Тригонометрия · урок 10 из 16 · практикум

Практическое применение доказанных теорем

Геометрия · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R01 · GEOM9-010

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R01 «Тригонометрия. Теоремы косинусов и синусов. Решение треугольников» (16 ч), урок 10/16, единица R01.5 «Практическое применение доказанных теорем». Тип — П (практикум). Формулы площади и модели измерений выведены на уроке GEOM9-005; сегодня — новые типы прикладных задач: участок из двух треугольников, радиус по трём точкам, углы возвышения и понижения, навигация, две недоступные точки.
Теория (13): 1 титул 1 · 2 цели 1 · 4 сводка теорем 2,5 · 5 формулы площади и радиуса 2 · 8 углы возвышения и понижения 2,5 · 11 две недоступные точки 2 · 13 схема-конспект 2.
Практика (32): 3 разминка 3 · пять «Образец → сам» (6, 7, 9, 10, 12) 3 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 · 14 ошибки 1,5 · 15 найди ошибку 2 · 16 база 3 · 17 повышенный 2,5 · 18 ОГЭ 2 · 19 самостоятельная 4 · 20 итог 1.
Нужны калькуляторы (режим градусов DEG). Если не успеваете: задания 3–4 повышенного уровня — в ДЗ; теоретические сводки не пропускать, а сокращать до устного опроса.

R01.5

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Строить модель задачи

схема → треугольник → теорема → калькулятор (ПР-10)

Находить площадь участка

и радиус окружности по измерениям (ПР-3)

Работать с углами на местности

угол возвышения, угол понижения, поворот курса (ПР-1, ПР-10)

Измерять недоступное

расстояние между двумя точками за рекой (ПР-3, ПР-10)

1 мин · теория
ПР-10 = REQ-6.10: «Применять полученные знания на практике – строить математические модели для задач реальной жизни и проводить соответствующие вычисления с применением подобия и тригонометрических функций (пользуясь, где необходимо, калькулятором)».
ПР-3 = REQ-6.3: «Использовать теоремы синусов и косинусов для нахождения различных элементов треугольника („решение треугольников“), применять их при решении геометрических задач». ПР-1 = REQ-6.1: решение прямоугольных треугольников, калькулятор для нетабличных значений. EL-6.2: «Решение практических задач с использованием теоремы косинусов и теоремы синусов».
Вид деятельности ФРП R01: «Решать практические задачи, сводящиеся к нахождению различных элементов треугольника».

повторение: GEOM9-009

Разминка · устно

Значения, площадь, радиус

$sin 12 0^{\circ}$ $\frac{3}{2}$
$cos 13 5^{\circ}$ $- \frac{2}{2}$
$tg 6 0^{\circ}$ $3$
Углы $4 0^{\circ}$ и $7 5^{\circ}$ . Третий угол? $6 5^{\circ}$

Стороны $4$ и $5$ , угол между ними $3 0^{\circ}$ . $S = ?$ $5$
$a = 6$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . $R = ?$ $6$
Катет $10$ м, прилежащий угол $4 5^{\circ}$ . Второй катет? $10$ м

R01.3 · R01.4

Сводка · что дано → какая теорема

Инструменты прикладной задачи

Известно	Найти	Чем пользуемся
прямоугольный треугольник: катет и острый угол	другой катет	$b = a tg α$ , $a = c sin α$
две стороны и угол между ними	третью сторону	т. косинусов: $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos γ$
три стороны	угол	$cos γ = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 ab}$
сторона и два угла	другие стороны	т. синусов: $\frac{a}{sin α} = \frac{b}{sin β} = \frac{c}{sin γ} = 2 R$

Угол — по калькулятору (режим DEG); округляем только ответ, промежуточные числа держим точно.

R01.5

Опора · площадь и радиус через синус

Три формулы для измерений

Треугольник

S = \frac{1}{2} a b sin γ

угол — между сторонами

Четырёхугольник

S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin φ

или разбить диагональю на два треугольника

Описанная окружность

R = \frac{a}{2 sin α}

из теоремы синусов

R01.5

Образец → сам · площадь участка

Участок из двух треугольников

Образец: $A B = 30$ м, $A D = 50$ м, $∠ A = 12 0^{\circ}$ , $CB = 80$ м, $C D = 30$ м, $∠ C = 6 0^{\circ}$ . Найдите площадь.

