Тригонометрия · урок 12 из 16 · практикум

Практикум: формулы приведения

Геометрия · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025
строка R01 · GEOM9-012

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R01 «Тригонометрия. Теоремы косинусов и синусов. Решение треугольников» (16 ч), урок 12/16, единица R01.2. Тип урока — П (второй практикум по теме; первый — GEOM9-007).
Теория (12): титул 0,5 · цели 0,5 · сводка формул 2,5 · тождество и следствия 2 · тупой угол в треугольнике 2,5 · таблица значений 2 · схема и пример учителя 2.
Практика (33): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 3 + 2,5 + 3 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2 · задача из жизни 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Отличие от GEOM9-007: формулы для 90° ± α в выражениях с α, произведения тангенсов, обратные задачи через тангенс, применение в теореме косинусов и формулах площади.
Если не успеваете: задачу из жизни и задания 3–4 повышенного уровня — в ДЗ; самостоятельную не сокращать.

R01.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Упрощать выражения

с углами $9 0^{\circ} \pm α$ и $18 0^{\circ} - α$ , в том числе с тангенсом (ПР-2)

Решать обратные задачи

по тангенсу или синусу находить остальные величины со знаком по виду угла (ПР-2)

Работать с треугольником

$sin (A + B) = sin C$ , $cos (A + B) = - cos C$

Считать с тупым углом

теорема косинусов, площадь, ОГЭ 15, 18, 19 (ПР-3)

повторение: GEOM9-011

Разминка · устно

Точка на единичной полуокружности

$M (- 0, 6; 0, 8)$ . Чему равен $cos α$ ? $- 0, 6$
А $sin α$ ? $0, 8$
А $tg α$ ? $- \frac{4}{3}$
Угол $α$ острый или тупой? тупой: $cos α < 0$
Чему равен $cos 12 0^{\circ}$ ? $- \frac{1}{2}$
Знак $tg 10 0^{\circ}$ ? «−»

R01.2

Сводка · формулы приведения

Четыре точки — три пары формул

угол	$sin$	$cos$	$tg$
$18 0^{\circ} - α$	$sin α$	$- cos α$	$- tg α$
$9 0^{\circ} - α$	$cos α$	$sin α$	$\frac{1}{tg α}$
$9 0^{\circ} + α$	$cos α$	$- sin α$	$- \frac{1}{tg α}$

У

9 0^{\circ} \pm α

функция меняется:

sin \leftrightarrow cos

. Знак — по виду угла: у тупого

cos

и

tg

отрицательны.

R01.2

Сводка · основное тригонометрическое тождество

Одна величина известна — находим остальные

sin^{2} α + cos^{2} α = 1

x^{2} + y^{2} = O M^{2} = 1

— теорема Пифагора

1 + tg^{2} α = \frac{1}{cos ^{2} α}

— по тангенсу находим косинус

sin α \geq 0

всегда; знак

cos α

— как у

tg α

tg α \cdot tg (9 0^{\circ} - α) = 1

R01.2 · R01.3

Сводка · тупой угол в фигурах

Треугольник и параллелограмм

1

∠ A + ∠ B = 18 0^{\circ} - ∠ C

sin (A + B) = sin C

,

cos (A + B) = - cos C

2

∠ L = 18 0^{\circ} - ∠ K

— соседние углы

sin L = sin K

,

cos L = - cos K

; площадь

S = K L \cdot K N \cdot sin K

3

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C

∠ C

тупой ⇔

cos C < 0

⇔

c^{2} > a^{2} + b^{2}

4

S = \frac{1}{2} ab sin C

для тупого

C

:

sin C = sin (18 0^{\circ} - C)

2,5 мин · теория
На чертеже — треугольник со сторонами a = 3, b = 5 и углом C = 120° (c = 7) и параллелограмм KLMN с углом K = 50°.
1) Сумма углов треугольника 180°. 2) Соседние углы параллелограмма — односторонние при параллельных прямых. 3) Теорема косинусов (GEOM9-003): при тупом C слагаемое −2ab cos C положительно, третья сторона длиннее, чем у прямоугольного треугольника. 4) Площадь через две стороны и угол.
Вопрос: почему площадь параллелограмма можно считать по любому из его углов? (sin K = sin L.)

