Подобие и окружность · урок 3 из 10

Хорды, секущие и касательная: теоремы об отрезках

Геометрия · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R02 · GEOM9-019

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R02 «Преобразование подобия. Метрические соотношения в окружности» (10 ч), урок 3/10, единица R02.3. Тип урока — Н.
Теория (12,5): титул 1 · цели 0,5 · опора (угол между касательной и хордой) 2 · теорема о хордах 2,5 · теорема о касательной и секущей 2,5 · теорема о секущих 2 · схема 2.
Практика (32,5): разминка 3 · образцы → сам 2,5 × 5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 3 · ОГЭ 2,5 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: образец 5 (арка) — в ДЗ, задачу 4 повышенного уровня — сильным на дом; доказательства не сокращать.

R02.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Доказывать теорему о хордах

через вписанные углы и подобие треугольников

Применять квадрат касательной

$M A^{2} = MB \cdot MC$ для касательной и секущей

Применять теорему о секущих

$M A \cdot MB = MC \cdot M D$ — для двух секущих из одной точки

Решать задачи из жизни

радиус арки, обломок колеса, дальность горизонта

повторение: 8 класс · R02.2

Разминка · устно

Вписанные углы и подобные треугольники

$∠ A CB = 3 5^{\circ}$ . Чему равен $∠ A D B$ ? $3 5^{\circ}$ — на одну дугу
Чему равна дуга $A B$ , не содержащая $C$ ? $7 0^{\circ}$
Угол между касательной и радиусом в точке касания? $9 0^{\circ}$
$△ A BC \sim △ K MN$ , $A B = 4$ , $K M = 8$ , $BC = 5$ . Найдите $MN$ . $10$
$\frac{x}{6} = \frac{4}{3}$ . Найдите $x$ . $8$
Если $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ , то $a d = \dots$ $b c$

R02.3

Опора · угол между касательной и хордой

Он равен вписанному углу на ту же дугу

Дано:

M A

— касательная,

A B

— хорда,

C

— на окружности.
Доказать:

∠1 = ∠ A CB

.

1

∠ O A M = 9 0^{\circ}

касательная перпендикулярна радиусу

2

∠2 = 9 0^{\circ} - \frac{1}{2}

∠ A OB

△ A OB

равнобедренный,

O A = OB

3

∠1

= 9 0^{\circ} -

∠2

= \frac{1}{2}

∠ A OB

из п. 1 и 2

4

∠1 = \frac{1}{2} \cup A B = ∠ A CB

вписанный угол равен половине дуги

2 мин · теория
Это «недостающее звено» для теоремы о касательной (сл. 7). Формулировка: угол между касательной и хордой, проведённой через точку касания, равен половине дуги, заключённой внутри угла, — то есть вписанному углу, опирающемуся на эту дугу.
Шаг 2: в △AOB углы при основании равны: ∠OAB = (180° − ∠AOB) : 2 = 90° − ½∠AOB.
Пример на чертеже: ∪AB = 70°, ∠1 = 35°, ∠2 = 55°, ∠ACB = 35°. Вопрос: чему равен угол между касательной и хордой, если дуга 100°? (50°.)

R02.3

Теорема 1 · доказательство

Отрезки пересекающихся хорд

Дано: хорды

A B

и

C D

пересекаются в точке

E

.
Доказать:

A E \cdot EB = CE \cdot E D

.

1

∠ C A B = ∠ C D B

вписанные, опираются на одну дугу

CB

2

∠ A EC = ∠ D EB

вертикальные

3

△ A EC

\sim

△ D EB

по двум углам:

A \to D

,

E \to E

,

C \to B

4

\frac{A E}{D E} = \frac{CE}{BE}

\Rightarrow

A E \cdot EB = CE \cdot E D

соответственные стороны пропорциональны; свойство пропорции

2,5 мин · теория
Формулировка: если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
Цвета: равные вписанные углы — жёлтые дуги, вертикальные — двойные зелёные; △AEC — фиолетовый, △DEB — розовый.
Главное в шаге 3 — порядок вершин: углу A соответствует угол D, углу C — угол B. Если написать △AEC ∼ △BED, получится неверная пропорция (сл. 14).
Вопрос: какие хорды надо провести дополнительно? (AC и DB — стороны треугольников.)

R02.3

Образец → сам · теорема о хордах

Неизвестный отрезок хорды

Образец: хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в точке $E$ , $A E = 6$ , $EB = 4$ , $CE = 3$ . Найдите $E D$ .

