Преобразование подобия · урок 2 из 10

Соответственные элементы подобных фигур

Геометрия · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R02 · GEOM9-018

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R02 «Преобразование подобия. Метрические соотношения в окружности» (10 ч), урок 2/10, единица R02.2. Тип урока — Н.
Теория (12,5): титул 0,5 · цели 0,5 · соответственные элементы 2 · свойство 1 (отрезки) 3 · свойство 2 (периметры) 1,5 · свойство 3 (площади) 3 · схема 2.
Практика (32,5): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2,5 · задача из жизни 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
На титуле: центр подобия O, фигура и её образ при подобии (гомотетии) — тема прошлого урока; сегодня — что происходит с элементами фигуры.
Если не успеваете: образец 4 (доказательство) — устно по плану, задачу из жизни — в ДЗ; доказательства свойств не сокращать.

R02.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Находить соответственные элементы

вершины, стороны, углы, высоты подобных фигур (ПР-4)

Вычислять длины и углы

у подобной фигуры по коэффициенту подобия $k$

Связывать периметры и площади

периметры — в $k$ раз, площади — в $k^{2}$ раз, с доказательством

Применять подобие

в задачах ОГЭ, на клетчатой бумаге, на планах и картах (ПР-4)

0,5 мин · теория
ПР-4 (REQ-6.4): «Владеть понятиями преобразования подобия, соответственных элементов подобных фигур. Пользоваться свойствами подобия произвольных фигур, уметь вычислять длины и находить углы у подобных фигур. Применять свойства подобия в практических задачах». Элемент содержания EL-6.3 «Преобразование подобия. Подобие соответственных элементов».
Вид деятельности ФРП R02: «Исследовать отношение линейных элементов фигур при преобразовании подобия».

повторение: урок 1 · 8 класс

Разминка · устно

Подобие и коэффициент подобия

$△ K L M \sim △ A BC$ . Чему равен $k$ ? $k = 2$
Какая сторона $△ K L M$ соответствует $BC$ ? $L M$
Подобие с $k = 3$ : отрезок $5$ см переходит в… $15$ см
…а угол $4 0^{\circ}$ переходит в угол… $4 0^{\circ}$
Гомотетия с центром $O$ , $k = \frac{1}{2}$ , $O A = 10$ . Найдите $O A^{'}$ . $5$
$(\frac{2}{3})^{2} = ?$ $\frac{4}{9}$
$\frac{49}{36} = ?$ $\frac{7}{6}$

R02.2

Определение

Соответственные элементы

Подобие с коэффициентом

k

переводит фигуру

F

в

F^{'}

: каждый элемент

F

переходит в соответственный элемент

F^{'}

.

A^{'} B^{'} = k \cdot A B

,

∠ A^{'} = ∠ A

Точка → точка, отрезок → отрезок в $k$ раз длиннее, угол → равный угол.

$△ A BC \sim △ A^{'} B^{'} C^{'}$ : порядок букв задаёт соответствие $A \to A^{'}$ , $B \to B^{'}$ , $C \to C^{'}$ .

2 мин · теория
На чертеже — гомотетия с центром O и k = 2 (частный случай подобия, прошлый урок): лучи OA, OB, OC, точки A′, B′, C′ — образы. Соответственные стороны AB и A′B′ выделены бирюзовым, равные соответственные углы A и A′ — одной дугой.
Вопрос: назовите все пары соответственных сторон и углов. (AB ↔ A′B′, BC ↔ B′C′, AC ↔ A′C′; ∠A = ∠A′, ∠B = ∠B′, ∠C = ∠C′.)
У подобных треугольников соответственные стороны лежат против равных углов — так находят соответствие, если порядок букв не дан.

R02.2

Свойство 1 · доказательство

Соответственные отрезки относятся как $k$

Дано:

△ A^{'} B^{'} C^{'} \sim △ A BC

, коэффициент

k

;

B H

,

B^{'} H^{'}

— высоты.
Доказать:

B^{'} H^{'} = k \cdot B H

.

