Тригонометрия · урок 14 из 16 · практикум

Практикум: решение треугольников

Геометрия · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025 · строка R01 · GEOM9-014

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R01 «Тригонометрия. Теоремы косинусов и синусов. Решение треугольников» (16 ч), урок 14/16, единица R01.4 «Решение треугольников». Тип — П (практикум), третий урок по единице после GEOM9-004 (Н) и GEOM9-009 (П).
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Теория (12,5): сл. 1 титул 1 · 2 цели 1 · 4 сводка «четыре случая» 2 · 5 элементы треугольника 2,5 · 6 площадь четырёхугольника 2 · 7 демонстрация 2,5 · 8 «где спрятан треугольник» 1,5.
Практика (32,5): 3 разминка 2 · 9–13 пять образцов по 2,5 · 14 ошибки 1,5 · 15 найди ошибку 2 · 16 база 3 · 17 повышенный 2,5 · 18 из жизни 2 · 19 ОГЭ 2 · 20 самостоятельная 4 · 21 итог 1.
Новое по сравнению с GEOM9-004: не только «решить треугольник», но и найти его элементы (площадь, высоту, медиану, радиус), а также увидеть треугольник внутри параллелограмма, трапеции, четырёхугольника и решить задачу в два шага.
Калькулятор — в режиме градусов (DEG). Если не успеваете: образец 5 (сл. 13) — устно, задание 4 сл. 17 — в ДЗ; сводки не пропускать.

R01.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Решать треугольник

по любым трём элементам, выбирая теорему (ПР-3, REQ-6.3)

Находить элементы

площадь, высоту, медиану, радиус описанной окружности (ПР-3, EL-6.2)

Видеть треугольник

в параллелограмме, трапеции, четырёхугольнике (ПР-3, ПР-10)

Считать точно и приближённо

ответ с корнем и по калькулятору (ПР-1, REQ-6.1)

1 мин · теория
ПР-3 = REQ-6.3 (ФРП): «Использовать теоремы синусов и косинусов для нахождения различных элементов треугольника („решение треугольников“), применять их при решении геометрических задач». ПР-1 — нетабличные значения с калькулятором; ПР-10 — модели реальных задач.
Вид деятельности ФРП: «Выводить формулы для вычисления площадей… (через две стороны и угол между ними; четырёхугольника через диагонали и угол между ними). Решать треугольники».
Вопрос классу: что значит «решить треугольник»? (по трём элементам найти остальные стороны и углы).

повторение: R01.1–R01.4

Разминка · устно

Значения и формулы — в уме

$cos 12 0^{\circ} = ?$ $- \frac{1}{2}$
$sin 13 5^{\circ} = ?$ $\frac{2}{2}$
Стороны $4$ и $6$ , угол между ними $3 0^{\circ}$ . Площадь? $6$
Сторона $10$ лежит против угла $3 0^{\circ}$ . Найдите $R$ . $10$

Стороны $5$ и $8$ , угол между ними $6 0^{\circ}$ . Третья сторона? $7$
Стороны $5, 12, 13$ . Вид треугольника по углам? прямоугольный
$S = 12$ , сторона $6$ . Высота к этой стороне? $4$
$sin α = \frac{1}{2}$ , угол $α$ тупой. $α = ?$ $15 0^{\circ}$

R01.3–R01.4 · повторение GEOM9-004

Сводка · четыре случая

Что дано → чем решать

	Дано	Сначала	Затем	Решений
1	две стороны и угол между ними	третья сторона — т. косинусов	угол — т. косинусов, третий — по сумме	одно
2	сторона и два угла	третий угол: $18 0^{\circ} - B - C$	стороны — т. синусов	одно
3	три стороны	наибольший угол — т. косинусов	второй угол — т. косинусов, третий — по сумме	одно или ни одного
4	две стороны и угол против одной	синус угла — т. синусов	проверить $α$ и $18 0^{\circ} - α$	0, 1 или 2

Проверка: сумма углов

18 0^{\circ}

; против большей стороны — больший угол.

