Подобие. Метрические соотношения в окружности · урок 4 из 10

Применение в решении геометрических задач

Геометрия · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R02 · GEOM9-020

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %), итого 45 мин.
Паспорт: R02 «Преобразование подобия. Метрические соотношения в окружности» (10 ч), урок 4/10, единица R02.4. Тип урока — Н.
Теория (13,5): титул 0,5 · цели 0,5 · три теоремы 2,5 · где искать подобие 2 · следствие о хорде ⟂ диаметру 2,5 · общая хорда и касательная 2,5 · задача учителя 1,5 · схема 1,5.
Практика (31,5): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: образец 6 (горизонт) и задание 4 повышенного уровня — в ДЗ; доказательства не сокращать.

R02.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Узнавать конфигурацию

по чертежу выбирать нужную теорему: хорды, секущие, касательная (ПР-5)

Составлять уравнение

по метрическим соотношениям и решать его

Находить подобные треугольники

и записывать отношение соответственных сторон (ПР-4)

Решать задачи из жизни и ОГЭ

горизонт, арка моста, линии 16 и 23 (ПР-10)

0,5 мин · теория
ПР-4: «Владеть понятиями преобразования подобия, соответственных элементов подобных фигур… Применять свойства подобия в практических задачах».
ПР-5: «Пользоваться теоремами о произведении отрезков хорд, о произведении отрезков секущих, о квадрате касательной». ПР-10: математические модели задач реальной жизни с применением подобия.
Виды деятельности ФРП R02: решать геометрические задачи и задачи из реальной жизни с использованием подобных треугольников.

повторение: GEOM9-017–019

Разминка · устно

Вспомним теоремы прошлого урока

Хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $E$ : $A E = 3$ , $EB = 8$ , $CE = 4$ . $E D$ ? $6$
$P A = 4$ , $PB = 9$ — секущая, $PT$ — касательная. $PT$ ? $6$
Секущие $P A B$ и $PC D$ : $P A = 2$ , $PB = 12$ , $PC = 3$ . $P D$ ? $8$
Вписанный угол опирается на диаметр. Его величина? $9 0^{\circ}$

Треугольники подобны, $k = 3$ , сторона меньшего $5$ . Соответственная сторона большего? $15$
$k = 2$ . Во сколько раз площадь больше? в $4$ раза
Вписанные углы опираются на одну дугу. Что о них известно? равны

R02.3 → R02.4

Сводка · три теоремы

Отрезки хорд, секущих и касательной

Две хорды

A E \cdot EB

=

CE \cdot E D

точка $E$ внутри круга

Две секущие

P A \cdot PB

=

PC \cdot P D

внешняя часть × вся секущая

Касательная и секущая

P T^{2}

=

P A \cdot PB

$T$ — точка касания

2,5 мин · теория
Повторить формулировки (урок GEOM9-019): 1) если хорды AB и CD пересекаются в точке E, то AE · EB = CE · ED; 2) если из точки P проведены две секущие PAB и PCD, то PA · PB = PC · PD; 3) если PT — касательная, PAB — секущая, то PT² = PA · PB.
Все три доказываются одинаково — через подобные треугольники (вписанные углы на одну дугу, общий или вертикальный угол). Третья — предельный случай второй: секущая PCD «превращается» в касательную, C и D сливаются в T.
Вопрос классу: что общего у трёх формул? (Для точки P произведение отрезков от P до окружности по любой прямой — одно и то же число.)

R02.2 → R02.4

Новый материал · где искать подобие

Три конфигурации подобных треугольников

Прямая $∥$ стороне

$MN ∥ A C$ ⇒ $△ MBN \sim △ A BC$

$∠ B$ общий, соответственные углы

«Бабочка» в трапеции

$△ BOC \sim △ D O A$

вертикальные + накрест лежащие

«Бабочка» в круге

$△ A EC \sim △ D EB$

вертикальные + вписанные

2 мин · теория
Алгоритм решения задачи урока: 1) по чертежу найти конфигурацию — пару подобных треугольников или одну из трёх теорем; 2) записать отношение соответственных сторон строго по порядку вершин (против равных углов); 3) составить и решить уравнение; 4) проверить: длины положительны, части меньше целого.
Трапеция: ∠BOC = ∠DOA (вертикальные), ∠OBC = ∠ODA (накрест лежащие, BC ∥ AD, секущая BD) ⇒ BO : OD = CO : OA = BC : AD.
Круг: ∠CAB = ∠CDB (опираются на дугу CB), ∠AEC = ∠DEB ⇒ AE : DE = CE : BE ⇒ AE · BE = CE · DE — это и есть доказательство теоремы о хордах.
Вопрос: какой признак подобия во всех трёх случаях? (По двум углам.)

