Тригонометрия · урок 9 из 16 · практикум

Практикум: решение треугольников

Геометрия · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R01 · GEOM9-009

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R01 «Тригонометрия. Теоремы косинусов и синусов. Решение треугольников» (16 ч), урок 9/16, единица R01.4. Тип — П (практикум): четыре случая разобраны на уроке GEOM9-004, сегодня — короткая сводка и много решения, нетабличные углы с калькулятором.
Теория (12): сл. 1 титул 1 · 2 цели 1 · 4 четыре случая 3 · 5 угол по синусу и косинусу 2,5 · 10 что ещё найти после решения 2 · 12 план и проверка 2,5.
Практика (33): 3 разминка 2,5 · 6–9, 11 пять «Образец → сам» по 2,5 · 13 ошибки 1,5 · 14 найди ошибку 2 · 15 база 3 · 16 повышенный 2,5 · 17 ОГЭ 2 · 18 задача из жизни 2 · 19 самостоятельная 4 · 20 итог 1.
Нужны калькуляторы в режиме градусов (DEG). Углы округляем до $0, 1^{\circ}$ , стороны — до сотых. Если не успеваете: повышенный уровень (сл. 16) — в ДЗ; образцы не сокращать.

R01.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Решать любой треугольник

по трём элементам: выбирать случай и план (ПР-3)

Считать с калькулятором

нетабличные углы и стороны, с верным округлением (ПР-1)

Находить число решений

когда угол ищут по синусу: $sin (18 0^{\circ} - α) = sin α$ (ПР-2)

Доводить до ответа

после решения находить высоту, радиус, медиану; решать задачи из жизни (ПР-3, ПР-10)

1 мин · теория
ПР-3 = REQ-6.3: «Использовать теоремы синусов и косинусов для нахождения различных элементов треугольника („решение треугольников“), применять их при решении геометрических задач». EL-6.2: «Решение треугольников. Теорема косинусов и теорема синусов. Решение практических задач…».
ПР-1 = REQ-6.1: «…Находить (с помощью калькулятора) длины и углы для нетабличных значений». ПР-2 = REQ-6.2 — формулы приведения. ПР-10 = REQ-6.10 — математические модели задач реальной жизни.

повторение: R01.1–R01.3

Разминка · устно

Значения, пары «сторона — угол», вид треугольника

$cos 13 5^{\circ} = ?$ $- \frac{2}{2}$
$sin 12 0^{\circ} = ?$ $\frac{3}{2}$
Против какого угла лежит сторона $A C$ ? $∠ B$
$BC = 6$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите $R$ . $6$

Стороны $3$ , $4$ , $6$ . Вид треугольника? тупоугольный
$b = c = 5$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $a$ . $5$
$sin B = 0, 6$ . Сколько углов $B$ от $0^{\circ}$ до $18 0^{\circ}$ ? два: $\approx 36, 9^{\circ}$ и $\approx 143, 1^{\circ}$

R01.4

Сводка · четыре случая

Что дано (выделено) → план решения

1. Две стороны и угол между ними

третья сторона — т. косинусов; угол — по косинусу

одно решение

2. Сторона и два угла

третий угол — по сумме; стороны — т. синусов

одно решение

3. Три стороны

наибольший угол — по косинусу, ещё один — так же

одно (если есть)

4. Две стороны и угол против одной

$sin B$ — т. синусов; проверить $B$ и $18 0^{\circ} - B$

0, 1 или 2 решения

R01.1–R01.2 → R01.4

Опора · угол по синусу и по косинусу

Калькулятор знает только острый угол

По косинусу — один угол

$cos > 0$ — острый, $cos < 0$ — тупой. Клавиша $cos^{- 1}$ даёт верный угол сразу.

По синусу — два кандидата

$sin^{- 1}$ даёт острый $α$ ; второй — $18 0^{\circ} - α$ . Он подходит, если с данным углом в сумме меньше $18 0^{\circ}$ .

