Тригонометрия · урок 13 из 16 · практикум

Теорема косинусов, теорема синусов

Геометрия · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R01 · GEOM9-013

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R01 «Тригонометрия. Теоремы косинусов и синусов. Решение треугольников» (16 ч), урок 13/16, единица R01.3. Тип — П (практикум), второй практикум по теме: первый — GEOM9-008 (сторона, угол, радиус «в одно действие»). Сегодня — новые типы: два шага подряд, медиана, диагонали параллелограмма, угол по синусу (один или два ответа), измерение высоты.
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Теория (12): сл. 1 титул 1 · 2 цели 1 · 4 две теоремы 2,5 · 5 диагонали параллелограмма (вывод) 3 · 6 следствия теоремы синусов 2,5 · 7 план решения 2.
Практика (33): 3 разминка 2,5 · 8–12 пять «Образец → сам» 3 + 3 + 2,5 + 3 + 2,5 · 13 ошибки 1,5 · 14 найди ошибку 2 · 15 база 3 · 16 повышенный 2,5 · 17 ОГЭ 2,5 · 18 самостоятельная 4 · 19 итог 1.
Если не успеваете: задание 3 на сл. 16 и задачу ОГЭ 23 — в ДЗ; вывод на сл. 5 не сокращать — на нём держатся сл. 9–10.

R01.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Решать в два шага

три стороны → косинус → синус → радиус $R$ (ПР-3, ПР-2)

Находить медиану и диагонали

теоремой косинусов в «удобном» треугольнике (ПР-3)

Находить угол по синусу

и проверять: один ответ или два (ПР-3, ПР-2)

Измерять недоступное

высоту и расстояние — с калькулятором (ПР-10)

R01.1 · R01.2 · повторение

Разминка · устно

Формулы приведения и пары «сторона — угол»

$sin 12 0^{\circ}$ $\frac{3}{2}$
$cos 15 0^{\circ}$ $- \frac{3}{2}$
$cos (18 0^{\circ} - α)$ $- cos α$
$cos A = - 0, 8$ . Найдите $sin A$ . $0, 6$

$sin x = \frac{1}{2}$ , $0^{\circ} < x < 18 0^{\circ}$ . Найдите $x$ . $3 0^{\circ}$ или $15 0^{\circ}$
$cos x = - \frac{1}{2}$ , $0^{\circ} < x < 18 0^{\circ}$ $12 0^{\circ}$
$5^{2} + 3^{2} - 2 \cdot 5 \cdot 3 cos 12 0^{\circ}$ $49$
$A B$ — наибольшая сторона $△ A BC$ . Какой угол наибольший? $∠ C$

2,5 мин · практика
Ответы: 1) $sin 12 0^{\circ} = sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ . 2) $cos 15 0^{\circ} = - cos 3 0^{\circ} = - \frac{3}{2}$ . 3) $- cos α$ (GEOM9-012). 4) $sin A = 1 - 0, 64 = 0, 6$ — синус угла треугольника положителен. 5) два угла: $3 0^{\circ}$ и $15 0^{\circ}$ ( $sin (18 0^{\circ} - α) = sin α$ ). 6) один угол: $12 0^{\circ}$ (косинус различает острые и тупые). 7) $25 + 9 + 15 = 49$ . 8) против наибольшей стороны — наибольший угол: $∠ C$ .
Задания 4–6 — ключ к сегодняшним новым типам: «синус по косинусу» и «по синусу — два угла». Спросить: почему по косинусу угол находится однозначно, а по синусу — нет?

R01.3

Сводка · две теоремы

Пара «сторона — противолежащий угол» одного цвета

Теорема косинусов

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$

Дано: две стороны и угол между ними или три стороны.

Теорема синусов

$\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R$

Дано: пара «сторона — противолежащий угол» и ещё один элемент.