R01.4 · R01.3

Сводка · элементы треугольника

Решили треугольник — находим остальное

Площадь

S = \frac{1}{2} ab sin C

Высота

h_{b} = \frac{2 S}{b}

Медиана в

△ BCM

m_{b}^{2} = a^{2} + (\frac{b}{2})^{2} - ab cos C

Радиус описанной

R = \frac{a}{2 sin A}

2,5 мин · теория
Площадь: S = ½·a·b·sin C — угол между сторонами (выводили в GEOM9-003/004 через высоту h = a·sin C).
Высота: из S = ½·b·h_b, значит h_b = 2S/b; удобно, когда площадь уже найдена. Другой путь: h_b = a·sin C (из прямоугольного △BHC).
Медиана: в △BCM стороны a и b/2, угол C между ними; по т. косинусов m_b² = a² + (b/2)² − 2·a·(b/2)·cos C = a² + b²/4 − ab·cos C. Формулу не заучивать — запоминаем приём «половинный треугольник».
Радиус: из теоремы синусов a/sin A = 2R. Чертёж: a = BC, b = AC, c = AB; высота и медиана проведены к стороне b.

R01.4 · вид деятельности ФРП

Вывод · площадь четырёхугольника

Через диагонали и угол между ними

Диагонали делят $A BC D$ на четыре треугольника с вершиной $O$ . $∠ BOC = φ$ , соседние углы $18 0^{\circ} - φ$
$S_{BOC} = \frac{1}{2} BO \cdot OC sin φ$ , и так для каждого $sin (18 0^{\circ} - φ) = sin φ$
$S = \frac{1}{2} (A O + OC) (BO + O D) sin φ$ сложили четыре площади, вынесли общий множитель

S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin φ

R01.4

Демонстрация · учитель решает

Один треугольник — четыре ответа

A B = 7

,

A C = 8

,

∠ A = 12 0^{\circ}

. Найдите

BC

,

S

, высоту

A H

и

R

.

$B C^{2} = 49 + 64 + 56 = 169$ , $BC = 13$ т. косинусов, $cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$
$S = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 8 \cdot \frac{3}{2} = 143$ $sin 12 0^{\circ} = sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}$
$A H = \frac{2 S}{BC} = \frac{28 3}{13} \approx 3, 73$ из $S = \frac{1}{2} BC \cdot A H$
$R = \frac{BC}{2 sin A} = \frac{13}{3} = \frac{13 3}{3} \approx 7, 51$ т. синусов: сторона и противолежащий угол

R01.4 → R01.5

Схема · где спрятан треугольник

Фигура → нужный треугольник

Параллелограмм

диагональ $B D$ — из $△ A B D$ с углом $A$

Трапеция

диагональ делит на два треугольника; накрест лежащие углы равны

Медиана

«половинный» $△ A BM$ : сторона $BM = \frac{1}{2} BC$

Четырёхугольник

общая диагональ $A C$ : сначала $△1$ , затем $△2$

1 треугольник с тремя известными элементами →2 решить его →3 перенести в соседний

R01.4

Образец → сам · площадь и высота

Сначала площадь, потом высота

Образец: $A C = 6$ , $BC = 10$ , $∠ C = 15 0^{\circ}$ . Найдите $S$ и высоту $B H$ .

$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \cdot sin 15 0^{\circ} = 15$ $sin 15 0^{\circ} = sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$
$B H = \frac{2 S}{A C} = \frac{30}{6} = 5$ высота к $A C$ падает на продолжение стороны

Сам

Стороны $8$ и $5$ , угол между ними $4 5^{\circ}$ . Найдите $S$ . $102 \approx 14, 14$
$S = 18$ , $A B = 6$ , $A C = 12$ , $∠ A$ — острый. Найдите $∠ A$ . $3 0^{\circ}$
Стороны $4$ и $7$ , угол между ними $13 5^{\circ}$ . Найдите высоту к стороне $4$ . $\frac{7 2}{2} \approx 4, 95$

R01.4

Образец → сам · медиана

Медиана — сторона «половинного» треугольника

Образец: $A B = 8$ , $BC = 10$ , $∠ B = 6 0^{\circ}$ . Найдите медиану $A M$ .

$BM = \frac{1}{2} BC = 5$ $M$ — середина $BC$
$A M^{2} = 64 + 25 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 49$ , $A M = 7$ т. косинусов в $△ A BM$

Сам: найдите медиану $A M$

$A B = 3$ , $BC = 16$ , $∠ B = 6 0^{\circ}$ $7$
$A B = 5$ , $BC = 6$ , $∠ B = 12 0^{\circ}$ $7$
$A B = 6$ , $A C = 10$ , $BC = 14$ $19$ (сначала $cos B$ )

R01.4

Образец → сам · параллелограмм

Две диагонали — два разных угла

Образец: $A BC D$ — параллелограмм, $A B = 3$ , $A D = 5$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите диагонали и площадь.