1

∠ A^{'} = ∠ A

соответственные углы подобных фигур

2

∠ A H B = ∠ A^{'} H^{'} B^{'} = 9 0^{\circ}

B H

и

B^{'} H^{'}

— высоты

3

△ A B H

\sim

△ A^{'} B^{'} H^{'}

признак подобия по двум углам

4

\frac{B ^{'} H ^{'}}{B H} = \frac{A ^{'} B ^{'}}{A B} = k

так же медианы, биссектрисы, радиусы, диагонали

3 мин · теория
Каждый шаг — вопрос классу «почему?», ответ — обоснование под строкой. Цвет на чертеже совпадает с цветом в записи: высоты — розовые, равные углы — бирюзовые дуги, подобные прямоугольные треугольники — залиты.
Вывод (шаг 4): все соответственные линейные элементы — высоты, медианы, биссектрисы, радиусы вписанной и описанной окружностей, диагонали — относятся как k. Для медианы: △A′B′M′ ∼ △ABM по двум сторонам и углу между ними (A′B′ = k·AB, B′M′ = ½B′C′ = k·BM, ∠B′ = ∠B) — его докажут ученики на сл. 12.
Ошибка: «высоты относятся как k, потому что так на рисунке» — требуем ссылку на признак подобия.

R02.2

Образец → сам · на готовом чертеже

Найдите соответственные элементы

Образец: $△ A_{1} B_{1} C_{1} \sim △ A BC$ , $B H$ и $B_{1} H_{1}$ — высоты. Найдите $A_{1} C_{1}$ и $B_{1} H_{1}$ .

$k = \frac{A _{1} B _{1}}{A B} = \frac{9}{6} = 1, 5$ соответственные стороны

$A_{1} C_{1} = 1, 5 \cdot 8 = 12$ $A_{1} C_{1} = k \cdot A C$

$B_{1} H_{1} = 1, 5 \cdot 4 = 6$ свойство 1: высоты

Сам

$△ K L M \sim △ A BC$ , $k = 3$ , медиана $A M = 5$ . Найдите соответственную медиану. $15$
Стороны треугольника $4$ , $6$ , $8$ . Наибольшая сторона подобного ему — $12$ . Найдите две другие. $6$ и $9$
Биссектрисы соответственных углов $7$ и $21$ , сторона меньшего $5$ . Найдите соответственную сторону большего. $15$

R02.2

Свойство 2 · доказательство

Периметры подобных фигур относятся как $k$

Дано:

△ A^{'} B^{'} C^{'} \sim △ A BC

, коэффициент

k

.
Доказать:

P^{'} = k \cdot P

.

1

a^{'} = ka

,

b^{'} = kb

,

c^{'} = k c

соответственные стороны

2

P^{'} = ka + kb + k c

периметр — сумма сторон

3

P^{'} = k (a + b + c) = k \cdot P

вынесли общий множитель; так же для любого многоугольника

R02.2

Свойство 3 · доказательство

Площади подобных фигур относятся как $k^{2}$

Дано:

△ A^{'} B^{'} C^{'} \sim △ A BC

, коэффициент

k

.
Доказать:

S^{'} = k^{2} S

.

1

S = \frac{1}{2} a h

площадь треугольника

2

a^{'} = ka

,

h^{'} = kh

соответственные сторона и высота (свойство 1)

3

S^{'} = \frac{1}{2} \cdot ka \cdot kh = k^{2} S

подставили и сгруппировали

4Многоугольник — разбить на треугольникикаждая часть

\times k^{2}

, сумма тоже

\times k^{2}

; круг:

π (k r)^{2} = k^{2} π r^{2}

R02.2

Схема-конспект

Подобие с коэффициентом $k$ : что во сколько раз

Элемент фигуры	в $F^{'}$	пример: $k = 3$
углы	$\times 1$	$4 0^{\circ} \to 4 0^{\circ}$
стороны, высоты, медианы, биссектрисы, радиусы, диагонали	$\times k$	$5 \to 15$
периметр, длина окружности	$\times k$	$12 \to 36$
площадь	$\times k^{2}$	$10 \to 90$
обратно: по площадям	$k = \frac{S ^{'}}{S}$	$\frac{90}{10} = 3$

сторона $\times 3$ → площадь $\times 9$

R02.2

Образец → сам · обратная задача

Площади известны — найдите $k$

Образец: площади подобных многоугольников $27$ и $48$ , сторона меньшего $6$ . Найдите соответственную сторону большего и $P_{2} : P_{1}$ .