Режим DEG. Наибольший угол ищите по косинусу.

R01.4

Образец → сам · две стороны и угол между ними

Случай 1 с нетабличным углом

Образец: $A B = 4$ , $A C = 6$ , $∠ A = 5 0^{\circ}$ . Решите треугольник.

$B C^{2} = 52 - 48 cos 5 0^{\circ} \approx 21, 15$ , $BC \approx 4, 60$ т. косинусов

$cos C = \frac{4 , 6 ^{2} + 36 - 16}{2 \cdot 4 , 6 \cdot 6} \approx 0, 746$ , $∠ C \approx 41, 8^{\circ}$ острый

$∠ B \approx 18 0^{\circ} - 5 0^{\circ} - 41, 8^{\circ} = 88, 2^{\circ}$ сумма углов

Сам

$A B = 5$ , $A C = 7$ , $∠ A = 4 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ . $\approx 4, 51$
$A C = 3$ , $BC = 8$ , $∠ C = 11 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ и $∠ A$ . $\approx 9, 46$ ; $\approx 52, 7^{\circ}$
Стороны параллелограмма $6$ и $9$ , острый угол $7 0^{\circ}$ . Найдите меньшую диагональ. $\approx 8, 95$

2,5 мин · практика
Образец: $cos 5 0^{\circ} \approx 0, 6428$ ; $B C^{2} = 52 - 30, 85 = 21, 15$ , $BC \approx 4, 60$ . Угол $C$ лежит против меньшей стороны $A B = 4$ — он заведомо острый. $cos C = \frac{21 , 15 + 36 - 16}{2 \cdot 4 , 6 \cdot 6} = \frac{41 , 15}{55 , 2} \approx 0, 746$ , $∠ C \approx 41, 8^{\circ}$ . Проверка: $∠ B$ против наибольшей стороны $A C = 6$ — наибольший ✓.
1) $B C^{2} = 25 + 49 - 70 cos 4 0^{\circ} \approx 74 - 53, 62 = 20, 38$ , $BC \approx 4, 51$ .
2) $A B^{2} = 9 + 64 - 48 cos 11 0^{\circ} \approx 73 + 16, 42 = 89, 42$ , $A B \approx 9, 46$ ; $cos A = \frac{89 , 42 + 9 - 64}{2 \cdot 9 , 46 \cdot 3} \approx 0, 607$ , $∠ A \approx 52, 7^{\circ}$ (тогда $∠ B \approx 17, 3^{\circ}$ ).
3) Меньшая диагональ лежит против острого угла: $d^{2} = 36 + 81 - 108 cos 7 0^{\circ} \approx 117 - 36, 94 = 80, 06$ , $d \approx 8, 95$ . Ошибка: взять $11 0^{\circ}$ — получится большая диагональ $\approx 12, 41$ .

R01.4

Образец → сам · сторона и два угла

Случай 2: третий угол, потом теорема синусов

Образец: $BC = 10$ , $∠ B = 4 0^{\circ}$ , $∠ C = 7 5^{\circ}$ . Найдите $A C$ и $A B$ .

$∠ A = 18 0^{\circ} - 4 0^{\circ} - 7 5^{\circ} = 6 5^{\circ}$ сумма углов

$A C = \frac{BC sin B}{sin A} = \frac{10 sin 4 0 ^{\circ}}{sin 6 5 ^{\circ}} \approx 7, 09$ $A C$ против $∠ B$

$A B = \frac{10 sin 7 5 ^{\circ}}{sin 6 5 ^{\circ}} \approx 10, 66$ $A B$ против $∠ C$

Сам

$A B = 8$ , $∠ A = 5 0^{\circ}$ , $∠ B = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A C$ . $\approx 7, 37$
$BC = 12$ , $∠ A = 3 5^{\circ}$ , $∠ C = 10 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ . $\approx 20, 60$
$A C = 5$ , $∠ A = 12 0^{\circ}$ , $∠ B = 2 5^{\circ}$ . Найдите $BC$ . $\approx 10, 25$

R01.4

Образец → сам · три стороны

Случай 3: начинаем с наибольшего угла

Образец: $BC = 6$ , $A C = 8$ , $A B = 11$ . Решите треугольник.