2,5 мин · теория
Короткая сводка: теоремы доказаны на уроке GEOM9-003 и отработаны на GEOM9-008. Спросить: какой элемент треугольника в теореме косинусов стоит под косинусом? (Угол между двумя сторонами из правой части, он лежит против стороны из левой.)
$R$ — радиус описанной окружности. Вопрос классу: что «ищет» каждая теорема? Косинусов — сторону по углу между сторонами и угол по трём сторонам; синусов — сторону, угол или $R$ , если известна хотя бы одна пара.

R01.3

Сводка · следствие теоремы косинусов

Диагонали параллелограмма

$B D^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos α$ теорема косинусов в $△ A B D$ : $∠ A$ между $A B$ и $A D$
$cos (18 0^{\circ} - α) = - cos α$ $∠ B = 18 0^{\circ} - α$ (соседние углы), формула приведения
$A C^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 ab cos α$ теорема косинусов в $△ A BC$ : $A C$ лежит против $∠ B$
$A C^{2} + B D^{2} = 2 (a^{2} + b^{2})$ сложили: слагаемые с $cos α$ сократились

Медиана — половина диагонали достроенного параллелограмма:

4 m^{2} = 2 b^{2} + 2 c^{2} - a^{2}

.

3 мин · теория (вывод ведёт учитель, класс называет обоснования)
Щелчки: диагональ $B D$ на чертеже → строка 1 → диагональ $A C$ → строки 2–4 → медиана. Вопрос на каждый шаг: «какой треугольник? какой угол лежит против диагонали?»
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех четырёх сторон. Проверка на прямоугольнике: $α = 9 0^{\circ}$ , $A C = B D = a^{2} + b^{2}$ , сумма $2 (a^{2} + b^{2})$ ✓.
Медиана $A M$ треугольника $A BC$ : достроим до параллелограмма $A B D C$ (продолжим $A M$ на столько же), его диагонали $A D = 2 m$ и $BC = a$ , стороны $b$ и $c$ : $(2 m)^{2} + a^{2} = 2 (b^{2} + c^{2})$ . Формулу можно не заучивать — на сл. 9 медиану находим теоремой косинусов дважды.

R01.3 · R01.2

Сводка · следствия теоремы синусов

Угол по синусу: один ответ или два

$a : b : c = sin A : sin B : sin C$

против большего угла — большая сторона

$sin B = k$ ⇒ $B = β$ или $B = 18 0^{\circ} - β$

Тупой угол оставляем, только если $A + B < 18 0^{\circ}$

По косинусу угол находится однозначно — по синусу проверяем оба.

2,5 мин · теория
Чертёж: угол $A$ и сторона $A C = b$ заданы; окружность с центром $C$ радиуса $a$ пересекает луч в двух точках $B_{1}$ и $B_{2}$ — получаются два треугольника с одинаковыми $A$ , $b$ , $a$ . Углы при $B_{1}$ и $B_{2}$ в сумме $18 0^{\circ}$ ( $△ C B_{1} B_{2}$ равнобедренный).
Почему $a : b : c = sin A : sin B : sin C$ : $a = 2 R sin A$ , $b = 2 R sin B$ , $c = 2 R sin C$ . Отсюда «против большего угла — большая сторона» и обратно.
Признак единственного ответа: если сторона против известного угла не меньше другой данной стороны ( $a \geq b$ ), то $B \leq A$ — угол $B$ острый, ответ один.

R01.3 · R01.4

Сводка · план решения

Что дано → с чего начать

Дано	Первый шаг	Затем
три стороны	$cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$	$sin A = 1 - cos^{2} A$ , $R = \frac{a}{2 sin A}$
две стороны и угол между ними	теорема косинусов	третья сторона, медиана, диагональ
две стороны и угол не между ними	теорема синусов	$sin$ угла → проверить оба угла
сторона и два угла	$C = 18 0^{\circ} - A - B$	теорема синусов

Проверка ответа: большая сторона лежит против большего угла.

R01.3

Образец → сам · радиус по трём сторонам

Косинус → синус → радиус

Образец: $A B = 13$ , $BC = 14$ , $A C = 15$ . Найдите радиус $R$ описанной окружности.