$S_{A B D} = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 50 \cdot \frac{3}{2} = 3753$ $sin 12 0^{\circ} = sin 6 0^{\circ}$
$S_{CB D} = \frac{1}{2} \cdot 80 \cdot 30 \cdot \frac{3}{2} = 6003$
$S = 9753 \approx 1689$ м²диагональ $B D$ делит участок на два треугольника

Сам

Треугольный участок: стороны $40$ м и $50$ м, угол между ними $3 0^{\circ}$ . Площадь? $500$ м²
Участок площадью $300$ м², стороны $30$ м и $40$ м. Угол между ними? $3 0^{\circ}$ или $15 0^{\circ}$
Диагонали четырёхугольного участка $60$ м и $80$ м, угол между ними $3 0^{\circ}$ . Площадь? $1200$ м²

R01.5

Образец → сам · радиус по трём точкам

Три столба на краю круглой площадки

Образец: $A B = 7$ м, $A C = 5$ м, $BC = 8$ м. Найдите радиус площадки.

$cos C = \frac{5 ^{2} + 8 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 8} = \frac{1}{2}$ т. косинусов: $∠ C$ — против $A B$
$∠ C = 6 0^{\circ}$
$R = \frac{A B}{2 sin C} = \frac{7}{3}$ т. синусов
$R = \frac{7 3}{3} \approx 4, 04$ м

Сам

$A B = 10$ м, $∠ A CB = 3 0^{\circ}$ . Найдите $R$ . $10$ м
$A B = 13$ м, $A C = 7$ м, $BC = 8$ м. Найдите $R$ . $\frac{13 3}{3} \approx 7, 51$ м
$R = 5$ м, $A B = 5$ м, $∠ C$ острый. Найдите $∠ C$ . $3 0^{\circ}$

R01.5 · R01.1

Опора · углы на местности

Угол возвышения и угол понижения

Угол возвышения $α$

между горизонталью $O K$ и лучом вверх на точку $T$ .

Угол понижения $β$

между горизонталью $O K$ и лучом вниз на точку $H$ .

O K = \frac{h}{tg β}

,

K T = O K \cdot tg α

,

H T = h + K T

2,5 мин · теория
Оба угла отсчитывают от горизонтали, а не от стены здания: главный источник ошибок (сл. 14). Горизонталь $O K$ параллельна земле, поэтому угол между лучом $H O$ и землёй тоже равен $β$ (накрест лежащие углы): угол понижения из окна равен углу возвышения окна из точки $H$ .
Вывод формул по клику: $△ O KH$ прямоугольный, $KH = h$ — противолежащий катет углу $β$ , $O K$ — прилежащий: $O K = \frac{h}{tg β}$ . В $△ O K T$ : $K T = O K tg α$ . Высота объекта $H T = KH + K T$ .
Вопрос: что меняется, если точка $T$ ниже окна? (Тогда оба угла — понижения, и высота равна разности.)

R01.5

Образец → сам · высота дома напротив

Из окна: вершина и основание

Образец: окно $O$ на высоте $12$ м; вершина $T$ видна под углом возвышения $3 0^{\circ}$ , основание $H$ — под углом понижения $4 5^{\circ}$ . Найдите $H T$ .

$O K = \frac{12}{tg 4 5 ^{\circ}} = 12$ $△ O KH$ : $KH = 12$ м
$K T = 12 tg 3 0^{\circ} = 43$ $△ O K T$
$H T = 12 + 43$ $H T = HK + K T$
$H T \approx 18, 9$ м

Сам

Окно на высоте $20$ м, основание дома напротив — под углом понижения $3 0^{\circ}$ . Расстояние между домами? $203 \approx 34, 6$ м
Окно на высоте $10$ м, углы возвышения и понижения по $4 5^{\circ}$ . Высота дома напротив? $20$ м
Между домами $30$ м, угол возвышения $6 0^{\circ}$ , понижения $3 0^{\circ}$ . Высота? $403 \approx 69, 3$ м

R01.5

Образец → сам · навигация

Катер повернул: где он теперь?