$k^{2} = \frac{48}{27} = \frac{16}{9}$ , $k = \frac{4}{3}$ свойство 3

$\frac{4}{3} \cdot 6 = 8$ соответственная сторона

$P_{2} : P_{1} = k = 4 : 3$ свойство 2

Сам

Соответственные стороны подобных фигур относятся как $2 : 5$ . Найдите отношение площадей. $4 : 25$
Площади подобных треугольников $16$ и $36$ , периметр меньшего $10$ . Найдите периметр большего. $15$
Площадь фигуры при подобии увеличилась в $49$ раз. Во сколько раз увеличился периметр? в $7$ раз

R02.2

Образец → сам · строим чертёж сами

Параллельная прямая отсекает подобный треугольник

Образец: $MN ∥ A C$ , $BM : M A = 2 : 3$ , $S_{A BC} = 50$ . Найдите $S_{MBN}$ и $S_{A MNC}$ .

$△ MBN \sim △ A BC$ $∠ B$ общий, $∠ BMN = ∠ B A C$ (соответственные)

$k = \frac{BM}{B A} = \frac{2}{5}$ , $S_{MBN} = \frac{4}{25} \cdot 50 = 8$

$S_{A MNC} = 50 - 8 = 42$ трапеция = остаток

Сам (сделайте чертёж)

Средняя линия отсекает от треугольника треугольник площадью $7$ . Найдите площадь исходного. $28$
$MN ∥ A C$ , $BM = 3$ , $M A = 1$ , $MN = 6$ . Найдите $A C$ . $8$
$MN ∥ A C$ , $S_{MBN} : S_{A BC} = 9 : 25$ , $A C = 10$ . Найдите $MN$ . $6$

R02.2

Образец → сам · задача на доказательство

План доказательства и обоснования

Образец: докажите, что радиусы вписанных окружностей подобных треугольников относятся как $k$ .

$r = \frac{S}{p}$ $S = p r$ , $p$ — полупериметр (8 класс)

$S^{'} = k^{2} S$ , $p^{'} = k p$ свойства 3 и 2

$r^{'} = \frac{k ^{2} S}{k p} = k r$ что и требовалось

Сам: составьте план

Докажите: медианы $A M$ и $A^{'} M^{'}$ подобных треугольников относятся как $k$ . $△ A^{'} B^{'} M^{'} \sim △ A BM$ по двум сторонам и углу $B$
Докажите: радиусы описанных окружностей относятся как $k$ . $R = \frac{a}{2 s i n A}$ : $a^{'} = ka$ , $∠ A^{'} = ∠ A$

2,5 мин · практика
Образец: формула S = p·r (площадь через полупериметр и радиус вписанной окружности) из 8 класса; затем свойства 2 и 3 этого урока.
1) A′B′ = k·AB (соответственные стороны), B′M′ = ½B′C′ = ½k·BC = k·BM, ∠B′ = ∠B ⇒ △A′B′M′ ∼ △ABM (признак по двум сторонам и углу между ними) ⇒ A′M′ = k·AM.
2) По теореме синусов (R01) R = a/(2 sin A); R′ = a′/(2 sin A′) = ka/(2 sin A) = kR.
Критерий: названа каждая ссылка (свойство, признак, формула). «Очевидно» не засчитываем.

R02.2 · ОГЭ 18

Образец → сам · клетчатая бумага

Увеличим треугольник в 2 раза

Образец: клетка $1 \times 1$ . Гомотетия с центром $A$ , $k = 2$ . Найдите $S_{A B^{'} C^{'}}$ .

$S_{A BC} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$

$S_{A B^{'} C^{'}} = 2^{2} \cdot 6 = 24$

Проверка по клеткам: $\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24$

Сам

Квадрат $2 \times 2$ клетки увеличили с $k = 3$ . Сколько клеток в образе? $36$
Фигура — $12$ клеток, подобная ей — $27$ клеток. Найдите $k$ . $k = \frac{3}{2}$
Треугольник $A BC$ с рисунка уменьшили с $k = \frac{1}{2}$ . Его площадь? $1, 5$ клетки

R02.2

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$k = 3$ ⇒ площадь больше в $3$ раза	площадь — произведение двух длин, каждая $\times k$	в $k^{2} = 9$ раз
$S_{2} : S_{1} = 4$ ⇒ $P_{2} : P_{1} = 4$	периметры относятся как $k$ , а $k = 4$	$P_{2} : P_{1} = 2$
$△ A BC \sim △ K L M$ : $k = \frac{K M}{A B}$	$K M$ соответствует $A C$ , а не $A B$ — порядок букв	$k = \frac{K L}{A B} = \frac{L M}{BC} = \frac{K M}{A C}$
при $k = 2$ угол $3 0^{\circ}$ → $6 0^{\circ}$	подобие сохраняет углы	угол остаётся $3 0^{\circ}$

R02.2

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Соответственные стороны $3$ и $6$ , площадь меньшего $5$ . Найдите площадь большего.

$k = 2$

$S = 5 \cdot 2 = 10$

$S = 5 \cdot 2^{2} = 20$

б) Площади подобных треугольников $9$ и $16$ , периметр меньшего $12$ . Найдите периметр большего.

$k = \frac{16}{9}$

$P = 12 \cdot \frac{16}{9} = \frac{64}{3}$

$k = \frac{16}{9} = \frac{4}{3}$ , $P = 16$

в) $△ A BC \sim △ MN K$ , $A B = 4$ , $BC = 6$ , $MN = 6$ . Найдите $N K$ .

$k = \frac{MN}{BC} = 1$

$N K = 6$

$k = \frac{MN}{A B} = 1, 5$ ,
$N K = 1, 5 \cdot 6 = 9$

R02.2

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $k = 4$ , сторона $3$ . Найдите соответственную сторону. $12$
базаПериметры подобных треугольников — как $2 : 3$ , меньший $18$ . Найдите больший. $27$
базаПлощади подобных треугольников — как $1 : 4$ . Как относятся высоты? $1 : 2$

база $k = 5$ , площадь меньшей фигуры $2$ . Найдите площадь большей. $50$
базаСторону квадрата увеличили в $3$ раза. Во сколько раз выросла площадь? в $9$ раз
базаСоответственные высоты $4$ и $6$ , площадь меньшего $12$ . Найдите площадь большего. $27$

R02.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Площади подобных многоугольников $50$ и $32$ , сумма их периметров $117$ . Найдите периметры. $65$ и $52$
повыш. $MN ∥ A C$ , площадь $△ MBN$ вдвое меньше площади $△ A BC$ , $A B = 8$ . Найдите $BM$ . $42$
повыш.Прямая, параллельная стороне, делит треугольник на треугольник и трапецию площадями $4$ и $21$ . В каком отношении она делит боковую сторону (считая от вершины)? $2 : 3$
из жизниРадиус круглой клумбы увеличили на $20 %$ . На сколько процентов выросла её площадь? на $44 %$

R02.2 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 15Прямая, параллельная стороне $A C$ треугольника $A BC$ , пересекает стороны $A B$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ . $A B = 16$ , $A C = 20$ , $MN = 15$ . Найдите $A M$ . $4$
ОГЭ 15Площадь треугольника $A BC$ равна $48$ , $D E$ — средняя линия, параллельная $A B$ . Найдите площадь треугольника $C D E$ . $12$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны? Ответ: 23

Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
Любые два равносторонних треугольника подобны.

R02.2 · практические задачи

Задача из жизни

Одна большая пицца или две средние?

Где больше пиццы: одна $30$ см или две по $20$ см? в одной: $900 > 2 \cdot 400$ (в « $d^{2}$ »)
План квартиры $1 : 100$ , комната на плане — $18 см^{2}$ . Её площадь? $18 м^{2}$
Фото $10 \times 15$ напечатали $20 \times 30$ . Во сколько раз больше бумаги? в $4$ раза

R02.2

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$k = 3$ , медиана меньшего треугольника $4$ . Найдите соответственную медиану. $12$
Площади подобных треугольников $12$ и $75$ , сторона меньшего $4$ . Найдите соответственную сторону. $10$
$MN ∥ A C$ , $BM : B A = 1 : 3$ , $S_{A BC} = 54$ . Найдите $S_{MBN}$ . $6$
Периметры подобных треугольников — как $3 : 4$ , площадь большего $32$ . Найдите площадь меньшего. $18$

Вариант 2

$k = 2$ , биссектриса меньшего треугольника $7$ . Найдите соответственную биссектрису. $14$
Площади подобных треугольников $18$ и $50$ , сторона большего $10$ . Найдите соответственную сторону. $6$
$MN ∥ A C$ , $BM : B A = 2 : 3$ , $S_{A BC} = 45$ . Найдите $S_{MBN}$ . $20$
Периметры подобных треугольников — как $2 : 5$ , площадь меньшего $8$ . Найдите площадь большего. $50$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какие элементы при подобии не меняются?
Как относятся периметры и площади подобных фигур?
Как найти $k$ , если известны площади?

Домашнее задание

$k = 2, 5$ , площадь меньшей фигуры $8$ . Найдите площадь большей.
$MN ∥ A C$ , $BM : M A = 1 : 2$ , $S_{A BC} = 36$ . Найдите $S_{MBN}$ и $S_{A MNC}$ .
* Докажите: биссектрисы соответственных углов подобных треугольников относятся как $k$ .
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_podobie.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9-018 · Соответственные элементы подобных фигур

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R02 «Преобразование подобия. Метрические соотношения в окружности», 10 ч · урок 2/10 · тип Н
Единицы → слайды	R02.2 «Соответственные элементы подобных фигур» → 2, 4–21 · опора на R02.1 (преобразование подобия, гомотетия) и признаки подобия 8 класса → 3, 4
Результаты	ПР-4 = REQ-6.4 (соответственные элементы, длины и углы подобных фигур, практические задачи) → 2, 4–21 · EL-6.3 «Подобие соответственных элементов» → 4–9
Виды деятельности	«Исследовать отношение линейных элементов фигур при преобразовании подобия» → 5, 7–9, 12 · «Находить примеры подобия в окружающей действительности» → 17, 19
ОГЭ	линия 15 (треугольники) → 11, 18 · линия 18 (клетчатая бумага) → 13 · линия 19 (верные утверждения) → 18
Вне урока	понятие преобразования подобия — GEOM9-017 · хорды, секущие, касательная — GEOM9-019 · длина окружности и площадь круга — R05 (здесь только как пример k и k²)
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Соответственные элементы подобных фигур

Сегодня вы научитесь

Находить соответственные элементы

Вычислять длины и углы

Связывать периметры и площади

Применять подобие

Подобие и коэффициент подобия

Соответственные элементы

Соответственные отрезки относятся как k

Найдите соответственные элементы

Образец: △A1​B1​C1​∼△ABC, BH и B1​H1​ — высоты. Найдите A1​C1​ и B1​H1​.

Сам

Периметры подобных фигур относятся как k

Площади подобных фигур относятся как k2

Подобие с коэффициентом k: что во сколько раз

Площади известны — найдите k

Образец: площади подобных многоугольников 27 и 48, сторона меньшего 6. Найдите соответственную сторону большего и P2​:P1​.

Сам

Параллельная прямая отсекает подобный треугольник

Образец: MN∥AC, BM:MA=2:3, SABC​=50. Найдите SMBN​ и SAMNC​.

Сам (сделайте чертёж)

План доказательства и обоснования

Образец: докажите, что радиусы вписанных окружностей подобных треугольников относятся как k.

Сам: составьте план

Увеличим треугольник в 2 раза

Образец: клетка 1×1. Гомотетия с центром A, k=2. Найдите SAB′C′​.

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Соответственные стороны 3 и 6, площадь меньшего 5. Найдите площадь большего.

б) Площади подобных треугольников 9 и 16, периметр меньшего 12. Найдите периметр большего.

в) △ABC∼△MNK, AB=4, BC=6, MN=6. Найдите NK.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

Одна большая пицца или две средние?

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9-018 · Соответственные элементы подобных фигур

Соответственные отрезки относятся как $k$

Образец: $△ A_{1} B_{1} C_{1} \sim △ A BC$ , $B H$ и $B_{1} H_{1}$ — высоты. Найдите $A_{1} C_{1}$ и $B_{1} H_{1}$ .

Периметры подобных фигур относятся как $k$

Площади подобных фигур относятся как $k^{2}$

Подобие с коэффициентом $k$ : что во сколько раз

Площади известны — найдите $k$

Образец: площади подобных многоугольников $27$ и $48$ , сторона меньшего $6$ . Найдите соответственную сторону большего и $P_{2} : P_{1}$ .

Образец: $MN ∥ A C$ , $BM : M A = 2 : 3$ , $S_{A BC} = 50$ . Найдите $S_{MBN}$ и $S_{A MNC}$ .

Образец: докажите, что радиусы вписанных окружностей подобных треугольников относятся как $k$ .

Образец: клетка $1 \times 1$ . Гомотетия с центром $A$ , $k = 2$ . Найдите $S_{A B^{'} C^{'}}$ .

а) Соответственные стороны $3$ и $6$ , площадь меньшего $5$ . Найдите площадь большего.

б) Площади подобных треугольников $9$ и $16$ , периметр меньшего $12$ . Найдите периметр большего.

в) $△ A BC \sim △ MN K$ , $A B = 4$ , $BC = 6$ , $MN = 6$ . Найдите $N K$ .