Тригонометрия · урок 16 из 16 · обобщение и систематизация

Тригонометрия, теоремы косинусов и синусов, решение треугольников

Геометрия · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R01 · GEOM9-016

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R01 «Тригонометрия. Теоремы косинусов и синусов. Решение треугольников» (16 ч), урок 16/16, единицы R01.1–R01.5. Тип — О (обобщение и систематизация): теория только короткой сводкой, основное время — практика.
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Теория (12): сл. 1 титул 1 · 2 цели 1 · 4 карта темы 1,5 · 5 определения 1,5 · 6 формулы приведения и таблица 1,5 · 8 теоремы 2 · 9 площади 1,5 · 10 схема решения 2.
Практика (33): 3 разминка 2 · 7 образец 1 — 2,5 · 11 образец 2 — 2,5 · 12 образец 3 — 2,5 · 13 образец 4 — 2 · 14 образец 5 — 2,5 · 15 образец 6 — 2,5 · 16 ошибки 1,5 · 17 найди ошибку 2 · 18 база 3 · 19 повышенный 2,5 · 20 ОГЭ 2 · 21 самостоятельная 4,5 · 22 итог 1.
Опора урока — GEOM9-001…GEOM9-015. Нужны калькуляторы (образец 5: нетабличные углы). Следующий урок — GEOM9-017 «Понятие о преобразовании подобия» (R02).
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 19 — в ДЗ; сводки не пропускать, а проговорить быстрее.

R01.1–R01.5

Цели урока

Сегодня вы повторите и научитесь

Вычислять

синус, косинус и тангенс углов от $0^{\circ}$ до $18 0^{\circ}$ , применять формулы приведения и тождество (ПР-1, ПР-2, REQ-6.1, REQ-6.2, EL-6.1)

Выбирать теорему

косинусов или синусов по тому, что дано, и решать треугольник (ПР-3, REQ-6.3, EL-6.2)

Находить площадь

треугольника и четырёхугольника через синус угла (ПР-3, REQ-6.3)

Решать практические задачи

и задания ОГЭ линий 15 и 16 (ПР-10, REQ-6.10, EL-6.2)

1 мин · теория
ПР-1 = REQ-6.1: тригонометрические функции, «с помощью калькулятора — длины и углы для нетабличных значений». ПР-2 = REQ-6.2: формулы приведения и основное тригонометрическое тождество. ПР-3 = REQ-6.3: теоремы синусов и косинусов, «решение треугольников». ПР-10 = REQ-6.10: модели задач реальной жизни.
EL-6.1: синус, косинус, тангенс углов от 0 до 180°, тождество, формулы приведения. EL-6.2: решение треугольников, теоремы косинусов и синусов, практические задачи.
Сказать классу: это итоговый урок темы — сегодня собираем всё в одну схему и много решаем; в конце — самостоятельная работа.

R01.1 · R01.2 · R01.3 · повторение

Разминка · устно

Значения, знаки и пары «сторона — угол»

$sin 12 0^{\circ}$ $\frac{3}{2}$
$cos 15 0^{\circ}$ $- \frac{3}{2}$
$tg 13 5^{\circ}$ $- 1$
$sin^{2} 3 7^{\circ} + cos^{2} 3 7^{\circ}$ $1$

$cos α < 0$ . Угол $α$ какой? тупой
$sin α = 1$ , $α = ?$ $9 0^{\circ}$
$\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 \cdot sin 3 0^{\circ}$ $5$
Против какого угла лежит $A C$ ? $∠ B$

R01.1–R01.5

Карта темы · обобщение

16 уроков — пять опор

R01.1

Синус, косинус, тангенс от $0^{\circ}$ до $18 0^{\circ}$

sin α = y, cos α = x

R01.2

Формулы приведения

sin (18 0^{\circ} - α) = sin α

R01.3

Теоремы косинусов и синусов

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A

R01.4

Решение треугольников

по трём элементам — все шесть

R01.5

Площади и измерения

S = \frac{1}{2} ab sin C

План урока

Сводка → образцы → ошибки → самостоятельная

1,5 мин · теория
Опоры темы по единицам ФРП: R01.1 определения (координаты точки единичной полуокружности), R01.2 формулы приведения и основное тождество, R01.3 теоремы косинусов и синусов (с радиусом описанной окружности), R01.4 решение треугольников, R01.5 практическое применение (площади, измерения на местности).
Вопрос классу по каждой карточке: «Какую задачу мы этим решаем?» — например, теорема косинусов: третья сторона по двум сторонам и углу между ними, угол по трём сторонам.
Последняя карточка (по клику) — план урока: сначала короткие сводки, затем шесть «образец → сам», разбор ошибок и самостоятельная.