R01.1 · R01.2

Сводка · таблица значений

Значения для углов от 0° до 180°

$α$	$0^{\circ}$	$3 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$6 0^{\circ}$	$9 0^{\circ}$	$12 0^{\circ}$	$13 5^{\circ}$	$15 0^{\circ}$	$18 0^{\circ}$
$sin$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{3}{2}$	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$cos$	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$- \frac{1}{2}$	$- \frac{2}{2}$	$- \frac{3}{2}$	$- 1$
$tg$	$0$	$\frac{3}{3}$	$1$	$3$	—	$- 3$	$- 1$	$- \frac{3}{3}$	$0$

По синусу угол находится неоднозначно:

sin α = \frac{1}{2}

⇒

α = 3 0^{\circ}

или

15 0^{\circ}

. По косинусу и тангенсу — однозначно.

R01.2

Схема · любой угол → острый

Какую формулу выбрать

1. Формула

$18 0^{\circ} - α$ — функция та же;
$9 0^{\circ} \pm α$ — $sin \leftrightarrow cos$

→

2. Знак

по исходному углу: тупой — $cos$ , $tg$ «−»

→

3. Значение

таблица, тождество или калькулятор

Учитель показывает: $tg 16 0^{\circ}$ и $sin 11 0^{\circ}$ через угол $2 0^{\circ}$

$tg 16 0^{\circ} = tg (18 0^{\circ} - 2 0^{\circ}) = - tg 2 0^{\circ} \approx - 0, 364$

$sin 11 0^{\circ} = sin (9 0^{\circ} + 2 0^{\circ}) = cos 2 0^{\circ} \approx 0, 940$

R01.2

Образец → сам · произведения и частные

Нетабличные углы без калькулятора

Образец: вычислите $tg 12 5^{\circ} \cdot tg 3 5^{\circ}$ .

$tg 12 5^{\circ} = - tg 5 5^{\circ}$ $18 0^{\circ} - α$

$tg 5 5^{\circ} = tg (9 0^{\circ} - 3 5^{\circ}) = \frac{1}{tg 3 5 ^{\circ}}$ $9 0^{\circ} - α$

$- \frac{1}{tg 3 5 ^{\circ}} \cdot tg 3 5^{\circ} = - 1$

Сам

Вычислите $tg 14 0^{\circ} \cdot tg 5 0^{\circ}$ . $- 1$
Вычислите $\frac{sin 16 0 ^{\circ}}{cos 7 0 ^{\circ}}$ . $1$
Вычислите $\frac{cos 10 0 ^{\circ}}{sin 1 0 ^{\circ}}$ . $- 1$

R01.2

Образец → сам · упрощение выражений

Выражение с углом α

Образец: упростите
$tg (18 0^{\circ} - α) tg (9 0^{\circ} - α) +$
$+ cos^{2} (9 0^{\circ} + α) + cos^{2} (18 0^{\circ} - α)$ .

$- tg α \cdot \frac{1}{tg α} = - 1$ первое слагаемое

$(- sin α)^{2} + (- cos α)^{2} = 1$ тождество

$- 1 + 1 = 0$

Сам: упростите

$sin (9 0^{\circ} - α) \cdot tg (18 0^{\circ} - α)$ $- sin α$
$\frac{cos ( 9 0 ^{\circ} + α )}{sin ( 18 0 ^{\circ} - α )}$ $- 1$
$sin (9 0^{\circ} + α) cos (18 0^{\circ} - α) + 1$ $sin^{2} α$

R01.2

Образец → сам · обратная задача

Известен тангенс — найдите косинус и синус

Образец: $tg α = - 2, 4$ , $0^{\circ} \leq α \leq 18 0^{\circ}$ . Найдите $cos α$ и $sin α$ .