$cos C = \frac{36 + 64 - 121}{2 \cdot 6 \cdot 8} = - \frac{21}{96}$ , $∠ C \approx 102, 6^{\circ}$ тупой

$cos A = \frac{64 + 121 - 36}{2 \cdot 8 \cdot 11} = \frac{149}{176}$ , $∠ A \approx 32, 2^{\circ}$

$∠ B \approx 18 0^{\circ} - 102, 6^{\circ} - 32, 2^{\circ} = 45, 2^{\circ}$

Сам

Стороны $4$ , $6$ , $7$ . Найдите наибольший угол. $\approx 86, 4^{\circ}$
Стороны $2$ , $3$ , $4$ . Вид треугольника и наибольший угол. тупоугольный, $\approx 104, 5^{\circ}$
Решите треугольник со сторонами $7$ , $8$ , $9$ . $\approx 48, 2^{\circ}$ , $58, 4^{\circ}$ , $73, 4^{\circ}$

2,5 мин · практика
Образец: наибольший угол $C$ лежит против наибольшей стороны $A B = 11$ ; знак косинуса сразу показал, что он тупой. $- \frac{21}{96} \approx - 0, 219$ , $∠ C \approx 102, 6^{\circ}$ ; $\frac{149}{176} \approx 0, 847$ , $∠ A \approx 32, 2^{\circ}$ . Проверка по косинусу: $cos B = \frac{36 + 121 - 64}{2 \cdot 6 \cdot 11} = \frac{93}{132} \approx 0, 705$ , $∠ B \approx 45, 2^{\circ}$ ✓.
1) $cos = \frac{16 + 36 - 49}{48} = \frac{3}{48} = 0, 0625$ ⇒ $\approx 86, 4^{\circ}$ (треугольник остроугольный).
2) $cos = \frac{4 + 9 - 16}{12} = - 0, 25$ ⇒ $\approx 104, 5^{\circ}$ , тупоугольный.
3) Против $7$ : $cos = \frac{64 + 81 - 49}{144} = \frac{96}{144} \approx 0, 667$ ⇒ $48, 2^{\circ}$ ; против $8$ : $cos = \frac{49 + 81 - 64}{126} = \frac{66}{126} \approx 0, 524$ ⇒ $58, 4^{\circ}$ ; против $9$ : $180 - 48, 2 - 58, 4 = 73, 4^{\circ}$ ( $cos = \frac{32}{112} \approx 0, 286$ ✓).

R01.4

Образец → сам · две стороны и угол против одной

Случай 4: два кандидата — проверьте оба

Образец: $∠ A = 4 0^{\circ}$ , $A C = 10$ , $BC = 8$ . Найдите $∠ B$ и $A B$ .

$sin B = \frac{10 sin 4 0 ^{\circ}}{8} \approx 0, 803$ : $∠ B \approx 53, 5^{\circ}$ или $126, 5^{\circ}$

$B_{1}$ : $126, 5^{\circ}$ , $4 0^{\circ} + 126, 5^{\circ} < 18 0^{\circ}$ , $∠ C \approx 13, 5^{\circ}$ , $A B \approx 2, 90$

$B_{2}$ : $53, 5^{\circ}$ , $∠ C \approx 86, 5^{\circ}$ , $A B \approx 12, 42$ два ответа

Сам

$∠ A = 3 5^{\circ}$ , $A C = 9$ , $BC = 6$ . Найдите $∠ B$ . $\approx 59, 4^{\circ}$ или $\approx 120, 6^{\circ}$
$∠ A = 5 0^{\circ}$ , $A C = 6$ , $BC = 8$ . Найдите $∠ B$ . $\approx 35, 1^{\circ}$ (одно)
$∠ A = 12 0^{\circ}$ , $A C = 7$ , $BC = 5$ . Найдите $∠ B$ . треугольника нет

