Преобразование подобия · урок 1 из 10

Понятие о преобразовании подобия

Геометрия · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R02 · GEOM9-017

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %), итого 45 мин.
Паспорт: R02 «Преобразование подобия. Метрические соотношения в окружности» (10 ч), урок 1/10, единица R02.1. Тип урока — Н.
Теория (13,5): титул 0,5 · цели 0,5 · определение 2 · гомотетия 2 · теорема 2,5 · свойства 2,5 · подобные фигуры 2 · сводка 1,5.
Практика (31,5): разминка 2 · образцы → сам 3 + 3 + 3 + 2,5 + 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: образец 4 (доказательство) — разобрать только образец, задания «сам» — в ДЗ; теорему о гомотетии не сокращать.

R02.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Понимать подобие

как преобразование: все расстояния меняются в $k$ раз (ПР-4)

Строить образ

фигуры при гомотетии по центру и коэффициенту, в том числе на клетках

Применять свойства

находить длины, углы, периметры и площади подобных фигур (ПР-4)

Видеть подобие вокруг

карты, фотографии, модели, проектор (ПР-4, ПР-10)

0,5 мин · теория
ПР-4: «Владеть понятиями преобразования подобия, соответственных элементов подобных фигур. Пользоваться свойствами подобия произвольных фигур, уметь вычислять длины и находить углы у подобных фигур. Применять свойства подобия в практических задачах. Уметь приводить примеры подобных фигур в окружающем мире».
ПР-10: строить математические модели для задач реальной жизни с применением подобия.
Виды деятельности ФРП R02: осваивать понятие преобразования подобия, исследовать отношение линейных элементов фигур, находить примеры подобия в окружающей действительности.

повторение: 8 класс

Разминка · устно

Подобные треугольники

$△ A BC \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}$

Найдите коэффициент подобия $k$ . $k = 6 : 4 = 1, 5$
$BC = 5$ . Найдите $B_{1} C_{1}$ . $7, 5$
$∠ A = 4 0^{\circ}$ . Чему равен $∠ A_{1}$ ? $4 0^{\circ}$
$P_{A BC} = 15$ . Найдите $P_{A_{1} B_{1} C_{1}}$ . $22, 5$
$S_{A BC} = 10$ . Найдите $S_{A_{1} B_{1} C_{1}}$ . $22, 5$ — умножаем на $k^{2}$
Сколько пар равных углов достаточно для подобия? две (I признак)

R02.1

Определение

Преобразование подобия

Преобразование подобия — преобразование фигуры, при котором все расстояния между точками изменяются в одно и то же число

k

раз.

X^{'} Y^{'} = k \cdot X Y, k > 0

$k$ — коэффициент подобия; $F^{'}$ — образ $F$

На чертеже $k = 1, 5$ : $X^{'} Y^{'} = 1, 5 \cdot X Y$ для любых точек $X$ , $Y$

$k > 1$ — увеличение, $k < 1$ — уменьшение, $k = 1$ — расстояния сохраняются

2 мин · теория
Преобразование фигуры: каждой точке X фигуры F ставится в соответствие точка X′ — получаем фигуру F′ (образ). Пример из жизни: печать фотографии в другом размере — каждая точка снимка переходит в точку отпечатка.
Ключевое слово — «любых»: условие X′Y′ = k·XY выполняется для каждой пары точек фигуры, а не только для вершин.
Вопрос: F′ повёрнута относительно F — это мешает подобию? (Нет: расстояния всё равно изменились в 1,5 раза.)
При k = 1 расстояния сохраняются — такое преобразование называется движением (строка R06).

R02.1

Определение · гомотетия

Пример подобия: гомотетия

Гомотетия с центром

O

и коэффициентом

k > 0

переводит каждую точку

X

в точку

X^{'}

луча

OX

, для которой

O X^{'} = k \cdot OX

.

O A^{'} = 2 \cdot O A, O B^{'} = 2 \cdot OB

Как построить: провести луч $O A$ и отложить от центра $O A^{'} = k \cdot O A$

Центр $O$ переходит сам в себя

R02.1

Теорема · доказательство

Гомотетия — преобразование подобия

Дано: гомотетия с центром

O

и коэффициентом

k

;

X \to X^{'}

,

Y \to Y^{'}

.
Доказать:

X^{'} Y^{'} = k \cdot X Y

.

