Тригонометрия и решение треугольников · урок 5 из 16

Практическое применение доказанных теорем

Геометрия · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R01 · GEOM9-005

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R01 «Тригонометрия. Теоремы косинусов и синусов. Решение треугольников» (16 ч), урок 5/16, единица R01.5 «Практическое применение доказанных теорем». Тип урока — Н.
Теория (12,5): титул 0,5 · цели 0,5 · сводка «что дано → какая теорема» 2 · вывод S = ½ab sin C — 2,5 · вывод S = ½d₁d₂ sin φ — 2,5 · схема формул площади 1,5 · модели измерений на местности 3.
Практика (32,5): разминка 2,5 · образцы → сам 3 + 2,5 + 3 + 3 + 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Нужны калькуляторы (режим градусов DEG) — для задач «по калькулятору ≈». Если не успеваете: задание 3 в образце «высота» и задачу 3 повышенного уровня — в ДЗ; выводы формул не сокращать.

R01.5

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Выводить формулы площади

треугольника через две стороны и угол (ПР-3)

Находить площадь четырёхугольника

через диагонали и угол между ними

Строить модель задачи

схема → треугольник → теорема синусов или косинусов (ПР-10)

Измерять недоступное

ширину реки, высоту башни — с калькулятором (ПР-10)

0,5 мин · теория
ПР-3: «Использовать теоремы синусов и косинусов для нахождения различных элементов треугольника („решение треугольников“), применять их при решении геометрических задач».
ПР-10: «Применять полученные знания на практике – строить математические модели для задач реальной жизни и проводить соответствующие вычисления с применением подобия и тригонометрических функций (пользуясь, где необходимо, калькулятором)».
Виды деятельности ФРП R01: выводить формулы площади треугольника через две стороны и угол и четырёхугольника через диагонали и угол между ними; решать практические задачи, сводящиеся к нахождению элементов треугольника.

повторение: GEOM9-004

Разминка · устно

Решение треугольников: вспоминаем

По рисунку: найдите сторону «?». $7$ — теорема косинусов
$sin 15 0^{\circ} = ?$ $\frac{1}{2}$
$cos 12 0^{\circ} = ?$ $- \frac{1}{2}$
$∠ A = 4 5^{\circ}$ , $∠ B = 7 5^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ . $6 0^{\circ}$
$\frac{a}{sin A} = 10$ . Чему равен радиус $R$ описанной окружности? $5$
Площадь прямоугольного треугольника с катетами $6$ и $8$ ? $24$

R01.5

Вспомним · что дано → какая теорема

Ключ к любой задаче — выбрать теорему

Известно в треугольнике	Найти	Чем пользуемся
две стороны и угол между ними	третью сторону	т. косинусов: $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C$
три стороны	угол	$cos C = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 ab}$
сторона и два угла	другие стороны	сумма углов, затем т. синусов: $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R$
две стороны и угол против одной из них	угол	т. синусов; помнить: $sin α = sin (18 0^{\circ} - α)$ — бывает два ответа

R01.5

Теорема · вывод

Площадь треугольника через две стороны и угол

Дано:

△ A BC

,

BC = a

,

A C = b

,

∠ C

.
Доказать:

S = \frac{1}{2} ab sin C

.

1

S = \frac{1}{2} \cdot

b

\cdot

h

,

h = B H

площадь — половина основания на высоту

2

h

=

a

sin C

из прямоугольного

△ B H C

; если

C

тупой:

h = a sin (18 0^{\circ} - C) = a sin C

3

S = \frac{1}{2}

a

b

sin

C

подставили

h

; при

C = 9 0^{\circ}

:

sin C = 1

,

S = \frac{1}{2} ab

R01.5

Образец → сам · площадь треугольника

Две стороны и угол между ними

Образец: $BC = 6$ , $A C = 10$ , $∠ C = 15 0^{\circ}$ . Найдите площадь $△ A BC$ .