2,5 мин · практика
Образец: $sin B = \frac{A C s i n A}{BC} = \frac{10 \cdot 0 , 6428}{8} \approx 0, 803$ ; $sin^{- 1} \approx 53, 5^{\circ}$ , второй кандидат $126, 5^{\circ}$ . Оба подходят. $A B = \frac{BC s i n C}{s i n A}$ : $\frac{8 s i n 13 , 5 ^{\circ}}{s i n 4 0 ^{\circ}} \approx 2, 90$ и $\frac{8 s i n 86 , 5 ^{\circ}}{s i n 4 0 ^{\circ}} \approx 12, 42$ . На чертеже окружность радиуса $8$ с центром $C$ пересекает луч в двух точках.
1) $sin B = \frac{9 s i n 3 5 ^{\circ}}{6} \approx 0, 860$ ⇒ $59, 4^{\circ}$ или $120, 6^{\circ}$ ; $35 + 120, 6 < 180$ ⇒ оба подходят, два треугольника.
2) $sin B = \frac{6 s i n 5 0 ^{\circ}}{8} \approx 0, 575$ ⇒ $35, 1^{\circ}$ или $144, 9^{\circ}$ ; $50 + 144, 9 > 180$ ⇒ только $35, 1^{\circ}$ . Признак: $BC > A C$ — решение одно.
3) $sin B = \frac{7 s i n 12 0 ^{\circ}}{5} \approx 1, 21 > 1$ ⇒ треугольника нет. Короче: против тупого угла $A$ должна лежать наибольшая сторона, а $BC = 5 < A C = 7$ .

R01.4 · R01.3

Опора · что ещё найти после решения

Высота, площадь, радиус — через синус угла

$h = b sin C$

высота — катет против угла $C$

$S = \frac{1}{2} a b sin C$

площадь — та же высота, умноженная на $\frac{1}{2} a$

$R = \frac{a}{2 sin A}$

радиус описанной окружности — т. синусов

Медиана — т. косинусов в «половинке» треугольника с известным углом.

2 мин · теория
Чертёж точный — это следующий образец: $BC = 14$ , $A C = 15$ , $A B = 13$ , высота $A H$ , центр $O$ описанной окружности ( $R = 8, 125$ ). Цвета букв в формулах совпадают с цветами на чертеже.
$h = b sin C$ — из прямоугольного $△ A H C$ (синус острого угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе). Если угол $C$ тупой, $h = b sin (18 0^{\circ} - C) = b sin C$ — формула та же.
Вопрос: зачем находить угол, если нужна только высота? (Без угла высоту по трём сторонам не найти: угол — промежуточный шаг.)

R01.4

Образец → сам · комбинированная задача

Сначала угол, потом высота и радиус

Образец: $A B = 13$ , $BC = 14$ , $A C = 15$ . Найдите высоту $A H$ и $R$ .

$cos C = \frac{196 + 225 - 169}{2 \cdot 14 \cdot 15} = 0, 6$ , $sin C = 0, 8$ т. косинусов

$A H = A C sin C = 15 \cdot 0, 8 = 12$ $△ A H C$

$R = \frac{A B}{2 sin C} = \frac{13}{1 , 6} = 8, 125$ т. синусов

Сам

Стороны $10$ , $17$ , $21$ . Найдите высоту к стороне $21$ . $8$
Стороны $5$ , $5$ , $8$ . Найдите радиус описанной окружности. $\frac{25}{6} \approx 4, 17$
$A B = 4$ , $A C = 6$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите медиану $A M$ . $19 \approx 4, 36$

R01.4

Сводка · план и проверка

Четыре правила хорошего решения

1. Определи случай

Отметь на чертеже данные; найди пару «сторона — противолежащий угол».

2. Тупой угол — по косинусу

Наибольший угол (против наибольшей стороны) ищи по т. косинусов.