1

O X^{'} = k \cdot OX

,

O Y^{'} = k \cdot O Y

определение гомотетии

2

∠ X^{'} O Y^{'} = ∠ XO Y

это один и тот же угол

O

3

△ O X^{'} Y^{'}

\sim

△ OX Y

, коэффициент

k

II признак: две стороны пропорциональны, угол между ними общий

4

X^{'} Y^{'}

= k \cdot

X Y

,

X^{'} Y^{'} ∥ X Y

соответственные стороны; равные соответственные углы при

X

и

X^{'}

2,5 мин · теория
Каждый шаг — вопрос классу «почему?». Цвета: фиолетовый — исходный треугольник OXY, розовый — образ OX′Y′, жёлтая дуга — общий угол O, бирюзовые дуги — равные углы при X и X′.
Последний щелчок — стрелки параллельности: при гомотетии отрезок переходит в параллельный ему отрезок (∠OXY = ∠OX′Y′ — соответственные при прямых XY, X′Y′ и секущей OX).
Случай, когда O, X, Y на одной прямой (треугольника нет): X′Y′ = |OX′ − OY′| = k·|OX − OY| = k·XY (если X и Y по одну сторону от O); проговорить устно.
Вывод: гомотетия — частный случай преобразования подобия. Любое подобие — это гомотетия, после которой фигуру, возможно, передвинули (движение).

R02.1

Образец → сам · гомотетия на готовом чертеже

Найдите отрезки

Образец: гомотетия с центром $O$ , $k = 3$ ; $O A = 2$ , $A B = 1, 5$ . Найдите $O A^{'}$ , $A A^{'}$ и $A^{'} B^{'}$ .

$O A^{'} = 3 \cdot 2 = 6$ определение гомотетии

$A A^{'} = O A^{'} - O A = 6 - 2 = 4$ $A$ лежит на отрезке $O A^{'}$

$A^{'} B^{'} = 3 \cdot 1, 5 = 4, 5$ $X^{'} Y^{'} = k \cdot X Y$

Сам

$k = 2$ , $OB = 7$ . Найдите $O B^{'}$ и $B B^{'}$ . $O B^{'} = 14$ , $B B^{'} = 7$
$k = \frac{1}{2}$ , $A^{'} B^{'} = 4$ . Найдите $A B$ . $A B = 8$
$O A = 3$ , $A A^{'} = 6$ , точка $A$ между $O$ и $A^{'}$ . Найдите $k$ . $k = 9 : 3 = 3$

R02.1

Свойства преобразования подобия

Что меняется, а что — нет

прямые → прямые, отрезки → отрезки, лучи → лучи
углы сохраняются: $∠ A^{'} = ∠ A$ , $∠ B^{'} = ∠ B$
длины и периметры умножаются на $k$ : $a^{'} = ka$ , $P^{'} = k P$
площади умножаются на $k^{2}$ : $S^{'} = k^{2} S$

\frac{P ^{'}}{P} = k, \frac{S ^{'}}{S} = k^{2}

R02.1

Образец → сам · обратная задача: найти k

Коэффициент, периметр, площадь

Образец: при подобии квадрат со стороной $4$ перешёл в квадрат со стороной $6$ . Найдите $k$ , $P^{'}$ и $S^{'}$ .

$k = 6 : 4 = 1, 5$ отношение образа к исходной

$P^{'} = 1, 5 \cdot 16 = 24$ $P^{'} = k P$

$S^{'} = 1, 5^{2} \cdot 16 = 2, 25 \cdot 16 = 36$ $S^{'} = k^{2} S$

Сам

Периметр треугольника $12$ , периметр его образа $30$ . Найдите $k$ . $k = 2, 5$
Площадь фигуры $8$ , $k = 3$ . Найдите площадь образа. $72$
Площадь фигуры $50$ , площадь образа $8$ . Найдите $k$ . $k^{2} = 0, 16$ , $k = 0, 4$

R02.1

Образец → сам · строим на клетчатой бумаге

Образ при гомотетии с центром $O$

Образец: $O (0; 0)$ , $k = 2$ , $A (1; 1)$ , $B (3; 1)$ , $C (1; 2)$ . Постройте $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ .

от $O$ до $A$ : $1$ вправо, $1$ вверх ⇒ до $A^{'}$ вдвое больше: $A^{'} (2; 2)$

так же $B^{'} (6; 2)$ , $C^{'} (2; 4)$ координаты умножаются на $k$

Сам: нарисуйте в тетради

$O (0; 0)$ , $k = 3$ , $A (1; 2)$ . Найдите $A^{'}$ . $A^{'} (3; 6)$
$O (0; 0)$ , $k = \frac{1}{2}$ , $B (4; 6)$ . Найдите $B^{'}$ . $B^{'} (2; 3)$
$O (1; 1)$ , $k = 2$ , $A (3; 2)$ . Найдите $A^{'}$ . $A^{'} (5; 3)$

R02.1

Определение · подобные фигуры

Какие фигуры подобны

Фигуры

F

и

F^{'}

подобны, если одна из них переходит в другую преобразованием подобия:

F \sim F^{'}

.

Всегда подобны

любые два круга $(k = \frac{R ^{'}}{R})$ , два квадрата, два равносторонних треугольника, два отрезка

Не всегда подобны

прямоугольники, ромбы, равнобедренные треугольники — форма может быть разной

R02.1

Образец → сам · задача на доказательство

Докажите с помощью свойств подобия

Образец: докажите, что при гомотетии середина $M$ отрезка $A B$ переходит в середину $M^{'}$ отрезка $A^{'} B^{'}$ .

$M \in A B$ ⇒ $M^{'} \in A^{'} B^{'}$ отрезок → отрезок

$A^{'} M^{'} = k \cdot A M$ , $M^{'} B^{'} = k \cdot MB$ определение подобия

$A M = MB$ ⇒ $A^{'} M^{'} = M^{'} B^{'}$ $M^{'}$ — середина

Сам: докажите, что при подобии

равнобедренный треугольник переходит в равнобедренный $A^{'} B^{'} = k \cdot A B = k \cdot BC = B^{'} C^{'}$
прямоугольный треугольник — в прямоугольный углы сохраняются: $∠ C^{'} = ∠ C = 9 0^{\circ}$
квадрат — в квадрат все стороны $ka$ , все углы $9 0^{\circ}$

2,5 мин · практика
План доказательства: 1) где лежит M′; 2) как связаны длины; 3) вывод. Каждый шаг — со ссылкой на свойство подобия (не «на рисунке видно»).
1) AB = BC ⇒ A′B′ = k·AB = k·BC = B′C′ ⇒ △A′B′C′ равнобедренный. 2) Подобие сохраняет углы: ∠C′ = ∠C = 90°. 3) Стороны квадрата a ⇒ стороны образа k·a, все равны; углы сохраняются ⇒ 90°; отрезки переходят в отрезки ⇒ четырёхугольник — квадрат.
Сильным: докажите, что при гомотетии медиана треугольника переходит в медиану образа (следует из образца).

R02.1 · из жизни

Образец → сам · задача из жизни

Масштаб — это коэффициент подобия

Образец: на карте масштаба $1 : 50000$ между сёлами $7$ см. Каково расстояние на местности?

карта — образ местности при подобии, $k = \frac{1}{50 000}$

$7 \cdot 50000 = 350000$ см $= 3, 5 км$

Сам

Масштаб $1 : 200000$ , на карте $4, 5$ см. Сколько километров на местности? $9$ км
Фото $10 \times 15$ см увеличили до ширины $20$ см. Какова длина? Во сколько раз больше площадь? $30$ см; в $4$ раза
Модель самолёта в масштабе $1 : 72$ , размах крыльев модели $50$ см. Каков размах самолёта? $36$ м

R02.1

Сводка · правила урока

Подобие в одной таблице

Понятие	Запись	Что помнить
Преобразование подобия	$X^{'} Y^{'} = k \cdot X Y$ , $k > 0$	для любых двух точек
Гомотетия	$X^{'}$ на луче $OX$ , $O X^{'} = k \cdot OX$	откладываем от центра
Углы	$∠ A^{'} = ∠ A$	не меняются
Длины, периметр	$a^{'} = ka$ , $P^{'} = k P$	умножаются на $k$
Площадь	$S^{'} = k^{2} S$	на квадрат коэффициента
Подобные фигуры	$F \sim F^{'}$	круги и квадраты — всегда

R02.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$k = 3$ ⇒ площадь увеличилась в $3$ раза	площадь — произведение двух длин, каждая $\times k$	$S^{'} = 9 S$
$k = 2$ ⇒ углы тоже вдвое больше	подобие сохраняет углы — меняется только размер	$∠ A^{'} = ∠ A$
гомотетия, $k = 2$ : $A A^{'} = 2 \cdot O A$	отрезок откладывают от центра, а не от точки	$O A^{'} = 2 \cdot O A$ , $A A^{'} = O A$
«все прямоугольники подобны — углы равны»	стороны должны быть пропорциональны	$3 \times 1$ и $2 \times 2$ не подобны

R02.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Квадрат со стороной $3$ , подобие с $k = 2$ . Найдите площадь образа.

$S = 3^{2} = 9$

$S^{'} = 2 \cdot 9 = 18$

$S^{'} = 2^{2} \cdot 9 = 36$
проверка: сторона $6$ , $6^{2} = 36$

б) Гомотетия с центром $O$ , $k = 3$ , $O A = 4$ . Найдите $A A^{'}$ .

$O A^{'} = 3 \cdot 4 = 12$

$A A^{'} = 12 + 4 = 16$

$A$ на отрезке $O A^{'}$ : $A A^{'} = 12 - 4 = 8$

в) При подобии $A B = 6$ перешёл в $A^{'} B^{'} = 4$ . Найдите $k$ .

$k = 6 : 4 = 1, 5$

$k = \frac{A ^{'} B ^{'}}{A B} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
фигура уменьшилась

R02.1

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $k = 4$ , отрезок $2, 5$ . Длина образа? $10$
база $k = \frac{1}{3}$ , угол $7 5^{\circ}$ . Угол образа? $7 5^{\circ}$
базаГомотетия, $k = 5$ , $O A = 1, 2$ . Найдите $O A^{'}$ . $6$

база $P = 18$ , $k = \frac{2}{3}$ . Найдите $P^{'}$ . $12$
база $S = 6$ , $k = 2$ . Найдите $S^{'}$ . $24$
базаКруг радиуса $3$ перешёл в круг радиуса $7, 5$ . Найдите $k$ . $2, 5$

R02.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Гомотетия с центром $O$ : $O A = 4$ , $A A^{'} = 6$ , $A$ между $O$ и $A^{'}$ ; $OB = 10$ . Найдите $k$ и $O B^{'}$ . $k = 2, 5$ , $O B^{'} = 25$
повыш.Площади двух подобных многоугольников $27$ и $75$ , периметр меньшего $15$ . Найдите периметр большего. $25$
повыш.Гомотетия с центром $O (0; 0)$ переводит $A (2; - 1)$ в $A^{'} (6; - 3)$ . Найдите $k$ и образ точки $B (- 1; 4)$ . $k = 3$ , $B^{'} (- 3; 12)$
из жизниПроектор в $3$ м от экрана даёт кадр шириной $1, 2$ м. Какой будет ширина кадра, если отодвинуть проектор на $4, 5$ м от экрана? $1, 8$ м

R02.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15, 18 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 15 $M$ и $N$ — середины сторон $A B$ и $BC$ , $S_{A BC} = 48$ . Найдите $S_{MBN}$ .

12

ОГЭ 18На клетчатой бумаге $1 \times 1$ — два подобных треугольника. Найдите площадь большего.

9

ОГЭ 19Какие утверждения верны?

Любые два квадрата подобны.
При подобии с $k = 2$ площадь увеличивается в $2$ раза.
Любые два ромба подобны.

1

R02.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$k = 3$ , отрезок $7$ . Длина образа? $21$
Гомотетия, $k = \frac{1}{2}$ , $O A = 9$ . Найдите $O A^{'}$ . $4, 5$
$S = 5$ , $k = 4$ . Найдите $S^{'}$ . $80$
$O (0; 0)$ , $k = 2$ , $A (3; - 1)$ . Найдите $A^{'}$ . $A^{'} (6; - 2)$

Вариант 2

$k = 5$ , отрезок $1, 4$ . Длина образа? $7$
Гомотетия, $k = 4$ , $OB = 2, 5$ . Найдите $O B^{'}$ . $10$
$S^{'} = 45$ , $k = 3$ . Найдите $S$ . $5$
$O (0; 0)$ , $k = 3$ , $B (- 2; 1)$ . Найдите $B^{'}$ . $B^{'} (- 6; 3)$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что такое преобразование подобия?
Как построить образ точки при гомотетии?
Как меняются углы, длины, площади?