$B D^{2} = 9 + 25 - 15 = 19$ , $B D = 19$ $△ A B D$ , угол $A = 6 0^{\circ}$
$A C^{2} = 9 + 25 + 15 = 49$ , $A C = 7$ $△ A BC$ , $∠ B = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}$
$S = 3 \cdot 5 \cdot sin 6 0^{\circ} = \frac{15 3}{2}$ два равных треугольника: $2 \cdot \frac{1}{2} ab sin A$

Сам: параллелограмм

Стороны $6$ и $10$ , угол $3 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $30$
Стороны $5$ и $3$ , угол $6 0^{\circ}$ . Найдите большую диагональ. $7$
Диагонали $10$ и $16$ , угол между ними $3 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $40$

R01.4 → R01.5

Образец → сам · два треугольника

Сначала общая диагональ

Образец: $A B = 3$ , $BC = 5$ , $∠ B = 12 0^{\circ}$ , $C D = 8$ , $A D = 5$ . Найдите $∠ D$ .

$A C^{2} = 9 + 25 + 15 = 49$ , $A C = 7$ т. косинусов в $△ A BC$
$cos D = \frac{25 + 64 - 49}{2 \cdot 5 \cdot 8} = \frac{1}{2}$
$∠ D = 6 0^{\circ}$ т. косинусов в $△ A C D$

Сам: в два шага

Трапеция $A BC D$ , $A D ∥ BC$ , $A B = 5$ , $A D = 8$ , $BC = 3$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $C D$ . $5$ (через $B D = 7$ )
$A B = 5$ , $BC = 8$ , $∠ B = 6 0^{\circ}$ , $∠ A C D = 9 0^{\circ}$ , $C D = 24$ . Найдите $A D$ . $25$

R01.3–R01.4

Образец → сам · радиус описанной окружности

Радиус: сторона и противолежащий угол

Образец: $A B = 8$ , $A C = 15$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $R$ .

$B C^{2} = 169$ т. косинусов: $64 + 225 - 120$
$BC = 13$
$R = \frac{13}{2 sin 6 0 ^{\circ}} = \frac{13}{3}$
$R = \frac{13 3}{3} \approx 7, 51$ т. синусов

Сам

$∠ C = 13 5^{\circ}$ , $A B = 8$ . Найдите $R$ . $42$
Стороны $3, 5, 7$ . Найдите $R$ . $\frac{7 3}{3} \approx 4, 04$
$R = 5$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ . $5$

R01.4

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$S = \frac{1}{2} A B \cdot BC sin A$	угол должен лежать между сторонами $A B$ и $BC$	$S = \frac{1}{2} A B \cdot BC sin B$
медиана $A M$ : в т. косинусов взяли всю сторону $BC$	так получается сторона $A C$ , а не медиана	в $△ A BM$ сторона $BM = \frac{1}{2} BC$
$R = \frac{a}{sin A}$	$\frac{a}{sin A} = 2 R$ — это диаметр	$R = \frac{a}{2 sin A}$

R01.4

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Параллелограмм: стороны $4$ и $6$ , угол $6 0^{\circ}$ . Большая диагональ?

$d^{2} = 16 + 36 - 24 = 28$ , $d = 27$

это меньшая; большая — против $12 0^{\circ}$

$d^{2} = 16 + 36 + 24 = 76$ , $d = 219$

б) Стороны $6$ и $8$ , угол между ними $15 0^{\circ}$ . Найдите $S$ .

$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{3}{2} = 123$

$sin 15 0^{\circ} = sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$

$S = 12$

в) $A B = 7$ , $BC = 10$ , $∠ B = 6 0^{\circ}$ . Медиана $A M$ ?

$A M^{2} = 49 + 100 - 70 = 79$

$BM = 5$ : $A M^{2} = 49 + 25 - 35 = 39$

$A M = 39$

R01.4

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Стороны $6$ и $8$ , угол между ними $3 0^{\circ}$ . Найдите площадь. $12$
$S = 20$ , стороны $8$ и $10$ . Найдите острый угол между ними. $3 0^{\circ}$
Параллелограмм: стороны $4$ и $5$ , угол $6 0^{\circ}$ . Найдите меньшую диагональ. $21$

$∠ A = 3 0^{\circ}$ , $BC = 9$ . Найдите $R$ . $9$
Диагонали четырёхугольника $6$ и $9$ , угол между ними $15 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $13, 5$
$A B = 5$ , $BC = 8$ , $∠ B = 6 0^{\circ}$ . Найдите высоту к $A C$ . $\frac{20 3}{7} \approx 4, 95$