R01.1

Сводка · определения

Синус, косинус, тангенс — через координаты

M

— точка единичной полуокружности,

∠ MO x = α

,

0^{\circ} \leq α \leq 18 0^{\circ}

.

s i n α = y, c o s α = x

tg α = \frac{sin α}{cos α} (α \neq = 9 0^{\circ})

Тупой угол:

sin α > 0

,

cos α < 0

,

tg α < 0

.
Всегда

0 \leq sin α \leq 1

,

- 1 \leq cos α \leq 1

.

R01.2

Сводка · формулы приведения и тождество

Тупой угол сводим к острому

sin (18 0^{\circ} - α) = sin α

cos (18 0^{\circ} - α) = - cos α

sin (9 0^{\circ} - α) = cos α

cos (9 0^{\circ} - α) = sin α

sin^{2} α + cos^{2} α = 1

tg (18 0^{\circ} - α) = - tg α

$α$	$0^{\circ}$	$3 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$6 0^{\circ}$	$9 0^{\circ}$	$12 0^{\circ}$	$13 5^{\circ}$	$15 0^{\circ}$	$18 0^{\circ}$
$sin α$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{3}{2}$	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$cos α$	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$- \frac{1}{2}$	$- \frac{2}{2}$	$- \frac{3}{2}$	$- 1$

Тупой угол

α

→ острый

18 0^{\circ} - α

:

cos 15 0^{\circ} = - cos 3 0^{\circ} = - \frac{3}{2}

,

sin 13 5^{\circ} = sin 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}

.

1,5 мин · теория
Формулы приведения выведены на GEOM9-002 из симметрии точек M и N единичной полуокружности относительно оси Oy: при замене α на 180° − α ордината сохраняется, абсцисса меняет знак.
Таблица (по клику) — правая половина получается из левой по формулам приведения: sin «отражается», у cos меняется знак. Вопрос: найдите в таблице cos 120° и объясните через формулу (cos 120° = −cos 60° = −½).
Основное тождество верно для любого α от 0° до 180° (OM = 1, теорема Пифагора или уравнение окружности x² + y² = 1).

R01.1 · R01.2

Образец → сам · по одной функции — другие

Тождество + знак: для тупого угла $cos α < 0$

Образец: $α$ — тупой, $sin α = \frac{3}{5}$ . Найдите $cos α$ и $tg α$ .

$cos^{2} α = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ основное тождество
$cos α = - \frac{4}{5}$ угол тупой, поэтому $cos α < 0$
$tg α = \frac{3}{5} : (- \frac{4}{5}) = - \frac{3}{4}$ $tg α = sin α : cos α$

Сам

$α$ — тупой, $sin α = \frac{5}{13}$ . Найдите $cos α$ .
$- \frac{12}{13}$
$cos α = - \frac{1}{2}$ , $0^{\circ} < α < 18 0^{\circ}$ . Найдите $sin α$ и $α$ .
$\frac{3}{2}; 12 0^{\circ}$
Вычислите: $2 sin 12 0^{\circ} \cdot cos 15 0^{\circ}$
$- \frac{3}{2}$

R01.3

Сводка · теоремы косинусов и синусов

Две теоремы — любые треугольники

Теорема косинусов

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A

Теорема синусов — пары «сторона и противолежащий угол» одного цвета

\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R

Вид треугольника:

a

— наибольшая сторона;

a^{2} < b^{2} + c^{2}

— остроугольный,

=

— прямоугольный,

>

— тупоугольный.