Домашнее задание

Постройте образ квадрата $A BC D$ при гомотетии с центром $A$ и $k = \frac{1}{2}$ .
На плане масштаба $1 : 1000$ участок занимает $12$ см². Найдите его площадь в м².
* Докажите: при подобии параллелограмм переходит в параллелограмм.
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_podobie.htm

1 мин · практика (рефлексия, запись ДЗ)
Ответы ДЗ: 1) Квадрат AB′C′D′ со стороной вдвое меньше: B′, C′, D′ — середины AB, AC, AD. 2) k = 1/1000 ⇒ площадь на местности в 1000² раз больше: 12 · 1 000 000 см² = 1200 м². 3) Противоположные стороны образа k·a и k·b попарно равны ⇒ параллелограмм (признак по двум парам равных противоположных сторон); отрезки переходят в отрезки, поэтому образ — четырёхугольник.
Следующий урок — соответственные элементы подобных фигур (GEOM9-018).

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9-017 · Понятие о преобразовании подобия

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R02 «Преобразование подобия. Метрические соотношения в окружности», 10 ч · урок 1/10 · тип Н
Единицы → слайды	R02.1 «Понятие о преобразовании подобия» → 2, 4–21 · повторение 8 класса (подобные треугольники) → 3
Результаты	ПР-4 (преобразование подобия, свойства, примеры в окружающем мире) → 4–21 · ПР-10 (модели реальных задач) → 13, 18
Вне урока	соответственные элементы подобных фигур — GEOM9-018; хорды, секущие, касательная — GEOM9-019; гомотетия с k < 0 и движения — строка R06
Время	теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Понятие о преобразовании подобия

Сегодня вы научитесь

Понимать подобие

Строить образ

Применять свойства

Видеть подобие вокруг

Подобные треугольники

Преобразование подобия

Пример подобия: гомотетия

Гомотетия — преобразование подобия

Найдите отрезки

Образец: гомотетия с центром O, k=3; OA=2, AB=1,5. Найдите OA′, AA′ и A′B′.

Сам

Что меняется, а что — нет

Коэффициент, периметр, площадь

Образец: при подобии квадрат со стороной 4 перешёл в квадрат со стороной 6. Найдите k, P′ и S′.

Сам

Образ при гомотетии с центром O

Образец: O(0;0), k=2, A(1;1), B(3;1), C(1;2). Постройте △A′B′C′.

Сам: нарисуйте в тетради

Какие фигуры подобны

Всегда подобны

Не всегда подобны

Докажите с помощью свойств подобия

Образец: докажите, что при гомотетии середина M отрезка AB переходит в середину M′ отрезка A′B′.

Сам: докажите, что при подобии

Масштаб — это коэффициент подобия

Образец: на карте масштаба 1:50000 между сёлами 7 см. Каково расстояние на местности?

Сам

Подобие в одной таблице

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Квадрат со стороной 3, подобие с k=2. Найдите площадь образа.

б) Гомотетия с центром O, k=3, OA=4. Найдите AA′.

в) При подобии AB=6 перешёл в A′B′=4. Найдите k.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9-017 · Понятие о преобразовании подобия

Образец: гомотетия с центром $O$ , $k = 3$ ; $O A = 2$ , $A B = 1, 5$ . Найдите $O A^{'}$ , $A A^{'}$ и $A^{'} B^{'}$ .

Образец: при подобии квадрат со стороной $4$ перешёл в квадрат со стороной $6$ . Найдите $k$ , $P^{'}$ и $S^{'}$ .

Образ при гомотетии с центром $O$

Образец: $O (0; 0)$ , $k = 2$ , $A (1; 1)$ , $B (3; 1)$ , $C (1; 2)$ . Постройте $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ .

Образец: докажите, что при гомотетии середина $M$ отрезка $A B$ переходит в середину $M^{'}$ отрезка $A^{'} B^{'}$ .

Образец: на карте масштаба $1 : 50000$ между сёлами $7$ см. Каково расстояние на местности?

а) Квадрат со стороной $3$ , подобие с $k = 2$ . Найдите площадь образа.

б) Гомотетия с центром $O$ , $k = 3$ , $O A = 4$ . Найдите $A A^{'}$ .

в) При подобии $A B = 6$ перешёл в $A^{'} B^{'} = 4$ . Найдите $k$ .