Преобразование подобия · урок 5 из 10 · практикум

Понятие о преобразовании подобия

Геометрия · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R02 · GEOM9-021

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R02 «Преобразование подобия. Метрические соотношения в окружности» (10 ч), урок 5/10, единица R02.1. Тип — П (практикум), первый практикум по понятию подобия: новое понятие введено на уроке GEOM9-017. Сегодня — задачи: образ точки и отрезка при гомотетии, поиск центра и коэффициента, отрезок, параллельный стороне, периметры и площади, гомотетия в координатах.
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Теория (12): сл. 1 титул 1 · 2 цели 1 · 4 преобразование подобия 3,5 · 5 гомотетия 3,5 · 6 план решения 3.
Практика (33): 3 разминка 2,5 · 7–11 пять «Образец → сам» 3 + 3 + 3 + 3 + 3 · 12 ошибки 1,5 · 13 найди ошибку 2 · 14 база 3 · 15 повышенный 2 · 16 ОГЭ 2 · 17 самостоятельная 4 · 18 итог 1.
Если не успеваете: задания 3–4 на сл. 15 — в ДЗ; сводку на сл. 5 не сокращать — на ней держатся сл. 7–11.

R02.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Строить образ при гомотетии

точки, отрезка, фигуры — при $k > 0$ и $k < 0$ (ПР-4)

Находить центр и коэффициент

по фигуре и её образу: трапеция, треугольник (ПР-4)

Вычислять длины, периметры, площади

подобных фигур: $k$ и $k^{2}$ (ПР-4)

Видеть подобие вокруг

карта, фотография, камера-обскура (ПР-4, ПР-10)

1 мин · теория
ПР-4: «Владеть понятиями преобразования подобия, соответственных элементов подобных фигур. Пользоваться свойствами подобия произвольных фигур, уметь вычислять длины и находить углы у подобных фигур. Применять свойства подобия в практических задачах. Уметь приводить примеры подобных фигур в окружающем мире».
ПР-10: практические задачи — построение математической модели с применением подобия (сл. 15, задача о камере-обскуре).

R02.1 · R02.3 · повторение

Разминка · устно

Подобные треугольники и отрезки в окружности

$△ A BC \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}$ , $k = 3$ , $A B = 4$ . Найдите $A_{1} B_{1}$ . $12$
Коэффициент подобия $2$ . Во сколько раз отличаются площади? в $4$ раза
Периметры подобных треугольников относятся как $2 : 5$ . А площади? $4 : 25$
$\frac{x}{6} = \frac{4}{3}$ . Найдите $x$ . $8$

Хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $E$ : $A E = 4$ , $EB = 3$ , $CE = 6$ . Найдите $E D$ . $2$
Касательная $MT = 6$ , секущая $M A B$ , $M A = 4$ . Найдите $MB$ . $9$
Угол $4 0^{\circ}$ при подобии переходит в угол … $4 0^{\circ}$
Точка $(2; - 3)$ : умножьте обе координаты на $2$ . $(4; - 6)$

R02.1

Сводка · преобразование подобия

Все расстояния умножаются на одно число $k$

$A_{1} B_{1} = k \cdot A B, k > 0$

Фигуры подобны, если одна переходит в другую преобразованием подобия.

прямая → прямая, отрезок → отрезок
углы сохраняются
$P_{1} = k \cdot P$ , $S_{1} = k^{2} \cdot S$

3,5 мин · теория
Чертёж точный: $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ получен из $△ A BC$ поворотом на $1 8^{\circ}$ и растяжением в $1, 5$ раза — все три стороны умножены на $1, 5$ . Стороны одного цвета — соответственные, углы с одинаковыми дугами равны.
Вопрос классу: преобразование с $k = 1$ — что это? (Движение: расстояния сохраняются.) Любое подобие — это гомотетия, за которой следует движение (сл. 5).
Почему $S_{1} = k^{2} S$ : у треугольника основание и высота умножаются на $k$ , площадь — на $k \cdot k$ ; многоугольник режем на треугольники.