R02.4

Образец → сам · хорды на готовом чертеже

Длина хорды известна — составим уравнение

Образец: $A E = 4$ , $EB = 9$ , $C D = 15$ . Найдите $CE$ и $E D$ .

$CE = x$ , $E D = 15 - x$

$x (15 - x) = 4 \cdot 9$ теорема о хордах

$x^{2} - 15 x + 36 = 0$ , $x = 3$ или $x = 12$

$CE = 3$ , $E D = 12$ или наоборот

Сам

$A E = 5$ , $EB = 8$ , $CE = 4$ . Найдите $E D$ . $10$
$CE = 2$ , $E D = 18$ , $E$ — середина $A B$ . Найдите $A B$ . $12$
$A B = 10$ , $A E : EB = 2 : 3$ , $CE = 3$ . Найдите $C D$ . $11$

R02.4

Образец → сам · обратная задача

Касательная известна — найдите хорду

Образец: $PT$ — касательная, $PT = 12$ , $P A = 8$ . Найдите $A B$ .

$P T^{2} = P A \cdot PB$ квадрат касательной

$144 = 8 \cdot PB$ , $PB = 18$

$A B = PB - P A = 18 - 8 = 10$

Сам

$P A = 4$ , $A B = 5$ . Найдите касательную $PT$ . $6$
$PT = 10$ , $A B = 15$ . Найдите $P A$ . $5$
Секущие $P A B$ и $PC D$ : $P A = 6$ , $A B = 10$ , $PC = 8$ . Найдите $C D$ . $4$

R02.3 → R02.4

Следствие · доказательство

Хорда, перпендикулярная диаметру

Дано: диаметр

C D ⊥ A B

,

C D \cap A B = H

.
Доказать:

A H^{2} = C H \cdot HD

.

1

A H = H B

диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам

2

A H \cdot H B

=

C H \cdot HD

теорема о произведении отрезков хорд

3

A H^{2} = C H \cdot HD

подставили

H B = A H

4

∠ C A D = 9 0^{\circ}

,

A H

— высотадругой путь: высота прямоугольного треугольника, 8 класс

2,5 мин · теория
Формулировка: если хорда AB перпендикулярна диаметру CD и пересекает его в точке H, то AH² = CH · HD. Чертёж точный: CH = 4, HD = 16, AH = HB = 8.
Шаг 4 — связь с 8 классом: ∠CAD опирается на диаметр, значит прямой; AH — высота к гипотенузе, AH² = CH · HD (среднее пропорциональное). Один факт — два доказательства.
Следствие для радиуса: если CH и HD известны, то CD = CH + HD, R = CD : 2. Пригодится в образце 3 и в задаче об арке моста.
Вопрос: почему в шаге 1 нельзя сказать «на рисунке видно, что AH = HB»? (Нужно сослаться на свойство диаметра, перпендикулярного хорде.)

R02.4

Образец → сам · чертёж строим сами

Найдите радиус окружности

Образец: хорда $A B = 16$ перпендикулярна диаметру $C D$ , $C H = 4$ . Найдите радиус.

$A H = H B = 8$ диаметр $⊥$ хорде

$A H^{2} = C H \cdot HD$ : $64 = 4 \cdot HD$ , $HD = 16$

$C D = 4 + 16 = 20$ , $R = 10$

Сам: сначала чертёж

$C H = 2$ , $HD = 8$ . Найдите хорду $A B$ . $8$
$R = 13$ , $A B = 24$ . Найдите меньший отрезок $C H$ . $8$
Хорда $A B = 12$ удалена от центра на $8$ . Найдите $R$ . $10$

2,5 мин · практика
Первый щелчок показывает чертёж, который ученики должны построить сами: окружность, диаметр, хорда ⟂ диаметру, отметить прямой угол и равные половины хорды. Затем — решение по шагам.
1) AH² = 2 · 8 = 16 ⇒ AH = 4, AB = 8.
2) AH = 12, CH = x, HD = 26 − x: x(26 − x) = 144, x² − 26x + 144 = 0, x = 8 или 18 ⇒ меньший CH = 8.
3) OH = 8, AH = 6: R² = 6² + 8² = 100 ⇒ R = 10 (теорема Пифагора в △OHA). Можно и через следствие: (R − 8)(R + 8) = 36 ⇒ R² = 100.
Типичная ошибка в 2: AH = 24 (взяли всю хорду вместо половины).

