Тригонометрия · урок 15 из 16 · практикум

Практическое применение доказанных теорем

Геометрия · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R01 · GEOM9-015

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R01 «Тригонометрия. Теоремы косинусов и синусов. Решение треугольников» (16 ч), урок 15/16, единица R01.5. Тип — П (второй практикум по применению; первый — GEOM9-010, новый материал — GEOM9-005). Сегодня — новые типы прикладных задач: курсы судов, силы, площадь участка, радиус круглой детали, две недоступные точки, крыша.
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Теория (12): сл. 1 титул 1 · 2 цели 1 · 4 сводка формул 3 · 5 углы в практических задачах 2 · 6 от ситуации к модели 2 · 7 вывод формулы равнодействующей 3.
Практика (33): 3 разминка 2,5 · 8–12 пять «Образец → сам» по 2,5 · 13 ошибки 1,5 · 14 найди ошибку 2 · 15 база 3 · 16 повышенный 2,5 · 17 ОГЭ 2 · 18 из жизни 2 · 19 самостоятельная 4 · 20 итог 1.
Нужны калькуляторы (режим градусов DEG) — в образцах 1, 4 и в повышенном уровне есть задания «≈».
Если не успеваете: вывод на сл. 7 — устно по чертежу (теорию не выбрасывать), задания 3–4 сл. 16 — в ДЗ.

R01.5

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Строить модель

ситуация → схема → треугольник → теорема (ПР-10, REQ-6.10)

Находить расстояния и углы

в навигации и физике — теоремами косинусов и синусов (ПР-3, EL-6.2)

Вычислять площади

участков по сторонам, диагоналям и углу (ПР-3, ПР-10)

Считать с калькулятором

нетабличные углы и разумное округление ответа (ПР-1, REQ-6.1)

1 мин · теория
ПР-10 = REQ-6.10 (ФРП дословно): «Применять полученные знания на практике – строить математические модели для задач реальной жизни и проводить соответствующие вычисления с применением подобия и тригонометрических функций (пользуясь, где необходимо, калькулятором)».
ПР-3 = REQ-6.3: «Использовать теоремы синусов и косинусов для нахождения различных элементов треугольника… применять их при решении геометрических задач». EL-6.2: «…Решение практических задач с использованием теоремы косинусов и теоремы синусов».
ПР-1 = REQ-6.1: «…Находить (с помощью калькулятора) длины и углы для нетабличных значений». Вид деятельности ФРП: «Решать практические задачи, сводящиеся к нахождению различных элементов треугольника».

R01.1 · R01.3 · повторение

Разминка · устно

Считаем в уме

$sin 12 0^{\circ}$ $\frac{3}{2}$
$cos 15 0^{\circ}$ $- \frac{3}{2}$
$\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot sin 3 0^{\circ}$ $12$
$5^{2} + 3^{2} - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot cos 6 0^{\circ}$ $19$

$\frac{10}{sin 3 0 ^{\circ}}$ $20$
Угол между курсами «на север» и «на восток» $9 0^{\circ}$
Луч к солнцу — $3 0^{\circ}$ к горизонту. Угол с вертикалью? $6 0^{\circ}$
$1$ га $= ?$ м² $10000$

2,5 мин · практика
Ответы: 1) $sin 12 0^{\circ} = sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ ; 2) $cos 15 0^{\circ} = - cos 3 0^{\circ} = - \frac{3}{2}$ ; 3) $24 \cdot \frac{1}{2} = 12$ ; 4) $25 + 9 - 15 = 19$ ; 5) $10 : \frac{1}{2} = 20$ ; 6) $9 0^{\circ}$ ; 7) $9 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 6 0^{\circ}$ ; 8) $1 га = 100 м \cdot 100 м = 10000 м^{2}$ (а $1$ сотка $= 100 м^{2}$ ).
Приёмы урока: 1–2 — синус и косинус тупых углов (формулы приведения), 3 — площадь через две стороны и угол, 4 — теорема косинусов, 5 — теорема синусов, 6–7 — углы в навигации и «к горизонту», 8 — единицы площади участков.
Ошибка: $cos 15 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ (потерян знак) — спросить, какой знак у косинуса тупого угла.