R01.4

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Стороны треугольника $5$ , $7$ , $8$ . Найдите его площадь. $103$
повыш.Стороны треугольника $13$ , $14$ , $15$ . Найдите $R$ . $8, 125$
повыш.Стороны параллелограмма $7$ и $9$ , одна диагональ $8$ . Найдите другую. $14$
повыш. $∠ A = 6 0^{\circ}$ , $A B = 6$ , площадь треугольника $A BC$ равна $183$ . Найдите $BC$ . $63$

2,5 мин · практика
В парах, по готовности; ответы — по клику. Задание 4 при нехватке времени — в ДЗ.
1) Угол против 7: cos = (25 + 64 − 49)/(2·5·8) = ½, угол 60° между сторонами 5 и 8; S = ½·5·8·(√3/2) = 10√3 ≈ 17,32.
2) Угол B против 14: cos B = (169 + 225 − 196)/(2·13·15) = 33/65, sin B = 56/65 (основное тригонометрическое тождество); R = 14/(2·56/65) = 65/8 = 8,125.
3) Углы параллелограмма α и 180° − α: d₁² = 49 + 81 − 126·cos α, d₂² = 49 + 81 + 126·cos α ⇒ d₁² + d₂² = 2(49 + 81) = 260; d₂² = 260 − 64 = 196, d₂ = 14.
4) 18√3 = ½·6·AC·(√3/2) ⇒ AC = 12; BC² = 36 + 144 − 2·6·12·½ = 108, BC = 6√3 ≈ 10,39.

R01.5 · ПР-10

Задача из жизни · крыша и участок

Где решают треугольники на практике

Двускатная крыша: стропила по $5$ м, угол у конька $12 0^{\circ}$

Какой ширины дом? $53 \approx 8, 66$ м
Площадь фронтона (треугольника)? $\frac{25 3}{4} \approx 10, 83 м^{2}$

Участок-четырёхугольник: диагонали $40$ м и $60$ м, угол между ними $3 0^{\circ}$

Найдите площадь участка. Сколько это соток? $600 м^{2}$ = 6 соток

R01.4 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15, 17 и 23

Короткий ответ и полное решение

ОГЭ 23В треугольнике $A BC$ $A B = 3$ , $BC = 7$ , $A C = 8$ . Найдите высоту $B H$ .

$cos A = \frac{9 + 64 - 49}{2 \cdot 3 \cdot 8} = \frac{1}{2}$ т. косинусов
$∠ A = 6 0^{\circ}$

$B H = A B sin A = \frac{3 3}{2}$ прямоугольный $△ A B H$

ОГЭ 15В треугольнике $A BC$ $A B = 14$ , $BC = 5$ , $sin ∠ A BC = \frac{6}{7}$ . Найдите площадь. $30$
ОГЭ 17Стороны параллелограмма $10$ и $14$ , один из углов $15 0^{\circ}$ . Найдите площадь. $70$

В бланк линий 15 и 17 — только число.

R01.4

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Стороны $10$ и $12$ , угол между ними $3 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $30$
Параллелограмм: стороны $3$ и $8$ , угол $6 0^{\circ}$ . Меньшая диагональ? $7$
$∠ C = 15 0^{\circ}$ , $A B = 10$ . Найдите $R$ . $10$
$A B = 8$ , $BC = 6$ , $∠ B = 6 0^{\circ}$ . Найдите медиану $A M$ . $7$

Вариант 2

Стороны $6$ и $14$ , угол между ними $15 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $21$
Параллелограмм: стороны $5$ и $3$ , угол $6 0^{\circ}$ . Большая диагональ? $7$
$∠ A = 4 5^{\circ}$ , $BC = 62$ . Найдите $R$ . $6$
$A B = 5$ , $BC = 16$ , $∠ B = 6 0^{\circ}$ . Найдите медиану $A M$ . $7$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Что запомнить и что сделать дома

Формулы урока

$S = \frac{1}{2} ab sin C$
$S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin φ$
$R = \frac{a}{2 sin A}$
медиана — из «половинного» треугольника

Проверь себя

Я нахожу площадь, высоту, медиану и $R$ решённого треугольника.
Вижу нужный треугольник в параллелограмме и трапеции.
Не путаю $sin 15 0^{\circ}$ и $cos 15 0^{\circ}$ .

