Тригонометрия · урок 6 из 16 · практикум

Практикум: синус, косинус и тангенс углов от $0^{\circ}$ до $18 0^{\circ}$

Геометрия · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025 · строка R01 · GEOM9-006

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R01 «Тригонометрия. Теоремы косинусов и синусов. Решение треугольников» (16 ч), урок 6/16, единица R01.1 «Определение тригонометрических функций углов от 0° до 180°». Тип — П (практикум): теория была на уроке GEOM9-001, здесь — короткая сводка и шесть типов задач.
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Теория (12,5): сл. 1 титул 1 · 2 цели 1 · 4 определение 2,5 · 5 знаки и границы 1,5 · 6 таблица значений 2,5 · 9 тождество и координаты точки 2 · 13 схема-конспект 2.
Практика (32,5): 3 разминка 2,5 · 7 образец «значения тупых углов» 3 · 8 образец «знак и вид угла» 2,5 · 10 образец «по одной функции — другие» 3 · 11 образец «координаты точки» 3 · 12 образец «угол по координатам» 2,5 · 14 ошибки 1,5 · 15 найди ошибку 2 · 16 база 3 · 17 повышенный 2,5 · 18 ОГЭ 2 · 19 самостоятельная 4 · 20 итог 1.
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 17 — в ДЗ; сводку (сл. 4–6, 9, 13) не выбрасывать — по ней решают всё остальное.

R01.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Находить

$sin α$ , $cos α$ , $tg α$ любого угла от $0^{\circ}$ до $18 0^{\circ}$ (ПР-1, EL-6.1)

Определять

знаки и вид угла — острый или тупой — по значению функции (EL-6.1)

Вычислять

по одной функции две другие: основное тождество (ПР-2, REQ-6.2)

Применять

координаты точки $A (a cos α; a sin α)$ , задачи ОГЭ 15 и 18 (ПР-10)

1 мин · теория
ПР-1 = REQ-6.1 (ФРП): «Знать тригонометрические функции острых углов… Находить (с помощью калькулятора) длины и углы для нетабличных значений». ПР-2 = REQ-6.2: «Пользоваться формулами приведения и основным тригонометрическим тождеством…». ПР-10 = REQ-6.10: практические задачи с тригонометрическими функциями. EL-6.1: «Синус, косинус, тангенс углов от 0 до 180°. Основное тригонометрическое тождество».
Вид деятельности ФРП: «Формулировать определения тригонометрических функций тупых и прямых углов».
Вопрос классу: как определяли синус на уроке 1, если у угла 120° нет прямоугольного треугольника? (через точку на единичной полуокружности).

повторение: 8 класс, GEOM9-001, GEOM9-002

Разминка · устно

Острые углы — в уме

$sin 3 0^{\circ}$ $\frac{1}{2}$
$cos 4 5^{\circ}$ $\frac{2}{2}$
$tg 6 0^{\circ}$ $3$
$sin^{2} 3 0^{\circ} + cos^{2} 3 0^{\circ}$ $1$

Угол, смежный с углом $4 0^{\circ}$ $14 0^{\circ}$
Гипотенуза $10$ , $sin A = 0, 6$ . Катет против $∠ A$ ? $6$
Точка окружности радиуса $1$ с центром $O$ на луче $O y$ $(0; 1)$
Знак абсциссы точки левее оси $O y$ «минус»

R01.1 · сводка GEOM9-001

Вспомним · определение

Единичная полуокружность

M (x; y)

— точка полуокружности радиуса

1

,

∠ A OM = α

.

s i n α = y, c o s α = x

tg α = \frac{sin α}{cos α} (α \neq = 9 0^{\circ})

Для острого

α

— то же, что в прямоугольном треугольнике с гипотенузой

OM = 1

.

R01.1

Опора · знаки и границы

Где плюс, где минус

0 \leq sin α \leq 1

- 1 \leq cos α \leq 1

Тупой угол:

cos α < 0

и

tg α < 0

.

cos α < 0 ⟺ α

тупой — так узнают вид угла треугольника.