$sin 15 0^{\circ} = sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ формула приведения

$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2} = 15$ $S = \frac{1}{2} ab sin C$

Сам

$A B = 12$ , $A C = 5$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $15$
$S = 18$ , $A B = 8$ , $A C = 9$ . Найдите $∠ A$ . $3 0^{\circ}$ или $15 0^{\circ}$
Найдите площадь равностороннего треугольника со стороной $6$ . $93$

R01.5

Теорема · вывод

Площадь четырёхугольника через диагонали

Дано:

A BC D

— выпуклый,

A C = d_{1}

,

B D = d_{2}

,

∠ BOC = φ

.
Доказать:

S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin φ

.

1

S = S_{A OB} + S_{BOC} + S_{CO D} + S_{D O A}

диагонали разбивают фигуру на 4 треугольника

2

S_{BOC} = \frac{1}{2} OB \cdot OC sin φ

, и так же три другихуглы при

O

равны

φ

или

18 0^{\circ} - φ

— синусы равны

3

S = \frac{1}{2} sin φ (A O + OC) (BO + O D)

вынесли общий множитель и сгруппировали

4

S = \frac{1}{2}

d_{1}

d_{2}

sin

φ

параллелограмм:

S = ab sin α

— два равных треугольника

R01.5

Образец → сам · площадь четырёхугольника

Диагонали и угол между ними

Образец: диагонали четырёхугольника $10$ и $12$ , угол между ними $3 0^{\circ}$ . Найдите площадь.

$S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin φ$ формула для выпуклого четырёхугольника

$S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 \cdot \frac{1}{2} = 30$

Сам

Стороны параллелограмма $8$ и $6$ , угол $3 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $24$
Диагональ прямоугольника $10$ , угол между диагоналями $6 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $253$
$S = 24$ , диагонали $8$ и $12$ . Найдите острый угол между диагоналями. $3 0^{\circ}$

R01.5

Схема-конспект · формулы площади

Четыре формулы — одна идея

Треугольник

S = \frac{1}{2} a h

основание и высота

Треугольник

S = \frac{1}{2} a b sin C

угол — между сторонами

Параллелограмм

S = a b sin α

без множителя $\frac{1}{2}$

Четырёхугольник

S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin φ

ромб, квадрат: $φ = 9 0^{\circ}$

Угол можно брать острый или тупой:

sin (18 0^{\circ} - α) = sin α

, площадь от выбора не меняется.

R01.5

Модели · измерения на местности

Как измерить то, до чего не дойти

Расстояние до недоступной точки

Мерим базис $a$ и углы $A$ , $B$ .

$∠ C = 18 0^{\circ} - A - B$

$A C$ $= \frac{a sin B}{sin C}$

Высота с недоступным основанием

Мерим $d$ и углы $α$ , $β$ .

$∠ T = β - α$ , $BT = \frac{d sin α}{sin ( β - α )}$

$h = BT sin β$

Расстояние через препятствие

Мерим $a$ , $b$ и угол $C$ .

$A B^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C$

1 схема→2 треугольник→3 теорема→4 калькулятор (DEG)→5 ответ с единицами

3 мин · теория
Углы на местности измеряют угломером (теодолитом, транспортиром с визиром), расстояния — рулеткой или шагами. Отрезок, который можно измерить, называют базисом.
Схема 1: в $△ A BC$ известны сторона и два угла — теорема синусов: $\frac{A C}{s i n B} = \frac{A B}{s i n C}$ .
Схема 2: угол $A BT$ смежный с $β$ : $∠ A BT = 18 0^{\circ} - β$ , тогда $∠ T = 18 0^{\circ} - α - (18 0^{\circ} - β) = β - α$ . Теорема синусов в $△ A BT$ даёт $BT$ , из прямоугольного $△ B H T$ : $h = BT sin β$ . Рост наблюдателя (высоту прибора) прибавляют к ответу, если он дан.
Схема 3: две стороны и угол между ними — теорема косинусов.
Алгоритм внизу — записать в тетрадь; округлять только в последнем действии.

R01.5

Образец → сам · расстояние до недоступной точки

Через реку — теоремой синусов

Образец: $A B = 50$ м, $∠ A = 7 5^{\circ}$ , $∠ B = 6 0^{\circ}$ . Найдите расстояние $A C$ .