Образец: катер прошёл $A B = 6$ км, повернул и прошёл $BC = 10$ км, $∠ A BC = 12 0^{\circ}$ . Найдите $A C$ и $∠ B A C$ .

$A C^{2} = 36 + 100 + 60 = 196$ , $A C = 14$ кмт. косинусов, $cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$
$sin A = \frac{10 sin 12 0 ^{\circ}}{14} = \frac{5 3}{14}$ , $∠ A \approx 38, 2^{\circ}$ т. синусов; калькулятор

Сам

$A B = 3$ км, $BC = 5$ км, $∠ B = 12 0^{\circ}$ . Найдите $A C$ . $7$ км
$A B = 8$ км, $BC = 3$ км, $∠ B = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A C$ и $∠ A$ . $7$ км; $\approx 21, 8^{\circ}$
$A B = 5$ км, $BC = 3$ км, $A C = 7$ км. Найдите $∠ B$ . $12 0^{\circ}$

R01.5

Опора · две недоступные точки

Расстояние между точками за рекой

Измеряем базис $A B$ и четыре угла при $A$ и $B$ .

$△ A BP$ → $A P$ сторона и два угла: т. синусов
$△ A BQ$ → $A Q$ т. синусов
$∠ P A Q = ∠ B A P - ∠ B A Q$
$△ A PQ$ → $PQ$ две стороны и угол между ними: т. косинусов

R01.5

Образец → сам · две недоступные точки

Цепочка из трёх треугольников

Образец: $A B = 100$ м, углы — на чертеже. Найдите $PQ$ .

$A P = 100$ , $A Q = \frac{100 sin 12 0 ^{\circ}}{sin 3 0 ^{\circ}} = 1003$ $△ A BP$ равносторонний; в $△ A BQ$ $∠ Q = 3 0^{\circ}$ , т. синусов
$∠ P A Q = 3 0^{\circ}$ , $P Q^{2} = 10 0^{2} + 3 \cdot 10 0^{2} - 3 \cdot 10 0^{2}$
$PQ = 100$ мт. косинусов: $2 \cdot 100 \cdot 1003 cos 3 0^{\circ} = 3 \cdot 10 0^{2}$

Сам

Найдены $A P = 50$ м, $A Q = 80$ м, $∠ P A Q = 6 0^{\circ}$ . Найдите $PQ$ . $70$ м
$A B = 60$ м; $∠ B A P = 9 0^{\circ}$ , $∠ A BP = 4 5^{\circ}$ ; $∠ B A Q = 4 5^{\circ}$ , $∠ A BQ = 9 0^{\circ}$ . Найдите $PQ$ . $60$ м

R01.5

Схема-конспект · типы прикладных задач

Задача → модель → теорема

Площадь участка

разбить диагональю на треугольники

S = \frac{1}{2} ab sin γ

для каждого

Радиус по трём точкам

угол — т. косинусов, затем т. синусов

R = \frac{a}{2 sin α}

Высота по углам из окна

два прямоугольных треугольника с общим катетом $O K$

O K = \frac{h}{tg β}

,

H T = h + O K tg α

Курс и недоступные точки

цепочка треугольников: т. синусов → т. косинусов

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos γ

1 схема→2 треугольник→3 теорема→4 калькулятор (DEG)→5 ответ с единицами

R01.5

Осторожно · типичные ошибки

Так нельзя

Угол понижения — от стены

Окно $12$ м, понижение $3 0^{\circ}$ : $d = 12 tg 3 0^{\circ}$

Угол отсчитывают от горизонтали: $12$ м — противолежащий катет.

$d = \frac{12}{tg 3 0 ^{\circ}} = 123$ м

Угол не между сторонами

$S = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot BC \cdot sin A$

Нужен угол, заключённый между $A B$ и $BC$ .

$S = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot BC \cdot sin B$

Потерян тупой угол

$sin γ = \frac{1}{2}$ ⇒ $γ = 3 0^{\circ}$

Синус не различает $γ$ и $18 0^{\circ} - γ$ .

$γ = 3 0^{\circ}$ или $15 0^{\circ}$ — проверить по условию

R01.5

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

Катер: $A B = 5$ км, $BC = 3$ км, $∠ B = 12 0^{\circ}$ . Найдите $A C$ и площадь $△ A BC$ .