R02.3 → R02.4

Теорема · доказательство

Общая хорда делит общую касательную пополам

Дано: окружности пересекаются в

A

и

B

,

T_{1} T_{2}

— общая касательная, прямая

A B

пересекает её в

M

.
Доказать:

M T_{1} = M T_{2}

.

1

M T_{1}^{2}

=

M A \cdot MB

квадрат касательной, первая окружность

2

M T_{2}^{2}

=

M A \cdot MB

квадрат касательной, вторая окружность

3

M T_{1}^{2} = M T_{2}^{2}

⇒

M T_{1} = M T_{2}

правые части равны; длины положительны

2,5 мин · теория
Ключевая идея: секущая MAB общая для двух окружностей, поэтому одно и то же произведение MA · MB равно квадрату касательной и к первой, и ко второй окружности.
Чертёж точный (r₁ = 4, r₂ = 2,6, расстояние между центрами 5,2): M — середина T₁T₂ проверена вычислением.
Вопрос: что можно сказать о касательных, проведённых из любой точки прямой AB (вне отрезка AB) к двум окружностям? (Они равны — то же доказательство.)
Применение: так находят середину общей касательной без измерений — продолжив общую хорду.

R02.4

Образец → сам · подобие в трапеции

Диагонали трапеции делятся в отношении оснований

Образец: $BC ∥ A D$ , $BC = 4$ , $A D = 10$ , $A C = 21$ . Найдите $A O$ и $OC$ .

$△ BOC \sim △ D O A$ вертикальные, накрест лежащие

$\frac{OC}{O A} = \frac{BC}{A D} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

$OC = 21 \cdot \frac{2}{7} = 6$ , $A O = 15$

Сам

$BC = 3$ , $A D = 7$ , $B D = 20$ . Найдите $BO$ . $6$
$A O = 12$ , $OC = 4$ , $A D = 18$ . Найдите $BC$ . $6$
$BC : A D = 1 : 3$ , $S_{BOC} = 8$ . Найдите $S_{A O D}$ . $72$

R02.4

Образец → сам · задача на доказательство

План доказательства и обоснования

Образец: хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $E$ . Докажите: $A C \cdot BE = B D \cdot CE$ .

$∠ C A B = ∠ C D B$ вписанные, опираются на дугу $CB$

$∠ A EC = ∠ D EB$ вертикальные

$△ A EC$ $\sim$ $△ D EB$ по двум углам

$\frac{A C}{D B} = \frac{CE}{BE}$ ⇒ $A C \cdot BE = B D \cdot CE$

Сам: план и обоснования

Хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $E$ , $A E = E D$ . Докажите: $CE = EB$ . теорема о хордах: $A E \cdot EB = CE \cdot E D$ , сократить
Секущие $P A B$ и $PC D$ , $P A = PC$ . Докажите: $A B = C D$ . $PB = P D$ , затем вычесть $P A = PC$
Хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $E$ . Докажите: $A D \cdot CE = BC \cdot A E$ . $△ A E D \sim △ CEB$

2 мин · практика
Образец: соответствие вершин A ↔ D, E ↔ E, C ↔ B (по равным углам). Отношение: AC/DB = AE/DE = CE/BE; из равенства крайних — AC · BE = BD · CE.
1) AE · EB = CE · ED и AE = ED ≠ 0 ⇒ EB = CE.
2) PA · PB = PC · PD и PA = PC ⇒ PB = PD ⇒ AB = PB − PA = PD − PC = CD.
3) ∠ADC = ∠ABC (опираются на дугу AC), ∠AED = ∠CEB (вертикальные) ⇒ △AED ∼ △CEB (A ↔ C, E ↔ E, D ↔ B) ⇒ AD/CB = AE/CE ⇒ AD · CE = BC · AE.
Работа в парах: один пишет план, другой — обоснования. Требовать ссылку на теорему или признак в каждой строке.