3. Округляй в конце

В промежуточных шагах держи 3–4 знака; ответ: углы до $0, 1^{\circ}$ , стороны до сотых.

4. Проверь

Сумма углов $18 0^{\circ}$ ; против большей стороны — больший угол.

R01.4

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$cos 50 \approx 0, 965$ , поэтому $B C^{2} = 52 - 48 \cdot 0, 965$	калькулятор в режиме радианов	режим DEG: $cos 5 0^{\circ} \approx 0, 643$
Стороны $6$ , $8$ , $11$ : $sin C \approx 0, 976$ ⇒ $∠ C \approx 77, 4^{\circ}$	наибольший угол может быть тупым	$cos C = - \frac{21}{96}$ ⇒ $∠ C \approx 102, 6^{\circ}$
$∠ A = 5 0^{\circ}$ , $A C = 6$ , $BC = 8$ : $∠ B \approx 35, 1^{\circ}$ или $144, 9^{\circ}$	$5 0^{\circ} + 144, 9^{\circ} > 18 0^{\circ}$	одно решение: $∠ B \approx 35, 1^{\circ}$

R01.4

Найди ошибку

Решите треугольник: $A B = 5$ , $A C = 7$ , $BC = 10$

Решение ученика

$cos B = \frac{25 + 100 - 49}{2 \cdot 5 \cdot 10} = 0, 76$ , $∠ B \approx 40, 5^{\circ}$
$sin A = \frac{BC sin B}{A C} = \frac{10 sin 40 , 5 ^{\circ}}{7} \approx 0, 928$ ,
$∠ A \approx 68, 2^{\circ}$
$∠ C \approx 18 0^{\circ} - 40, 5^{\circ} - 68, 2^{\circ} = 71, 3^{\circ}$

Шаг 1 верный.

$∠ B$ против $A C = 7$ — найден по косинусу.

Ошибка в шаге 2: $∠ A$ против наибольшей стороны $10$ , а $68, 2^{\circ} < 71, 3^{\circ}$ — противоречие.

$cos A = \frac{25 + 49 - 100}{70} \approx - 0, 371$

$∠ A \approx 111, 8^{\circ}$ , $∠ C \approx 27, 7^{\circ}$

R01.4

Задания с самопроверкой · база

Решите и сверьте

база $b = 5$ , $c = 8$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $a$ . $7$
базаСтороны $3$ , $5$ , $7$ . Найдите угол против стороны $7$ . $12 0^{\circ}$
база $BC = 6$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ , $∠ B = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A C$ . $36 \approx 7, 35$

базаСтороны $4$ , $7$ , $9$ . Определите вид треугольника. тупоугольный
база $∠ A = 3 0^{\circ}$ , $A C = 8$ , $BC = 4$ . Найдите $∠ B$ . $9 0^{\circ}$ (одно)
база $BC = 10$ , $∠ B = 7 0^{\circ}$ , $∠ C = 5 0^{\circ}$ . Найдите $A C$ . $\approx 10, 85$

R01.4

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Решите треугольник: $A B = 5$ , $BC = 6$ , $∠ B = 10 0^{\circ}$ . $A C \approx 8, 45$ ; $∠ A \approx 44, 4^{\circ}$ , $∠ C \approx 35, 6^{\circ}$
повыш.В параллелограмме $A BC D$ : $A B = 6$ , $A D = 10$ , $B D = 14$ . Найдите $∠ A$ и $A C$ . $12 0^{\circ}$ ; $219 \approx 8, 72$
повыш.Стороны треугольника $7$ , $8$ , $13$ . Найдите радиус описанной окружности. $\frac{13 3}{3} \approx 7, 51$
повыш.Две стороны треугольника $8$ и $5$ , площадь $103$ . Найдите третью сторону. $7$ или $129 \approx 11, 36$

R01.4 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15, 16 и 23

Ответ — одно число; в линии 23 — решение

ОГЭ 15В треугольнике $A BC$ стороны $A C = 4$ , $BC = 9$ , $cos C = \frac{2}{3}$ . Найдите $A B$ . $7$
ОГЭ 16Треугольник $A BC$ вписан в окружность радиуса $5$ , $A B = 53$ , угол $C$ острый. Найдите $∠ C$ . $60$

ОГЭ 23 Стороны $A B = 3$ , $A C = 5$ , $BC = 7$ . Найдите высоту $C H$ , проведённую к прямой $A B$ .