R01.1 · R01.2

Опора · таблица значений

Острый угол и его «пара» $18 0^{\circ} - α$

$α$	$0^{\circ}$	$3 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$6 0^{\circ}$	$9 0^{\circ}$	$12 0^{\circ}$	$13 5^{\circ}$	$15 0^{\circ}$	$18 0^{\circ}$
$sin α$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{3}{2}$	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$cos α$	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$- \frac{1}{2}$	$- \frac{2}{2}$	$- \frac{3}{2}$	$- 1$
$tg α$	$0$	$\frac{3}{3}$	$1$	$3$	не сущ.	$- 3$	$- 1$	$- \frac{3}{3}$	$0$

sin (18 0^{\circ} - α) = sin α

cos (18 0^{\circ} - α) = - cos α

R01.1

Образец → сам · значения тупых углов

Через симметричную точку

Образец: найдите $sin 13 5^{\circ}$ , $cos 13 5^{\circ}$ , $tg 13 5^{\circ}$

$M_{1}$ для $4 5^{\circ}$ : $(\frac{2}{2}; \frac{2}{2})$ таблица острых углов
$M$ симметрична $M_{1}$ относительно $O y$ : $M (- \frac{2}{2}; \frac{2}{2})$ $13 5^{\circ} = 18 0^{\circ} - 4 5^{\circ}$
$sin 13 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ , $cos 13 5^{\circ} = - \frac{2}{2}$ , $tg 13 5^{\circ} = - 1$ определение: $y$ , $x$ , $y : x$

Сам

$cos 12 0^{\circ}$ $- \frac{1}{2}$
$sin 15 0^{\circ}$ $\frac{1}{2}$
$tg 15 0^{\circ}$ $- \frac{3}{3}$
$cos 18 0^{\circ}$ $- 1$

R01.1

Образец → сам · знак и вид угла

Знак подсказывает, где точка

Образец: определите знак $sin 11 5^{\circ} \cdot cos 11 5^{\circ}$

$9 0^{\circ} < 11 5^{\circ} < 18 0^{\circ}$ — тупойточка $M$ левее оси $O y$
$sin 11 5^{\circ} = y > 0$ , $cos 11 5^{\circ} = x < 0$ определение
«плюс» · «минус» $=$ «минус»произведение отрицательно

Сам: $α$ — угол треугольника

$cos α = - 0, 3$ . Острый или тупой? тупой
$tg α = 2$ . Острый или тупой? острый
Знак $cos 9 5^{\circ} \cdot tg 17 0^{\circ}$ «плюс»
Может ли быть $sin α = - 0, 5$ ? нет

R01.1 · сводка GEOM9-001

Опора · тождество и координаты

Две формулы, без которых не обойтись

Основное тригонометрическое тождество

sin^{2} α + cos^{2} α = 1

Координаты точки $A$ , если $O A = a$

A (a cos α; a sin α)

R01.1 · REQ-6.2

Образец → сам · по одной функции — другие

Тождество + знак

Образец: $cos α = - \frac{3}{5}$ , $0^{\circ} \leq α \leq 18 0^{\circ}$ . Найдите $sin α$ и $tg α$

$sin^{2} α = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ основное тождество
$sin α = \frac{4}{5}$ $sin α \geq 0$ при $0^{\circ} \leq α \leq 18 0^{\circ}$
$tg α = \frac{4}{5} : (- \frac{3}{5}) = - \frac{4}{3}$ $tg α = sin α : cos α$

Сам

$sin α = \frac{5}{13}$ , $α$ тупой.
$cos α = ?$ $- \frac{12}{13}$
$cos α = 0, 8$ .
$sin α = ?$ $0, 6$
$sin α = \frac{3}{2}$ .
$cos α = ?$ $\pm \frac{1}{2}$

R01.1

Образец → сам · координаты точки

$A (a cos α; a sin α)$

Образец: $O A = 6$ , луч $O A$ образует с лучом $O x$ угол $15 0^{\circ}$ . Найдите координаты $A$