Решение ученика

$A C^{2} = 25 + 9 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 19$ ,
$A C = 19$ км
$S = 5 \cdot 3 \cdot sin 12 0^{\circ} = \frac{15 3}{2}$ км²

Ошибка 1. $cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ :
$A C^{2} = 25 + 9 + 15 = 49$ , $A C = 7$ км

Ошибка 2. Потерян множитель $\frac{1}{2}$ :
$S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3 \cdot \frac{3}{2} = \frac{15 3}{4} \approx 6, 5$ км²

R01.5

Задания с самопроверкой · база

Решите и сверьте

базаУчасток: стороны $12$ м и $20$ м, угол между ними $15 0^{\circ}$ . Площадь? $60$ м²
базаОкно на высоте $15$ м, основание дерева — под углом понижения $4 5^{\circ}$ . Расстояние до дерева? $15$ м
базаДве дороги — под углом $6 0^{\circ}$ ; по ним прошли $5$ км и $8$ км. Расстояние между путниками? $7$ км

базаФонари $A$ , $B$ , $C$ на краю круглой площадки: $A B = 12$ м, $∠ A CB = 3 0^{\circ}$ . Радиус? $12$ м
базаСтороны участка $5$ м, $7$ м, $8$ м. Угол против стороны $7$ м? $6 0^{\circ}$
базаДиагонали клумбы $6$ м и $8$ м, угол между ними $9 0^{\circ}$ . Площадь? $24$ м²

R01.5

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Стороны треугольного участка $30$ м, $70$ м, $80$ м. Найдите его площадь. $6003 \approx 1039$ м²
повыш.Из окна на высоте $20$ м вершина мачты видна под углом возвышения $4 5^{\circ}$ , основание — под углом понижения $3 0^{\circ}$ . Высота мачты? $20 + 203 \approx 54, 6$ м
повыш.Катер прошёл $7$ км, повернул и прошёл ещё $8$ км; до старта осталось $13$ км. На сколько градусов он повернул? на $6 0^{\circ}$
из жизниТочки $A$ , $B$ , $C$ на краю фонтана: $A B = 8$ м, $∠ A CB = 13 5^{\circ}$ . Радиус фонтана? $42 \approx 5, 66$ м

R01.5 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15, 16 и 17

Ответ — одно число

1. В треугольнике $A BC$ известно, что $A B = 12$ , $BC = 15$ , $sin ∠ A BC = \frac{4}{5}$ . Найдите площадь треугольника $A BC$ . $72$

Сторона $A B$ треугольника $A BC$ равна $14$ , противолежащий ей угол $C$ равен $3 0^{\circ}$ . Найдите радиус описанной окружности. $14$
Стороны параллелограмма равны $10$ и $6$ , один из углов равен $15 0^{\circ}$ . Найдите площадь. $30$

В бланк — только число: 72.

R01.5

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Участок: стороны $10$ м и $16$ м, угол между ними $3 0^{\circ}$ . Площадь? $40$ м²
Дороги под углом $12 0^{\circ}$ , пройдено $3$ км и $5$ км. Расстояние между путниками? $7$ км
Окно на высоте $18$ м; углы возвышения и понижения на дом напротив по $4 5^{\circ}$ . Высота дома? $36$ м
Точки на окружности: $A B = 9$ м, $∠ A CB = 3 0^{\circ}$ . Радиус? $9$ м

Вариант 2

Участок: стороны $14$ м и $20$ м, угол между ними $15 0^{\circ}$ . Площадь? $70$ м²
Дороги под углом $6 0^{\circ}$ , пройдено $3$ км и $8$ км. Расстояние между путниками? $7$ км
Окно на высоте $12$ м; возвышение $6 0^{\circ}$ , понижение $4 5^{\circ}$ . Высота дома напротив? $12 + 123 \approx 32, 8$ м
Точки на окружности: $A B = 63$ м, $∠ A CB = 6 0^{\circ}$ . Радиус? $6$ м

R01.5

Итог урока

Что запомнить и что сделать дома

Модель

схема → треугольник →
теорема → калькулятор

S = \frac{1}{2} ab sin γ

R = \frac{a}{2 sin α}

Проверь себя

Отсчитываю угол от горизонтали.
Беру угол между сторонами.
Помню про тупой угол.
Округляю только ответ.

Дома

Участок: стороны $40$ м и $60$ м, угол $4 5^{\circ}$ . Площадь?
$A B = 5$ км, $BC = 3$ км, $∠ B = 12 0^{\circ}$ . Найдите $A C$ и $∠ A$ .
Тренажёр:
reknow.ru/9/geometry/9_geometry_trigonometriya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9-010 · Практикум: Практическое применение доказанных теорем

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R01 «Тригонометрия. Теоремы косинусов и синусов. Решение треугольников», 16 ч · урок 10/16 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R01.5 «Практическое применение доказанных теорем» → 2, 5–20 · опора на R01.1–R01.4 (значения, формулы приведения, теоремы, решение треугольников) → 3, 4
Результаты	ПР-10 = REQ-6.10 (модели задач реальной жизни, калькулятор) → 2, 6–20 · ПР-3 = REQ-6.3 (теоремы синусов и косинусов) → 4, 7, 10–12, 15–19 · ПР-1 = REQ-6.1 (прямоугольные треугольники) → 8, 9 · EL-6.2 → 4–20
Виды деятельности	«Решать практические задачи, сводящиеся к нахождению различных элементов треугольника» → 6–12, 16–19 · формулы площади треугольника и четырёхугольника → 5, 6, 18
ОГЭ	линия 15 (треугольники) → 18 · 16 (окружность) → 7, 18 · 17 (четырёхугольники) → 6, 18
Вне урока	вывод формул площади и модели «одна недоступная точка», «высота башни» — GEOM9-005 · решение треугольников — GEOM9-009 · определение тригонометрических функций — GEOM9-011
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практическое применение доказанных теорем

Сегодня вы научитесь

Строить модель задачи

Находить площадь участка

Работать с углами на местности

Измерять недоступное

Значения, площадь, радиус

Инструменты прикладной задачи

Три формулы для измерений

Треугольник

Четырёхугольник

Описанная окружность

Участок из двух треугольников

Образец: AB=30 м, AD=50 м, ∠A=120∘, CB=80 м, CD=30 м, ∠C=60∘. Найдите площадь.

Сам

Три столба на краю круглой площадки

Образец: AB=7 м, AC=5 м, BC=8 м. Найдите радиус площадки.

Сам

Угол возвышения и угол понижения

Угол возвышения α

Угол понижения β

Из окна: вершина и основание

Образец: окно O на высоте 12 м; вершина T видна под углом возвышения 30∘, основание H — под углом понижения 45∘. Найдите HT.

Сам

Катер повернул: где он теперь?

Образец: катер прошёл AB=6 км, повернул и прошёл BC=10 км, ∠ABC=120∘. Найдите AC и ∠BAC.

Сам

Расстояние между точками за рекой

Цепочка из трёх треугольников

Образец: AB=100 м, углы — на чертеже. Найдите PQ.

Сам

Задача → модель → теорема

Площадь участка

Радиус по трём точкам

Высота по углам из окна

Курс и недоступные точки

Так нельзя

Угол понижения — от стены

Угол не между сторонами

Потерян тупой угол

Где ошибся ученик?

Решение ученика

Решите и сверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Что запомнить и что сделать дома

Модель

Проверь себя

Дома

GEOM9-010 · Практикум: Практическое применение доказанных теорем

Образец: $A B = 30$ м, $A D = 50$ м, $∠ A = 12 0^{\circ}$ , $CB = 80$ м, $C D = 30$ м, $∠ C = 6 0^{\circ}$ . Найдите площадь.

Образец: $A B = 7$ м, $A C = 5$ м, $BC = 8$ м. Найдите радиус площадки.

Угол возвышения $α$

Угол понижения $β$

Образец: окно $O$ на высоте $12$ м; вершина $T$ видна под углом возвышения $3 0^{\circ}$ , основание $H$ — под углом понижения $4 5^{\circ}$ . Найдите $H T$ .

Образец: катер прошёл $A B = 6$ км, повернул и прошёл $BC = 10$ км, $∠ A BC = 12 0^{\circ}$ . Найдите $A C$ и $∠ B A C$ .

Образец: $A B = 100$ м, углы — на чертеже. Найдите $PQ$ .