R01.3 · R01.5

Сводка · формулы для практики

Пять формул — на все задачи урока

Что известно	Что находим	Формула
две стороны и угол между ними	третью сторону	$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C$
три стороны	угол	$cos C = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 ab}$
сторону и два угла	другую сторону	$\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = 2 R$
две стороны и угол между ними	площадь треугольника	$S = \frac{1}{2} ab sin C$
диагонали и угол между ними	площадь четырёхугольника	$S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin φ$

3 мин · теория
Строки по клику. На каждой — вопрос классу: «Где это встречается в жизни?» (расстояние через препятствие; угол между дорогами; ширина реки; площадь участка; площадь поля по диагоналям).
Напомнить: углы $α$ и $18 0^{\circ} - α$ дают одинаковый синус, поэтому формулы площади не зависят от выбора острого или тупого угла; у косинуса тупого угла — знак «минус».
Все формулы доказаны на уроках GEOM9-003 (теоремы) и GEOM9-005 (площади); эту таблицу можно оставить на доске на весь урок.

R01.5

Сводка · углы в практических задачах

Откуда отсчитывают угол

Угол возвышения

от горизонтали вверх к предмету

Угол понижения

от горизонтали вниз; равен углу возвышения из лодки

Курс (азимут)

от направления на север по часовой стрелке

R01.5

Сводка · от ситуации к модели

Пять шагов прикладной задачи

1

Схема

рисунок сверху или сбоку, точки — буквами

2

Треугольник

отметить известные стороны и углы

3

Теорема

выбрать по таблице: косинусов, синусов, площадь

4

Расчёт

точно, а калькулятор — в конце, режим DEG

5

Ответ

с единицами; правдоподобен ли?

Округляем один раз — в ответе: до десятых или до целых метров, как требует задача. Промежуточные значения не округлять.

R01.3 · R01.5

Вывод · равнодействующая двух сил

Силы $F_{1}$ и $F_{2}$ под углом $α$ : чему равна $R$ ?

$R$ — диагональ $OC$ параллелограммаправило параллелограмма (физика, 9 класс)
В $△ O A C$ : $O A = F_{1}$ , $A C = F_{2}$ противоположные стороны параллелограмма равны
$∠ O A C = 18 0^{\circ} - α$ соседние углы параллелограмма
$R^{2} = F_{1}^{2} + F_{2}^{2} - 2 F_{1} F_{2} cos (18 0^{\circ} - α)$ теорема косинусов в $△ O A C$
$R^{2} = F_{1}^{2} + F_{2}^{2} + 2 F_{1} F_{2} cos α$ $cos (18 0^{\circ} - α) = - cos α$

3 мин · теория (учитель выводит, ученики называют обоснования)
Чертёж в масштабе: $F_{1} = 5$ , $F_{2} = 3$ , $α = 6 0^{\circ}$ . Жёлтый треугольник $O A C$ — тот, в котором применяем теорему косинусов; угол при $A$ — жёлтый, $18 0^{\circ} - α$ .
Проверка формулы на частных случаях: $α = 0^{\circ}$ — силы в одну сторону, $R = F_{1} + F_{2}$ ; $α = 18 0^{\circ}$ — навстречу, $R = ∣ F_{1} - F_{2} ∣$ ; $α = 9 0^{\circ}$ — теорема Пифагора.
Главная ловушка: угол между силами $α$ и угол треугольника $18 0^{\circ} - α$ — разные; отсюда «плюс» в формуле. Векторы подробно — в строке R03 (GEOM9-027 и далее).

R01.5

Образец → сам · навигация

Расстояние между катерами

Образец: из порта $O$ катер $A$ прошёл $30$ км курсом на север, катер $B$ — $48$ км курсом $6 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ .

$∠ A OB = 6 0^{\circ} - 0^{\circ} = 6 0^{\circ}$ угол между курсами — разность курсов
$A B^{2} = 3 0^{2} + 4 8^{2} - 2 \cdot 30 \cdot 48 \cdot \frac{1}{2} = 1764$ теорема косинусов, $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$
$A B = 1764 = 42$ км

Сам

Курсы расходятся под углом $12 0^{\circ}$ ; катера прошли $20$ км и $12$ км. Расстояние между ними? $28$ км
Катера прошли $5$ км и $8$ км, расстояние между ними $7$ км. Угол между курсами? $6 0^{\circ}$
Прошли $3$ км и $4$ км, угол между курсами $5 0^{\circ}$ . Расстояние (калькулятор)? $\approx 3, 1$ км

R01.5

Образец → сам · равнодействующая сил

Физика: две силы под углом

Образец: к телу приложены силы $5$ Н и $3$ Н, угол между ними $6 0^{\circ}$ . Найдите равнодействующую $R$ .

$R^{2} = F_{1}^{2} + F_{2}^{2} + 2 F_{1} F_{2} cos α$ формула со сл. 7; в треугольнике сил угол $12 0^{\circ}$
$R^{2} = 25 + 9 + 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 49$ $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$
$R = 7$ Н $49 = 7$ ; $7 < 5 + 3$ — правдоподобно

Сам

Силы $8$ Н и $3$ Н, угол между ними $12 0^{\circ}$ . Найдите $R$ . $7$ Н
Силы $6$ Н и $8$ Н, угол между ними $9 0^{\circ}$ . Найдите $R$ . $10$ Н
Силы $5$ Н и $3$ Н, а $R = 19$ Н. Найдите угол между силами. $12 0^{\circ}$

R01.5

Образец → сам · площадь участка

Землемерие: площадь без высоты

Образец: у треугольного участка две стороны $50$ м и $40$ м, угол между ними $15 0^{\circ}$ . Найдите площадь в сотках.

$S = \frac{1}{2} \cdot 50 \cdot 40 \cdot sin 15 0^{\circ}$ $S = \frac{1}{2} ab sin C$ , угол — между сторонами
$S = 1000 \cdot \frac{1}{2} = 500 м^{2}$ $sin 15 0^{\circ} = sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$
$S = 5$ соток $1$ сотка $= 100 м^{2}$

Сам

Участок — параллелограмм: стороны $30$ м и $40$ м, угол $3 0^{\circ}$ . Площадь в сотках? $6$ соток
Поле: диагонали $200$ м и $150$ м, угол между ними $3 0^{\circ}$ . Площадь в гектарах? $0, 75$ га
Участок: стороны $40$ м и $60$ м, $S = 600 м^{2}$ . Угол между сторонами? $3 0^{\circ}$ или $15 0^{\circ}$

R01.3 · R01.5

Образец → сам · радиус круглой детали

По обломку — радиус целого круга

Образец: на краю обломка тарелки отметили $A$ , $B$ , $C$ ; $A B = 12$ см, $∠ A CB = 3 0^{\circ}$ . Найдите радиус тарелки.

$2 R = \frac{A B}{sin C}$ теорема синусов в $△ A BC$ , вписанном в окружность края
$2 R = \frac{12}{\frac{1}{2}} = 24$ $sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$
$R = 12$ смне забыть разделить на 2

Сам

$A B = 18$ см, $∠ A CB = 15 0^{\circ}$ . Найдите $R$ . $18$ см
Колесо: хорда $30$ см видна из точки обода под углом $6 0^{\circ}$ . Найдите $R$ . $103 \approx 17, 3$ см
$A B = 20$ см, $∠ A CB = 4 0^{\circ}$ . Найдите $R$ (калькулятор). $\approx 15, 6$ см

R01.5

Образец → сам · две недоступные точки

Расстояние между деревьями за рекой

Образец: $A B = 60$ м; $∠ P A B = ∠ QB A = 9 0^{\circ}$ , $∠ PB A = ∠ Q A B = 3 0^{\circ}$ . Найдите $PQ$ .