R02.4

Образец → сам · задача из жизни

Как далеко видно горизонт

Образец: вышка высотой $h = 80$ м у моря. Найдите расстояние $d$ до горизонта, $R \approx 6400$ км.

$d^{2} = h (h + 2 R)$ квадрат касательной, секущая через центр

$d^{2} = 0, 08 \cdot 12800, 08 \approx 1024$ в км

$d \approx 32$ км

Сам: $d^{2} \approx 2 R h$

Глаза наблюдателя на высоте $5$ м. Далеко ли горизонт? $\approx 8$ км
Маяк высотой $20$ м. Дальность видимости горизонта? $\approx 16$ км
С какой высоты горизонт виден на $40$ км? $\approx 125$ м

2 мин · практика
Модель: луч взгляда PT касается поверхности Земли в T; прямая PO — секущая, пересекает Землю в Q и в диаметрально противоположной точке Q′: PQ = h, PQ′ = h + 2R. Теорема: PT² = PQ · PQ′. Чертёж не в масштабе.
Образец: h = 0,08 км, d² = 0,08 · 12 800,08 ≈ 1024,0064 ⇒ d ≈ 32 км. Так как h ≪ R, d² ≈ 2Rh = 12 800 · h.
1) h = 0,005 км: d² ≈ 64 ⇒ d ≈ 8 км. 2) h = 0,02 км: d² ≈ 256 ⇒ 16 км. 3) h ≈ 40² : 12 800 = 0,125 км = 125 м.
Ошибка: подставить h в метрах, а R в километрах. Все длины — в одних единицах.

R02.4

Разбор задачи · решает учитель

Секущие и подобие в одной задаче

Окружность проходит через вершины

A

и

C

треугольника

A BC

и пересекает

B A

в

K

,

BC

в

M

.

A B = 10

,

BC = 12

,

A C = 14

,

B K = 6

. Найдите

BM

и

K M

.

1

B K \cdot B A = BM \cdot BC

:

60 = 12 \cdot BM

,

BM = 5

теорема о секущих из точки

B

2

\frac{B K}{BC} = \frac{BM}{B A} = \frac{1}{2}

,

∠ B

общий⇒

△ B K M

\sim △ BC A

(по двум сторонам и углу)

3

K M = \frac{1}{2} A C = 7

K \leftrightarrow C

,

M \leftrightarrow A

1,5 мин · теория (демонстрационный пример: учитель решает и комментирует)
Проверка вычислением: cos B = (100 + 144 − 196)/240 = 0,2; KM² = 36 + 25 − 2 · 6 · 5 · 0,2 = 49 ⇒ KM = 7 ✓. Чертёж точный: окружность через A, C, K проходит через M.
Главное: соответствие вершин. В △BKM угол при K лежит против стороны BM, в △BCA соответствующий ему угол — при C. Поэтому KM соответствует CA, а коэффициент — BK : BC (а не BK : BA!).
Вопрос: какой угол △BKM равен ∠BCA? (∠BKM — внешний угол вписанного четырёхугольника AKMC равен противолежащему внутреннему.)

R02.4

Схема-конспект

Что вижу на чертеже → что применяю

На чертеже	Применяю	Формула
две хорды пересекаются внутри круга	теорема о хордах	$A E \cdot EB = CE \cdot E D$
две секущие из одной точки	теорема о секущих	$P A \cdot PB = PC \cdot P D$
касательная и секущая из одной точки	квадрат касательной	$P T^{2} = P A \cdot PB$
хорда $⊥$ диаметру	следствие	$A H^{2} = C H \cdot HD$
параллельные прямые, общий или вертикальный угол	подобие	$\frac{a _{1}}{a} = k$ , $\frac{S _{1}}{S} = k^{2}$

R02.4

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$P A \cdot A B = PC \cdot C D$	внешнюю часть умножают на всю секущую, а не на хорду	$P A \cdot PB = PC \cdot P D$
$PT = P A \cdot PB$	потерян квадрат	$P T^{2} = P A \cdot PB$
$\frac{S _{1}}{S _{2}} = k$	площади относятся как квадрат коэффициента	$\frac{S _{1}}{S _{2}} = k^{2}$
трапеция: $\frac{BO}{O D} = \frac{A D}{BC}$	стороны взяты не по соответствию вершин	$\frac{BO}{O D} = \frac{BC}{A D}$

R02.4

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $PT = 6$ — касательная, $P A = 3$ . Найдите хорду $A B$ .