$cos A = \frac{169 + 225 - 196}{2 \cdot 13 \cdot 15} = \frac{33}{65}$ теорема косинусов: $∠ A$ лежит против $BC = 14$
$sin A = 1 - \frac{1089}{4225} = \frac{56}{65}$ $sin^{2} A + cos^{2} A = 1$ , $sin A > 0$
$R = \frac{BC}{2 sin A} = \frac{14 \cdot 65}{112} = \frac{65}{8}$ теорема синусов

Сам

Стороны $5$ , $5$ , $6$ . Найдите $R$ . $\frac{25}{8}$
Стороны $5$ , $5$ , $8$ . Найдите синус угла между равными сторонами. $0, 96$
Стороны $7$ , $13$ , $15$ . Найдите угол против стороны $13$ и $R$ . $6 0^{\circ}$ , $\frac{13 3}{3}$

R01.3

Образец → сам · медиана треугольника

Теорема косинусов дважды

Образец: $A B = 3$ , $A C = 7$ , $BC = 8$ . Найдите медиану $A M$ .

$cos B = \frac{9 + 64 - 49}{2 \cdot 3 \cdot 8} = \frac{1}{2}$ теорема косинусов в $△ A BC$ , $∠ B$ против $A C$
$BM = \frac{BC}{2} = 4$ $M$ — середина $BC$
$A M^{2} = 9 + 16 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 13$ , $A M = 13$ теорема косинусов в $△ A BM$

Сам: найдите медиану $A M$

$A B = 4$ , $A C = 6$ , $BC = 8$ . $10$
$A B = 3$ , $BC = 10$ , $∠ B = 12 0^{\circ}$ . $7$
$A B = 5$ , $A C = 7$ , $BC = 6$ . $27$

Проверка:

4 m^{2} = 2 b^{2} + 2 c^{2} - a^{2}

.

R01.3

Образец → сам · диагонали параллелограмма

Одна диагональ известна — найдём другую

Образец: стороны параллелограмма $4$ и $7$ , диагональ $B D = 9$ . Найдите $A C$ .

$A C^{2} + B D^{2} = 2 (A B^{2} + A D^{2})$ следствие теоремы косинусов (сл. 5)
$A C^{2} = 2 (16 + 49) - 81 = 49$ , $A C = 7$ подставили

Сам

Ромб: сторона $5$ , одна диагональ $6$ . Найдите другую. $8$
Стороны $3$ и $5$ , одна диагональ $4$ . Найдите другую. $213$
Диагонали $7$ и $9$ , одна сторона $4$ . Найдите другую сторону. $7$

R01.3 · R01.2

Образец → сам · угол по синусу

Проверяем оба угла

Образец: $∠ A = 4 5^{\circ}$ , $A C = 6$ , $BC = 2$ . Найдите $∠ B$ .

$sin B = \frac{A C sin A}{BC} = \frac{6 \cdot \frac{2}{2}}{2} = \frac{3}{2}$ теорема синусов: $BC$ против $∠ A$ , $A C$ против $∠ B$
$∠ B = 6 0^{\circ}$ или $12 0^{\circ}$ : $4 5^{\circ} + 12 0^{\circ} < 18 0^{\circ}$ оба подходят — два треугольника

Сам: найдите $∠ B$ (все случаи)

$∠ A = 4 5^{\circ}$ , $BC = 6$ , $A C = 32$ . $3 0^{\circ}$
$∠ A = 3 0^{\circ}$ , $BC = 5$ , $A C = 10$ . $9 0^{\circ}$
$∠ A = 3 0^{\circ}$ , $BC = 2$ , $A C = 2$ . $4 5^{\circ}$ или $13 5^{\circ}$

3 мин · практика
Образец: $sin B = 6 \cdot \frac{2}{2} : 2 = \frac{12}{4} = \frac{3}{2}$ ⇒ $6 0^{\circ}$ или $12 0^{\circ}$ ; $4 5^{\circ} + 12 0^{\circ} = 16 5^{\circ} < 18 0^{\circ}$ — оба подходят ⇒ два треугольника $A B_{1} C$ и $A B_{2} C$ (чертёж в масштабе: окружность с центром $C$ радиуса $2$ пересекает луч дважды). Ответ: $6 0^{\circ}$ или $12 0^{\circ}$ .
Сам: 1) $sin B = 32 \cdot \frac{2}{2} : 6 = \frac{1}{2}$ ⇒ $3 0^{\circ}$ или $15 0^{\circ}$ ; $4 5^{\circ} + 15 0^{\circ} > 18 0^{\circ}$ — только $3 0^{\circ}$ (и сразу видно: $BC > A C$ ⇒ $∠ B < ∠ A$ ). 2) $sin B = 10 \cdot \frac{1}{2} : 5 = 1$ ⇒ $9 0^{\circ}$ — единственный. 3) $sin B = 2 \cdot \frac{1}{2} : 2 = \frac{2}{2}$ ⇒ $4 5^{\circ}$ или $13 5^{\circ}$ ; $3 0^{\circ} + 13 5^{\circ} = 16 5^{\circ} < 18 0^{\circ}$ — оба.
Ошибка: записать только острый угол «из таблицы». Спросить: где на чертеже второй треугольник?

R01.3 · R01.5

Образец → сам · задача из жизни

Высота башни, к основанию которой не подойти

Образец: из $A$ вершина $T$ видна под углом $3 0^{\circ}$ , из $B$ — под $6 0^{\circ}$ , $A B = 40$ м. Найдите высоту $T H$ .

$∠ A BT = 12 0^{\circ}$ , $∠ A TB = 18 0^{\circ} - 3 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 3 0^{\circ}$ смежные углы; сумма углов $△ A BT$
$\frac{BT}{sin 3 0 ^{\circ}} = \frac{A B}{sin 3 0 ^{\circ}}$ ⇒ $BT = 40$ теорема синусов в $△ A BT$
$T H = BT sin 6 0^{\circ} = 203 \approx 34, 6$ мпрямоугольный $△ BT H$

Сам (калькулятор)

Углы $3 0^{\circ}$ и $4 5^{\circ}$ , $A B = 20$ м. Найдите высоту. $\approx 27, 3$ м
С берега из $A$ и $B$ ( $A B = 100$ м) буй $C$ виден под углами $∠ A = 4 5^{\circ}$ , $∠ B = 10 5^{\circ}$ . Найдите $A C$ . $\approx 193, 2$ м

R01.3

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$sin B = \frac{1}{2}$ ⇒ $B = 3 0^{\circ}$	потерян тупой угол с тем же синусом	$3 0^{\circ}$ или $15 0^{\circ}$ — проверить сумму углов
$cos A = - \frac{7}{25}$ ⇒ $sin A = - \frac{24}{25}$	синус угла треугольника положителен	$sin A = \frac{24}{25}$
медиана: $A M^{2} = A B^{2} + B C^{2} - \dots$	в $△ A BM$ вторая сторона — $BM$	$A M^{2} = A B^{2} + B M^{2} - \dots$ , $BM = \frac{BC}{2}$
обе диагонали: $a^{2} + b^{2} - 2 ab cos α$	против соседнего угла $cos (18 0^{\circ} - α) = - cos α$	$d_{2}^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 ab cos α$

R01.3

Найди ошибку

$A B = 5$ , $BC = 6$ , $A C = 9$ . Найдите $cos B$ и радиус $R$ .

