Тригонометрия · урок 8 из 16 · практикум

Теорема косинусов, теорема синусов

Геометрия · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R01 · GEOM9-008

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R01 «Тригонометрия. Теоремы косинусов и синусов. Решение треугольников» (16 ч), урок 8/16, единица R01.3. Тип — П (практикум): теоремы доказаны на уроке GEOM9-003, сегодня — короткая сводка и много решения.
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Теория (12): сл. 1 титул 1 · 2 цели 1 · 4 теорема косинусов 2 · 5 вывод (повторение) 2 · 6 теорема синусов 2 · 7 вывод $a = 2 R sin A$ 2 · 8 какую теорему выбрать 2.
Практика (33): 3 разминка 2,5 · 9–13 пять «Образец → сам» по 2,5 · 14 ошибки 1,5 · 15 найди ошибку 2 · 16 база 3 · 17 повышенный 2,5 · 18 ОГЭ 2 · 19 из жизни 2 · 20 самостоятельная 4 · 21 итог 1.
Если не успеваете: выводы на сл. 5 и 7 — только по чертежу устно (теорию не выбрасывать), задания 3–4 сл. 17 — в ДЗ.

R01.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Находить сторону

по двум сторонам и углу между ними (ПР-3, REQ-6.3, EL-6.2)

Находить угол

и вид треугольника по трём сторонам (ПР-3, EL-6.2)

Применять теорему синусов

и находить радиус описанной окружности (ПР-3, REQ-6.3)

Работать с тупыми углами

$cos (18 0^{\circ} - α) = - cos α$ (ПР-2, REQ-6.2)

1 мин · теория
ПР-3 = REQ-6.3 (ФРП дословно): «Использовать теоремы синусов и косинусов для нахождения различных элементов треугольника („решение треугольников“), применять их при решении геометрических задач». EL-6.2: «Решение треугольников. Теорема косинусов и теорема синусов…».
ПР-2 = REQ-6.2: «Пользоваться формулами приведения и основным тригонометрическим тождеством…» — нужно для углов $12 0^{\circ}$ , $13 5^{\circ}$ , $15 0^{\circ}$ .
Вид деятельности ФРП: «Выводить теорему косинусов и теорему синусов (с радиусом описанной окружности)… Решать треугольники».

R01.1 · R01.2 · повторение

Разминка · устно

Значения и пары «сторона — угол»

$cos 6 0^{\circ}$ $\frac{1}{2}$
$sin 15 0^{\circ}$ $\frac{1}{2}$
$cos 12 0^{\circ}$ $- \frac{1}{2}$
$sin 4 5^{\circ}$ $\frac{2}{2}$

$cos 13 5^{\circ}$ $- \frac{2}{2}$
$2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot cos 6 0^{\circ}$ $20$
$6 : sin 3 0^{\circ}$ $12$
Против какого угла лежит $BC$ ? $∠ A$

R01.3

Сводка · теорема косинусов

Квадрат стороны через две другие и угол

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b cos C

Угол

C

острый ⇔

c^{2} < a^{2} + b^{2}

; прямой ⇔

c^{2} = a^{2} + b^{2}

; тупой ⇔

c^{2} > a^{2} + b^{2}

.

R01.3 · повторение GEOM9-003

Повторим вывод · теорема косинусов

Высота $A H$ и теорема Пифагора

$C H = b cos C$ , $A H = b sin C$ из прямоугольного $△ A H C$
$H B = a - b cos C$ $H B = CB - C H$
$c^{2} = A H^{2} + H B^{2}$ теорема Пифагора в $△ A H B$
$c^{2} = b^{2} sin^{2} C + a^{2} - 2 ab cos C + b^{2} cos^{2} C$ раскрыли скобки
$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C$ $sin^{2} C + cos^{2} C = 1$

R01.3

Сводка · теорема синусов

Стороны пропорциональны синусам противолежащих углов

\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R

Пара — сторона и противолежащий ей угол (один цвет на чертеже).

R

— радиус описанной окружности.

Следствие:

a = 2 R sin A

,

R = \frac{a}{2 sin A}

.