$A E \cdot EB = CE \cdot E D$ теорема о хордах

$6 \cdot 4 = 3 \cdot x$

$x = 24 : 3 = 8$

Сам

$A E = 5$ , $EB = 6$ , $E D = 10$ . Найдите $CE$ . $3$
$A E = EB$ , $CE = 2$ , $E D = 8$ . Найдите $A B$ . $8$
$A E = 3$ , $EB = 12$ , $CE = 4$ . Найдите хорду $C D$ . $13$

R02.3

Теорема 2 · доказательство

Квадрат касательной

Дано:

M A

— касательная, секущая пересекает окружность в

B

и

C

.
Доказать:

M A^{2} = MB \cdot MC

.

1

∠ M

— общийдля

△ M A B

и

△ MC A

2

∠ M A B = ∠ MC A = \frac{1}{2} \cup A B

угол между касательной и хордой; вписанный угол

3

△ M A B

\sim

△ MC A

по двум углам:

M \to M

,

A \to C

,

B \to A

4

\frac{M A}{MC} = \frac{MB}{M A}

\Rightarrow

M A^{2} = MB \cdot MC

соответственные стороны пропорциональны

2,5 мин · теория
Формулировка: если из точки M к окружности проведены касательная MA и секущая, пересекающая окружность в точках B и C, то квадрат отрезка касательной равен произведению всего отрезка секущей MC на его внешнюю часть MB.
Шаг 2 опирается на сл. 4: ∠MAB = ½ ∪AB (касательная и хорда), ∠MCA = ∠BCA = ½ ∪AB (вписанный).
Треугольник MAB (фиолетовый) лежит внутри MCA (зелёный) — попросить ученика показать на чертеже их соответственные стороны.

R02.3

Образец → сам · касательная и секущая

По касательной — часть секущей

Образец: $M A$ — касательная, $M A = 6$ , $MB = 4$ . Найдите хорду $BC$ .

$M A^{2} = MB \cdot MC$ теорема о касательной и секущей

$36 = 4 \cdot MC$ , $MC = 9$

$x = MC - MB = 5$

Сам

$MB = 2$ , $MC = 8$ . Найдите касательную $M A$ . $4$
$M A = 12$ , $MB = 9$ . Найдите хорду $BC$ . $7$
$M A = 6$ , $BC = 5$ . Найдите $MB$ . $4$

R02.3

Теорема 3 · следствие

Отрезки двух секущих

Дано: из точки

M

проведены секущие

M A B

и

MC D

.
Доказать:

M A \cdot MB = MC \cdot M D

.

1Проведём касательную

MT

дополнительное построение

2

M T^{2}

=

M A \cdot MB

теорема 2 для секущей

M A B

3

M T^{2}

=

MC \cdot M D

теорема 2 для секущей

MC D

4

M A \cdot MB

=

MC \cdot M D

левые части равны — равны и правые

R02.3

Образец → сам · две секущие

Вся секущая — до дальней точки

Образец: $M A = 4$ , $A B = 11$ , $MC = 5$ . Найдите хорду $C D$ .

$MB = 4 + 11 = 15$ вся секущая

$M A \cdot MB = MC \cdot M D$ $4 \cdot 15 = 5 \cdot M D$ , $M D = 12$

$x = M D - MC = 7$

Сам

$M A = 3$ , $MB = 8$ , $MC = 4$ . Найдите $M D$ . $6$
$M A = 5$ , $A B = 7$ , $MC = 6$ . Найдите $C D$ . $4$
$C$ — середина $M D$ , $M A = 2$ , $MB = 16$ . Найдите $M D$ . $8$

R02.3

Схема-конспект

Три теоремы — одно правило

Две хорды

A E \cdot EB

=

CE \cdot E D

точка $E$ внутри круга

Касательная и секущая

M A^{2}

=

MB

\cdot

MC

точка $M$ вне круга

Две секущие

M A \cdot MB

=

MC \cdot M D

точка $M$ вне круга

Отрезки отсчитываем от точки пересечения прямых: произведение расстояний от неё до двух точек окружности одно и то же для любой прямой.

R02.3

Образец → сам · комбинированная задача

Хорда через точку внутри круга

Образец: $R = 10$ , $OE = 6$ , хорда $A B ⊥ OE$ проходит через $E$ . Найдите $A B$ .

$K E = 16$ , $E L = 4$ $K L$ — диаметр через $E$

$A E = EB$ диаметр $⊥$ хорде делит её пополам

$A E^{2} = K E \cdot E L = 64$ теорема о хордах: $A E = 8$

$A B = 16$

Сам

$R = 13$ , $OE = 5$ , хорда через $E$ , $A E = 9$ . Найдите $EB$ . $16$
$R = 5$ , точка $E$ делит хорду на отрезки $2$ и $8$ . Найдите $OE$ . $3$
$R = 6$ , $OE = 4$ , $E$ — середина хорды. Найдите хорду. $45$

R02.3 · из жизни

Образец → сам · задача из жизни

Радиус арки моста

Образец: пролёт арки $A B = 12$ м, высота $C H = 2$ м. Найдите радиус арки.