R01.5

Сводка · площади через синус

Две стороны и угол — площадь

S = \frac{1}{2} a b sin C

потому что $h = b sin C$

S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin φ

параллелограмм: $S = ab sin α$

R01.4

Схема-конспект · решение треугольников

Что дано → какая теорема

Дано	Сначала	Потом
две стороны и угол между ними	т. косинусов → третья сторона	угол — т. косинусов, третий — $18 0^{\circ} - \dots$
три стороны	т. косинусов → $cos$ угла	второй угол так же, третий — $18 0^{\circ} - \dots$
сторона и два угла	третий угол $18 0^{\circ} - \dots$	стороны — т. синусов
две стороны и угол против одной	т. синусов → $sin$ угла	проверить: $0$ , $1$ или $2$ решения

2 мин · теория
На значках розовым выделены данные стороны, жёлтыми дугами — данные углы.
Правило: если угол известен «между» данными сторонами или даны три стороны — теорема косинусов; если есть пара «сторона — противолежащий угол» — теорема синусов.
Случай 4 (GEOM9-004): sin найденного угла может дать два угла — острый и тупой (α и 180° − α); оставляем те, при которых сумма углов меньше 180°. Если sin > 1 — треугольника нет.
Нетабличные углы — по калькулятору (arccos, arcsin), округляем до градуса.

R01.3 · R01.4

Образец → сам · теорема косинусов

Сторона по двум сторонам и углу между ними

Образец: $A B = 8$ , $A C = 15$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ .

$B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2 \cdot A B \cdot A C cos A$ т. косинусов: $∠ A$ лежит между $A B$ и $A C$
$B C^{2} = 64 + 225 - 2 \cdot 8 \cdot 15 \cdot \frac{1}{2} = 169$ , $BC = 13$ $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$

Сам

$BC = 7$ , $A C = 8$ , $∠ C = 12 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ . $13$
Стороны $5$ , $7$ , $8$ . Найдите угол против стороны $7$ . $6 0^{\circ}$
Стороны $5$ , $6$ , $8$ . Какой это треугольник? тупоугольный

R01.3 · R01.4

Образец → сам · теорема синусов и радиус

Пара «сторона — противолежащий угол»

Образец: $∠ B = 10 5^{\circ}$ , $∠ C = 3 0^{\circ}$ , $A B = 4$ . Найдите $R$ и $BC$ .

$∠ A = 4 5^{\circ}$ $18 0^{\circ} - 10 5^{\circ} - 3 0^{\circ}$
$2 R = \frac{A B}{sin C} = \frac{4}{\frac{1}{2}} = 8$
$R = 4$ $A B$ лежит против $∠ C$
$BC = 8 sin 4 5^{\circ} = 42$ $BC = 2 R sin A$ : против $∠ A$

Сам

$BC = 10$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите $R$ . $10$
$∠ A = 6 0^{\circ}$ , $∠ B = 4 5^{\circ}$ , $BC = 36$ . Найдите $A C$ . $6$
$A B = 12$ , $R = 12$ . Найдите $∠ C$ . $3 0^{\circ}$ или $15 0^{\circ}$

R01.5

Образец → сам · площадь

$S = \frac{1}{2} ab sin C$ — и для тупого угла

Образец: $A B = 6$ , $A C = 10$ , $∠ A = 15 0^{\circ}$ . Найдите площадь $△ A BC$ .

$S = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot A C \cdot sin A$ угол $A$ — между сторонами $A B$ и $A C$
$sin 15 0^{\circ} = sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ формула приведения
$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2} = 15$ проверка: высота $B H = 6 sin 3 0^{\circ} = 3$ , $\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 3 = 15$

Сам

$a = 8$ , $b = 5$ , $∠ C = 4 5^{\circ}$ . Найдите $S$ . $102$
Диагонали четырёхугольника $10$ и $12$ , угол между ними $3 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $30$
$S = 18$ , $a = 6$ , $b = 12$ , угол $C$ — острый. Найдите $∠ C$ . $3 0^{\circ}$

R01.4

Образец → сам · решение треугольника

Найти все стороны и углы (калькулятор)

Образец: $A B = 8$ , $A C = 5$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Решите треугольник.

$B C^{2} = 64 + 25 - 40 = 49$ , $BC = 7$ т. косинусов
$cos B = \frac{64 + 49 - 25}{2 \cdot 8 \cdot 7} = \frac{11}{14}$
$∠ B \approx 3 8^{\circ}$ т. косинусов; по калькулятору
$∠ C \approx 8 2^{\circ}$ $18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} - 3 8^{\circ}$

Сам: решите треугольник

$A B = 10$ , $∠ A = 5 0^{\circ}$ , $∠ B = 7 0^{\circ}$
$∠ C = 6 0^{\circ}$ , $BC \approx 8, 8$ , $A C \approx 10, 9$
Стороны $4$ , $5$ , $6$ : найдите наибольший угол
$cos = \frac{1}{8}$ , $\approx 8 3^{\circ}$

2,5 мин · практика
Образец: BC² = 64 + 25 − 2 · 8 · 5 · ½ = 49, BC = 7. cos B = (AB² + BC² − AC²)/(2 · AB · BC) = 88/112 = 11/14 ≈ 0,786 ⇒ ∠B ≈ 38,2° ≈ 38°; ∠C ≈ 81,8° ≈ 82°. Угол B ищем против меньшей стороны AC = 5 — он заведомо острый. Площадь бонусом: ½ · 8 · 5 · sin 60° = 10√3 ≈ 17,3.
Сам: 1) ∠C = 180° − 50° − 70° = 60°; по т. синусов BC = 10 · sin 50° / sin 60° ≈ 8,85 ≈ 8,8; AC = 10 · sin 70° / sin 60° ≈ 10,85 ≈ 10,9. 2) Наибольший угол — против стороны 6: cos = (16 + 25 − 36)/(2 · 4 · 5) = 5/40 = 1/8 ⇒ ≈ 82,8° ≈ 83°.
Калькулятор — в режиме градусов (DEG). Округление — до градуса и до десятых.

R01.5

Образец → сам · задача из жизни

Расстояние до недоступной точки

Образец: дерево $C$ — на другом берегу. $A B = 100$ м, $∠ A = 7 5^{\circ}$ , $∠ B = 4 5^{\circ}$ . Найдите $A C$ .

$∠ C = 18 0^{\circ} - 7 5^{\circ} - 4 5^{\circ} = 6 0^{\circ}$ сумма углов треугольника
$A C = \frac{A B sin B}{sin C} = \frac{100 2}{3} = \frac{100 6}{3} \approx 82$ мт. синусов: $A C$ против $∠ B$ , $A B$ против $∠ C$ ; калькулятор

Сам

Два катера вышли из порта; угол между курсами $6 0^{\circ}$ . Один прошёл $8$ км, другой $15$ км. Расстояние между ними? $13$ км
Из точки $C$ видны концы туннеля $A$ и $B$ : $C A = 300$ м, $CB = 500$ м, $∠ A CB = 12 0^{\circ}$ . Длина туннеля? $700$ м

R01.1–R01.4

Осторожно · типичные ошибки

Так нельзя

Знак косинуса тупого угла

$a = 3$ , $b = 5$ , $∠ C = 12 0^{\circ}$

$c^{2} = 9 + 25 - 15 = 19$

$cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ : минус на минус даёт плюс

$c^{2} = 9 + 25 + 15 = 49$ , $c = 7$

Сторона не против своего угла

теорема синусов в $△ A BC$

$\frac{BC}{sin B} = \frac{A C}{sin A}$

$BC$ лежит против $∠ A$ , а не $∠ B$

$\frac{BC}{sin A} = \frac{A C}{sin B}$

Потерян тупой угол

$sin C = \frac{1}{2}$ , угол $C$ треугольника

$C = 3 0^{\circ}$ — и всё

у острого и тупого угла синус один и тот же

$C = 3 0^{\circ}$ или $C = 15 0^{\circ}$

1,5 мин · практика
Каждую карточку — вопросом «Что здесь не так?»; ученики объясняют, затем открывается исправление (по клику).
1) Стороны 3 и 5, угол 120° между ними: c² = 9 + 25 − 30 · (−½) = 49, c = 7, а не √19.
2) Пара в теореме синусов — сторона и противолежащий угол: BC ↔ ∠A, AC ↔ ∠B.
3) Уравнение sin C = ½ на промежутке 0°…180° имеет два корня: 30° и 150°. Один отбрасываем, только если сумма углов превысит 180° (например, в треугольнике уже есть тупой угол).
Ещё частые ошибки: при поиске R забыть разделить 2R на 2; в площади взять cos вместо sin.

R01.3 · R01.5

Найди ошибку

Где ошибся ученик? Ошибок две

Задача. $A B = 5$ , $A C = 8$ , $∠ A = 12 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ и площадь $△ A BC$ .

$B C^{2} = 25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 49$ , $BC = 7$
$S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot cos 12 0^{\circ} = - 10$

Шаг 1: $cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$

$B C^{2} = 89 + 40 = 129$ ,
$BC = 129$

Шаг 2: в площади — синус

$S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{3}{2} = 103$

Подсказка-проверка: площадь не бывает отрицательной; сторона против тупого угла — наибольшая.

R01.1–R01.5

Задания с самопроверкой · база

Решите и сверьте

$2 sin 15 0^{\circ} - cos 18 0^{\circ}$ $2$
$cos α = - 0, 6$ , $0^{\circ} < α < 18 0^{\circ}$ . Найдите $sin α$ . $0, 8$
$A B = 4$ , $BC = 6$ , $∠ B = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A C$ . $27$

$BC = 7$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите радиус описанной окружности. $7$
$a = 10$ , $b = 7$ , $∠ C = 15 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $17, 5$
Стороны $6$ , $7$ , $10$ . Какой это треугольник? тупоугольный

R01.3–R01.5

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Стороны параллелограмма $3$ и $8$ , угол $6 0^{\circ}$ . Найдите обе диагонали. $7$ и $97$
повыш. $A B = 6$ , $∠ C = 4 5^{\circ}$ . Найдите радиус окружности, описанной около $△ A BC$ . $32$
повыш. $A B = 7$ , $BC = 5$ , $A C = 8$ . Найдите площадь $△ A BC$ . $103$
из жизниС маяка видны два корабля: $4$ км и $6$ км, угол между направлениями $12 0^{\circ}$ . Расстояние между кораблями? $219 \approx 8, 7$ км

R01.3 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15 и 16

Ответ — одно число

1. линия 15В треугольнике $A BC$ известно, что $A B = 8$ , $BC = 10$ , $A C = 12$ . Найдите $cos ∠ A BC$ . $0, 125$

линия 16Сторона $A B$ треугольника $A BC$ равна $16$ , противолежащий ей угол $C$ равен $15 0^{\circ}$ . Найдите радиус описанной окружности. $16$
линия 15Две стороны треугольника $12$ и $9$ , угол между ними $3 0^{\circ}$ . Найдите площадь. $27$

В бланк — только число: 0,125, без «

cos B =

».

R01.1–R01.5

Самостоятельная работа · 4,5 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вычислите $sin 12 0^{\circ} \cdot cos 15 0^{\circ}$ $- 0, 75$
$A C = 5$ , $BC = 8$ , $∠ C = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ . $7$
$BC = 12$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите $R$ . $12$
Стороны $4$ и $10$ , угол между ними $15 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $10$

Вариант 2

Вычислите $cos 13 5^{\circ} \cdot sin 4 5^{\circ}$ $- 0, 5$
$A C = 7$ , $BC = 8$ , $∠ C = 12 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ . $13$
$A B = 10$ , $∠ C = 4 5^{\circ}$ . Найдите $R$ . $52$
Стороны $6$ и $9$ , угол между ними $3 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $13, 5$

4,5 мин · практика
R — радиус окружности, описанной около △ABC; S — площадь треугольника.
Вариант 1: 1) (√3/2) · (−√3/2) = −3/4 = −0,75. 2) AB² = 25 + 64 − 40 = 49, AB = 7. 3) 2R = 12 : ½ = 24, R = 12. 4) ½ · 4 · 10 · ½ = 10.
Вариант 2: 1) (−√2/2) · (√2/2) = −½ = −0,5. 2) AB² = 49 + 64 + 56 = 169, AB = 13. 3) 2R = 10 : (√2/2) = 10√2, R = 5√2 ≈ 7,07. 4) ½ · 6 · 9 · ½ = 13,5.
4 мин на решение, затем обмен тетрадями и проверка по ответам (по клику). Критерий: 4 верно — «5», 3 — «4», 2 — «3». Задания по одному на каждую опору: R01.1–R01.2, т. косинусов, т. синусов, площадь.

R01.1–R01.5

Итог урока

Тема закрыта — что взять с собой

Опоры темы

$sin (18 0^{\circ} - α) = sin α$ , $cos (18 0^{\circ} - α) = - cos α$
т. косинусов — угол «между»
т. синусов — пара «против»
$S = \frac{1}{2} ab sin C$

Проверь себя

Я нахожу значения для тупых углов.
Выбираю теорему по тому, что дано.
Решаю треугольник и задачу из жизни.