$cos A = \frac{9 + 25 - 49}{2 \cdot 3 \cdot 5} = - \frac{1}{2}$ , $∠ A = 12 0^{\circ}$ т. косинусов; $H$ — на продолжении $A B$

$C H = A C sin (18 0^{\circ} - 12 0^{\circ}) = 5 \cdot \frac{3}{2}$ $△ A H C$ прямоугольный

$C H = \frac{5 3}{2} \approx 4, 33$

R01.4 → R01.5

Задача из жизни · навигация

Как далеко друг от друга корабли?

1. Из порта одновременно вышли два корабля: со скоростями $30$ и $20$ км/ч, угол между курсами $7 0^{\circ}$ . Какое расстояние между ними через $1, 5$ ч?

$45$ км и $30$ км; $d^{2} = 4 5^{2} + 3 0^{2} - 2700 cos 7 0^{\circ} \approx 2002$ ,
$d \approx 44, 7$ км

2. Тропинка из $A$ в $B$ идёт через $C$ : $A C = 120$ м, $CB = 80$ м, $∠ C = 13 5^{\circ}$ . На сколько путь по прямой $A B$ короче?

$A B \approx 185, 4$ м, $200 - 185, 4 = 14, 6$
короче примерно на $14, 6$ м

R01.4

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$b = 3$ , $c = 5$ , $∠ A = 12 0^{\circ}$ . Найдите $a$ . $7$
Стороны $7$ , $8$ , $13$ . Найдите наибольший угол. $12 0^{\circ}$
$BC = 12$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ , $∠ B = 4 5^{\circ}$ . Найдите $A C$ . $46 \approx 9, 80$
$∠ A = 3 0^{\circ}$ , $A C = 12$ , $BC = 9$ . Сколько решений? Найдите $∠ B$ . два: $\approx 41, 8^{\circ}$ и $\approx 138, 2^{\circ}$

Вариант 2

$b = 8$ , $c = 7$ , $∠ A = 12 0^{\circ}$ . Найдите $a$ . $13$
Стороны $3$ , $7$ , $8$ . Найдите угол против $7$ . $6 0^{\circ}$
$A B = 10$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ , $∠ C = 3 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ . $102 \approx 14, 14$
$∠ A = 3 0^{\circ}$ , $A C = 12$ , $BC = 5$ . Сколько решений? Найдите $∠ B$ . ни одного

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Что запомнить и что сделать дома

Ответьте одной фразой

Как выбрать план решения по данным?
Почему наибольший угол ищут по косинусу?
Как проверить ответ?

Домашнее задание

Решите треугольник: $a = 7$ , $b = 9$ , $∠ C = 6 5^{\circ}$ .
Решите треугольник со сторонами $5$ , $9$ , $12$ .
* $∠ A = 2 5^{\circ}$ , $A C = 14$ , $BC = 7$ . Найдите $∠ B$ .
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_trigonometriya.htm