$A H = H B = 6$ $C D$ — диаметр, $C D ⊥ A B$

$A H \cdot H B = C H \cdot HD$ $36 = 2 \cdot HD$ , $HD = 18$

$2 R = 2 + 18$ , $R = 10$ м

Сам

Пролёт арки $24$ м, высота $4$ м. Найдите радиус. $20$ м
Обломок колеса: хорда $8$ см, высота сегмента $2$ см. Найдите диаметр колеса. $10$ см
Радиус арки $5$ м, пролёт $8$ м. Найдите высоту арки. $2$ м

R02.3

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$M A \cdot A B = MC \cdot C D$	перемножены внешняя часть и хорда	$M A \cdot MB = MC \cdot M D$ — до дальней точки
$M A = MB \cdot MC$	забыт квадрат касательной	$M A^{2} = MB \cdot MC$
$A E \cdot CE = EB \cdot E D$	перемножены отрезки разных хорд	$A E \cdot EB = CE \cdot E D$ — отрезки одной хорды
$△ A EC \sim △ BE D$	не те вершины: $∠ A$ соответствует $∠ D$	$△ A EC \sim △ D EB$

R02.3

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Секущие: $M A = 3$ , $A B = 5$ , $MC = 4$ . Найдите $C D$ .

$3 \cdot 5 = 4 \cdot C D$

$C D = 3, 75$

$MB = 8$ : $3 \cdot 8 = 4 \cdot M D$ , $M D = 6$ , $C D = 2$

б) Касательная $MT$ , $MB = 4$ , хорда $BC = 12$ . Найдите $MT$ .

$M T^{2} = 4 \cdot 12 = 48$

$MT = 43$

$MC = 16$ : $M T^{2} = 4 \cdot 16 = 64$ , $MT = 8$

в) Хорды: $A E = 4$ , $EB = 6$ , $CE = 3$ . Найдите $E D$ .

$A E \cdot CE = EB \cdot E D$

$12 = 6 \cdot E D$ , $E D = 2$

$4 \cdot 6 = 3 \cdot E D$ , $E D = 8$

R02.3

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаХорды пересекаются в $E$ : $A E = 5$ , $EB = 4$ , $CE = 2$ . Найдите $E D$ . $10$
база $A E = EB$ , $CE = 4$ , $E D = 9$ . Найдите хорду $A B$ . $12$
базаКасательная $M A$ , $MB = 3$ , $MC = 12$ . Найдите $M A$ . $6$

базаКасательная $M A = 10$ , $MB = 5$ . Найдите хорду $BC$ . $15$
базаСекущие: $M A = 2$ , $MB = 12$ , $MC = 3$ . Найдите $M D$ . $8$
базаСекущие: $M A = 6$ , $A B = 4$ , $MC = 5$ . Найдите $C D$ . $7$

R02.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $E$ , $A E : EB = 1 : 3$ , $CE = 3$ , $E D = 16$ . Найдите $A B$ . $16$
повыш.Из точки $M$ проведены касательная $M A = 8$ и секущая через центр; ближняя к $M$ точка окружности — $B$ , $MB = 4$ . Найдите радиус. $6$
повыш.Через точку $E$ внутри окружности радиуса $7$ проведена хорда; $E$ делит её на отрезки $5$ и $8$ . Найдите $OE$ . $3$
из жизниСмотровая площадка на высоте $0, 32$ км, радиус Земли $6400$ км. Как далеко виден горизонт? $\approx 64$ км

R02.3 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 16 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 16Через точку $A$ вне окружности проведены две прямые: одна касается окружности в точке $K$ , другая пересекает её в точках $B$ и $C$ , $A B = 2$ , $A C = 8$ . Найдите $A K$ . $4$
ОГЭ 16Хорды $A C$ и $B D$ окружности пересекаются в точке $P$ , $BP = 15$ , $CP = 6$ , $D P = 10$ . Найдите $A P$ . $25$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Если хорды пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой.
Для секущих $M A B$ и $MC D$ верно $M A \cdot A B = MC \cdot C D$ .
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

Ответ: 13

R02.3

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Хорды: $A E = 8$ , $EB = 3$ , $CE = 6$ . Найдите $E D$ . $4$
Касательная $M A$ , $MB = 2$ , $MC = 18$ . Найдите $M A$ . $6$
Секущие: $M A = 3$ , $MB = 10$ , $MC = 5$ . Найдите $M D$ . $6$
Касательная $M A = 12$ , $MB = 8$ . Найдите хорду $BC$ . $10$