$P T^{2} = P A \cdot PB$ , $PB = 36 : 3 = 12$

Ответ: $A B = 12$

$12$ — это $PB$ ; $A B = 12 - 3 = 9$

б) Хорды: $A E = 2$ , $EB = 6$ , $C D = 7$ . Найдите $CE$ .

$CE = \frac{A E \cdot EB}{C D} = \frac{12}{7}$

$x (7 - x) = 12$ , $x = 3$ или $x = 4$

в) Трапеция: $BC = 5$ , $A D = 15$ , $S_{BOC} = 4$ . Найдите $S_{A O D}$ .

$k = 3$ , $S_{A O D} = 4 \cdot 3 = 12$

$S_{A O D} = 4 \cdot 3^{2} = 36$

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Теорема применена верно, но в ответ записана вся секущая PB = 12, а спрашивали хорду: AB = PB − PA = 9.
б) Вместо CE · ED перемножили CE и всю хорду CD. Верно: CE = x, ED = 7 − x, x(7 − x) = 12, x² − 7x + 12 = 0 ⇒ x = 3 или 4: отрезки 3 и 4 (оба ответа возможны, в задаче не сказано, какой больше).
в) Отношение площадей подобных треугольников — k² = 9, S = 36.

R02.4

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаХорды: $A E = 6$ , $EB = 2$ , $CE = 3$ . Найдите $E D$ . $4$
базаСекущая: $P A = 3$ , $PB = 12$ . Найдите касательную $PT$ . $6$
базаСекущие: $P A = 5$ , $PB = 8$ , $PC = 4$ . Найдите $P D$ . $10$

базаХорда $A B ⊥$ диаметру $C D$ , $C H = 3$ , $HD = 12$ . Найдите $A B$ . $12$
базаТрапеция: $BC = 2$ , $A D = 8$ , $A C = 15$ . Найдите $A O$ . $12$
базаПлощади подобных треугольников $9$ и $36$ , сторона меньшего $5$ . Соответственная сторона большего? $10$

R02.4

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $PT = 8$ — касательная, секущая $P A B$ , $A B = 12$ . Найдите $P A$ . $4$
повыш.Хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $E$ , $A E : EB = 1 : 4$ , $CE = 2$ , $E D = 8$ . Найдите $A B$ . $10$
повыш.Хорда $A B = 30$ удалена от центра на $8$ . Найдите радиус. $17$
из жизниАрка моста — дуга окружности: пролёт $40$ м, высота арки $8$ м. Найдите радиус дуги. $29$ м

R02.4 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 16 и 23

Ответ — одно число; во второй части — решение

ОГЭ 16Из точки $A$ проведены касательная $A B$ ( $B$ — точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках $C$ и $D$ ; $A C = 4$ , $A D = 9$ . Найдите $A B$ . $6$
ОГЭ 16Хорды $A C$ и $B D$ пересекаются в точке $P$ , $BP = 15$ , $CP = 6$ , $D P = 10$ . Найдите $A P$ . $25$

ОГЭ 23 Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $A BC$ и пересекает $A B$ в $K$ , $A C$ в $P$ . Найдите $K P$ , если $A P = 9$ , а $BC$ в $1, 5$ раза меньше $A B$ .

$△ A K P \sim △ A CB$ $∠ A$ общий, $∠ A K P = ∠ A CB$

$\frac{K P}{BC} = \frac{A P}{A B}$

$K P = \frac{9}{1 , 5} = 6$

R02.4

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Хорды: $A E = 3$ , $EB = 10$ , $CE = 5$ . Найдите $E D$ . $6$
Секущая: $P A = 4$ , $PB = 16$ . Найдите касательную $PT$ . $8$
Трапеция: $BC = 6$ , $A D = 9$ , $B D = 20$ . Найдите $BO$ . $8$
Хорда $A B = 10 ⊥$ диаметру $C D$ , $C H = 1$ . Найдите радиус. $13$

Вариант 2

Хорды: $A E = 4$ , $EB = 6$ , $E D = 8$ . Найдите $CE$ . $3$
Касательная $PT = 12$ , $P A = 9$ . Найдите хорду $A B$ . $7$
Трапеция: $BC = 4$ , $A D = 12$ , $A C = 24$ . Найдите $A O$ . $18$
Хорда $A B = 24 ⊥$ диаметру $C D$ , $C H = 8$ . Найдите радиус. $13$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как по чертежу выбрать теорему: хорды, секущие или касательная?
Как в трапеции делятся диагонали?
Почему в ответе часто нужна разность $PB - P A$ ?