$∠ C = 18 0^{\circ} - 7 5^{\circ} - 6 0^{\circ} = 4 5^{\circ}$ сумма углов; т. синусов:

$A C = \frac{A B sin B}{sin C} = \frac{50 \cdot \frac{3}{2}}{\frac{2}{2}} = 256 \approx 61, 2$ м

Сам

$A B = 40$ м, $∠ A = 4 5^{\circ}$ , $∠ B = 10 5^{\circ}$ . Найдите $BC$ . $402 \approx 56, 6$ м
$A B = 100$ м, $∠ A = 3 0^{\circ}$ , $∠ B = 12 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ . $100$ м
$A B = 60$ м, $∠ A = 8 0^{\circ}$ , $∠ B = 7 0^{\circ}$ . Найдите $A C$ (калькулятор). $\approx 112, 8$ м

R01.5

Образец → сам · высота недоступного объекта

Два наблюдения — и высота башни

Образец: из $A$ вершина $T$ видна под углом $3 0^{\circ}$ , из $B$ — под углом $6 0^{\circ}$ , $A B = 40$ м. Найдите высоту $h$ .

$∠ A BT = 12 0^{\circ}$ , $∠ A TB = 3 0^{\circ}$ ⇒ $BT = 40$ равнобедр.

$h = BT sin 6 0^{\circ} = 203 \approx 34, 6$ м $△ B H T$

Сам

Углы $3 0^{\circ}$ и $6 0^{\circ}$ , высота $h = 15$ м. Найдите $A B$ . $103 \approx 17, 3$ м
Углы $4 5^{\circ}$ и $6 0^{\circ}$ , $A B = 20$ м. Найдите $h$ (калькулятор). $\approx 47, 3$ м
Углы $3 0^{\circ}$ и $4 5^{\circ}$ , $A B = 30$ м. Найдите $h$ (калькулятор). $\approx 41, 0$ м

R01.5

Образец → сам · расстояние через препятствие

Через озеро — теоремой косинусов

Образец: $C A = 300$ м, $CB = 500$ м, $∠ A CB = 12 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ .

$A B^{2} = 30 0^{2} + 50 0^{2} - 2 \cdot 300 \cdot 500 \cdot (- \frac{1}{2})$ т. косинусов

$A B^{2} = 490000$ , $A B = 700$ м

Сам

$C A = 5$ км, $CB = 8$ км, $∠ C = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ . $7$ км
Два корабля вышли из порта со скоростями $20$ и $30$ км/ч, угол между курсами $6 0^{\circ}$ . Расстояние через $2$ ч? $207 \approx 52, 9$ км
Участок — треугольник со сторонами $50$ , $70$ и $80$ м. Найдите угол против стороны $70$ м и площадь. $6 0^{\circ}$ ; $10003 \approx 1732$ м²

R01.5

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$S = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot BC \cdot sin A$	угол $A$ не между сторонами $A B$ и $BC$	$S = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot BC \cdot sin B$
$sin A = \frac{1}{2}$ ⇒ $∠ A = 3 0^{\circ}$	синус тупого угла тоже положителен	$3 0^{\circ}$ или $15 0^{\circ}$ — проверить оба
$S_{парал .} = \frac{1}{2} ab sin α$	это площадь только половины фигуры	$S = ab sin α$
$sin 30 \approx - 0, 99$ на калькуляторе	калькулятор в режиме радиан	режим DEG: $sin 3 0^{\circ} = 0, 5$

R01.5

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $A B = 6$ , $BC = 8$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите $S$ .

$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot sin 3 0^{\circ} = 12$

$∠ A$ не между $A B$ и $BC$ — нужен $∠ B$ ; сначала найти его по т. синусов

б) Углы $3 0^{\circ}$ и $6 0^{\circ}$ , $A B = 40$ м. Найдите высоту башни.

$∠ A BT = 6 0^{\circ}$ , $∠ T = 9 0^{\circ}$

$BT = 40 sin 3 0^{\circ} = 20$ , $h = 20 sin 6 0^{\circ} = 103$

$∠ A BT = 12 0^{\circ}$ , $∠ T = 3 0^{\circ}$ , $BT = 40$ , $h = 203$ м

в) Параллелограмм: стороны $10$ и $6$ , угол $12 0^{\circ}$ . Найдите $S$ .