$△ A PB$ : $∠ P = 6 0^{\circ}$ , $A P = \frac{60 sin 3 0 ^{\circ}}{sin 6 0 ^{\circ}} = 203$ сумма углов, теорема синусов
$△ A QB$ : $∠ Q = 6 0^{\circ}$ , $A Q = \frac{60 sin 9 0 ^{\circ}}{sin 6 0 ^{\circ}} = 403$ так же
$∠ P A Q = 9 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 6 0^{\circ}$ разность углов при $A$
$P Q^{2} = 1200 + 4800 - 2400 = 3600$ , $PQ = 60$ мтеорема косинусов в $△ A PQ$

Сам

То же при $A B = 40$ м и углах $4 5^{\circ}$ вместо $3 0^{\circ}$ . Найдите $PQ$ . $40$ м
Дальномер: $A P = 30$ м, $A Q = 50$ м, $∠ P A Q = 12 0^{\circ}$ . Найдите $PQ$ . $70$ м

2,5 мин · практика (комбинированная задача: две теоремы подряд)
Образец: $A P = 60 \cdot \frac{1}{2} : \frac{3}{2} = \frac{60}{3} = 203 \approx 34, 6$ ; $A Q = 60 : \frac{3}{2} = 403 \approx 69, 3$ ; $P Q^{2} = 1200 + 4800 - 2 \cdot 203 \cdot 403 \cdot \frac{1}{2} = 6000 - 2400 = 3600$ , $PQ = 60$ м. Чертёж в масштабе: $PQ ∥ A B$ и $PQ = A B$ — проверка по рисунку.
Сам: 1) $A P = A B = 40$ ( $△ A PB$ равнобедренный прямоугольный), $A Q = 402$ , $∠ P A Q = 4 5^{\circ}$ : $P Q^{2} = 1600 + 3200 - 2 \cdot 40 \cdot 402 \cdot \frac{2}{2} = 4800 - 3200 = 1600$ ⇒ $40$ м. 2) $900 + 2500 + 1500 = 4900$ ⇒ $70$ м.
План для слабых: «сначала стороны от $A$ до каждой точки — потом угол между ними — потом теорема косинусов».

R01.5

Осторожно · типичные ошибки

Так нельзя

Угол между силами в теореме косинусов

$R^{2} = 25 + 9 - 2 \cdot 5 \cdot 3 cos 6 0^{\circ}$

В треугольнике сил угол $18 0^{\circ} - 6 0^{\circ}$ .

$R^{2} = 25 + 9 + 15 = 49$ ,
$R = 7$ Н

Калькулятор в радианах

$sin 30 \approx - 0, 988$

Проверка режима: $sin 3 0^{\circ}$ должен дать $0, 5$ .

Режим DEG:
$sin 3 0^{\circ} = 0, 5$

Единицы площади

$500 м^{2} = 50$ соток

$1$ сотка $= 100 м^{2}$ ,
$1$ га $= 10000 м^{2}$ .

$500 м^{2} = 5$ соток
$= 0, 05$ га

R01.5

Найди ошибку

Катера: курсы под углом $12 0^{\circ}$ , пути $3$ км и $5$ км

Найдите расстояние $d$ между катерами и площадь $S$ треугольника «порт — катер — катер».

Решение ученика

$d^{2} = 9 + 25 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 19$
$d = 19 \approx 4, 4$ км
$S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot cos 12 0^{\circ} = - 3, 75$ ,
по модулю $3, 75$ км²

Ошибка 1. $cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ :
$d^{2} = 9 + 25 + 15 = 49$ , $d = 7$ км

Ошибка 2. В площади — синус:
$S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot \frac{3}{2} = \frac{15 3}{4} \approx 6, 5$ км²

R01.5

Задания с самопроверкой · база

Решите и сверьте

базаДороги из посёлка расходятся под углом $6 0^{\circ}$ . По ним прошли $5$ км и $8$ км. Расстояние между путниками? $7$ км
базаСилы $4$ Н и $4$ Н, угол между ними $12 0^{\circ}$ . Найдите $R$ . $4$ Н
базаГазон: стороны $6$ м и $10$ м, угол между ними $3 0^{\circ}$ . Площадь? $15 м^{2}$

базаХорда арки $2$ м видна из точки дуги под углом $15 0^{\circ}$ . Радиус арки? $2$ м
базаКлумба-ромб: диагонали $4$ м и $6$ м. Площадь? $12 м^{2}$
базаНожки стремянки по $2$ м, угол между ними $6 0^{\circ}$ . Расстояние между опорами? $2$ м