Дома

$A B = 3$ , $A C = 8$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ и $S$ .
$BC = 9$ , $∠ A = 12 0^{\circ}$ . Найдите $R$ .
Тренажёр:
reknow.ru/9/geometry/9_geometry_trigonometriya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9-016 · Обобщение: тригонометрия, теоремы косинусов и синусов, решение треугольников

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R01 «Тригонометрия. Теоремы косинусов и синусов. Решение треугольников», 16 ч · урок 16/16 · тип О (обобщение и систематизация)
Единицы → слайды	R01.1 → 3, 5, 7, 18, 21 · R01.2 → 3, 6, 7, 16, 18 · R01.3 → 8, 11, 12, 16, 17, 19, 20 · R01.4 → 10, 11, 12, 14 · R01.5 → 9, 13, 15, 19
Результаты	ПР-1 = REQ-6.1 → 5, 7, 14 · ПР-2 = REQ-6.2 → 6, 7 · ПР-3 = REQ-6.3 → 8–14, 16–21 · ПР-10 = REQ-6.10 → 15, 19 · EL-6.1 → 5–7 · EL-6.2 → 8–21
Виды деятельности	«Формулировать определения тригонометрических функций тупых и прямых углов» → 5 · «Выводить формулы площадей» → 9 · «Решать треугольники» → 10, 14 · «Решать практические задачи» → 15, 19
ОГЭ	линия 15 → 20 (задачи 1, 3) · линия 16 → 20 (задача 2)
Вне урока	выводы теорем — GEOM9-002, GEOM9-003, GEOM9-005; преобразование подобия — GEOM9-017 (R02)
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Тригонометрия, теоремы косинусов и синусов, решение треугольников

Сегодня вы повторите и научитесь

Вычислять

Выбирать теорему

Находить площадь

Решать практические задачи

Значения, знаки и пары «сторона — угол»

16 уроков — пять опор

Синус, косинус, тангенс от 0∘ до 180∘

Формулы приведения

Теоремы косинусов и синусов

Решение треугольников

Площади и измерения

Сводка → образцы → ошибки → самостоятельная

Синус, косинус, тангенс — через координаты

Тупой угол сводим к острому

Тождество + знак: для тупого угла cosα<0

Образец: α — тупой, sinα=53​. Найдите cosα и tgα.

Сам

Две теоремы — любые треугольники

Две стороны и угол — площадь

Что дано → какая теорема

Сторона по двум сторонам и углу между ними

Образец: AB=8, AC=15, ∠A=60∘. Найдите BC.

Сам

Пара «сторона — противолежащий угол»

Образец: ∠B=105∘, ∠C=30∘, AB=4. Найдите R и BC.

Сам

S=21​absinC — и для тупого угла

Образец: AB=6, AC=10, ∠A=150∘. Найдите площадь △ABC.

Сам

Найти все стороны и углы (калькулятор)

Образец: AB=8, AC=5, ∠A=60∘. Решите треугольник.

Сам: решите треугольник

Расстояние до недоступной точки

Образец: дерево C — на другом берегу. AB=100 м, ∠A=75∘, ∠B=45∘. Найдите AC.

Сам

Так нельзя

Знак косинуса тупого угла

Сторона не против своего угла

Потерян тупой угол

Где ошибся ученик? Ошибок две

Решите и сверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Тема закрыта — что взять с собой

Опоры темы

Проверь себя

Дома

GEOM9-016 · Обобщение: тригонометрия, теоремы косинусов и синусов, решение треугольников

Синус, косинус, тангенс от $0^{\circ}$ до $18 0^{\circ}$

Тождество + знак: для тупого угла $cos α < 0$

Образец: $α$ — тупой, $sin α = \frac{3}{5}$ . Найдите $cos α$ и $tg α$ .

Образец: $A B = 8$ , $A C = 15$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ .

Образец: $∠ B = 10 5^{\circ}$ , $∠ C = 3 0^{\circ}$ , $A B = 4$ . Найдите $R$ и $BC$ .

$S = \frac{1}{2} ab sin C$ — и для тупого угла

Образец: $A B = 6$ , $A C = 10$ , $∠ A = 15 0^{\circ}$ . Найдите площадь $△ A BC$ .

Образец: $A B = 8$ , $A C = 5$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Решите треугольник.

Образец: дерево $C$ — на другом берегу. $A B = 100$ м, $∠ A = 7 5^{\circ}$ , $∠ B = 4 5^{\circ}$ . Найдите $A C$ .