Решение ученика

$cos B = \frac{25 + 36 - 81}{2 \cdot 5 \cdot 6} = - \frac{1}{3}$
$sin B = 1 - \frac{1}{3} = \frac{6}{3}$
$R = \frac{A B}{2 sin B} = \frac{5}{2 \cdot \frac{6}{3}} = \frac{5 6}{4}$

Ошибка 1 (шаг 2). $cos^{2} B = \frac{1}{9}$ :
$sin B = \frac{8}{9} = \frac{2 2}{3}$

Ошибка 2 (шаг 3). Против $∠ B$ — сторона $A C$ :
$R = \frac{9}{2 \cdot \frac{2 2}{3}} = \frac{27 2}{8}$

R01.3

Задания с самопроверкой · база

Решите и сверьте

базаПараллелограмм: стороны $6$ и $7$ , одна диагональ $11$ . Найдите другую. $7$
база $∠ A = 10 0^{\circ}$ , $sin B = \frac{3}{2}$ . Найдите $∠ B$ . $6 0^{\circ}$
база $A B = 5$ , $BC = 8$ , $∠ B = 6 0^{\circ}$ . Найдите медиану $A M$ . $21$

база $cos A = - 0, 6$ , $BC = 8$ . Найдите $R$ . $5$
база $∠ A : ∠ B : ∠ C = 1 : 2 : 3$ , $BC = 5$ . Найдите $A B$ . $10$
база $BC = 10$ , $sin A = 0, 8$ . Найдите $R$ . $6, 25$

R01.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Стороны треугольника $4$ , $5$ , $6$ . Найдите медиану, проведённую к стороне $6$ . $\frac{46}{2}$
повыш. $A B = 7$ , $A C = 5$ , $∠ C = 12 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ . $3$
повыш. $∠ A = 3 0^{\circ}$ , $A C = 4$ , $BC = 3$ . Сколько существует таких треугольников $A BC$ ? два
из жизниУчасток-треугольник со сторонами $50$ , $70$ и $80$ м. Разбрызгиватель ставят в точку, равноудалённую от вершин. Найдите это расстояние. $\approx 40, 4$ м

R01.3 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15, 16 и 23

Ответ — одно число; в 23 — решение

ОГЭ 15В треугольнике $A BC$ : $A B = 12$ , $BC = 18$ , $sin C = 0, 4$ . Найдите $sin A$ . $0, 6$
ОГЭ 16Сторона $A B$ треугольника $A BC$ равна $14$ , $∠ C = 15 0^{\circ}$ . Найдите радиус описанной окружности. $14$

ОГЭ 23 $∠ B = 6 5^{\circ}$ , $∠ C = 8 5^{\circ}$ , радиус описанной окружности $14$ . Найдите $BC$ .

$∠ A = 3 0^{\circ}$ сумма углов треугольника

$BC = 2 R sin A$ теорема синусов

$BC = 28 \cdot \frac{1}{2} = 14$

R01.3

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Параллелограмм: стороны $5$ и $8$ , одна диагональ $7$ . Найдите другую. $129$
$A B = 4$ , $BC = 6$ , $∠ B = 6 0^{\circ}$ . Найдите медиану $A M$ . $13$
$∠ A = 3 0^{\circ}$ , $BC = 3$ , $A C = 32$ . Найдите $∠ B$ . $4 5^{\circ}$ или $13 5^{\circ}$
$cos A = - 0, 8$ , $BC = 12$ . Найдите $R$ . $10$

Вариант 2

Параллелограмм: стороны $3$ и $8$ , одна диагональ $7$ . Найдите другую. $97$
$A B = 6$ , $BC = 4$ , $∠ B = 12 0^{\circ}$ . Найдите медиану $A M$ . $213$
$∠ A = 4 5^{\circ}$ , $BC = 23$ , $A C = 32$ . Найдите $∠ B$ . $6 0^{\circ}$ или $12 0^{\circ}$
$cos A = 0, 6$ , $BC = 16$ . Найдите $R$ . $10$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как найти $sin A$ , если известны три стороны?
Чему равна сумма квадратов диагоналей параллелограмма?
Когда по синусу получается два угла?