Вариант 2

Хорды: $A E = 9$ , $EB = 4$ , $CE = 3$ . Найдите $E D$ . $12$
Касательная $M A$ , $MB = 5$ , $MC = 20$ . Найдите $M A$ . $10$
Секущие: $M A = 4$ , $MB = 15$ , $MC = 6$ . Найдите $M D$ . $10$
Касательная $M A = 15$ , $MB = 9$ . Найдите хорду $BC$ . $16$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какие треугольники подобны в теореме о хордах?
Почему у касательной — квадрат?
Что такое «вся секущая» и «внешняя часть»?

Домашнее задание

Хорды: $A E = 4$ , $EB = 9$ , $CE = 6$ . Найдите $E D$ .
Касательная $M A = 8$ , $MB = 4$ . Найдите хорду $BC$ .
* Докажите теорему о секущих через подобие $△ M A D$ и $△ MCB$ .
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_podobie.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9-019 · Теорема о произведении отрезков хорд, теорема о произведении отрезков секущих, теорема о квадрате касательной

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R02 «Преобразование подобия. Метрические соотношения в окружности», 10 ч · урок 3/10 · тип Н
Единицы → слайды	R02.3 «Теорема о произведении отрезков хорд, теорема о произведении отрезков секущих, теорема о квадрате касательной» → 2, 4–20 · повторение (вписанные углы — 8 класс, подобие — R02.2) → 3
Результаты	ПР-5 = REQ-6.5 → 4–20 · ПР-10 = REQ-6.10 → 13, 17 · EL-6.4 → 5–20
Виды деятельности	«Выводить метрические соотношения между отрезками хорд, секущих и касательных с использованием вписанных углов и подобных треугольников» → 4, 5, 7, 9 · «Решать геометрические задачи и задачи из реальной жизни» → 12, 13, 17
ОГЭ	линия 16 → 18 (задачи 1, 2) · линия 19 → 18
Вне урока	применение в геометрических задачах — GEOM9-020 (R02.4); угол между касательной и хордой — как опора доказательства (сл. 4)
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Хорды, секущие и касательная: теоремы об отрезках

Сегодня вы научитесь

Доказывать теорему о хордах

Применять квадрат касательной

Применять теорему о секущих

Решать задачи из жизни

Вписанные углы и подобные треугольники

Он равен вписанному углу на ту же дугу

Отрезки пересекающихся хорд

Неизвестный отрезок хорды

Образец: хорды AB и CD пересекаются в точке E, AE=6, EB=4, CE=3. Найдите ED.

Сам

Квадрат касательной

По касательной — часть секущей

Образец: MA — касательная, MA=6, MB=4. Найдите хорду BC.

Сам

Отрезки двух секущих

Вся секущая — до дальней точки

Образец: MA=4, AB=11, MC=5. Найдите хорду CD.

Сам

Три теоремы — одно правило

Две хорды

Касательная и секущая

Две секущие

Хорда через точку внутри круга

Образец: R=10, OE=6, хорда AB⊥OE проходит через E. Найдите AB.

Сам

Радиус арки моста

Образец: пролёт арки AB=12 м, высота CH=2 м. Найдите радиус арки.

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Секущие: MA=3, AB=5, MC=4. Найдите CD.

б) Касательная MT, MB=4, хорда BC=12. Найдите MT.

в) Хорды: AE=4, EB=6, CE=3. Найдите ED.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9-019 · Теорема о произведении отрезков хорд, теорема о произведении отрезков секущих, теорема о квадрате касательной

Образец: хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в точке $E$ , $A E = 6$ , $EB = 4$ , $CE = 3$ . Найдите $E D$ .

Образец: $M A$ — касательная, $M A = 6$ , $MB = 4$ . Найдите хорду $BC$ .

Образец: $M A = 4$ , $A B = 11$ , $MC = 5$ . Найдите хорду $C D$ .

Образец: $R = 10$ , $OE = 6$ , хорда $A B ⊥ OE$ проходит через $E$ . Найдите $A B$ .

Образец: пролёт арки $A B = 12$ м, высота $C H = 2$ м. Найдите радиус арки.

а) Секущие: $M A = 3$ , $A B = 5$ , $MC = 4$ . Найдите $C D$ .

б) Касательная $MT$ , $MB = 4$ , хорда $BC = 12$ . Найдите $MT$ .

в) Хорды: $A E = 4$ , $EB = 6$ , $CE = 3$ . Найдите $E D$ .