1 мин · практика (рефлексия, запись ДЗ)
Ответы ДЗ: 1) $c^{2} = 49 + 81 - 126 cos 6 5^{\circ} \approx 76, 75$ , $c \approx 8, 76$ ; угол против меньшей стороны $a = 7$ : $cos A = \frac{81 + 76 , 75 - 49}{2 \cdot 9 \cdot 8 , 76} \approx 0, 690$ , $∠ A \approx 46, 4^{\circ}$ ; $∠ B \approx 68, 6^{\circ}$ . 2) Против $12$ : $cos = \frac{25 + 81 - 144}{90} \approx - 0, 422$ ⇒ $\approx 115, 0^{\circ}$ ; против $5$ : $cos = \frac{81 + 144 - 25}{216} \approx 0, 926$ ⇒ $\approx 22, 2^{\circ}$ ; против $9$ : $\approx 42, 8^{\circ}$ . 3) $sin B = \frac{14 s i n 2 5 ^{\circ}}{7} \approx 0, 845$ ⇒ $\approx 57, 7^{\circ}$ или $\approx 122, 3^{\circ}$ ; $25 + 122, 3 < 180$ ⇒ оба подходят.
Тренажёры по теоремам: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_navyk_teorema-kosinusov.htm и 9_geometry_navyk_teorema-sinusov.htm. Следующий урок — практикум «Практическое применение доказанных теорем» (GEOM9-010).

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9-009 · Практикум: решение треугольников

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс, базовый уровень
Строка, урок	R01 «Тригонометрия. Теоремы косинусов и синусов. Решение треугольников», 16 ч · урок 9/16 · тип П
Единицы → слайды	R01.4 «Решение треугольников» → 2, 4, 6–20 · повторение R01.1–R01.3 → 3, 5, 10
Результаты	ПР-3 (теоремы синусов и косинусов, решение треугольников) → 4–17, 19 · ПР-1 (нетабличные значения, калькулятор) → 5–9, 13 · ПР-2 (формулы приведения) → 3, 5, 9, 14 · ПР-10 (задачи из жизни) → 18
Вне урока	измерительные работы на местности, недоступные расстояния — GEOM9-010 (R01.5); площадь четырёхугольника через диагонали — R01.5
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: решение треугольников

Сегодня вы научитесь

Решать любой треугольник

Считать с калькулятором

Находить число решений

Доводить до ответа

Значения, пары «сторона — угол», вид треугольника

Что дано (выделено) → план решения

1. Две стороны и угол между ними

2. Сторона и два угла

3. Три стороны

4. Две стороны и угол против одной

Калькулятор знает только острый угол

По косинусу — один угол

По синусу — два кандидата

Случай 1 с нетабличным углом

Образец: AB=4, AC=6, ∠A=50∘. Решите треугольник.

Сам

Случай 2: третий угол, потом теорема синусов

Образец: BC=10, ∠B=40∘, ∠C=75∘. Найдите AC и AB.

Сам

Случай 3: начинаем с наибольшего угла

Образец: BC=6, AC=8, AB=11. Решите треугольник.

Сам

Случай 4: два кандидата — проверьте оба

Образец: ∠A=40∘, AC=10, BC=8. Найдите ∠B и AB.

Сам

Высота, площадь, радиус — через синус угла

Сначала угол, потом высота и радиус

Образец: AB=13, BC=14, AC=15. Найдите высоту AH и R.

Сам

Четыре правила хорошего решения

1. Определи случай

2. Тупой угол — по косинусу

3. Округляй в конце

4. Проверь

Неверно → почему → верно

Решите треугольник: AB=5, AC=7, BC=10

Решение ученика

Решите и сверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число; в линии 23 — решение

Как далеко друг от друга корабли?

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Что запомнить и что сделать дома

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9-009 · Практикум: решение треугольников

Образец: $A B = 4$ , $A C = 6$ , $∠ A = 5 0^{\circ}$ . Решите треугольник.

Образец: $BC = 10$ , $∠ B = 4 0^{\circ}$ , $∠ C = 7 5^{\circ}$ . Найдите $A C$ и $A B$ .

Образец: $BC = 6$ , $A C = 8$ , $A B = 11$ . Решите треугольник.

Образец: $∠ A = 4 0^{\circ}$ , $A C = 10$ , $BC = 8$ . Найдите $∠ B$ и $A B$ .

Образец: $A B = 13$ , $BC = 14$ , $A C = 15$ . Найдите высоту $A H$ и $R$ .

Решите треугольник: $A B = 5$ , $A C = 7$ , $BC = 10$