$S = 10 \cdot 6 \cdot cos 12 0^{\circ} = - 30$

нужен синус: $S = 10 \cdot 6 \cdot sin 12 0^{\circ} = 303$

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Между сторонами $A B$ и $BC$ лежит угол $B$ . Довести: $sin C = \frac{A B sin A}{BC} = \frac{6 \cdot \frac{1}{2}}{8} = \frac{3}{8}$ — угол $C$ острый, так как $A B < BC$ ; дальше $∠ B = 18 0^{\circ} - 3 0^{\circ} - ∠ C$ по калькулятору ( $∠ C \approx 22, 0^{\circ}$ , $∠ B \approx 128, 0^{\circ}$ , $S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot sin B \approx 18, 9$ ). На уроке достаточно назвать ошибку.
б) Угол $6 0^{\circ}$ — угол возвышения при $B$ , внутренний угол $△ A BT$ при $B$ смежный с ним: $12 0^{\circ}$ . Тогда $∠ T = 3 0^{\circ}$ , $△ A BT$ равнобедренный, $BT = 40$ , $h = 40 sin 6 0^{\circ} = 203 \approx 34, 6$ м. Подсказка «по рисунку видно»: прямой угол — в $△ B H T$ , а не в $△ A BT$ .
в) Площадь не бывает отрицательной; в формуле синус: $sin 12 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ , $S = 303 \approx 52, 0$ .

R01.5

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаТреугольник: стороны $10$ и $7$ , угол между ними $3 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $17, 5$
базаТреугольник: стороны $4$ и $6$ , угол между ними $13 5^{\circ}$ . Найдите $S$ . $62$
базаПараллелограмм: стороны $9$ и $4$ , угол $15 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $18$

базаРомб: сторона $6$ , угол $6 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $183$
базаДиагонали четырёхугольника $6$ и $14$ , угол между ними $3 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $21$
база $S_{△} = 20$ , стороны $8$ и $10$ . Найдите острый угол между ними. $3 0^{\circ}$

R01.5

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $A B = 5$ , $A C = 8$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ и площадь $△ A BC$ . $7$ ; $103$
повыш.В задаче 1 найдите высоту, проведённую к стороне $BC$ . $\frac{20 3}{7} \approx 4, 95$
из жизниМаяк виден с корабля под углом $4 0^{\circ}$ к курсу, а через $10$ км пути — под углом $7 0^{\circ}$ к курсу. Найдите расстояние до маяка во второй точке (калькулятор). $\approx 12, 9$ км
повыш.Найдите площадь треугольника со сторонами $13$ , $14$ и $15$ . $84$

R01.5 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 12, 15 и 17

Ответ — одно число

ОГЭ 15В треугольнике $A BC$ известно, что $A C = 16$ , $BC = 9$ , $sin ∠ A CB = \frac{5}{12}$ . Найдите площадь треугольника. $30$
ОГЭ 17Сторона ромба равна $12$ , а острый угол равен $3 0^{\circ}$ . Найдите площадь ромба. $72$
ОГЭ 12Площадь четырёхугольника $S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin α$ . Найдите $d_{2}$ , если $d_{1} = 7$ , $sin α = \frac{2}{7}$ , $S = 4$ . $4$

К задаче ОГЭ 15

Угол $C$ — между сторонами $A C$ и $BC$ : подходит $S = \frac{1}{2} ab sin C$ .

R01.5

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Стороны треугольника $8$ и $5$ , угол между ними $3 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $10$
Параллелограмм: стороны $6$ и $10$ , угол $15 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $30$
Диагонали $8$ и $10$ , угол между ними $3 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $20$
Базис $A B = 60$ м, $∠ A = 4 5^{\circ}$ , $∠ B = 10 5^{\circ}$ . Найдите $BC$ . $602 \approx 84, 9$ м

Вариант 2

Стороны треугольника $12$ и $3$ , угол между ними $15 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $9$
Ромб: сторона $8$ , угол $3 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $32$
Диагонали $12$ и $7$ , угол между ними $3 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $21$
Базис $A B = 80$ м, $∠ A = 3 0^{\circ}$ , $∠ B = 10 5^{\circ}$ . Найдите $BC$ . $402 \approx 56, 6$ м

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какой угол стоит в формуле $S = \frac{1}{2} ab sin C$ ?
Чем площадь параллелограмма отличается от площади треугольника?
Как измерить ширину реки, не переплывая её?