R01.3 · повторение GEOM9-003

Повторим вывод · теорема синусов

Диаметр $B A_{1}$ и вписанные углы

Проведём диаметр $B A_{1} = 2 R$ построение
$∠ BC A_{1} = 9 0^{\circ}$ вписанный угол опирается на диаметр
$∠ B A_{1} C = ∠ B A C$ вписанные углы опираются на одну дугу $BC$
$BC = B A_{1} sin ∠ A_{1}$ , т. е. $a = 2 R sin A$ синус острого угла в прямоугольном $△ A_{1} BC$
Так же $b = 2 R sin B$ , $c = 2 R sin C$ отсюда $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R$

R01.3

Сводка · какую теорему выбрать

Смотрим, что дано

Дано	Найти	Формула
две стороны и угол между ними	третью сторону	$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C$
три стороны	угол	$cos C = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 ab}$
сторону и два угла	другую сторону	$\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B}$
сторону и противолежащий угол	радиус $R$	$R = \frac{a}{2 sin A}$

R01.3

Образец → сам · сторона по двум сторонам и углу

Теорема косинусов: третья сторона

Образец: $BC = 5$ , $A C = 8$ , $∠ C = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ .

$A B^{2} = A C^{2} + B C^{2} - 2 \cdot A C \cdot BC cos C$ теорема косинусов: $∠ C$ лежит между $A C$ и $BC$
$A B^{2} = 64 + 25 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 49$ $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$
$A B = 7$ длина положительна: $49 = 7$

Сам: найдите третью сторону

$A C = 3$ , $BC = 5$ , $∠ C = 12 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ . $7$
$A B = 6$ , $A C = 10$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ . $219$
$A B = 32$ , $BC = 5$ , $∠ B = 4 5^{\circ}$ . Найдите $A C$ . $13$

R01.3

Образец → сам · угол по трём сторонам

Обратная задача: из теоремы косинусов — угол

Образец: $A B = 5$ , $BC = 7$ , $A C = 8$ . Найдите $∠ A$ .

$cos A = \frac{A B ^{2} + A C ^{2} - B C ^{2}}{2 \cdot A B \cdot A C}$ $∠ A$ лежит против $BC$
$cos A = \frac{25 + 64 - 49}{2 \cdot 5 \cdot 8} = \frac{40}{80} = \frac{1}{2}$ подставили
$∠ A = 6 0^{\circ}$ табличное значение

Сам

Стороны $3$ , $5$ , $7$ . Найдите наибольший угол. $12 0^{\circ}$
Стороны $4$ , $5$ , $7$ . Какой это треугольник? тупоугольный
Стороны $6$ , $8$ , $9$ . Какой это треугольник? остроугольный

Вид треугольника — по наибольшей стороне: сравните

c^{2}

и

a^{2} + b^{2}

.

R01.3

Образец → сам · теорема синусов

Сторона по стороне и двум углам

Образец: $∠ A = 4 5^{\circ}$ , $∠ B = 6 0^{\circ}$ , $BC = 42$ . Найдите $A C$ .

$\frac{A C}{sin B} = \frac{BC}{sin A}$ теорема синусов: $A C$ против $∠ B$ , $BC$ против $∠ A$
$A C = \frac{4 2 \cdot \frac{3}{2}}{\frac{2}{2}} = 43$ $sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ , $sin 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$

Сам

$∠ A = 3 0^{\circ}$ , $∠ B = 4 5^{\circ}$ , $BC = 4$ . Найдите $A C$ . $42$
$∠ A = 7 5^{\circ}$ , $∠ B = 6 0^{\circ}$ , $A B = 6$ . Найдите $A C$ . $36$
$BC = 6$ , $A C = 62$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ . Найдите $∠ B$ . $9 0^{\circ}$

R01.3

Образец → сам · радиус описанной окружности

Сторона, противолежащий угол и радиус $R$

Образец: $A B = 10$ , $∠ C = 3 0^{\circ}$ . Найдите радиус $R$ описанной окружности.

$2 R = \frac{A B}{sin C}$ теорема синусов: $A B$ лежит против $∠ C$
$2 R = \frac{10}{\frac{1}{2}} = 20$ , $R = 10$ $sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ ; не забыть разделить на 2

Сам

$BC = 6$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $R$ . $23$
$R = 5$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ . Найдите $BC$ . $52$
$∠ C = 15 0^{\circ}$ , $A B = 7$ . Найдите $R$ . $7$

R01.3

Образец → сам · комбинированная задача

Диагонали параллелограмма

Образец: $A BC D$ — параллелограмм, $A B = 5$ , $A D = 8$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите диагонали.

$B D^{2} = 25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 49$ , $B D = 7$ теорема косинусов в $△ A B D$
$∠ B = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}$ соседние углы параллелограмма
$A C^{2} = 25 + 64 + 40 = 129$ , $A C = 129$ в $△ A BC$ : $cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$

Сам

Параллелограмм: стороны $3$ и $5$ , угол $12 0^{\circ}$ . Найдите диагонали. $7$ и $19$
Ромб со стороной $6$ и углом $12 0^{\circ}$ . Найдите большую диагональ. $63$
$A C = 5$ , $BC = 8$ , $∠ C = 6 0^{\circ}$ . Найдите $R$ . $\frac{7 3}{3}$

R01.3

Осторожно · типичные ошибки

Так нельзя

Потерян знак косинуса

$∠ C = 12 0^{\circ}$ :
$c^{2} = 9 + 25 - 15$

$cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ : минус на минус — плюс.