Домашнее задание

Хорды: $A E = 5$ , $EB = 12$ , $C D = 17$ . Найдите $CE$ и $E D$ .
$PT = 15$ , $P A = 9$ . Найдите хорду $A B$ .
Арка: пролёт $24$ м, высота $6$ м. Найдите радиус.
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_podobie.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9-020 · Применение в решении геометрических задач

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R02 «Преобразование подобия. Метрические соотношения в окружности», 10 ч · урок 4/10 · тип Н
Единицы → слайды	R02.4 «Применение в решении геометрических задач» → 2, 4–22 · повторение R02.1–R02.3 → 3, 4
Результаты	ПР-4 (подобие, соответственные элементы, практические задачи) → 5, 11, 14, 20 · ПР-5 (теоремы о хордах, секущих, касательной) → 4, 6–10, 12, 18–21 · ПР-10 (модели реальной жизни) → 13, 19
Вне урока	понятие преобразования подобия — GEOM9-017; соответственные элементы — GEOM9-018; доказательства трёх теорем — GEOM9-019; практикумы — GEOM9-021–024
Время	теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Применение в решении геометрических задач

Сегодня вы научитесь

Узнавать конфигурацию

Составлять уравнение

Находить подобные треугольники

Решать задачи из жизни и ОГЭ

Вспомним теоремы прошлого урока

Отрезки хорд, секущих и касательной

Две хорды

Две секущие

Касательная и секущая

Три конфигурации подобных треугольников

Прямая ∥ стороне

«Бабочка» в трапеции

«Бабочка» в круге

Длина хорды известна — составим уравнение

Образец: AE=4, EB=9, CD=15. Найдите CE и ED.

Сам

Касательная известна — найдите хорду

Образец: PT — касательная, PT=12, PA=8. Найдите AB.

Сам

Хорда, перпендикулярная диаметру

Найдите радиус окружности

Образец: хорда AB=16 перпендикулярна диаметру CD, CH=4. Найдите радиус.

Сам: сначала чертёж

Общая хорда делит общую касательную пополам

Диагонали трапеции делятся в отношении оснований

Образец: BC∥AD, BC=4, AD=10, AC=21. Найдите AO и OC.

Сам

План доказательства и обоснования

Образец: хорды AB и CD пересекаются в E. Докажите: AC⋅BE=BD⋅CE.

Сам: план и обоснования

Как далеко видно горизонт

Образец: вышка высотой h=80 м у моря. Найдите расстояние d до горизонта, R≈6400 км.

Сам: d2≈2Rh

Секущие и подобие в одной задаче

Что вижу на чертеже → что применяю

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) PT=6 — касательная, PA=3. Найдите хорду AB.

б) Хорды: AE=2, EB=6, CD=7. Найдите CE.

в) Трапеция: BC=5, AD=15, SBOC​=4. Найдите SAOD​.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число; во второй части — решение

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9-020 · Применение в решении геометрических задач

Прямая $∥$ стороне

Образец: $A E = 4$ , $EB = 9$ , $C D = 15$ . Найдите $CE$ и $E D$ .

Образец: $PT$ — касательная, $PT = 12$ , $P A = 8$ . Найдите $A B$ .

Образец: хорда $A B = 16$ перпендикулярна диаметру $C D$ , $C H = 4$ . Найдите радиус.

Образец: $BC ∥ A D$ , $BC = 4$ , $A D = 10$ , $A C = 21$ . Найдите $A O$ и $OC$ .

Образец: хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $E$ . Докажите: $A C \cdot BE = B D \cdot CE$ .

Образец: вышка высотой $h = 80$ м у моря. Найдите расстояние $d$ до горизонта, $R \approx 6400$ км.

Сам: $d^{2} \approx 2 R h$

а) $PT = 6$ — касательная, $P A = 3$ . Найдите хорду $A B$ .

б) Хорды: $A E = 2$ , $EB = 6$ , $C D = 7$ . Найдите $CE$ .

в) Трапеция: $BC = 5$ , $A D = 15$ , $S_{BOC} = 4$ . Найдите $S_{A O D}$ .