$d_{1}^{2} + d_{2}^{2} = 2 (a^{2} + b^{2})$

$sin B = k$ ⇒ $β$ или $18 0^{\circ} - β$

Домашнее задание

Стороны параллелограмма $7$ и $9$ , одна диагональ $8$ . Найдите другую.
Стороны $4$ , $7$ , $9$ . Найдите медиану к стороне $9$ .
$∠ A = 3 0^{\circ}$ , $BC = 5$ , $A C = 8$ . Найдите $∠ B$ (калькулятор).
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_navyk_teorema-sinusov.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9-013 · Практикум: Теорема косинусов, теорема синусов

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R01 «Тригонометрия. Теоремы косинусов и синусов. Решение треугольников», 16 ч · урок 13/16 · тип П (практикум), продолжение GEOM9-008
Единицы → слайды	R01.3 «Теорема косинусов, теорема синусов» → 2, 4–18 · опора на R01.1, R01.2 (значения, формулы приведения, тождество) → 3, 6, 8, 11 · R01.5 (практическое применение) → 12, 16
Результаты	ПР-3 (теоремы синусов и косинусов, решение треугольников) → 2, 4–18 · ПР-2 (формулы приведения, основное тождество) → 3, 6, 8, 11, 13 · ПР-10 (практические задачи с калькулятором) → 12, 16
Виды деятельности	«Решать треугольники» → 8–11, 15–18 · «Решать практические задачи, сводящиеся к нахождению различных элементов треугольника» → 12, 16
ОГЭ	линия 15 (треугольники), 16 (окружность, $R$ ), 23 (вычисление) → 17
Вне урока	вывод теорем — GEOM9-003 · первый практикум (одно действие) — GEOM9-008 · решение треугольников по трём элементам — GEOM9-014 · площадь $S = \frac{1}{2} ab sin C$ — GEOM9-010/015
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Теорема косинусов, теорема синусов

Сегодня вы научитесь

Решать в два шага

Находить медиану и диагонали

Находить угол по синусу

Измерять недоступное

Формулы приведения и пары «сторона — угол»

Пара «сторона — противолежащий угол» одного цвета

Теорема косинусов

Теорема синусов

Диагонали параллелограмма

Угол по синусу: один ответ или два

Что дано → с чего начать

Косинус → синус → радиус

Образец: AB=13, BC=14, AC=15. Найдите радиус R описанной окружности.

Сам

Теорема косинусов дважды

Образец: AB=3, AC=7, BC=8. Найдите медиану AM.

Сам: найдите медиану AM

Одна диагональ известна — найдём другую

Образец: стороны параллелограмма 4 и 7, диагональ BD=9. Найдите AC.

Сам

Проверяем оба угла

Образец: ∠A=45∘, AC=6​, BC=2. Найдите ∠B.

Сам: найдите ∠B (все случаи)

Высота башни, к основанию которой не подойти

Образец: из A вершина T видна под углом 30∘, из B — под 60∘, AB=40 м. Найдите высоту TH.

Сам (калькулятор)

Неверно → почему → верно

AB=5, BC=6, AC=9. Найдите cosB и радиус R.

Решение ученика

Решите и сверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число; в 23 — решение

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9-013 · Практикум: Теорема косинусов, теорема синусов

Образец: $A B = 13$ , $BC = 14$ , $A C = 15$ . Найдите радиус $R$ описанной окружности.

Образец: $A B = 3$ , $A C = 7$ , $BC = 8$ . Найдите медиану $A M$ .

Сам: найдите медиану $A M$

Образец: стороны параллелограмма $4$ и $7$ , диагональ $B D = 9$ . Найдите $A C$ .

Образец: $∠ A = 4 5^{\circ}$ , $A C = 6$ , $BC = 2$ . Найдите $∠ B$ .

Сам: найдите $∠ B$ (все случаи)

Образец: из $A$ вершина $T$ видна под углом $3 0^{\circ}$ , из $B$ — под $6 0^{\circ}$ , $A B = 40$ м. Найдите высоту $T H$ .

$A B = 5$ , $BC = 6$ , $A C = 9$ . Найдите $cos B$ и радиус $R$ .