R01.5

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Катера разошлись курсами под углом $12 0^{\circ}$ . Первый прошёл $3$ км, расстояние между катерами $7$ км. Сколько прошёл второй? $5$ км
повыш.Силы $5$ Н и $3$ Н под углом $6 0^{\circ}$ дают $R = 7$ Н. Найдите синус угла между $R$ и силой $5$ Н. $\frac{3 3}{14}$
повыш.Поле площадью $1$ га, диагонали по $200$ м. Найдите острый угол между диагоналями. $3 0^{\circ}$
из жизниТоннель $A B$ : из точки $C$ измерили $C A = 800$ м, $CB = 1200$ м, $∠ C = 5 0^{\circ}$ . Длина тоннеля (калькулятор, до метра)? $\approx 920$ м

R01.3 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15, 16 и 17

Ответ — одно число

1. Стороны параллелограмма $A BC D$ равны $12$ и $5$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите его площадь. $30$

В треугольнике две стороны равны $14$ и $10$ , а угол между ними равен $3 0^{\circ}$ . Найдите площадь треугольника. $35$
В треугольнике $A BC$ сторона $A B = 52$ , угол $C$ равен $4 5^{\circ}$ . Найдите радиус описанной окружности. $5$

В бланк — только число, без единиц: 30.

R01.5

Задача из жизни

Стропила для крыши

Ширина дома $A B = 8$ м, угол при коньке $∠ C = 12 0^{\circ}$ , крыша симметрична. Найдите длину стропила $A C$ и площадь фронтона $A BC$ .

$∠ A = ∠ B = 3 0^{\circ}$ ; $A C = \frac{8 sin 3 0 ^{\circ}}{sin 12 0 ^{\circ}} = \frac{8 3}{3} \approx 4, 6$ мсумма углов, теорема синусов
$S = \frac{1}{2} \cdot A C^{2} sin 12 0^{\circ} = \frac{16 3}{3} \approx 9, 2 м^{2}$ $S = \frac{1}{2} ab sin C$ , $A C^{2} = \frac{64}{3}$

Сам

Ширина дома $6$ м, угол при коньке $9 0^{\circ}$ . Длина стропила? $32 \approx 4, 2$ м
Стропила по $5$ м, угол при коньке $12 0^{\circ}$ . Ширина дома? $53 \approx 8, 7$ м

R01.5

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Курсы под углом $6 0^{\circ}$ , катера прошли $3$ км и $8$ км. Расстояние между ними? $7$ км
Силы $7$ Н и $8$ Н под углом $6 0^{\circ}$ . Найдите $R$ . $13$ Н
Участок: стороны $30$ м и $40$ м, угол $15 0^{\circ}$ . Площадь в сотках? $3$
Хорда $14$ см, вписанный угол $3 0^{\circ}$ . Найдите $R$ . $14$ см

Вариант 2

Курсы под углом $12 0^{\circ}$ , катера прошли $5$ км и $3$ км. Расстояние между ними? $7$ км
Силы $5$ Н и $16$ Н под углом $6 0^{\circ}$ . Найдите $R$ . $19$ Н
Участок-параллелограмм: $20$ м и $50$ м, угол $3 0^{\circ}$ . Площадь в сотках? $5$
Хорда $10$ см, вписанный угол $15 0^{\circ}$ . Найдите $R$ . $10$ см

R01.5

Итог урока

Что запомнить и что сделать дома

Модель задачи

схема → треугольник → теорема → расчёт → ответ

R^{2} = F_{1}^{2} + F_{2}^{2} + 2 F_{1} F_{2} cos α

S = \frac{1}{2} ab sin C

2 R = \frac{a}{sin A}

угол — от горизонтали или от севера

Проверь себя

Выбираю теорему по данным.
Калькулятор — в градусах.
Сотки и гектары не путаю.