$c^{2} = 9 + 25 + 15 = 49$
$c = 7$

Не та пара

$\frac{A B}{sin A} = \frac{BC}{sin C}$

Сторона берётся с противолежащим углом.

$\frac{A B}{sin C} = \frac{BC}{sin A}$

Потеряна двойка

$R = \frac{a}{sin A}$

Отношение $\frac{a}{sin A}$ — это диаметр $2 R$ .

$R = \frac{a}{2 sin A}$

R01.3

Найди ошибку

$A B = 7$ , $A C = 8$ , $∠ A = 12 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ и $R$ .

Решение ученика

$B C^{2} = 49 + 64 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 57$
$BC = 57$
$R = \frac{BC}{sin 12 0 ^{\circ}} = \frac{57}{\frac{3}{2}} = \frac{2 57}{3}$

Ошибка 1. $cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ :
$B C^{2} = 49 + 64 + 56 = 169$ , $BC = 13$

Ошибка 2. $\frac{BC}{sin A} = 2 R$ :
$R = \frac{13}{2 \cdot \frac{3}{2}} = \frac{13}{3} = \frac{13 3}{3}$

R01.3

Задания с самопроверкой · база

Решите и сверьте

база $A C = 8$ , $BC = 3$ , $∠ C = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ . $7$
базаСтороны $7$ , $8$ , $13$ . Найдите наибольший угол. $12 0^{\circ}$
база $BC = 8$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ . Найдите $R$ . $42$

база $∠ A = 3 0^{\circ}$ , $∠ B = 13 5^{\circ}$ , $BC = 6$ . Найдите $A C$ . $62$
базаСтороны $5$ , $6$ , $8$ . Какой это треугольник? тупоугольный
база $R = 6$ , $∠ C = 3 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ . $6$

R01.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $A B = 5$ , $BC = 7$ , $∠ A = 12 0^{\circ}$ . Найдите $A C$ . $3$
повыш.Стороны треугольника $5$ , $6$ , $7$ . Найдите косинус наибольшего угла. $0, 2$
повыш.Треугольник $A BC$ вписан в окружность радиуса $4$ , $A B = 43$ , угол $C$ острый. Найдите $∠ C$ . $6 0^{\circ}$
из жизниДве дороги выходят из посёлка под углом $6 0^{\circ}$ . По одной проехали $8$ км, по другой — $3$ км. Каково расстояние между путниками по прямой? $7$ км

R01.3 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15 и 16

Ответ — одно число

1. В треугольнике $A BC$ известно, что $A B = 8$ , $BC = 10$ , $A C = 12$ . Найдите $cos ∠ A BC$ . $0, 125$

В треугольнике $A BC$ угол $C$ равен $6 0^{\circ}$ , $A B = 103$ . Найдите радиус описанной окружности. $10$
В треугольнике $A BC$ $A C = BC = 5$ , $cos C = 0, 28$ . Найдите $A B$ . $6$

В бланк — только число: 0,125.

R01.3 · R01.5

Задача из жизни

Расстояние через озеро

Из точки $C$ измерили $C A = 300$ м, $CB = 500$ м и $∠ A CB = 12 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ .

$A B^{2} = 30 0^{2} + 50 0^{2} + 300 \cdot 500 = 490000$ теорема косинусов, $- 2 \cdot cos 12 0^{\circ} = 1$
$A B = 700$ м

Сам

Из порта под углом $6 0^{\circ}$ вышли два судна. Одно прошло $80$ км, другое — $30$ км. Найдите расстояние между ними. $70$ км
Берег реки: $A B = 50$ м, точка $C$ — на другом берегу, $∠ A = 7 5^{\circ}$ , $∠ B = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A C$ (калькулятор). $\approx 61, 2$ м

R01.3

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$A C = 5$ , $BC = 8$ , $∠ C = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ . $7$
Стороны $3$ , $7$ , $8$ . Найдите угол против стороны $7$ . $6 0^{\circ}$
$BC = 5$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите $R$ . $5$
$∠ A = 4 5^{\circ}$ , $∠ B = 3 0^{\circ}$ , $BC = 42$ . Найдите $A C$ . $4$

Вариант 2

$A C = 6$ , $BC = 10$ , $∠ C = 12 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ . $14$
Стороны $5$ , $16$ , $19$ . Найдите наибольший угол. $12 0^{\circ}$
$BC = 33$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $R$ . $3$
$∠ A = 6 0^{\circ}$ , $∠ B = 4 5^{\circ}$ , $BC = 36$ . Найдите $A C$ . $6$

R01.3

Итог урока

Что запомнить и что сделать дома

Две теоремы

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C

угол — между сторонами $a$ и $b$

\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R

пары «сторона — противолежащий угол»

Проверь себя

Выбираю теорему по данным.
Не теряю знак у $cos$ тупого угла.
Беру пару «сторона — противолежащий угол».