Домашнее задание

Стороны $9$ и $12$ , угол между ними $12 0^{\circ}$ . Найдите $S$ .
Диагонали $16$ и $10$ , угол $4 5^{\circ}$ . Найдите $S$ .
Углы на вершину $3 0^{\circ}$ и $4 5^{\circ}$ , $A B = 50$ м. Найдите высоту.
Тренажёр: reknow.ru/9/geometry/9_geometry_trigonometriya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM9-005 · Практическое применение доказанных теорем

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 9 класс
Строка, урок	R01 «Тригонометрия. Теоремы косинусов и синусов. Решение треугольников», 16 ч · урок 5/16 · тип Н
Единицы → слайды	R01.5 «Практическое применение доказанных теорем» → 2, 4–20 · повторение GEOM9-004 → 3
Результаты	ПР-3 (теоремы синусов и косинусов, решение треугольников) → 3–9, 13, 16–18 · ПР-10 (модели задач реальной жизни, калькулятор) → 10–13, 17, 19
Вид деятельности	вывод формул площади треугольника через две стороны и угол и четырёхугольника через диагонали и угол → 5, 7; практические задачи → 10–13
Вне урока	практикумы GEOM9-006 – GEOM9-010; преобразование подобия — R02
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практическое применение доказанных теорем

Сегодня вы научитесь

Выводить формулы площади

Находить площадь четырёхугольника

Строить модель задачи

Измерять недоступное

Решение треугольников: вспоминаем

Ключ к любой задаче — выбрать теорему

Площадь треугольника через две стороны и угол

Две стороны и угол между ними

Образец: BC=6, AC=10, ∠C=150∘. Найдите площадь △ABC.

Сам

Площадь четырёхугольника через диагонали

Диагонали и угол между ними

Образец: диагонали четырёхугольника 10 и 12, угол между ними 30∘. Найдите площадь.

Сам

Четыре формулы — одна идея

Треугольник

Треугольник

Параллелограмм

Четырёхугольник

Как измерить то, до чего не дойти

Расстояние до недоступной точки

Высота с недоступным основанием

Расстояние через препятствие

Через реку — теоремой синусов

Образец: AB=50 м, ∠A=75∘, ∠B=60∘. Найдите расстояние AC.

Сам

Два наблюдения — и высота башни

Образец: из A вершина T видна под углом 30∘, из B — под углом 60∘, AB=40 м. Найдите высоту h.

Сам

Через озеро — теоремой косинусов

Образец: CA=300 м, CB=500 м, ∠ACB=120∘. Найдите AB.

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) AB=6, BC=8, ∠A=30∘. Найдите S.

б) Углы 30∘ и 60∘, AB=40 м. Найдите высоту башни.

в) Параллелограмм: стороны 10 и 6, угол 120∘. Найдите S.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

К задаче ОГЭ 15

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM9-005 · Практическое применение доказанных теорем

Образец: $BC = 6$ , $A C = 10$ , $∠ C = 15 0^{\circ}$ . Найдите площадь $△ A BC$ .

Образец: диагонали четырёхугольника $10$ и $12$ , угол между ними $3 0^{\circ}$ . Найдите площадь.

Образец: $A B = 50$ м, $∠ A = 7 5^{\circ}$ , $∠ B = 6 0^{\circ}$ . Найдите расстояние $A C$ .

Образец: из $A$ вершина $T$ видна под углом $3 0^{\circ}$ , из $B$ — под углом $6 0^{\circ}$ , $A B = 40$ м. Найдите высоту $h$ .

Образец: $C A = 300$ м, $CB = 500$ м, $∠ A CB = 12 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ .

а) $A B = 6$ , $BC = 8$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите $S$ .

б) Углы $3 0^{\circ}$ и $6 0^{\circ}$ , $A B = 40$ м. Найдите высоту башни.

в) Параллелограмм: стороны $10$ и $6$ , угол $12 0^{\circ}$ . Найдите $S$ .