Дома

Силы $3$ Н и $8$ Н под углом $6 0^{\circ}$ . Найдите $R$ (до десятых).
Дом шириной $10$ м, угол при коньке $12 0^{\circ}$ . Стропило и площадь фронтона?
Тренажёр:
reknow.ru/9/geometry/9_geometry_trigonometriya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9-015 · Практикум: Практическое применение доказанных теорем

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R01 «Тригонометрия. Теоремы косинусов и синусов. Решение треугольников», 16 ч · урок 15/16 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R01.5 «Практическое применение доказанных теорем» → 2, 5–20 · опора на R01.1–R01.3 (значения для тупых углов, теоремы косинусов и синусов) → 3, 4, 7
Результаты	ПР-10 = REQ-6.10 (математические модели задач реальной жизни, калькулятор) → 2, 6, 8–12, 15, 16, 18, 19 · ПР-3 = REQ-6.3 (теоремы синусов и косинусов) → 4, 7–12, 17 · ПР-1 = REQ-6.1 (калькулятор для нетабличных углов) → 6, 8, 11, 13, 16 · EL-6.2 → 4–20
Виды деятельности	«Решать практические задачи, сводящиеся к нахождению различных элементов треугольника» → 8–12, 15, 16, 18, 19 · «Выводить формулы для вычисления площадей…» (применение) → 10, 17, 18
ОГЭ	линия 15 (треугольники) → 17 · линия 16 (окружность, $R$ ) → 11, 17 · линия 17 (параллелограмм) → 10, 17
Вне урока	вывод формул площади — GEOM9-005 · первый практикум по применению (измерения на местности, высота) — GEOM9-010 · векторы и сложение сил — R03 · обобщение — GEOM9-016
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практическое применение доказанных теорем

Сегодня вы научитесь

Строить модель

Находить расстояния и углы

Вычислять площади

Считать с калькулятором

Считаем в уме

Пять формул — на все задачи урока

Откуда отсчитывают угол

Угол возвышения

Угол понижения

Курс (азимут)

Пять шагов прикладной задачи

Схема

Треугольник

Теорема

Расчёт

Ответ

Силы F1​ и F2​ под углом α: чему равна R?

Расстояние между катерами

Образец: из порта O катер A прошёл 30 км курсом на север, катер B — 48 км курсом 60∘. Найдите AB.

Сам

Физика: две силы под углом

Образец: к телу приложены силы 5 Н и 3 Н, угол между ними 60∘. Найдите равнодействующую R.

Сам

Землемерие: площадь без высоты

Образец: у треугольного участка две стороны 50 м и 40 м, угол между ними 150∘. Найдите площадь в сотках.

Сам

По обломку — радиус целого круга

Образец: на краю обломка тарелки отметили A, B, C; AB=12 см, ∠ACB=30∘. Найдите радиус тарелки.

Сам

Расстояние между деревьями за рекой

Образец: AB=60 м; ∠PAB=∠QBA=90∘, ∠PBA=∠QAB=30∘. Найдите PQ.

Сам

Так нельзя

Угол между силами в теореме косинусов

Калькулятор в радианах

Единицы площади

Катера: курсы под углом 120∘, пути 3 км и 5 км

Решение ученика

Решите и сверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

Стропила для крыши

Ширина дома AB=8 м, угол при коньке ∠C=120∘, крыша симметрична. Найдите длину стропила AC и площадь фронтона ABC.

Сам

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Что запомнить и что сделать дома

Модель задачи

Проверь себя

Дома

GEOM9-015 · Практикум: Практическое применение доказанных теорем

Силы $F_{1}$ и $F_{2}$ под углом $α$ : чему равна $R$ ?

Образец: из порта $O$ катер $A$ прошёл $30$ км курсом на север, катер $B$ — $48$ км курсом $6 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ .

Образец: к телу приложены силы $5$ Н и $3$ Н, угол между ними $6 0^{\circ}$ . Найдите равнодействующую $R$ .

Образец: у треугольного участка две стороны $50$ м и $40$ м, угол между ними $15 0^{\circ}$ . Найдите площадь в сотках.

Образец: на краю обломка тарелки отметили $A$ , $B$ , $C$ ; $A B = 12$ см, $∠ A CB = 3 0^{\circ}$ . Найдите радиус тарелки.

Образец: $A B = 60$ м; $∠ P A B = ∠ QB A = 9 0^{\circ}$ , $∠ PB A = ∠ Q A B = 3 0^{\circ}$ . Найдите $PQ$ .

Катера: курсы под углом $12 0^{\circ}$ , пути $3$ км и $5$ км

Ширина дома $A B = 8$ м, угол при коньке $∠ C = 12 0^{\circ}$ , крыша симметрична. Найдите длину стропила $A C$ и площадь фронтона $A BC$ .