$tg α < 0$ ⇒ $α$ тупой, $cos α < 0$ знак

$\frac{1}{cos ^{2} α} = 1 + 5, 76 = \frac{169}{25}$ ⇒ $cos α = - \frac{5}{13}$

$sin α = tg α \cdot cos α = \frac{12}{13}$

Сам

$sin α = 0, 6$ , $α$ — тупой. Найдите $tg (18 0^{\circ} - α)$ . $0, 75$
$cos (18 0^{\circ} - α) = 0, 28$ . Найдите $cos α$ и $sin α$ . $- 0, 28$ ; $0, 96$
$tg α = - 2$ . Найдите $cos α$ . $- \frac{5}{5}$

R01.2

Образец → сам · углы треугольника

Сумма двух углов и третий угол

Образец: в $△ A BC$ угол $A$ тупой, $sin A = 0, 6$ . Найдите $cos (B + C)$ .

$cos A = - 1 - 0, 36 = - 0, 8$ $A$ тупой

$B + C = 18 0^{\circ} - A$ сумма углов треугольника

$cos (B + C) = - cos A = 0, 8$

Сам: в $△ A BC$

$cos (A + B) = - 0, 5$ . Найдите $∠ C$ . $6 0^{\circ}$
$sin (A + C) = 0, 3$ . Найдите $sin B$ . $0, 3$
$tg (A + B) = - 2$ . Найдите $tg C$ . $2$

R01.2 · R01.3

Образец → сам · тупой угол в теореме косинусов

Третья сторона и площадь

Образец: $C A = 3$ , $CB = 5$ , $∠ C = 12 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ и площадь.

$cos 12 0^{\circ} = - cos 6 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ $18 0^{\circ} - α$

$A B^{2} = 9 + 25 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot (- \frac{1}{2}) = 49$ , $A B = 7$

$S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot sin 12 0^{\circ} = \frac{15 3}{4}$

Сам

Стороны $7$ и $8$ , угол между ними $12 0^{\circ}$ . Найдите третью сторону. $13$
Стороны $32$ и $1$ , угол между ними $13 5^{\circ}$ . Найдите третью сторону. $5$
Стороны $3$ , $5$ и $7$ . Найдите наибольший угол. $12 0^{\circ}$

R01.2

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$tg (9 0^{\circ} - α) = tg α$	при $9 0^{\circ} \pm α$ функция меняется	$tg (9 0^{\circ} - α) = \frac{1}{tg α}$
$cos (9 0^{\circ} + α) = sin α$	угол $9 0^{\circ} + α$ тупой, косинус отрицателен	$cos (9 0^{\circ} + α) = - sin α$
$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab$ при $∠ C = 13 5^{\circ}$	потерян знак: $cos 13 5^{\circ} < 0$	$c^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 ab$
$sin α = \frac{1}{2}$ ⇒ $α = 3 0^{\circ}$	синус равен у двух углов: $α$ и $18 0^{\circ} - α$	$α = 3 0^{\circ}$ или $15 0^{\circ}$

R01.2

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Упростите $sin (9 0^{\circ} + α) tg (18 0^{\circ} - α)$ .

$= sin α \cdot (- tg α)$

$= - \frac{sin ^{2} α}{cos α}$

$sin (9 0^{\circ} + α) = cos α$ , ответ: $- sin α$

б) В $△ A BC$ $cos (A + B) = 0, 6$ . Найдите $cos C$ .

$C = 18 0^{\circ} - (A + B)$

$cos C = cos (A + B) = 0, 6$

$cos C = - cos (A + B)$ ,
ответ: $- 0, 6$

в) $a = 3$ , $b = 5$ , $∠ C = 12 0^{\circ}$ . Найдите $c$ .

$c^{2} = 9 + 25 - 30 \cdot (- \frac{1}{2})$

$c^{2} = 34 - 15 = 19$

$c = 19$

$c^{2} = 34 + 15 = 49$ ,
ответ: $c = 7$

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Ошибка в первой строке: при 90° + α синус меняется на косинус. Верно: cos α · (−sin α / cos α) = −sin α.
б) Первая строка верна, ошибка во второй — потерян знак формулы 180° − α: cos C = −0,6 (угол C тупой).
в) Первая строка верна; «минус на минус» дал «минус»: −30·(−1/2) = +15, c² = 49, c = 7. Самопроверка: сторона против тупого угла — наибольшая, а √19 < 5.

R01.2

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаВычислите $cos 12 0^{\circ} - sin 15 0^{\circ}$ . $- 1$
базаВычислите $tg 11 0^{\circ} \cdot tg 2 0^{\circ}$ . $- 1$
база $sin (18 0^{\circ} - α) = 0, 4$ . Найдите $sin α$ . $0, 4$
базаВ $△ A BC$ : $cos C = - 0, 2$ . Найдите $cos (A + B)$ . $0, 2$
база $cos α = - \frac{2}{2}$ . Найдите $α$ . $13 5^{\circ}$
базаСтороны $5$ и $16$ , угол между ними $12 0^{\circ}$ . Найдите третью сторону. $19$

R01.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Вычислите $tg 1 0^{\circ} \cdot tg 2 0^{\circ} \cdot tg 3 0^{\circ} \cdot \dots \cdot tg 8 0^{\circ}$ . $1$
повыш.Вычислите $cos 1 0^{\circ} + cos 5 0^{\circ} + cos 13 0^{\circ} + cos 17 0^{\circ}$ . $0$
повыш.В параллелограмме $A BC D$ : $A B = 3$ , $A D = 5$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите диагональ $A C$ . $7$
повыш. $sin α = \frac{2 2}{3}$ , $α$ — тупой. Найдите $tg α$ . $- 22$

R01.2 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15, 18 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 15 В треугольнике $A BC$ известно, что $A B = 8$ , $BC = 10$ , $∠ B = 15 0^{\circ}$ . Найдите площадь треугольника. $20$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Косинус тупого угла отрицателен.
$sin (18 0^{\circ} - α) = - sin α$ .
Если $cos C < 0$ , то угол $C$ треугольника тупой.

Ответ: 13

ОГЭ 18 Найдите косинус угла $A OB$ , изображённого на рисунке. $- 0, 8$

R01.2 · практика

Задача из жизни · стрелки часов

Расстояние между концами стрелок

Минутная стрелка — $10$ см, часовая — $6$ см. Какое расстояние $d$ между их концами ровно в $4$ часа?

Угол между стрелками: $4 \cdot 3 0^{\circ} = 12 0^{\circ}$

$d^{2} = 100 + 36 - 2 \cdot 10 \cdot 6 \cdot cos 12 0^{\circ} = 196$

$d = 14$ см

Сам: в

3

часа и в

5

часов.

\approx 11, 7

см;

\approx 15, 5

см

R01.2

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вычислите $tg 16 0^{\circ} \cdot tg 7 0^{\circ}$ . $- 1$
Упростите $sin (18 0^{\circ} - α) cos (9 0^{\circ} + α) + 1$ $cos^{2} α$
$cos α = - 0, 6$ . Найдите $tg α$ . $- \frac{4}{3}$
Стороны $6$ и $10$ , угол между ними $12 0^{\circ}$ . Найдите третью сторону. $14$

Вариант 2

Вычислите $tg 13 0^{\circ} \cdot tg 4 0^{\circ}$ . $- 1$
Упростите $cos (18 0^{\circ} - α) sin (9 0^{\circ} + α) + 1$ $sin^{2} α$
$cos α = - 0, 8$ . Найдите $tg α$ . $- 0, 75$
Стороны $9$ и $15$ , угол между ними $12 0^{\circ}$ . Найдите третью сторону. $21$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда при приведении функция меняется на «пару»?
Чему равно $tg α \cdot tg (9 0^{\circ} - α)$ ?
Как по знаку тангенса узнать, тупой ли угол?
Сколько из пяти образцов вы решили «сам» без подсказки?