$x = 6 cos 15 0^{\circ}$
$= 6 \cdot (- \frac{3}{2}) = - 33$ $cos 15 0^{\circ} = - cos 3 0^{\circ}$
$y = 6 sin 15 0^{\circ} = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$ $sin 15 0^{\circ} = sin 3 0^{\circ}$
$A (- 33; 3)$ $- 33 \approx - 5, 2$ — точка левее $O y$

Сам: координаты точки

$OB = 4$ , угол $9 0^{\circ}$ $(0; 4)$
$OC = 22$ , угол $13 5^{\circ}$ $(- 2; 2)$
$O D = 10$ , угол $12 0^{\circ}$ $(- 5; 53)$

R01.1

Образец → сам · угол по координатам

Обратная задача: по точке — угол

Образец: $A (- 1; 3)$ . Найдите угол между лучом $O A$ и лучом $O x$

$O A = 1 + 3 = 2$ расстояние от начала координат
$cos α = - \frac{1}{2}$ , $sin α = \frac{3}{2}$ $x = O A cos α$ , $y = O A sin α$
$α = 12 0^{\circ}$ таблица: пара углу $6 0^{\circ}$

Сам: найдите угол

$B (- 2; 2)$ $13 5^{\circ}$
$C (0; 5)$ $9 0^{\circ}$
$D (- 3; 1)$ $15 0^{\circ}$

R01.1

Схема-конспект

Как найти синус, косинус, тангенс

1 Острый угол

Таблица или прямоугольный треугольник: синус — противолежащий катет : гипотенуза.

2 Тупой угол $α$

Перейти к $18 0^{\circ} - α$ : синус тот же, у косинуса и тангенса — «минус».

3 Дана одна функция

$sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ ; $sin α \geq 0$ , знак $cos α$ — по виду угла.

4 Точка на луче

$A (a cos α; a sin α)$ ; обратно: $cos α = \frac{x}{O A}$ .

R01.1

Осторожно · типичные ошибки

Так нельзя

Потерян «минус»

$cos 12 0^{\circ} = \frac{1}{2}$

Точка для $12 0^{\circ}$ левее $O$ — абсцисса отрицательна.

Верно: $cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ .

Лишний «±» у синуса

$cos α = 0, 6$
$\Rightarrow sin α = \pm 0, 8$

При $0^{\circ} \leq α \leq 18 0^{\circ}$ синус не отрицателен.

Верно: $sin α = 0, 8$ .

Тангенс прямого угла

$tg 9 0^{\circ} = 0$

$tg 9 0^{\circ} = \frac{1}{0}$ — делить на нуль нельзя.

Верно: $tg 9 0^{\circ}$ не существует.

R01.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $sin α = \frac{12}{13}$ , угол $α$ тупой. Найти $cos α$ и $tg α$ .

cos^{2} α = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169}

cos α = \frac{5}{13}

,

tg α = \frac{5}{12}

$α$ тупой ⇒ $cos α = - \frac{5}{13}$

$tg α = \frac{sin α}{cos α} = - \frac{12}{5}$

б) $A (- 4; 4)$ . Найти угол между лучами $O A$ и $O x$ .

O A = 4

,

cos α = \frac{- 4}{4} = - 1

α = 18 0^{\circ}

$O A = 16 + 16 = 42$

$cos α = - \frac{2}{2}$ ⇒ $α = 13 5^{\circ}$

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (красным — ошибочные места); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Две ошибки: угол тупой ⇒ косинус отрицателен, cos α = −5/13; тангенс — это синус : косинус, а ученик поделил наоборот и без знака: tg α = (12/13) : (−5/13) = −12/5 = −2,4.
б) Ошибка в длине OA: это не абсцисса, а расстояние √(x² + y²) = 4√2. Тогда cos α = −4/(4√2) = −√2/2, α = 135°. Проверка здравым смыслом: точка (−4; 4) не лежит на оси Ox, значит, угол не 180°.

R01.1

Задания с самопроверкой · база

Найдите

$sin 12 0^{\circ}$ $\frac{3}{2}$
$cos 13 5^{\circ}$ $- \frac{2}{2}$
$tg 12 0^{\circ}$ $- 3$

$cos α = - 0, 6$ , $0^{\circ} \leq α \leq 18 0^{\circ}$ . Найдите $sin α$ . $0, 8$
$cos α = - 0, 1$ . Угол $α$ острый или тупой? тупой
$O A = 8$ , угол между $O A$ и $O x$ равен $6 0^{\circ}$ . Координаты $A$ ? $(4; 43)$

R01.1 · REQ-6.10

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Вычислите $sin 12 0^{\circ} \cdot cos 15 0^{\circ} + tg 13 5^{\circ}$ . $- 1, 75$
повыш. $sin α = 0, 6$ , $9 0^{\circ} < α < 18 0^{\circ}$ . Найдите $tg α$ . $- 0, 75$
повыш.Найдите $α$ от $0^{\circ}$ до $18 0^{\circ}$ , если $tg α = - 1$ ; если $sin α = cos α$ . $13 5^{\circ}$ ; $4 5^{\circ}$
из жизниШлагбаум длиной $4$ м подняли, он образует с дорогой (лучом от оси вправо) угол $12 0^{\circ}$ . На какой высоте его конец и на сколько он левее оси? $23 \approx 3, 46$ м; $2$ м

2,5 мин · практика
В парах, по готовности; ответы — по клику. Задание 4 при нехватке времени — в ДЗ.
1) (√3/2) · (−√3/2) + (−1) = −3/4 − 1 = −7/4 = −1,75. 2) α тупой ⇒ cos α = −√(1 − 0,36) = −0,8; tg α = 0,6 : (−0,8) = −0,75. 3) tg α = −1 ⇒ α = 135°; sin α = cos α ⇒ tg α = 1 ⇒ α = 45° (при 90° равенство не выполняется: 1 ≠ 0).
4) Ось шлагбаума — начало координат, дорога — луч Ox. Конец: (4 cos 120°; 4 sin 120°) = (−2; 2√3) ⇒ высота 2√3 ≈ 3,46 м, на 2 м левее оси. Можно проверить калькулятором: 4 · sin 120° ≈ 3,464.

R01.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15 и 18

Ответ — одно число, и оно может быть отрицательным

1. В тупоугольном треугольнике $A BC$ известно, что $A C = BC = 25$ , высота $A H = 20$ . Найдите косинус угла $A CB$ . $- 0, 6$

То же: $A C = BC = 10$ , $A H = 6$ . Найдите $cos ∠ A CB$ . $- 0, 8$
Найдите тангенс угла $A OB$ (клетки $1 \times 1$ ). $- 2$

В бланк — только число: -0,6.

R01.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

В задачах 3 и 4 угол — между лучом $O A$ (или $OB$ ) и положительной полуосью $O x$ ; $0^{\circ} \leq α \leq 18 0^{\circ}$ .

Вариант 1

$cos 15 0^{\circ}$ $- \frac{3}{2}$
$sin α = 0, 8$ , $α$ тупой. Найдите $cos α$ . $- 0, 6$
$O A = 6$ , угол $13 5^{\circ}$ . Координаты $A$ ? $(- 32; 32)$
$cos α = - 0, 5$ . Найдите $α$ . $12 0^{\circ}$

Вариант 2

$sin 13 5^{\circ}$ $\frac{2}{2}$
$cos α = - 0, 8$ . Найдите $sin α$ . $0, 6$
$OB = 4$ , угол $15 0^{\circ}$ . Координаты $B$ ? $(- 23; 2)$
$tg α = - 1$ . Найдите $α$ . $13 5^{\circ}$

R01.1

Итог урока

Что запомнить и что сделать дома

Запомнить

$sin α = y$ , $cos α = x$

$sin^{2} α + cos^{2} α = 1$

Тупой угол:
$cos α < 0$ , $tg α < 0$

Проверь себя

Нахожу значения для тупых углов по таблице и симметрии.
По одной функции нахожу другие и выбираю знак.
Нахожу координаты точки по длине и углу.

Дома

$sin α = 0, 28$ , $α$ тупой. Найдите $cos α$ .
$O A = 12$ , угол $15 0^{\circ}$ . Найдите координаты $A$ .
Тренажёр:
reknow.ru/9/geometry/9_geometry_trigonometriya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9-006 · Практикум: синус, косинус и тангенс углов от $0^{\circ}$ до $18 0^{\circ}$

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R01 «Тригонометрия. Теоремы косинусов и синусов. Решение треугольников», 16 ч · урок 6/16 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R01.1 «Определение тригонометрических функций углов от 0° до 180°» → 2, 4–20 · опора на R01.2 (формулы приведения, GEOM9-002) → 6, 7, 13; 8 класс (острые углы) → 3
Результаты	ПР-1 = REQ-6.1 → 3, 7, 16 · ПР-2 = REQ-6.2 (основное тождество) → 9, 10, 15–17, 19 · ПР-10 = REQ-6.10 (практические задачи) → 11, 17 · EL-6.1 → 4–6, 9, 13
Виды деятельности	«Формулировать определения тригонометрических функций тупых и прямых углов» → 4–8, 14
ОГЭ	линия 15 (треугольник с тупым углом) → 18; линия 18 (угол на клетчатой бумаге) → 18
Вне урока	определение и вывод формул — GEOM9-001, GEOM9-002; практикум по формулам приведения — GEOM9-007; теоремы косинусов и синусов — GEOM9-008
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: синус, косинус и тангенс углов от 0∘ до 180∘

Сегодня вы научитесь

Находить

Определять

Вычислять

Применять

Острые углы — в уме

Единичная полуокружность

Где плюс, где минус

Острый угол и его «пара» 180∘−α

Через симметричную точку

Образец: найдите sin135∘, cos135∘, tg135∘

Сам

Знак подсказывает, где точка

Образец: определите знак sin115∘⋅cos115∘

Сам: α — угол треугольника

Две формулы, без которых не обойтись

Основное тригонометрическое тождество

Координаты точки A, если OA=a

Тождество + знак

Образец: cosα=−53​, 0∘≤α≤180∘. Найдите sinα и tgα

Сам

A(acosα; asinα)

Образец: OA=6, луч OA образует с лучом Ox угол 150∘. Найдите координаты A

Сам: координаты точки

Обратная задача: по точке — угол

Образец: A(−1; 3​). Найдите угол между лучом OA и лучом Ox

Сам: найдите угол

Как найти синус, косинус, тангенс

1 Острый угол

2 Тупой угол α

3 Дана одна функция

4 Точка на луче

Так нельзя

Потерян «минус»

Лишний «±» у синуса

Тангенс прямого угла

Где ошибся ученик?

а) sinα=1312​, угол α тупой. Найти cosα и tgα.

б) A(−4; 4). Найти угол между лучами OA и Ox.

Найдите

Подумайте и решите

Ответ — одно число, и оно может быть отрицательным

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Что запомнить и что сделать дома

Запомнить

Проверь себя

Дома

GEOM9-006 · Практикум: синус, косинус и тангенс углов от 0∘ до 180∘

Практикум: синус, косинус и тангенс углов от $0^{\circ}$ до $18 0^{\circ}$

Острый угол и его «пара» $18 0^{\circ} - α$

Образец: найдите $sin 13 5^{\circ}$ , $cos 13 5^{\circ}$ , $tg 13 5^{\circ}$

Образец: определите знак $sin 11 5^{\circ} \cdot cos 11 5^{\circ}$

Сам: $α$ — угол треугольника

Координаты точки $A$ , если $O A = a$

Образец: $cos α = - \frac{3}{5}$ , $0^{\circ} \leq α \leq 18 0^{\circ}$ . Найдите $sin α$ и $tg α$

$A (a cos α; a sin α)$

Образец: $O A = 6$ , луч $O A$ образует с лучом $O x$ угол $15 0^{\circ}$ . Найдите координаты $A$

Образец: $A (- 1; 3)$ . Найдите угол между лучом $O A$ и лучом $O x$

2 Тупой угол $α$

а) $sin α = \frac{12}{13}$ , угол $α$ тупой. Найти $cos α$ и $tg α$ .

б) $A (- 4; 4)$ . Найти угол между лучами $O A$ и $O x$ .

GEOM9-006 · Практикум: синус, косинус и тангенс углов от $0^{\circ}$ до $18 0^{\circ}$