Дома

Параллелограмм: стороны $5$ и $8$ , угол $12 0^{\circ}$ . Найдите диагонали и площадь.
Стороны $3$ , $5$ , $7$ . Найдите $S$ и $R$ .
Тренажёр:
reknow.ru/9/geometry/9_geometry_trigonometriya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9-014 · Практикум: решение треугольников

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R01 «Тригонометрия. Теоремы косинусов и синусов. Решение треугольников», 16 ч · урок 14/16 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R01.4 «Решение треугольников» → 2, 4–21 · опора на R01.1–R01.3 → 3–5 · выход на R01.5 (практические задачи) → 8, 12, 18
Результаты	ПР-3 = REQ-6.3 (теоремы синусов и косинусов, решение треугольников) → 2, 4–20 · ПР-1 = REQ-6.1 (калькулятор, нетабличные значения) → 7, 9, 13, 16 · ПР-10 (модели реальных задач) → 18 · EL-6.2 → 4–5
Виды деятельности	«Выводить формулы площадей (через две стороны и угол; четырёхугольника через диагонали и угол)» → 5, 6 · «Решать треугольники» → 7, 9–17, 19–20 · «Решать практические задачи…» → 18
ОГЭ	линии 15, 17, 23 → 19
Вне урока	подробный разбор случая «две стороны и угол против одной» — GEOM9-004, GEOM9-009; практические измерения (высота, расстояние через препятствие) — GEOM9-015; обобщение — GEOM9-016
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: решение треугольников

Сегодня вы научитесь

Решать треугольник

Находить элементы

Видеть треугольник

Считать точно и приближённо

Значения и формулы — в уме

Что дано → чем решать

Решили треугольник — находим остальное

Через диагонали и угол между ними

Один треугольник — четыре ответа

Фигура → нужный треугольник

Параллелограмм

Трапеция

Медиана

Четырёхугольник

Сначала площадь, потом высота

Образец: AC=6, BC=10, ∠C=150∘. Найдите S и высоту BH.

Сам

Медиана — сторона «половинного» треугольника

Образец: AB=8, BC=10, ∠B=60∘. Найдите медиану AM.

Сам: найдите медиану AM

Две диагонали — два разных угла

Образец: ABCD — параллелограмм, AB=3, AD=5, ∠A=60∘. Найдите диагонали и площадь.

Сам: параллелограмм

Сначала общая диагональ

Образец: AB=3, BC=5, ∠B=120∘, CD=8, AD=5. Найдите ∠D.

Сам: в два шага

Радиус: сторона и противолежащий угол

Образец: AB=8, AC=15, ∠A=60∘. Найдите R.

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Параллелограмм: стороны 4 и 6, угол 60∘. Большая диагональ?

б) Стороны 6 и 8, угол между ними 150∘. Найдите S.

в) AB=7, BC=10, ∠B=60∘. Медиана AM?

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Где решают треугольники на практике

Двускатная крыша: стропила по 5 м, угол у конька 120∘

Участок-четырёхугольник: диагонали 40 м и 60 м, угол между ними 30∘

Короткий ответ и полное решение

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Что запомнить и что сделать дома

Формулы урока

Проверь себя

Дома

GEOM9-014 · Практикум: решение треугольников

Образец: $A C = 6$ , $BC = 10$ , $∠ C = 15 0^{\circ}$ . Найдите $S$ и высоту $B H$ .

Образец: $A B = 8$ , $BC = 10$ , $∠ B = 6 0^{\circ}$ . Найдите медиану $A M$ .

Сам: найдите медиану $A M$

Образец: $A BC D$ — параллелограмм, $A B = 3$ , $A D = 5$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите диагонали и площадь.

Образец: $A B = 3$ , $BC = 5$ , $∠ B = 12 0^{\circ}$ , $C D = 8$ , $A D = 5$ . Найдите $∠ D$ .

Образец: $A B = 8$ , $A C = 15$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $R$ .

а) Параллелограмм: стороны $4$ и $6$ , угол $6 0^{\circ}$ . Большая диагональ?

б) Стороны $6$ и $8$ , угол между ними $15 0^{\circ}$ . Найдите $S$ .

в) $A B = 7$ , $BC = 10$ , $∠ B = 6 0^{\circ}$ . Медиана $A M$ ?

Двускатная крыша: стропила по $5$ м, угол у конька $12 0^{\circ}$

Участок-четырёхугольник: диагонали $40$ м и $60$ м, угол между ними $3 0^{\circ}$