R02.1

Сводка · гомотетия

Центр $O$ и коэффициент $k \neq = 0$

$k > 0$ : $A_{1}$ на луче $O A$ , $O A_{1} = k \cdot O A$

$k < 0$ : $A_{2}$ на продолжении луча за $O$ , $O A_{2} = ∣ k ∣ \cdot O A$

$A_{1} B_{1} ∥ A B$ , $A_{1} B_{1} = ∣ k ∣ \cdot A B$ — подобие с коэффициентом $∣ k ∣$

3,5 мин · теория
Чертёж точный: белый $△ A BC$ , розовый — образ при $k = 2$ , бирюзовый — при $k = - 1$ (центральная симметрия); пунктир — прямые через центр $O$ и соответственные вершины (все три проходят через $O$ ).
Вопросы: где образ при $k = 1$ ? (сама фигура). А при $k = - 0, 5$ ? (по другую сторону от $O$ , вдвое меньше). Почему $A_{1} B_{1} ∥ A B$ ? ( $△ O A B \sim △ O A_{1} B_{1}$ по двум сторонам и углу между ними, соответственные углы равны.)
Гомотетия — частный случай подобия: прямая переходит в параллельную ей прямую (или в себя, если проходит через $O$ ).

R02.1

Сводка · план решения

Что дано → что делаем

Дано	Как найти
центр $O$ , $k$ , точка $A$	$O A_{1} = ∣ k ∣ \cdot O A$ , сторона луча — по знаку $k$
фигура и её образ	$k = \frac{A _{1} B _{1}}{A B}$ ; центр — пересечение $A A_{1}$ и $B B_{1}$
$MN ∥ A C$ в $△ A BC$	гомотетия с центром $B$ : $k = \frac{BM}{B A}$ (вся сторона!)
периметр, площадь	$P_{1} = k P$ , $S_{1} = k^{2} S$ , $k = S_{1} : S$
центр $O (0; 0)$ , точка $(x; y)$	образ $(k x; k y)$

R02.1

Образец → сам · образ при гомотетии

Длины умножаются на $∣ k ∣$

Образец: гомотетия с центром $O$ , $k = 3$ : $A \to A_{1}$ , $B \to B_{1}$ . $O A = 2$ , $A B = 1, 5$ . Найдите $O A_{1}$ , $A A_{1}$ , $A_{1} B_{1}$ .

$O A_{1} = 3 \cdot O A = 6$ $k > 0$ : $A_{1}$ на луче $O A$
$A A_{1} = O A_{1} - O A = 4$ $A$ лежит между $O$ и $A_{1}$
$A_{1} B_{1} = 3 \cdot A B = 4, 5$ , $A_{1} B_{1} ∥ A B$ свойство гомотетии

Сам

$k = - 2$ , $O A = 3$ . Найдите $O A_{1}$ и $A A_{1}$ . $6$ ; $9$
$k = \frac{1}{2}$ , $A B = 8$ . Найдите $A_{1} B_{1}$ . $4$
$O A = 4$ , $O A_{1} = 10$ , точки $A$ и $A_{1}$ по одну сторону от $O$ . Найдите $k$ . $2, 5$

R02.1

Образец → сам · центр и коэффициент

Трапеция: центр — точка пересечения диагоналей

Образец: трапеция $A BC D$ , $BC = 4$ , $A D = 10$ , $A C = 7$ , диагонали пересекаются в $O$ . Найдите $OC$ и $O A$ .

$C \to A$ , $B \to D$ : $k = - \frac{A D}{BC} = - 2, 5$ гомотетия с центром $O$ , $BC ∥ A D$ ; $k < 0$
$O A = 2, 5 OC$ , $3, 5 OC = 7$ ⇒ $OC = 2$ , $O A = 5$ $O A + OC = A C$

Сам

Основания трапеции $3$ и $9$ , диагональ $B D = 16$ . Найдите $OB$ и $O D$ . $4$ ; $12$
Боковые стороны трапеции продолжены до пересечения в $P$ ; $BC = 5$ , $A D = 15$ , $PB = 4$ . Найдите $A B$ . $8$
Гомотетия переводит отрезок $6$ в отрезок $9$ по другую сторону от центра. Найдите $k$ . $- 1, 5$

R02.1

Образец → сам · отрезок параллельно стороне

Гомотетия с центром в вершине

Образец: $MN ∥ A C$ , $BM = 6$ , $M A = 3$ , $A C = 12$ . Найдите $MN$ и отношение площадей.

Гомотетия с центром $B$ , $k = \frac{B A}{BM} = \frac{9}{6} = 1, 5$ : $△ MBN \to △ A BC$ $MN ∥ A C$ , $B A = BM + M A$
$MN = \frac{A C}{1 , 5} = 8$ , $S_{A BC} : S_{MBN} = 1, 5^{2} = \frac{9}{4}$ $A_{1} B_{1} = k A B$ , $S_{1} = k^{2} S$

Сам ( $MN ∥ A C$ )

$BM = 2$ , $M A = 3$ , $MN = 4$ . Найдите $A C$ . $10$
$MN : A C = 2 : 5$ , $S_{MBN} = 8$ . Найдите $S_{A BC}$ . $50$
$S_{MBN} : S_{A BC} = 1 : 4$ , $A B = 10$ . Найдите $BM$ . $5$

R02.1

Образец → сам · периметры и площади

По площадям — коэффициент, по нему — периметр

Образец: площади двух подобных многоугольников $18$ и $50$ , периметр меньшего $24$ . Найдите периметр большего.

$k^{2} = \frac{50}{18} = \frac{25}{9}$ , $k = \frac{5}{3}$ $S_{1} = k^{2} S$ , $k > 0$
$P_{1} = \frac{5}{3} \cdot 24 = 40$ $P_{1} = k P$

Сам

Коэффициент подобия $4$ , площадь фигуры $3$ . Найдите площадь образа. $48$
Периметры подобных треугольников $12$ и $18$ , площадь большего $36$ . Найдите площадь меньшего. $16$
Масштаб карты $1 : 50000$ , участок на карте — $6 см^{2}$ . Найдите его площадь на местности. $1, 5 км^{2}$

R02.1

Образец → сам · гомотетия на клетчатой бумаге

Центр в начале координат: $(x; y) \to (k x; k y)$

Образец: $A (1; 2)$ , $B (3; 1)$ , центр $O$ , $k = 2$ . Постройте образ $△ O A B$ и найдите его площадь.

$A_{1} (2; 4)$ , $B_{1} (6; 2)$ координаты умножили на $k = 2$
$S_{O A B} = 2, 5$ ⇒ $S_{O A_{1} B_{1}} = 4 \cdot 2, 5 = 10$ по клеткам; $S_{1} = k^{2} S$

Сам: найдите образ точки

$(3; - 2)$ , центр $O$ , $k = - 1$ . $(- 3; 2)$
$(2; - 4)$ , центр $O$ , $k = 1, 5$ . $(3; - 6)$
$A (3; 2)$ , центр $M (1; 1)$ , $k = 2$ . $(5; 3)$

R02.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$k = 3$ ⇒ $S_{1} = 3 S$	площадь меняется в $k^{2}$ раз	$S_{1} = 9 S$
$k = - 2$ : $A_{1}$ на луче $O A$	при $k < 0$ образ — по другую сторону от центра	$A_{1}$ на продолжении луча за $O$
$BM = 3$ , $M A = 6$ ⇒ $MN : A C = 3 : 6$	сравнивают с целой стороной $B A$	$MN : A C = BM : B A = 3 : 9$
«фигуры подобны, значит, одна — гомотетия другой»	образ может быть ещё и повёрнут (сл. 4)	подобие = гомотетия + движение

R02.1

Найди ошибку

$MN ∥ A C$ , $A M = 4$ , $MB = 6$ , $S_{A BC} = 50$ . Найдите $S_{MBN}$ .

Решение ученика

$k = \frac{MB}{A M} = \frac{6}{4} = 1, 5$ — коэффициент гомотетии с центром $B$ .
$S_{MBN} = k \cdot S_{A BC} = 1, 5 \cdot 50 = 75$ .

Ошибка 1 (шаг 1). $k = \frac{BM}{B A} = \frac{6}{10} = 0, 6$

Ошибка 2 (шаг 2). Площадь — через $k^{2}$ :
$S_{MBN} = 0, 36 \cdot 50 = 18$

R02.1

Задания с самопроверкой · база

Решите и сверьте

базаГомотетия, $k = 4$ , $O A = 2, 5$ . Найдите $O A_{1}$ . $10$
база $k = - 3$ , $A B = 5$ . Найдите $A_{1} B_{1}$ . $15$
базаПериметр $18$ , $k = \frac{2}{3}$ . Найдите периметр образа. $12$

базаПлощадь фигуры $7$ , $k = 3$ . Найдите площадь образа. $63$
базаЦентр $O$ , $k = 3$ , точка $(- 2; 5)$ . Найдите образ. $(- 6; 15)$
база $MN ∥ A C$ , $BM : M A = 1 : 2$ , $A C = 15$ . Найдите $MN$ . $5$

R02.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Гомотетия с центром $O$ переводит $A (2; 1)$ в $A_{1} (6; 3)$ . Найдите $k$ и образ точки $B (- 1; 4)$ . $3$ ; $(- 3; 12)$
повыш.Гомотетия переводит $A (2; 0)$ в $A_{1} (4; 2)$ , $B (1; 1)$ в $B_{1} (1; 5)$ . Найдите $k$ и центр. $3$ ; $(1; - 1)$
повыш.Диагонали трапеции делятся точкой $O$ в отношении $2 : 5$ , $S_{BOC} = 8$ . Найдите $S_{A O D}$ . $50$
из жизниКамера-обскура: дерево высотой $1, 8$ м в $6$ м от отверстия, задняя стенка — в $0, 2$ м за ним. Найдите высоту изображения. $6$ см

R02.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15, 17 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 15 $MN ∥ A C$ , $M \in A B$ , $N \in BC$ ; $A B = 16$ , $A C = 20$ , $MN = 15$ . Найдите $A M$ . $4$
ОГЭ 17Основания трапеции $4$ и $12$ , диагональ $24$ . Найдите больший из отрезков, на которые её делит другая диагональ. $18$
ОГЭ 19Укажите номер верного утверждения. 1) Площади подобных треугольников относятся как $k$ . 2) Гомотетия переводит прямую в параллельную ей или в неё саму. 3) Любые два прямоугольника подобны. 2

R02.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$k = - 2$ , $O A = 3$ . Найдите $O A_{1}$ и $A A_{1}$ . $6$ ; $9$
$MN ∥ A C$ , $BM = 4$ , $M A = 2$ , $MN = 6$ . Найдите $A C$ . $9$
Подобные фигуры, $k = 3$ , площадь меньшей $5$ . Площадь большей? $45$
Центр $O$ , $k = - 2$ , точка $(3; - 1)$ . Найдите образ. $(- 6; 2)$

Вариант 2

$k = 3$ , $O A = 2$ . Найдите $O A_{1}$ и $A A_{1}$ . $6$ ; $4$
$MN ∥ A C$ , $BM = 3$ , $M A = 6$ , $MN = 5$ . Найдите $A C$ . $15$
Подобные фигуры, $k = 2$ , площадь большей $36$ . Площадь меньшей? $9$
Центр $O$ , $k = 0, 5$ , точка $(- 4; 6)$ . Найдите образ. $(- 2; 3)$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Где лежит образ точки при $k < 0$ ?
Как найти центр гомотетии по фигуре и образу?
Во сколько раз меняется площадь при подобии?

$A_{1} B_{1} = ∣ k ∣ \cdot A B$ , $S_{1} = k^{2} S$

Домашнее задание

Основания трапеции $6$ и $14$ , диагональ $15$ . Найдите отрезки диагонали.
$MN ∥ A C$ , $S_{MBN} : S_{A BC} = 4 : 9$ , $A B = 12$ . Найдите $BM$ .
Центр $O$ , $k = - \frac{1}{3}$ , точка $(6; - 9)$ . Найдите образ.
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_podobie.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9-021 · Практикум: Понятие о преобразовании подобия

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R02 «Преобразование подобия. Метрические соотношения в окружности», 10 ч · урок 5/10 · тип П (практикум), продолжение GEOM9-017
Единицы → слайды	R02.1 «Понятие о преобразовании подобия» → 2, 4–17 · опора на R02.3 (хорды, касательная) → 3
Результаты	ПР-4 (преобразование подобия, свойства подобия, практические задачи, примеры в окружающем мире) → 2, 4–17 · ПР-10 (модели реальных задач) → 10, 15
Виды деятельности	«Осваивать понятие преобразования подобия» → 4–11 · «Исследовать отношение линейных элементов фигур при преобразовании подобия» → 7–10 · «Находить примеры подобия в окружающей действительности» → 10, 15
ОГЭ	линия 15 (треугольники), 17 (четырёхугольники), 19 (верные утверждения) → 16
Вне урока	введение понятия — GEOM9-017 · соответственные элементы — GEOM9-018/022 · метрические соотношения в окружности — GEOM9-019/023 · движения — R06
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Понятие о преобразовании подобия

Сегодня вы научитесь

Строить образ при гомотетии

Находить центр и коэффициент

Вычислять длины, периметры, площади

Видеть подобие вокруг

Подобные треугольники и отрезки в окружности

Все расстояния умножаются на одно число k

Центр O и коэффициент k=0

Что дано → что делаем

Длины умножаются на ∣k∣

Образец: гомотетия с центром O, k=3: A→A1​, B→B1​. OA=2, AB=1,5. Найдите OA1​, AA1​, A1​B1​.

Сам

Трапеция: центр — точка пересечения диагоналей

Образец: трапеция ABCD, BC=4, AD=10, AC=7, диагонали пересекаются в O. Найдите OC и OA.

Сам

Гомотетия с центром в вершине

Образец: MN∥AC, BM=6, MA=3, AC=12. Найдите MN и отношение площадей.

Сам (MN∥AC)

По площадям — коэффициент, по нему — периметр

Образец: площади двух подобных многоугольников 18 и 50, периметр меньшего 24. Найдите периметр большего.

Сам

Центр в начале координат: (x;y)→(kx;ky)

Образец: A(1;2), B(3;1), центр O, k=2. Постройте образ △OAB и найдите его площадь.

Сам: найдите образ точки

Неверно → почему → верно

MN∥AC, AM=4, MB=6, SABC​=50. Найдите SMBN​.

Решение ученика

Решите и сверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9-021 · Практикум: Понятие о преобразовании подобия

Все расстояния умножаются на одно число $k$

Центр $O$ и коэффициент $k \neq = 0$

Длины умножаются на $∣ k ∣$

Образец: гомотетия с центром $O$ , $k = 3$ : $A \to A_{1}$ , $B \to B_{1}$ . $O A = 2$ , $A B = 1, 5$ . Найдите $O A_{1}$ , $A A_{1}$ , $A_{1} B_{1}$ .

Образец: трапеция $A BC D$ , $BC = 4$ , $A D = 10$ , $A C = 7$ , диагонали пересекаются в $O$ . Найдите $OC$ и $O A$ .

Образец: $MN ∥ A C$ , $BM = 6$ , $M A = 3$ , $A C = 12$ . Найдите $MN$ и отношение площадей.

Сам ( $MN ∥ A C$ )

Образец: площади двух подобных многоугольников $18$ и $50$ , периметр меньшего $24$ . Найдите периметр большего.

Центр в начале координат: $(x; y) \to (k x; k y)$

Образец: $A (1; 2)$ , $B (3; 1)$ , центр $O$ , $k = 2$ . Постройте образ $△ O A B$ и найдите его площадь.

$MN ∥ A C$ , $A M = 4$ , $MB = 6$ , $S_{A BC} = 50$ . Найдите $S_{MBN}$ .