Домашнее задание

Вычислите $cos 2 0^{\circ} + cos 4 0^{\circ} + cos 14 0^{\circ} + cos 16 0^{\circ}$ .
Стороны $4$ и $6$ , угол $13 5^{\circ}$ . Найдите площадь треугольника.
* Стороны $7$ , $8$ , $13$ . Найдите наибольший угол.
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_trigonometriya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9-012 · Практикум: формулы приведения

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R01 «Тригонометрия. Теоремы косинусов и синусов. Решение треугольников», 16 ч · урок 12/16 · тип П (второй практикум по R01.2; первый — GEOM9-007)
Единицы → слайды	R01.2 «Формулы приведения» → 2, 4–21 · повторение R01.1 (GEOM9-011) → 3, 7 · применение R01.3 (теорема косинусов, площадь) → 6, 13, 15, 17–20
Результаты	ПР-2 (формулы приведения и основное тригонометрическое тождество) → 2–21 · ПР-3 — как место применения
Вне урока	теорема синусов — GEOM9-013; новые типы по сравнению с GEOM9-007: 90° ± α в выражениях с α, произведения тангенсов, обратная задача по тангенсу, теорема косинусов с тупым углом
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: формулы приведения

Сегодня вы научитесь

Упрощать выражения

Решать обратные задачи

Работать с треугольником

Считать с тупым углом

Точка на единичной полуокружности

Четыре точки — три пары формул

Одна величина известна — находим остальные

Треугольник и параллелограмм

Значения для углов от 0° до 180°

Какую формулу выбрать

1. Формула

2. Знак

3. Значение

Учитель показывает: tg160∘ и sin110∘ через угол 20∘

Нетабличные углы без калькулятора

Образец: вычислите tg125∘⋅tg35∘.

Сам

Выражение с углом α

Образец: упроститеtg(180∘−α)tg(90∘−α)++cos2(90∘+α)+cos2(180∘−α).

Сам: упростите

Известен тангенс — найдите косинус и синус

Образец: tgα=−2,4, 0∘≤α≤180∘. Найдите cosα и sinα.

Сам

Сумма двух углов и третий угол

Образец: в △ABC угол A тупой, sinA=0,6. Найдите cos(B+C).

Сам: в △ABC

Третья сторона и площадь

Образец: CA=3, CB=5, ∠C=120∘. Найдите AB и площадь.

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Упростите sin(90∘+α)tg(180∘−α).

б) В △ABC cos(A+B)=0,6. Найдите cosC.

в) a=3, b=5, ∠C=120∘. Найдите c.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Расстояние между концами стрелок

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9-012 · Практикум: формулы приведения

Учитель показывает: $tg 16 0^{\circ}$ и $sin 11 0^{\circ}$ через угол $2 0^{\circ}$

Образец: вычислите $tg 12 5^{\circ} \cdot tg 3 5^{\circ}$ .

Образец: упростите
$tg (18 0^{\circ} - α) tg (9 0^{\circ} - α) +$
$+ cos^{2} (9 0^{\circ} + α) + cos^{2} (18 0^{\circ} - α)$ .

Образец: $tg α = - 2, 4$ , $0^{\circ} \leq α \leq 18 0^{\circ}$ . Найдите $cos α$ и $sin α$ .

Образец: в $△ A BC$ угол $A$ тупой, $sin A = 0, 6$ . Найдите $cos (B + C)$ .

Сам: в $△ A BC$

Образец: $C A = 3$ , $CB = 5$ , $∠ C = 12 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ и площадь.

а) Упростите $sin (9 0^{\circ} + α) tg (18 0^{\circ} - α)$ .

б) В $△ A BC$ $cos (A + B) = 0, 6$ . Найдите $cos C$ .

в) $a = 3$ , $b = 5$ , $∠ C = 12 0^{\circ}$ . Найдите $c$ .