Дома

Стороны $4$ , $5$ , $6$ . Найдите косинус наибольшего угла.
$∠ A = 3 0^{\circ}$ , $∠ C = 4 5^{\circ}$ , $BC = 6$ . Найдите $A B$ и $R$ .
Тренажёр:
reknow.ru/9/geometry/9_geometry_trigonometriya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9-008 · Практикум: Теорема косинусов, теорема синусов

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R01 «Тригонометрия. Теоремы косинусов и синусов. Решение треугольников», 16 ч · урок 8/16 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R01.3 «Теорема косинусов, теорема синусов» → 2, 4–21 · опора на R01.1, R01.2 (значения для тупых углов, формулы приведения) → 3 · R01.5 (практическое применение) → 19
Результаты	ПР-3 = REQ-6.3 (теоремы синусов и косинусов, решение треугольников) → 2, 4–21 · ПР-2 = REQ-6.2 (формулы приведения) → 2, 3, 9–10, 14–16 · EL-6.2 → 4–8
Виды деятельности	«Выводить теорему косинусов и теорему синусов (с радиусом описанной окружности)» → 5, 7 · «Решать треугольники» → 9–13, 16–18, 20 · «Решать практические задачи…» → 17, 19
ОГЭ	линия 15 (треугольники) → 18 · линия 16 (окружность, $R$ ) → 12, 18
Вне урока	доказательство теорем полностью — GEOM9-003 · решение треугольников по трём элементам — GEOM9-009 · площадь $S = \frac{1}{2} ab sin C$ и практические задачи — GEOM9-010
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Теорема косинусов, теорема синусов

Сегодня вы научитесь

Находить сторону

Находить угол

Применять теорему синусов

Работать с тупыми углами

Значения и пары «сторона — угол»

Квадрат стороны через две другие и угол

Высота AH и теорема Пифагора

Стороны пропорциональны синусам противолежащих углов

Диаметр BA1​ и вписанные углы

Смотрим, что дано

Теорема косинусов: третья сторона

Образец: BC=5, AC=8, ∠C=60∘. Найдите AB.

Сам: найдите третью сторону

Обратная задача: из теоремы косинусов — угол

Образец: AB=5, BC=7, AC=8. Найдите ∠A.

Сам

Сторона по стороне и двум углам

Образец: ∠A=45∘, ∠B=60∘, BC=42​. Найдите AC.

Сам

Сторона, противолежащий угол и радиус R

Образец: AB=10, ∠C=30∘. Найдите радиус R описанной окружности.

Сам

Диагонали параллелограмма

Образец: ABCD — параллелограмм, AB=5, AD=8, ∠A=60∘. Найдите диагонали.

Сам

Так нельзя

Потерян знак косинуса

Не та пара

Потеряна двойка

AB=7, AC=8, ∠A=120∘. Найдите BC и R.

Решение ученика

Решите и сверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

Расстояние через озеро

Из точки C измерили CA=300 м, CB=500 м и ∠ACB=120∘. Найдите AB.

Сам

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Что запомнить и что сделать дома

Две теоремы

Проверь себя

Дома

GEOM9-008 · Практикум: Теорема косинусов, теорема синусов

Высота $A H$ и теорема Пифагора

Диаметр $B A_{1}$ и вписанные углы

Образец: $BC = 5$ , $A C = 8$ , $∠ C = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ .

Образец: $A B = 5$ , $BC = 7$ , $A C = 8$ . Найдите $∠ A$ .

Образец: $∠ A = 4 5^{\circ}$ , $∠ B = 6 0^{\circ}$ , $BC = 42$ . Найдите $A C$ .

Сторона, противолежащий угол и радиус $R$

Образец: $A B = 10$ , $∠ C = 3 0^{\circ}$ . Найдите радиус $R$ описанной окружности.

Образец: $A BC D$ — параллелограмм, $A B = 5$ , $A D = 8$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите диагонали.

$A B = 7$ , $A C = 8$ , $∠ A = 12 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ и $R$ .

Из точки $C$ измерили $C A = 300$ м, $CB = 500$ м и $∠ A CB = 12 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ .