$ .

$k = 6 : 4 = 1, 5$

$S_{2} = 8 \cdot 1, 5 = 12$

$S_{2} = 8 \cdot 1, 5^{2} = 18$

б) $△ A BC \sim △ D EF$ , $A B = 4$ , $BC = 6$ , $D E = 6$ . Найдите $EF$ .

$k = \frac{A B}{D E} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

$EF = 6 \cdot \frac{2}{3} = 4$

$k = \frac{D E}{A B} = \frac{3}{2}$ , $EF = 9$

в) Площади подобных $25$ и $36$ , периметр меньшего $20$ . Периметр большего?

$k = \frac{36}{25}$

$P = 20 \cdot \frac{36}{25} = 28, 8$

$k = \frac{6}{5}$ , $P = 24$

R02.2

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $k = 4$ , сторона $2, 5$ . Соответственная сторона? $10$
базаПериметры $15$ и $45$ , сторона меньшего $4$ . Соответственная сторона большего? $12$
база $k = 0, 5$ , площадь исходного $36$ . Площадь образа? $9$

базаПлощади относятся как $1 : 4$ , сторона большего $10$ . Соответственная сторона меньшего? $5$
базаСоответственные медианы $6$ и $9$ , площадь меньшего $20$ . Площадь большего? $45$
базаСтороны $6, 8, 10$ ; у подобного наименьшая сторона $9$ . Наибольшая? $15$

R02.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Средняя линия отсекает от треугольника треугольник с периметром $12$ и площадью $10$ . Найдите периметр и площадь исходного. $24$ и $40$
повыш.В трапеции $A BC D$ основания $BC = 4$ , $A D = 10$ , диагонали пересекаются в точке $O$ , $S_{BOC} = 8$ . Найдите $S_{A O D}$ . $50$
повыш.Площади подобных многоугольников $50$ и $32$ , сумма их периметров $54$ . Найдите периметры. $30$ и $24$
из жизниПицца $\emptyset 30$ см стоит $450$ ₽, пицца $\emptyset 40$ см — $750$ ₽. Какая выгоднее? большая

R02.2 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 15Точки $D$ и $E$ — середины сторон $A C$ и $BC$ треугольника $A BC$ . Площадь треугольника $C D E$ равна $13$ . Найдите площадь треугольника $A BC$ . $52$
ОГЭ 15Прямая, параллельная стороне $A C$ треугольника $A BC$ , пересекает стороны $A B$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ ; $A B = 36$ , $A C = 27$ , $MN = 18$ . Найдите $A M$ . $12$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Площади подобных треугольников относятся как коэффициент подобия.
Любые два квадрата подобны.
Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Ответ: 23

R02.2

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Стороны $4$ , $6$ , $7$ ; $k = 2$ . Стороны подобного? $8$ , $12$ , $14$
$k = 3$ , $S_{1} = 5$ . Найдите $S_{2}$ . $45$
Площади подобных $12$ и $27$ , сторона меньшего $4$ . Соответственная сторона большего? $6$
$D E ∥ A C$ , $B D : B A = 1 : 3$ , $S_{A BC} = 36$ . Найдите $S_{D BE}$ . $4$

Вариант 2

Стороны $3$ , $5$ , $6$ ; $k = 3$ . Стороны подобного? $9$ , $15$ , $18$
$k = 4$ , $S_{1} = 3$ . Найдите $S_{2}$ . $48$
Площади подобных $8$ и $50$ , сторона меньшего $6$ . Соответственная сторона большего? $15$
$D E ∥ A C$ , $B D : B A = 2 : 3$ , $S_{A BC} = 45$ . Найдите $S_{D BE}$ . $20$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какие элементы подобных фигур относятся как $k$ ?
Как относятся площади?
Как найти $k$ по отношению площадей?

Домашнее задание

Площади подобных $20$ и $45$ , сторона большего $12$ . Найдите сторону меньшего.
$D E ∥ A C$ , $B D = 4$ , $D A = 6$ , $S_{D BE} = 8$ . Найдите $S_{A BC}$ .
Масштаб карты $1 : 20000$ , участок — $5 см^{2}$ . Площадь в гектарах?
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_podobie.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9-022 · Практикум: соответственные элементы подобных фигур

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R02 «Преобразование подобия. Метрические соотношения в окружности», 10 ч · урок 6/10 · тип П
Единицы → слайды	R02.2 «Соответственные элементы подобных фигур» → 2, 4–20 · повторение R02.1 (GEOM9-021) → 3
Результаты	ПР-4 (понятия преобразования подобия и соответственных элементов, длины и углы подобных фигур, практические задачи, примеры из окружающего мира) → 4–20
Вне урока	теоремы о хордах, секущих, касательной — GEOM9-019, GEOM9-023; признаки подобия треугольников — 8 класс (используются как известные)
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Соответственные элементы подобных фигур

Сегодня вы научитесь

Находить соответственные элементы

Вычислять длины и углы

Работать с площадями

Применять подобие на практике

Преобразование подобия и гомотетия

Что сохраняется, а что умножается на k

Почему высоты и медианы относятся как k

Площади подобных фигур относятся как k2

Одна таблица на всю тему

Всегда подобны

Алгоритм

Найдите коэффициент, затем стороны

Образец: △A1​B1​C1​∼△ABC, AB=4, BC=5, AC=6, A1​C1​=9. Найдите A1​B1​, B1​C1​, P1​.

Сам

Соответственные отрезки — тоже в k раз

Образец: △A1​B1​C1​∼△ABC, AB=6, A1​B1​=9, высота BH=4. Найдите высоту B1​H1​.

Сам

От отношения площадей — к сторонам

Образец: площади подобных треугольников 18 и 50, сторона меньшего 6. Найдите соответственную сторону большего.

Сам

Прямая, параллельная стороне, отсекает подобный

Образец: DE∥AC, BD:DA=2:3, SABC​=50. Найдите SDBE​ и SADEC​.

Сам: сделайте чертёж

Карта, модель, фотография

Образец: масштаб карты 1:50000, участок на карте — прямоугольник 3×2 см. Найдите его настоящую площадь.

Сам

Считаем клетки и проверяем k2

Образец: треугольники 1 и 2 подобны. Найдите k и площадь треугольника 2 (клетка 1×1).

Сам: нарисуйте в тетради

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Соответственные стороны 4 и 6, S1​=8. Найдите S2​.

б) △ABC∼△DEF, AB=4, BC=6, DE=6. Найдите EF.

в) Площади подобных 25 и 36, периметр меньшего 20. Периметр большего?

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9-022 · Практикум: соответственные элементы подобных фигур

Что сохраняется, а что умножается на $k$

Почему высоты и медианы относятся как $k$

Площади подобных фигур относятся как $k^{2}$

Образец: $△ A_{1} B_{1} C_{1} \sim △ A BC$ , $A B = 4$ , $BC = 5$ , $A C = 6$ , $A_{1} C_{1} = 9$ . Найдите $A_{1} B_{1}$ , $B_{1} C_{1}$ , $P_{1}$ .

Соответственные отрезки — тоже в $k$ раз

Образец: $△ A_{1} B_{1} C_{1} \sim △ A BC$ , $A B = 6$ , $A_{1} B_{1} = 9$ , высота $B H = 4$ . Найдите высоту $B_{1} H_{1}$ .

Образец: площади подобных треугольников $18$ и $50$ , сторона меньшего $6$ . Найдите соответственную сторону большего.

Образец: $D E ∥ A C$ , $B D : D A = 2 : 3$ , $S_{A BC} = 50$ . Найдите $S_{D BE}$ и $S_{A D EC}$ .

Образец: масштаб карты $1 : 50000$ , участок на карте — прямоугольник $3 \times 2$ см. Найдите его настоящую площадь.

Считаем клетки и проверяем $k^{2}$

Образец: треугольники 1 и 2 подобны. Найдите $k$ и площадь треугольника 2 (клетка $1 \times 1$ ).

а) Соответственные стороны $4$ и $6$ , $S_{1} = 8$ . Найдите $S_{2}$ .

б) $△ A BC \sim △ D EF$ , $A B = 4$ , $BC = 6$ , $D E = 6$ . Найдите $EF$ .

в) Площади подобных $25$ и $36$ , периметр меньшего $20$ . Периметр большего?